KILOBOOKS.COM

MỤC LỤC

Lời mở đầu
Chương 1. Giới thiệu mơ hỡnh và một số kết quả lý thuyết đạt được
1.1 Giới thiệu
1.2 Nghiệm địa phương
1.3 Nghiệm khơng âm
1.4 Nghiệm tồn cục
1.5 Hệ động lực
1.6 Hàm Lyapunov
1.7 Sự ổn định của nghiệm dừng thuần nhất
Chương 2. Phương pháp ADI và một số thuật tốn liên quan
2.1 Giới thiệu về sai phân và phương pháp ADI
2.1.1 Giới thiệu
2.1.2 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai
2.1.3 Các bước chính của phương pháp sai phân
2.1.4 Phương pháp ADI
2.2 Một số thuật tốn liên quan
2.2.1 Thuật tốn Thomas
2.2.2 Thuật tốn Newton
Chương 3. Giải số mơ hình
3.1 Giải số mơ hình
3.2 Một số kết quả tính tốn được
Kết Luận
Tài liệu tham khảo
Phụ Lục

THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN
KILOBOOKS.COM

1
Li m u

Vn nghiờn cu s bo tn v phỏt trin ca rng cú ý ngha rt quan
trng trong vic bo v mụi trng cng nh phỏt trin kinh t, xó hi. quan
sỏt s phỏt trin ca rng cn thi gian rt di v chi phớ ln. Hin nay, vic s
dng cỏc mụ hnh ton hc v nghin cu cc m hnh ú vi s tr giỳp ca
mỏy tớnh l phng phỏp rt quan trng.
Vo nm 1994, Kuznetsov cựng cỏc tỏc gi khỏc (xem [6]) ú a ra mụ
hnh Cu Trc Tui mụ t s phỏt trin ca h ng hc rng. H nghiờn
cu mụ hnh rng n loi v ch cỳ hai lp, lp cừy non v lp cừy gi. Qu
trnh ti to ca rng c mụ t thụng qua s to ht ca cõy gi v s ny
mm phỏt trin thnh cõy non ca ht. Mụ hnh Cu Trc Tui c biu din
bi h phng trnh sau:

2
2
( ) ,
,
.
u
w v u fu
t
v
fu hv
t
w w

v w d
t
x


=





=




= +




(0.1)

Trong ú n hm
( , )u t x
v
( , )v t x
ln lt l mt cõy non v cõy gi ti v
trớ
x

v ti thi gian
(0, )t
. n hm
( , )w t x
l mt ht trong khụng
khớ ti
x
v
(0, )t
. Phng trnh th ba ca (0.1) m t s bin i
ht,
d
> 0 l hng s khuch tn ca ht;
0

>
v
0

>
ln lt l tc to ht
ca cõy gi v tc lng ng ca ht. Cỏc phng trnh th nht v th hai
ca (0.1) m t s pht trin ca cừy non v cừy gi;
0 1

<
l t l ny mm
ca ht,
( ) 0v


>
l t l cht ca cõy non, ph thuc vo mt cõy gi
v
;
0
f
>
l tc phỏt trin ca cõy non v
0h >
l t l cht ca cừy gi.

THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN
KILOBOOKS.COM

2
M hnh ny ú c nhiu tỏc gi quan tõm nghiờn cu. Trong [3], v
[4], L. H. Chun, A. Yagi v T. Tsujikawa ú nghin cu m hnh trong trng
hp hai chiu. Bng cỏch bin i h phng trnh (0.1) v phng trnh tin
hỳa dng parabolic v s dng cng c na nhỳm gii tch, cc tc gi ú xừy
dng c nghim tng quỏt cho mụ hnh, nghin cu s n nh v dỏng iu
tim cn ca nghim khi thi gian ln.
Da trn cc kt qu lý thuyt ú t c, lun vn nghiờn cu vic xõy
thun toỏn v vit chng trnh gii s mụ hnh Cu Trc Tui trong trng
hp hai chiu. H (0.1) l mt h phng trnh vi phừn o hm riờng khỏ phc
tp khụng cú phng phỏp gii ỳng. Phng phỏp gii gn ỳng c s dng
trong lun vn l phng phỏp sai phõn, kt hp vi phng phỏp ADI
(Alternating Direction Implicit) gim thi gian tnh ton v tng chnh
xc.
Lun vn gm cỳ ba chng:
Chng 1. Gii thiu m hnh Cu Trc Tui m t s pht trin ca

rng do Kuznetsov cng cc tc gi khc a ra v trnh by mt s kt qu lý
thuyt ú c chng minh.
Chng 2. Gii thiu cc khi nim c bn ca phng php sai phừn,
phng php ADI (Alternating Direction Implicit) v phng phỏp Thomas ng
dng cho vic gii gn ỳng phng trnh o hm riờng.
Chng 3. Trnh by qu trnh sai phừn m hnh Cu Trc Tui, s
khi m t thut ton gii nghim gn ng. ng thi trnh by mt s kt
qu tnh ton thu c.





THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN
KILOBOOKS.COM

3
Chương 1
GIỚI THIỆU Mễ HèNH CẤU TRÚC TUỔI VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ Lí
THUYẾT

1.1. Giới thiệu
Vào năm 1994, Kuznetsov, Antonovsky, Biktashev và Aponina (xem [6])
đó đưa ra mô hỡnh Cấu Trỳc Tuổi để mô tả sự phát triển của hệ động học rừng
(xem (0.1)). Trong [3] và [4], L. H. Chuẩn cùng các tác giả khác đó nghiờn cứu
mụ hỡnh đó trong trường hợp hai chiều như sau:
0
0 0
( ) trên (0, ),
trên (0, ),

trên (0, ),
0 trên (0, ),
( ,0) ( ),
( ,0) ( ), ( ,0) ( ) trên .
u
βδw γ v u fu
t
v
fu hv
t
w
d w βw αv
t
w
n
u x u x
v x v x w x w x
∂

= − − Ω × ∞

∂

∂
= − Ω × ∞

∂

∂


= ∆ − + Ω × ∞

∂

∂
= ∂Ω × ∞

∂

=


= = Ω

(1.1)
Trong đó
Ω
là miền lồi hoặc cú biờn
2
C
và bị chặn trong
2
R
. Cỏc ẩn hàm
( , )u t x
và
( , )v t x
lần lượt là mật độ cây non và cây già ở tại vị trí
x ∈Ω
và tại

thời gian
(0, )t ∈ ∞
. Ẩn hàm
( , )w t x
là mật độ hạt trong không khí tại
x ∈Ω
và
(0, )t ∈ ∞
. Phương trỡnh thứ ba của (1.1) mụ tả sự biến đổi hạt,
0d >
là hằng số
khuếch tỏn của hạt;
0
α
>
và
0
β
>
lần lượt là tốc độ tạo hạt của cây già và tốc độ
lắng đọng của hạt. Các phương trỡnh thứ nhất và thứ hai của (1.1) mụ tả sự phỏt
triển của cõy non và cõy già;
0 1
δ
< ≤
là tỷ lệ nảy mầm của hạt,
( ) 0γ v >
là tỷ lệ
chết của cây non, phụ thuộc vào mật độ cây già
v

;
0
f
>
là tốc độ phát triển của
cây non và
0h >
là tỷ
l
ệ
ch
ế
t c
ủ
a cõy già. Hàm
( , )w t x
th
ỏ
a món
đ
i
ề
u ki
ệ
n
Neumann trên biên ∂Ω. Các giá tr
ị
ban
đầ
u

0
( ) 0
u x
≥
,
0
( ) 0
v x
≥
và
0
( ) 0
w x
≥


THÖ VIEÄN ÑIEÄN TÖÛ TRÖÏC TUYEÁN
KILOBOOKS.COM

4

c cho trờn

. Gi

s

r

ng t


l

ch

t c

a cõy non

c cho b

i m

t ph

ng
tr

nh b

c hai cỳ d

ng
2
( ) ( ) , v a v b c= +

trong

ú
,a b

v
c
l cỏc h

ng s

d

ng, t

c l ta cú th

th

y t

l

ch

t c

a cõy
non ph

thu

c vo cõy gi v

t giỏ tr


nh

nh

t khi m

t

cõy gi l b.
Sau

õy ta s

tr

nh by m

t s

k

t qu

lý thuy

t

ú


t

c (xem [3] v
[4]).
1.2. Nghim a phng
Trong mc ny, ta i xõy dng nghim a phng cho (1.1) trờn khụng gian nn
2
; ( ), ( ), ( ) ,
u
X v u L v L w L
w





=







v khụng gian cỏc giỏ tr ban u
0
0 0 0 0
0
; 0, 0, 0
u

K v X u v w
w





=







.
Ton t tuyn tnh A c nh ngha bi:
0 0
0 0
0 0
f
A h


=




vi

2
( ) ; , ( ), ( )
N
u
D A v u v L w H
w






=







,
trong ú

l toỏn t úng liờn kt vi toỏn t Laplace
d +
trong
2
( )L

vi iu kin biờn Neumann. Min xỏc nh ca



l khng gian

2 2
( ) ( ) { ( ); 0
N
u
D H u H
n

= = =

trn

}.
Ton t phi tuyn
F
c nh ngha bi

( )
( )
w v u
F U fu
v






=



,
u
U v X
w


=



.

THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN
KILOBOOKS.COM

5
Khi đó, hệ phương trỡnh (1.1) được viết lại dưới dạng sau:

0
( ),
0 .
(0) ,
dU
AU F U
t
dt

U U

+ =

< < ∞


=

(1.2)
Bằng cỏch kiểm tra một số tớnh chất của toỏn tử
A
và toỏn tử
F
, ta chứng
minh được kết quả sau:
Định lý 1.1. Với mỗi giá trị ban đầu
0 0 0 0
( , , )U u v w K= ∈
, phương trỡnh (1.2)
cú nghiệm duy nhất
( , , )u v w
trong khụng gian hàm

1
1 1
2 1 2 2
1 1 1
, ([0, ]; ( )) ((0, ]; ( )),
([0, ]; ( )) ((0, ]; ( )) ((0, ]; ( )).

N
u v C T L C T L
w C T L C T L C T H
∞ ∞

∈ Ω ∩ Ω


∈ Ω ∩ Ω ∩ Ω


(1.3)
Trong đó
1
0T >
được xác định chỉ bởi
0
U
.
1.3. Nghiệm khụng õm
Định lý 1.2. Cho
0
U K
∈
và giả sử
( , , )U u v w=
là nghiệm địa phương của
(1.2) thu được trong Định lý 1.1. Khi đó
( ) 0, ( ) 0, ( ) 0u t v t w t≥ ≥ ≥
trờn

Ω
với mọi
0
0
t T
≤ ≤
, trong đó
0 1
0
T T
< ≤
được xác định bởi
0
U
.
Chứng minh:
Xột bài toỏn phụ:

0 0 0
( ) trên (0, ),
trên (0, ),
(Re ) trên (0, ),
0 trên (0, ),
( ,0) ( ), ( ,0) ( ), ( ,0) ( ).
u
βδw γ v u fu
t
v
fu hv
t

w
d w βw αχ v
t
w
n
u x u x v x v x w x w x
∂

= − − Ω × ∞

∂

∂
= − Ω × ∞

∂


∂
= ∆ − + Ω × ∞

∂

∂

= ∂Ω× ∞
∂


= = =



%
% % % %
%
% %
%
% % %
%
% % %

(1.4)


THÖ VIEÄN ÑIEÄN TÖÛ TRÖÏC TUYEÁN
KILOBOOKS.COM

6
Trong đó
( )v
χ
%
là hàm cho bởi
0,
( )
0 0.
v khi v
v
khi v
≥


=

<

% %
%
%
χ

Dễ thấy
2 1 2 1 1 2
| ( ) ( ) | | | , Rχ v χ v v v v v− ≤ − ∀ ∈
% % % % % %
. Sử dụng Định lý 1.1, ta suy ra
(1.4) có nghiệm địa phương duy nhất
( , , w)u v
% % %
trong [0,
2
T
] với

2
T

được xác định
bởi
0
U

.
Ta sẽ chứng minh rằng
, , wu v
% % %
khụng õm. Xột hàm
( )H τ
định nghĩa bởi
2
0 0
( )
0
2
khi
H
khi
τ
τ
τ
τ
≥


=

<



và đặt
1 2

( ) ( ( , )) , 0t H w x t dx t T
Ω
Ψ = ≤ ≤
∫
%
. Dễ thấy
1
( )tΨ
là hàm liên tục không âm có
đạo hàm
' '' 2 ' '
1
( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) 0.t d H w w dx H w wdx H w v dx
β α χ
Ω Ω Ω
Ψ = − ∇ − + ≤
∫ ∫ ∫
% % % % % %

Vỡ
1
(0) 0Ψ =
, ta suy ra
1
( ) 0tΨ =
với mọi
2
[0, ]t T∈
. Do đó
( ) 0w t

≥
%
trờn
2
[0, ]
T
.
Tương tự, đặt
2 2
( ) ( ( , )) , 0 .t H u x t dx t T
Ω
Ψ = ≤ ≤
∫
%

Ta cũng được
2
( )t
Ψ
là hàm liên tục, không âm, có đạo hàm

' ' '
2
( ) ( ) ( ( ) ) ( )t H u vdx v f H u udx
βδ γ
Ω Ω
Ψ = − +
∫ ∫
% % % % %


Vỡ
0w ≥
%
,
2
(0) 0
Ψ =
nờn
( ) 0u t
≥
%
trong
2
[0, ]T
. Tương tự ta có
0v
≥
%
.
Vỡ
0v
≥
%
nờn
( )v v
χ
=
% %
, chứng tỏ (
, ,u v w

% % %
) cũng là nghiệm địa phương của
(1.2) trên
0
[0, ]T
. Theo tớnh duy nhất nghiệm ta suy ra rằng
( , , ) ( , , )u v w u v w=
% % %

trờn
0
[0, ]T
, trong đó
{ }
0 1 2
min ,T T T=
. Như vậy (1.2) có nghiệm địa phương không
âm trong không gian hàm (1.3), trong đó
0
T
được xác định bởi
0
U
.

THÖ VIEÄN ÑIEÄN TÖÛ TRÖÏC TUYEÁN
KILOBOOKS.COM

7


1.4. Nghiệm tồn cục
Để xây dựng nghiệm tồn cục của bài tốn, ta cần đánh giá tiên nghiệm sau:
Định lý 1.3. Cho
0
U K∈
và giả sử rằng
( , , )U u v w=
là nghiệm địa phương
của phương trỡnh (1.2) trờn khoảng
[0, ]
U
T
như sau:
1
2 1 2 2
0 , ([0, ); ( )) ((0, ); ( ),
0 ([0, ); ( )) ((0, ); ( )) ((0, ); ( )).
U U
U U U N
u v C T L C T L
w C T L C T L C T H
∞ ∞

≤ ∈ Ω ∩ Ω


≤ ∈ Ω ∩ Ω ∩ Ω




Khi đó ta có đánh giá
0
{ 1}, 0 ,
ρt
U
X X
U C e U t T
−
≤ + ≤ <

trong đó các hằng số C > 0 và
ρ
> 0 khụng phụ thuộc
U
.
Sử dụng đánh giá tiên nghiệm trên, ta chứng minh được sự tồn tại và duy
nhất nghiệm của hệ phương trỡnh (1.1).
Định lý 1.4. Với mọi giá trị ban đầu
0
U K∈
, hệ phương trỡnh (1.1) cú duy
nhất nghiệm tồn cục trong khụng gian hàm
1
2 1 2 2
0 , ([0, ); ( )) ((0, ); ( ))
0 ([0, ); ( )) ((0, ); ( )) ((0, ); ( ))
N
u v C L C L
w C L C L C H
∞ ∞


≤ ∈ ∞ Ω ∩ ∞ Ω


≤ ∈ ∞ Ω ∩ ∞ Ω ∩ ∞ Ω



Chứng minh:
Theo Định lý 1.2, bài tốn ln có duy nhất nghiệm địa phương
U
trong
0
[0, ]T
. Theo Định lý 1.3,
0
( )U T
được xác định bởi
0
U
. Do đó nghiệm
U
cú
thể thỏc triển thành nghiệm địa phương trên
0
[0, ]T
τ
+
với
0

τ
>
được xác định
bởi
0
( )U T
, tức là chỉ phụ thuộc vào
0
U
. Tiếp tục quỏ trỡnh thỏc triển đó, ta sẽ
thu được nghiệm tồn cục của bài toỏn.
1.5. Hệ động lực

THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN
KILOBOOKS.COM

8
Theo nh lý 1.4, vi mi
0
U


K, tn ti duy nht nghim ton cc
0
( , ) ( ( ), ( ), ( ))U t U u t v t w t=
ca (1.1) v nghim ny liờn tc theo giỏ tr ban u
0
U
. Do ú, ta cú th nh ngha na nhúm
0

{ S(t) }
t
trn
K
bi
0 0
( ) ( , )S t U U t U=
.
Do ú ta xõy dng c mt h ng lc
( ( ), , )S t K X
sinh ra bi h phng
trnh (1.1).
1.6. Hm Lyapunov
Trong phn ny ta s i xõy dng hm Lyapunov cho (1.1). Gi s
( , , )u v w
l nghim ton cc ca (1.1) vi giỏ tr ban u
0 0 0 0
( , , )U u v w K=
.
t
( ) ( ) ( ), 0t fu t hv t t= <

.
T hai phng trnh u ca (1.1) ta cú
- { ( ) } { ( ) }, 0 .f w v f h h v v fv t
t



= + + + < <


(1.5)
Nhừn (1.5) vi ( )
v
t
t


=

v tnh tch phừn trn min


2 2
1
( ) { ( ) }( )
2
d d v v
dx h v dx f wdx v f h dx
dt dt t t



+ = + +


,
trong ú
0
( ) ( ( ) )

v
v v v fv dv

= +

.
Tng t nhõn phng trnh th ba ca (1.1) vi
w
t


v ly tch phừn
trn min

ta c
2 2 2
| | ( )
2 2
d d d w w
w dx w dx v dx dx
dt dt t x


+ =




.
T hai ng thc trờn cho ta


THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN
KILOBOOKS.COM

9
2
2 2 2
2 2
[ | | ( ) ( ) ]
2 2 2
[ { ( ) }( ) ( ) ] 0, 0 .
d df f
w h v w f vw dx
dt
v w
v f h f dx t
t t
α βδ β δ
ϕ α αβδ
α γ βδ
Ω
Ω
+ ∇ + Γ + −
∂ ∂
= − + + + ≤ < < ∞
∂ ∂
∫
∫

Chứng tỏ, hàm số

2
2 2 2
( ) [ ( ) | | ( ) ( ) ]
2 2 2
df f
U fu hv w h v w f uv dx
α βδ β δ
α αβδ
Ω
Ψ = − + ∇ + Γ + −
∫

là hàm Lyapunov của (1.1).

1.7. Sự ổn định của nghiệm dừng thuần nhất
Giải sử
( , , )u v w
là nghiệm dừng, thuần nhất và không âm của (1.1). Khi đó
0
u
≥
,
0
v
≥
và
0
w
≥
thỏ

a món h
ệ
ph
ươ
ng tr
ỡ
nh

( ) 0,
0,
0.
βδw γ v u fu
fu hv
βw αv
− − =


− =


− + =


(1.6)
Ta chứng minh được rằng:
• Nếu
2
0
fαδ
h

ab c f
< ≤
+ +
thỡ (1.6) cú hai nghiệm
(0,0,0)O =
và
( ), , ( )
h α
P b D b D b D
f β
+
 
= + + +
 
 
, trong đó
( )
,
fαδ c f h
D
ah
− +
=
và
cả hai nghiệm đó đều ổn định.
• Nếu
2
fαδ fαδ
h
c f

ab c f
< <
+
+ +
thỡ (1.6) cú ba nghiệm
(0,0,0)O =
và
( ), , ( )
h α
P b D b D b D
f β
±
 
= ± ± ±
 
 
. Trong đó hai nghiệm
O
và
P
+

ổn định cũn nghiệm
P
−
không ổn định.
• Nếu
fαδ
h
c f

=
+
thỡ (1.6) cú hai nghiệm
(0,0,0)O =
và
, ,
hb
α
b
P b
f
β
 
=
 
 
.

THÖ VIEÄN ÑIEÄN TÖÛ TRÖÏC TUYEÁN
KILOBOOKS.COM

10
Nu
f

h
c f
< < +
+
th (1.6) cỳ nghim duy nht

(0,0,0)O =
v nghim
ny n nh.














Chng 2

GII THIU V PHNG PHP ADI V MT S THUT TON
LIấN QUAN

2.1. Gii thiu v sai phõn v phng phỏp ADI
2.1.1. Gii thiu

THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN
KILOBOOKS.COM

11
Cỏc phng trnh o hm riờng thng xut hin trong cỏc biu thc

ng dng vt lý, thuyt thu ng hc, c hc lng t V hu nh cỏc bi
toỏn ny thng rt phc tp, nhiu bi toỏn khụng cú nghim theo ngha c
in, tuy nhiờn trong mt s trng hp li cú th tm c nghim mt cỏch
khỏ hiu qu. Trong s nhng phng phỏp gii gn ỳng phng trnh o
hm riờng th phng phỏp li (hay phng phỏp sai phõn) c s dng khỏ
rng rúi nht.
2.1.2. Phõn loi phng trnh tuyn tnh cp 2
Xt bi ton tuyn tnh cp 2

2 2
2 2
.
u u
u
x y


= +
2 2 2
2 2
2 ( , ).
u u u u u
Lu A B C a b CU f x y
x x y y x y


= + + + + + =
(2.1)
t D =
A B

B C
.
Ta nỳi (2.1) cỳ dng Eliptic nu D > 0, cỳ dng Parabolic nu D = 0 v
Hyperbolic nu D < 0.
Cc dng ph bin
Phng trnh Laplace:
2 2
2 2
0.
u u
u
x y


= + =

Phng trnh truyn nhit:
2
2
2
.
u u
a
t x


=

Phng trnh dừy rung:
2

2
2 2
.
u u
a
t x


=


2.1.3. Cỏc bc chớnh ca phng phỏp sai phõn
Ri rc ho min
.

Thay ton t vi phừn bng ton t sai phừn.
Gii h phng trnh i s tuyn tớnh thu c.

THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN
KILOBOOKS.COM

12
Kho sỏt s hi t v n nh ca lc sai phõn.
a) Ri rc ho min



Hnh 2.1. Li ng dng s dng cho sai phõn hu hn.
Trong phm vi lun vn, ta ch xột min


l min hnh ch nht
[0,a] [0, ]bì
,
nh vy ta cú th ri rc hoỏ min

bng cỏc ng thng, ta chia on [0,a]
v on [0,b] thnh J v K on bi cỏc im chia
, 0...
j
x j x j J= =
, v
, 0...
k
y k y k K= =
trong ú
a
x
J
=
,
b
y
K
=
.
Giao im ca nhng ng thng ú gi l nhng im li, im li
(j,k) cú to l
( , )
j k
x x

. im k ca (j, k) l cỏc im
( 1, )j k
v
( , 1)j k
.
Ký hiu
{ }
( , ) : 0 ,0
h
j k j J k K =
. Tp hp cỏc im trong

{ }
( , ) : 0 ,0
h
j k j J k K = < < < <
,
v
\
h
h h
=
c gi l cỏc im biờn.
b) Thay ton t vi phừn bng ton t sai phừn
Ta xt bin thi gian t trn min T = (0, +). Ri rc ho min T bng t,
nh vy ta cú:
0 1 2
0, , 2t t t t t= = =
v ký hiu
,

( , , )
n
j k
u u j x k y n t=
. Trong ú
0
, 0
( , )
j k
u u j x k y=
l giỏ tr ban u ti
0
t
.
Ta cú th biu din cỏc toỏn t vi phõn bng sai phõn nh sau:
Sai phõn tin theo hng x

THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN
KILOBOOKS.COM

13
, 1, ,
,
n n n
j k j k j k
u u u
x x
+

=


(2.2)
sai phõn lựi theo hng x
, , 1,
.
n n n
j k j k j k
u u u
x x


=

(2.3)
T (2.2) v (2.3) ta cú sai phõn trung tõm theo hng x
, 1, 1,
.
2
n n n
j k j k j k
u u u
x x
+

=


Tng t sai phõn theo hng y ta cỳ
, , 1 , , , 1
,

n n n n n
j k j k j k j k j k
u u u u u
y y y
+

= =


v sai phừn trung từm theo y l
, , 1 , 1
.
2
n n n
j k j k j k
u u u
y y
+

=


Ta s dng sai phõn trung tõm i vi o hm cp 2

2
, 1, , 1,
2 2
2
,
n n n n

j k j k j k j k
u u u u
x x
+
+
=


2
, , 1 , , 1
2 2
2
.
n n n n
j k j k j k j k
u u u u
y y
+
+
=


c) Sau khi c biu din di dng sai phõn, cỏc phng trnh o hm
riờng cú dng mt h phng trnh i s tuyn tớnh Ax = b, trong ú A thng
cú dng ma trn chộo, tha. gii h ny ta s dng thut toỏn thut toỏn
Thomas.
Xột phng trnh sau
2 2
2 2
( ) : ,

u u u u
L u a b c d gu f
x y x y

= + + + + =

(2.4)
trong ú a, b, c, d, g, f l cc hm ca x, y v
( , ) , : 0.x y D ab = >


THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN
KILOBOOKS.COM

14
Thay đạo hàm trong (2.4) bằng sai phân tương ứng, ta được phương trỡnh sai
phõn sau:

1, , 1, , 1 , , 1 1, 1,
, , , ,
2 2
, 1 , 1
, , , ,
2 2
( ) :
2
, ( , ) .
2
j k j k j k j k j k j k j k j k
h j k j k j k j k

j k j k
j k j k j k j k h
u u u u u u u u
L u a b c
x y x
u u
d g u f j k
y
+ − + − + −
+ −
− + − + −
= + +
∆ ∆ ∆
−
+ + = ∈Ω
∆
(2.5)
Ta gọi (2.5) là sơ đồ 5 điểm
( , ),( 1, ),( , 1)j k j k j k± ±
. Gộp các số hạng đồng dạng
trong (2.5) ta được
, , 1, , 1, , , 1 , , 1 , , ,
( ): ,
h j k j k j k j k j k j k j k j k j k j k j k j k
L u A u B u C u D u E u f
+ − + −
= + + + − =

trong đó


. , , , ,
, , ,
2 2 2
, , , ,
, , ,
2 2 2
, , ,
2 2 2
2 2
, .
2
j k j k j k j k j k
j k j k j k
j k j k j k j k
j k j k j k
a c a b d
c
A B C
x x x x y y
b d a b
D E g
y y x y
= + = − = +
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
= − = + −
∆ ∆ ∆ ∆

Giả sử các điều kiện sau được thoả món
● a,b > 0
( , )x y∀ ∈Ω

, (điều kiện để
( )L u
là toỏn tử eliptic).
● g
≤
0
( , )x y∀ ∈ Ω
, (điều kiện để (2.4) có nghiệm).
Để chứng minh hệ phương trỡnh sai phõn
, ,
, ,
( )
|
h
h j k j k
j k j k
L u f
u
ϕ
∂ Ω
=



=



giải được duy nhất, ta cần chứng tỏ hệ phương trỡnh (tuyến tính) thuần nhất
tương ứng

,
,
( ) 0
| 0
h
h j k
j k
L u
u
∂ Ω
=



=



chỉ có nghiệm tầm thường.
Nguyờn lý maximum: Giả sử dóy
,
{ }
j k
v const≠
xác định trên
h
Ω
và thoả món điều
kiện


THÖ VIEÄN ÑIEÄN TÖÛ TRÖÏC TUYEÁN
KILOBOOKS.COM

15
,
( ) 0, ( , ) ,
h j k h
L v j k

hoc
,
( ) 0, ( , ) .
h j k h
L v j k

Khi ú
,
{v }
j k
khụng t max dng (hoc min õm) trong
h

.
Chng minh:
Gi s
,
( ) 0
h j k
L v
v

,
: max( ) 0
h
j k
M v

= >
. Khi ú tm c
0 0
( , )
h
i j

sao cho
0 0
,
0
i j
v M= >
v mt im k
( , )j k
sao cho
,j k
v M
<
(hoc ta cỳ th chng t rng
,
{ }
j k
v const=

). Ta cỳ

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
, , , , , , ,
0 ( ) { } 0,
h j k j k j k j k j k j k j k
L v M A B C D E Mg < + + + =

v
0g
. iu mõu thun ny chng t
,
max 0
h
j k
v


.
p dng nguyn lý maximum, d dng chng minh c h phng
trnh thun nht ch cỳ nghim tm thng
,
0, ( , )
j k h
u j k
. T ú suy ra h
phng trnh sai phừn

, ,
, ,

( )
|
h
h j k j k
j k j k
L u f
u


=



=



l gii c duy nht.
d) Kho sỏt s n nh v hi t ca lc sai phõn
n gin ta gp c iu kin biờn v iu kin ban u a vo phng
trnh
Lu = f .
(2.6)
Trong ú L l toỏn t tuyn tớnh a khụng gian tuyn tớnh nh chun
( ,||.|| )



vo khụng gian tuyn tớnh nh chun
( ,|| .|| )

h
h U
F
.
Song song vi bi ton lin tc ta xt bi ton ri rc sau

THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN