Phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình mũ.
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (98.09 KB, 8 trang )
Phơng pháp đặt ẩn phụ để
giải phơng trình mũ
A/ Lý do chọn đề tài:
Để giải đợc một bài toán phụ thuộc chủ yếu vào việc xác định đúng
đắn đờng lối giải bài toán đó. Quá trình đi từ đờng lối đúng đắn đến việc có
một lời giải tốt đòi hỏi ngời làm toán phải biết cách lựa chọn phơng pháp và
công cụ thích hợp. Để giải đợc một phơng trình nói chung và phơng trình mũ
nói riêng ngời làm toán đòi hỏi phải chọn đợc phơng pháp thích hợp cho
từng lớp bài toán. Tôi nghĩ rằng phơng pháp đặt ẩn phụ để giải phơng trình là
một phơng pháp hữu hiệu.
Biết đặt ẩn phụ thích hợp sẽ đa một phơng trình khó giải về một phơng
trình theo ẩn phụ đơn giản và dể giải hơn. Tất nhiên việc chọn ẩn phụ
không đơn giản chút nào nếu ngời làm toán không biết nhìn mọi góc độ của
bài toán đã cho.
Bởi vậy, hớng dẫn học sinh sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ để giải 1
phơng trình mũ là điều hết sức cần thiết cho mọi đối tợng làm toán.
B/ Nội dung:
ở đề tài này tôi muốn trao đổi vài phơng pháp đặt ẩn phụ trong phơng
trình mũ mà ở chơng trình đại trà học sinh không đợc học ở sách giáo khoa.
1
I. Ph ơng pháp l ợng giác hóa:
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
2 2
1 1- 2005 (1 2 1 2005 )2005
x x x
+ = +
Nhận xét: Từ điều kiện của phơng trình ta có
0
0 (2005) 1
x
x
<
Bởi vậy ta có thể đặt:
(2005) sin , (0; ]
2
x
t t
=
Khi đó phơng trình đã cho đa về một phơng trình lợng giác mà
cách giải đơn giản hơn:
2 cos sin sin 2 ,
2
t
t t= +
(0; ]
2
t
3
2 cos (1 2 sin ) 0
2 2
t t
= =
cos 0
2
t
=
(loại)
3 2
6
sin
2 2
2
t
t
t
=
=
=
2
2005
1
(2005)
log 2
2
0
(2005) 1
x
x
x
x
=
=
=
=
Nhận xét: Tất nhiên ta cũng có thể đặt ẩn phụ theo kiểu khác.
Đặt
2 2 2
1 2005 0 2005 1
x x
t t = =
Từ đó ta có điều kiện:
0 1
0
t
x
Khi đó ta đa phơng trình về dạng:
2
1 (1 2 )( 1 )t t t+ = +
2 2
1 (1 2 ) (1 )t t t + = +
2
1 [(1 2 ) (1 ) 1] 0t t t + = + =
2
(3 4 ) 0t t =
2
0
3
2
t
t
=
=
Với
0t
=
2
1 2005 0
x
=
2
2005 1
x
=
0x =
Với
3
2
t =
2
3
1 2005
2
x
=
1
2005
2
x
=
2005
log 2x =
Vậy phơng trình có hai nghiệm :
2005
0
log 2
x
x
=
=
Ví dụ 2: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
2
1 2 2
x
x
m + =
Nhận xét:
2
0 2 1
x
<
Đặt:
2
2 sin
x
t=
,
0;
2
t
Phơng trình có dạng:
2
1 sin sint t m + =
cos sint t m + =
cos sint t m + =
2 sin( )
4
t m
+ =
sin( )
4
2
m
t
+ =
Vì
0;
2
t
3
4 4 4
t
< + <
nên
Phơng trình có nghiệm
0 1
2
m
0 2m
Nhận xét: Ta cũng có thể giải theo những phơng pháp khác.
Bài tập 1: Giải phơng trình:
2 1
4.3 3 1 9
x x x+
=
Bài tập 2: Giải phơng trình:
(3 2 2) ( 2 1) 3
x x
+ = +
3
II. Ph ơng pháp sử dụng 2 ẩn phụ cho 2 biểu thức mũ
trong ph ơng trình và biến đổi ph ơng trình đã cho
về dạng tích:
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
2 2
5 6 1 6 5
5 5 5.5 1
x x x x +
+ = +
Ta thấy
6 5 7 5
5.5 5
x x
=
2 2
( 5 6) (1 ) 7 5x x x x + + =
Bởi vậy ta đặt ẩn phụ:
2
5 6
5 0
x x
u
+
= >
2
1
5 0
x
v
= >
Khi đó phơng trình có dạng:
u+v = uv+1
1
( 1)( 1) 0
1
u
u v
v
=
=
=
2
5 6 2
2
5 1 5 6 0
3
x x
x
x x
x
+
=
= + =
=
2
1 2
5 1 1 0 1
x
x x
= = =
Vậy phơng trình có 4 nghiệm :
1; 2; 3x x x= = =
Nhận xét: Bài toán này có thể hỏi nh sau:
Với giá trị nào của m thì phơng trình
2 2
5 6 1 6 5
5 5 5.5
x x x x
m m
+
+ = +
có 4 nghiệm phân biệt
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
2 1
2 2 1 2 4 2
x x
x x
+
+ + = + +
ĐK:
1
2 1 0
2
x x+
Viết phơng trình dới dạng:
2
2 2 1 2.2 2(2 1)
x x
x x+ + = + +
Đặt
2 , 0
2 1 , 0
x
u u
v x v
= >
= +
Ta có phơng trình:
2 2
2 2u v u v+ = +
2 2 2
( ) 2 2u v u v + = +
2
( ) 0u v u v = =
4
2 2 1
x
x = +
2
2 2 1
x
x = +
0
2 0
1
2 1
2
x
x
x
x
=
=
=
=
Bài tập 1: Giải và biện luận phơng trình
2 2 2
2 1 ( 1)
4 2 2 1
x x m x x x+ + + +
=
Bài tập 2: Giải phơng trình:
2 2
1 1 1
2 2 2 2
x x x x+
+ = +
III. Đặt ẩn phụ thích hợp đ a ph ơng trình đã cho về 1
hệ thông th ờng hệ này đối xứng:
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
3 1
125 4 5 5 4
x x+
+ =
Nhận thấy PT
33
5 4 5 5.5 4
x x
+ =
Đặt:
5 , 0
x
u u= >
3
3
4 5 5. 4u u + =
Đặt:
3
5. 4u v =
3
5 4v u =
Đợc hệ pt:
3
3
5 4
5 4
u v
v u
=
=
2 2
2 2
( )( ) 5( )
( )( 5) 0
u v u v uv v u
u v u v uv
+ + =
+ + + =
2 2
0
5 0
u v
u v uv
=
+ + + =
u v =
Ta có:
3 2
5 4 0 ( 1)( 4) 0u u u u u + = + =
1 1
1 5 1 5
2 2
u u
u u
= =
+
= =
Với
1 5 1 0
x
u x= = =
Với
1 5 1 5
5
2 2
x
u
+ +
= =
5
