seminar5 -Tích Phân Hình Học 4-2009-5
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (169.86 KB, 9 trang )
Tích phân hình học và biến phân nhiều chiều
Khi nghiên cứu một số vấn đề hình học ta cần các công cụ khác nhau để đo
kích cỡ của tập (e.g. độ dài, diện tích, các tích phân vật lý, ... ). Cách xây dựng
kinh điển của Carathéodory cho phép sinh ra rất nhiều độ đo (e.g. độ đo với
số chiều thấp hơn n trong không gian R
n
), phù hợp cho nhiều áp dụng khác
nhau.
Bài này phần đầu nêu cách xây dựng tổng quát của Carathéodory và một số
ví dụ về các độ đo hình học đáng quan tâm. Các ý tưởng chính bắt đầu từ
Hausdorff (1918) và Carathéodory (1914). Sau khi so sánh các độ đo đã nêu,
phần còn lại sẽ nêu một số công thức cần dùng đối với độ đo Hausdorff: công
thức area, công thức co-area, công thức chiếu và công thức Cauchy-Crofton.
Nội dung.
1. Carathéodory’s construction.
2. Các độ đo hình học thông dụng.
3. Quan hệ giữa các độ đo hình học.
4. Một số công thức cần dùng.
Tham khảo.
Federer H, Geometric measures theory, Springer-Verlag (1969)
Simon L., Lectures on geometric measure theory, Proceedings of the Centre
Mathematical Analalysis, Australian National University, Vol. 3 (1983)
88
1. Carathéodory’s construction.
Cho F là một họ các tập con trong R
n
(các tập “kiểm tra”).
Cho ζ : F → [0, +∞] (hàm gauge - định cỡ/ đánh giá).
Các độ đo ban đầu φ
δ
, 0 < δ ≤ ∞, được định nghĩa: Với A ⊂ R
n
,
φ
δ
(A) = inf{
S∈G
ζ(S) : G đếm được ,G ⊂ F ∩{S : diam (S) ≤ δ},A ⊂
S∈G
S}
Do tính chất là nếu 0 < δ
1
< δ
2
, thì φ
δ
1
≥ φ
δ
2
, nên ta có thể đặt
ψ(A) = lim
δ→0
+
φ
δ
(A) = sup
δ>0
φ
δ
(A)
Khi đó ψ được gọi là độ đo được xây dựng từ ζ trên F, còn φ
δ
được xem
như là độ đo xấp xỉ cỡ δ,
Mệnh đề.
(1) φ
δ
, ψ là các độ đo trên R
n
, i.e. các hàm tập, dưới cộng tính.
(2) ψ là độ đo Borel chính qui, i.e. mọi tập Borel là ψ-đo được.
(3) Nếu mọi phần tử của F là tập Borel, thì ψ là độ đo Borel chính qui, i.e.
mọi tập A đều chứa trong một tập Borel
˜
A có cùng độ đo ψ.
(4) Nóichung φ
δ
không là độ đo Borel.
Chứng minh: (1) là rõ ràng.
(2) Theo tiêu chuẩn Carathéodory, để chứng minh các tập Borel là ψ - đo
được, ta cần chứng minh
(C) ψ(A∪ B) ≥ ψ(A) + ψ(B), khi d(A, B) > 0
Dễ thấy φ
δ
(A ∪ B) ≥ φ
δ
(A) + φ
δ
(B), khi d(A, B) > δ. Cho δ → 0, ta có (C).
(3) Rõ ràng.
(4) Ví dụ: n = 1, F họ mọi tập mở, ζ(S) = (diam (S))
1/2
.
Khi đó với A = (0, δ/2), B = (δ/2, δ), ta có
φ
δ
(A ∪ B) = δ
1/2
≥ φ
δ
(A) + φ
δ
(B) = (δ/2)
1/2
+ (δ/2)
1/2
✷
2. Các độ đo hình học thông dụng.
Với cách xây dựng trên ta có nhiều độ đo khác nhau.
• Độ đo Hausdorff (Hausdorff 1918). Với α > 0, dùng hàm định cỡ (dựa
trên thể tích cầu)
ζ
1
(S) = c(α)(diam S/2)
α
89
trong đó c(α) =
Γ(
1
2
)
α
Γ(
α
2
+ 1)
(Khi α nguyên c(α) là thể tích hình cầu α - chiều,
có đường kính là 1).
Khi F là họ mọi tập con khác rỗng, độ đo được xây dựng tương ứng được gọi
là độ đo Hausdorff α - chiều, ký hiệu là H
α
.
• Độ đo cầu (Hausdorff 1918). Với F là họ các cầu mở, và ζ = ζ
1
, độ
đo được xây dựng tương ứng được gọi là độ đo cầu, ký hiệu là S
α
.
Ta có
H
α
≤ S
α
≤ 2
α
H
α
• Độ đo Federer (Federer 1969). Với mỗi số nguyên 0 < m ≤ n, ta dùng
hàm định cỡ (dựa trên thể tích hộp bình hành)
ζ
2
(S) = c(m)2
−m
sup{|(a
1
− b
1
) ∧ ··· ∧ (a
m
− b
m
)| : a
1
, b
1
,··· , a
m
, b
m
∈ S}
Khi F là họ mọi tập con khác rỗng, độ đo được xây dựng tương ứng được gọi
là độ đo Federer m - chiều, ký hiệu là J
m
.
Do |(a
1
− b
1
) ∧ ··· ∧ (a
m
− b
m
)| ≤
m
i=1
|a
i
− b
i
|, ta có J
m
≤ H
m
.
• Độ đo Gross (Gross 1918). Với mỗi số nguyên 0 ≤ m ≤ n, ký hiệu
O
∗
(n, m) là tập mọi phép chiếu trực giao từ R
n
lên R
m
, và L
m
là độ đo
Lebesgue m - chiều. Định nghĩa hàm định cỡ
ζ
3
(S) = sup{L
m
(p(S)) : p ∈ O
∗
(n, m)}
Khi F là họ mọi tập Borel, ta có độ đo Gross m-chiều, ký hiệu là G
m
.
• Độ đo Carathéodory (Carathéodory 1914). Khi F là họ mọi tập lồi mở
trong R
n
, và hàm định cỡ là ζ
3
, cách xây dựng trên cho độ đo Carathéodory
m-chiều, ký hiệu là C
m
.
Khi m = 1, ζ
3
(S) = diam (S) với S lồi, vậy C
1
= H
1
.
Cho m là số nguyên 0 < m ≤ m. Nhóm compact O(n) tác động truyền
ứng (transitively) lên O
∗
(n, m) bằng hợp bên phải, nên sinh ra một độ đo xác
suất Haar θ
∗
n,m
trên O
∗
(n, m). Với mỗi 1 ≤ t ≤ ∞, định nghĩa hàm định cỡ
ζ
4,t
(S) =
1
β
t
(n, m)
O
∗
(n,m)
|L
m
(p(S))|
t
dθ
∗
n,m
p
1/t
,
trong đó
|(Λ
m
p)ξ|
t
dθ
∗
n,m
p
1/t
= β
t
(n, m)|ξ|, với mọi m-vector đơn ξ trong
R
n
.
90
• Độ đo tích phân hình học (Favard 1932, Federer 1969). Khi F là họ mọi
tập con khác rỗng, và ζ = ζ
4,t
, cách xây dựng của Carathéodory cho ta độ đo
tích phân hình học m-chiều với số mũ t, ký hiệu là I
m
. Độ đo này có thể xem
như là đo mọi hình chiếu của tập, rồi lấy trung bình (mũ t, theo độ đo xác
suất Haar)
• Độ đo Gillespie (Gillespie 1940). Khi F là họ mọi tập lồi mở, và ζ = ζ
4,t
,
cách xây dựng trên cho ta độ đo Gillespie m-chiều với số mũ t, ký hiệu là Q
m
t
3. Quan hệ giữa các độ đo hình học.
Mệnh đề. Với mỗi số nguyên 0 < m ≤ n, và 1 ≤ s ≤ t ≤ ∞, ta có mối
quan hệ sau giữa các độ đo
S
m
≥ H
m
≥ J
m
≥ C
m
= Q
m
∞
≥ β
t
(n, m)Q
m
t
≥ β
s
(n, m)Q
m
s
IV IV IV IV
G
m
≥ I
∞
≥ β
t
(n, m)I
m
t
≥ β
t
s
(n, m)I
m
s
Khi m = n, thì các độ đô nêu trên đều bằng độ đo Lebesgue L
n
.
Khi m = 0, thì các độ đo đều là độ đo điểm.
Chứng minh: Xem [F] 2.10.6 và 2.10.35. ✷
Tập cầu phương được. Cho m là số nguyên 0 < m ≤ n. Tập E ⊂ R
n
được gọi là (H
m
, m) cầu phương được (retifiable) nếuu
E ⊂ E
0
∪
∞
j=1
F
j
(A
j
)
trong đó H
m
(E
0
) = 0, F
j
: R
m
→ R
n
là Lipschitz, và H
m
(E) < ∞.
Định lý. Nếu E ⊂ R
n
là (H
m
, m) - cầu phương được, thì
H
m
(E) = S
m
(E) = J
m
(E) = G
m
(E) = C
m
(E) = I
m
t
(E) = Q
m
t
(E)
Chứng minh: Xem [F] Th.3.2.26 ✷
4. Một số công thức cơ bản.
Phần này nêu lên các công thức cơn bản của tích phân hình học đối với
độ đo Hausdorff: công thức area, công thức co-area, công thức chiếu và công
thức Cauchy-Crofton.
91
Trước hết ta có các gợi ý sau:
Định thức và thể tích. Cho λ : R
n
→ R
n
là ánh xạ tuyến tính. Khi
đó định thức và thể tích n chiều quan hệ theo công thức sau
L
n
(λ(A)) = | det λ|L
n
(A), A ⊂ R
n
Định lý (Rademacher 1919). Nếu f : R
n
→ R
m
là ánh xạ Lipschitz, thì f
khả vi L
n
- hầu khắp nơi và đạo hàm df là hàm đo được.
Chứng minh: Xem [F] 3.1.6. ✷
Ta muốn mở rộng công thức trên cho các số chiều khác nhau và cho các
ánh xạ không là tuyến tính.
• Công thức area.
Trường hợp tuyến tính: Cho λ : R
n
→ R
m
là ánh xạ tuyến tính, với m ≥ n.
Ta xem R
n
= R
n
× O ⊂ R
m
. Khi đó tồn tại g : R
m
→ R
m
∈ O(m), sao cho
g(λ(R
n
)) ⊂ R
n
. Theo công thức trên cho g ◦ λ : R
n
→ R
n
, ta có
H
n
(g ◦ λ(A)) = | det g ◦ λ|H
n
(A), A ⊂ R
n
Mặt khác, (g ◦ λ)
∗
◦ (g ◦ λ) = λ
∗
◦ λ.
Ta có công thức area cho trường hợp tuyến tính
H
n
(λ(A)) =
√
det λ
∗
◦ λ H
n
(A), A ⊂ R
n
Trường hợp C
1
: Cho f : R
n
→ R
m
thuộc C
1
, và n ≤ m. Khi đó với mọi
A ⊂ R
n
là tập đo được và f là 1 − 1 trên A, ta có
H
n
(f(A)) =
A
Jf(x)dH
n
(x)
trong đó Jf(x) =
det df(x)
∗
◦ df(x) (Jacobi suy rộng khi n ≤ m).
Định lý (Fedrerer 1945). Cho f : R
n
→ R
m
là ánh xạ Lipschitz, và n ≤ m.
Khi đó
(1) Với mọi A ⊂ R
n
là tập đo được, ta có
A
Jf(x)dH
n
(x) =
R
m
#(f
−1
(y)∩ A)dH
m
(y)
92
