Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN……………………………………………………………….……… 3
PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ……………….....………………………………… 4
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU………………………………………………... 4
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU………………………………………....... 4
4. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN…………………………………………..……... 4
5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU……………………………………………..…... 5
6. NỘI DUNG LUẬN VĂN……………………………………………..….... 5
PHẦN NỘI DUNG
Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. CHUỖI LŨY THỪA……………………………………………………….. 6
1.1 Định nghĩa …………………………………………………………. 6
1.2 Khoảng hội tụ………………………………………………………... 6
1.3 Các tính chất của chuỗi lũy thừa……………………………………. 7
1.4 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa……………………………... 7
1.5 Một vài khai triển cơ bản……………………………… 8
2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN………………………………………………. 9
2.1 Khái niệm về phương trình vi phân…………………………………… 9
2.2 Phương trình vi phân cấp một……………………………………….… 9
2.3 Phương trình vi phân cấp hai………………………………………... 10
2.4 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất ……….. 10
2.5 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất….. 12
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
1
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
2.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi………..... 12
2.6.1 Phương trình thuần nhất……………………………... 12
2.6.2 Phương trình không thuần nhất………………………...13

2.7 Phương trình Cauchy-Euler……………………………………………... 14
Chương 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
CHUỖI
1. PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY THỪA……………………………………. 16
1.1 Phương pháp hệ số bất định………………………………………… 16
1.2 Phương pháp đạo hàm liên tiếp……………………………………. 22
1.3 Điều kiện tồn tại nghiệm dạng chuỗi…………………………….… 24
1.4 Cách tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa của phương trình vi phân tuyến
tính…………………………………………………………………...…….. 25
1.5 Ứng dụng phương pháp chuỗi lũy thừa vào giải một số phương trình vi
phân đặc biệt……………………………………………………………….…. 27
1.5.1 Phương trình Airy………………..………………. 27
1.5.2 Phương trình Legendre………………...………….. 30
1.5.3 Phương trình Hermite…………………………….. 34
2. PHƯƠNG PHÁP FROBENIUS……………………………………………. 37
2.1 Phương pháp Frobenius……………………………………….…… 37
2.2 Lý thuyết về phương pháp Frobenius................................................ 38
2.3 Phương trình vi phân có điểm kỳ dị chính quy……………….….... 43
2.4 Cách thực hiện phương pháp Frobenius …………….……………. 48
Chương 3 CÁC BÀI TOÁN
1. GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY
THỪA……………………………………………………………………………. 58
2. GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
FROBENIUS……………………………………………………………………… 77
PHẦN KẾT LUẬN
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
2
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi

3
LỜI CẢM ƠN
Sau thời gian học tập nghiên cứu tại trường Đại
học Cần Thơ, với những kiến thức tiếp thu được từ quý
thầy cô của trường và đặc biệt là của quý thầy cô Bộ môn
Toán – Khoa Sư phạm đã giúp em cảm thấy tự tin thực
hiện bài luận văn tốt nghiệp toàn khóa. Em xin gởi lời
cảm ơn đến các thầy cô Bộ môn Toán, đặc biệt là cô Trần
Thị Thanh Thúy. Cô đã tận tình giúp đỡ và động viên để
em có thể hoàn thành bài luận văn này từ việc chọn đề tài
đến nội dung, hình thức. Và em cũng gửi lời cảm ơn đến
gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong thời
gian qua.
Vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên mặc dù
bản thân đã cố gắng hết sức nhưng bài luận văn vẫn còn
nhiều thiếu sót. Mong nhận được ý kiến đóng góp quý
báu từ các quý Thầy cô và các bạn.
Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất cả mọi
người đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn
thành luận văn tốt nghiệp toàn khóa.
Sinh viên thực
hiện.
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Ngày nay, Giải tích Toán học đã có sự biến đổi mạnh mẽ. Trong đó, lĩnh vực
phương trình vi phân không ngừng được phát triển vì nó có rất nhiều ứng dụng thực tiễn.
Vì thế, các nhà toán học đã nghiên cứu nhiều phương pháp để giải phương trình vi phân
như phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Laplace hay ứng dụng tin học để giải. Trong số
đó, phương pháp vận dụng chuỗi để giải phương trình vi phân là một phương pháp hay

nhưng em không được học trong chương trình đại học. Nhờ cô Trần Thị Thanh Thúy đã
gợi ý và tận tình hướng dẫn nên em đã chọn đề tài “Giải phương trình vi phân bằng
phương pháp chuỗi” để hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Thực hiện đề tài “Giải một số phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi”, em
hướng đến mục đích là rèn luyện khả năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề
Toán học còn khá mới đối với bản thân. Từ đó, hình thành khả năng trình bày một vấn đề
Toán học trừu tượng một cách logic và có hệ thống. Luận văn nhằm nghiên cứu những lớp
phương trình vi phân có thể ứng dụng phương pháp chuỗi để giải trên cơ sở tổng hợp lại
các khái niệm, định lý, tính chất của chuỗi lũy thừa và phương trình vi phân. Thực hiện bài
luận văn này, em có cơ hội củng cố lại những kiến thức về phương trình vi phân, lý thuyết
chuỗi và làm quen với cách nghiên cứu khoa học một vấn đề của toán học.
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Các phương pháp được sử dụng trong quá trình hoàn thành luận văn là: Tìm kiếm,
tổng hợp các tài liệu từ giáo trình, sách vở, các trang web về phương trình vi phân, chuỗi
lũy thừa, nghiệm chuỗi của phương trình vi phân…. Sau đó, phân tích, tổng hợp để trình
bày rõ ràng, hợp logic các vấn đề.
4. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
4
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
• Nhận đề tài.
• Sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài.
• Lập đề cương chi tiết.
• Nghiên cứu, khai thác, phân tích đề tài.
• Thực hiện đề tài.
• Trình bày và thông qua GVHD.
• Chỉnh sửa và hoàn chỉnh luận văn.
• Báo cáo luận văn.
5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Với thời gian và kiến thức có hạn, trong luận văn này em chỉ trình bày các khái
niệm, thừa nhận các định lý liên quan đến đề tài mà không chứng minh. Đề tài tập trung
vào phương pháp chuỗi lũy thừa và mở rộng là phương pháp Frobenius.
6. NỘI DUNG LUẬN VĂN
Luận văn được chia làm 3 chương như sau:
Chương 1: Kiến thức cơ bản
Chương này chủ yếu trình bày các khái niệm và định lý cơ bản về chuỗi lũy thừa và
phương trình vi phân làm nền tảng cho các chương sau.
Chương 2: Giải phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
Chương này trình bày các vấn đề phương pháp chuỗi lũy thừa, phương pháp
Frobenius. Đây là nội dung chính của luận văn.
Chương 3: Các bài toán
Chương này trình bày các bài toán với lời giải vận dụng từ các phương pháp được
trình bày trong chương 2.
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
5
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
PHẦN NỘI DUNG
Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. CHUỖI LŨY THỪA
1.1 Định nghĩa 1
Chuỗi lũy thừa theo x − x
0
(hoặc chuỗi luỹ thừa tâm tại x
0
) là chuỗi hàm có dạng:

( ) ( ) ( )
+−+−+=−
∑

∞
=
2
02010
0
0
xxaxxaaxxa
n
n
n

(1.1)
ở đó các a
n
( n = 0, 1, 2, ...) là các hằng số và được gọi là các hệ số của chuỗi.
Đặc biệt, khi
0
0
=
x
ta được chuỗi
∑
∞
=0n
n
n
xa
(1.2) và được gọi là chuỗi MacLaurin.
1.2 Khoảng hội tụ
Chuỗi (1.1)


luôn hội tụ tại
0
xx =
.

Tập hợp tất cả các điểm
x

tại đó chuỗi lũy thừa hội tụ là một khoảng có tâm tại
0
xx
=
. Khoảng này được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa.
∆ Định lý 1 Đối với chuỗi luỹ thừa
0
0
( )
n
n
n
a x x
∞
=
−
∑
, chỉ có một trong 3 khả năng sau:
(i) Chuỗi hội tụ chỉ tại
0
.x x

=
(ii) Chuỗi hội tụ với mọi x.
(iii) Chuỗi hội tụ trong một khoảng tâm tại
0
x
:
[ ]
RxRx
+−
00
,
, hoặc
[
)
RxRx
+−
00
,
,
hoặc
(
]
RxRx
+−
00
,
, hoặc
( )
0 0
, .x R x R− +

Số
R
trong trường hợp (iii) được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. Trong
trường hợp (i) ta nói
0
=
R
, trường hợp (ii) ta nói
.R
= +∞
* Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa được tính bởi một trong hai công thức sau:
1
lim
+
∞→
=
n
n
n
a
a
R
,
(1.3)
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
6
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
.
1
lim

n
n
n
a
R
∞→
=

(1.4)
1.3 Các tính chất của chuỗi lũy thừa
Để đơn giản, ta xét các chuỗi lũy thừa với
0
0
=
x
, tức là chuỗi có dạng

+++=
∑
∞
=
2
210
0
xaxaaxa
n
n
n



Một chuỗi lũy thừa xác định một hàm số trên khoảng hội tụ của nó.
Tính chất 1. Giả sử
0
( )
n
n
n
f x a x
∞
=
=
∑
và
0
( )
n
n
n
g x b x
∞
=
=
∑
. Khi đó
f(x) + g(x) =
0
( )
n
n n
n

a b x
∞
=
+
∑
Tính chất 2. Với c là hằng số và n là số nguyên, ta có:
cx
m

0 0
n n m
n n
n n
a x ca x
∞ ∞
+
= =
=
∑ ∑
.
Tính chất 3. Nếu
0
( )
n
n
n
f x a x
∞
=
=

∑
với −R < x < R thì
f '(x) =
1
1
n
n
n
na x
∞
−
=
∑
= a
1
+ 2a
2
x + . . . với −R < x < R.
Bằng cách lặp lại tính chất này , ta được:
f
(k)
(x) =
( )( ) ( )
.121
∑
∞
=
−
+−−−
kn

kn
n
xaknnnn 
1.4 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa
Nếu một chuỗi lũy thừa
( )
∑
∞
=
−
0
0
n
n
n
xxa
có bán kính hội tụ
0
>
R
thì tổng của chuỗi
này xác định một hàm số
( )
xf
trên
( )
RxRx
+−
00
,

. Khi đó,
( )
xf
được gọi là khai triển
được thành chuỗi lũy thừa.
Hàm số
( )
xf
và các hệ số của chuỗi này có liên hệ với nhau như thế nào ?
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
7
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
Định lý sau sẽ trả lời cho câu hỏi này.
∆ Định lý 2 Giả sử chuỗi

( ) ( ) ( ) ( )
+−+−+=−=
∑
∞
=
2
020100
0
xxaxxaaxxaxf
n
n
n
(1.5)

hội tụ về

( )
xf
với
.0,
00
>+<<− RRxxRx
Khi đó:
( )
( )
!
0
k
xf
a
k
k
=
với
,3,2,1,0
=
k


* Nếu
( )
xf
có đạo hàm mọi cấp tại
0
xx
=

thì chuỗi

( )
( )( )
∑
∞
=
−
0
00
!
n
n
n
n
xxxf
(1.6)
được gọi là chuỗi Taylor của
f
theo các lũy thừa của
( )
.
0
xx
−
∆ Định lý 3 (Điều kiện khai triển thành chuỗi Taylor)
Giả sử
( )
xf
khả vi vô hạn lần và tồn tại

C
:
( )
( )
( )
0
, ,
n
o
f x C x x R x R
≤ ∀ ∈ − +
Khi đó, ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
0
0 0 0
0
, , .
!
n
n
n
f x
f x x x x x R x R
n
∞
=

= − ∈ − +
∑
□ Định nghĩa hàm giải tích
Một hàm số
( )
xf
là giải tích tại
0
xx
=

nếu
( )
xf
là tổng của chuỗi lũy thừa theo
các lũy thừa của
( )
0
xx −
và chuỗi này có bán kính hội tụ
0
>
R
.
Nếu
f
là giải tích tại mọi điểm trong khoảng mở
I
thì
f

được nói là giải tích trên
khoảng I này.
1.5 Một vài khai triển cơ bản
Sau đây là khai triển một số hàm sơ cấp đơn giản và thông dụng nhất:

....,
!
....
!2!1
1
2
Rx
n
xxx
e
n
x
∈∀+++++=
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
8
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
+++=
+
=
−
!4!2
1
2
42
xxee

xch
xx
+++=
−
=
−
!5!3
1
2
53
xxee
xsh
xx
( )
( )
....,
!2
1...
!4!2
1cos
242
Rx
n
xxx
x
n
n
∈∀+−+++−=
( )
( )

....,
!12
1...
!5!3
sin
1253
Rx
n
xxx
xx
n
n
∈∀+
+
−+++−=
+
( ) ( ) ( )
.1,1...,1...
2
1ln
1
2
−∈∀+−++−=+
−
x
n
xx
xx
n
n

( )
( ) ( ) ( )
( )
.1,1...,
!
1...1
...
!2
1
11
2
−∈∀+
+−−
++
−
++=+ xx
n
n
xxx
n
ααααα
α
α

2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
2.1 Khái niệm về phương trình vi phân
□ Định nghĩa 2
Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm phải tìm và
các đạo hàm của nó.
Phương trình vi phân có dạng:


( )
( )
0,,,,, =
′′′
m
yyyyxF 
. (1.7)
trong đó,
( )
xyy
=
là hàm cần tìm và nhất thiết phải có đạo hàm (đến cấp nào đó) của ẩn
y
.
Cấp của phương trình vi phân là
m

nếu
m

là cấp lớn nhất của đạo hàm của ẩn có
mặt trong phương trình.
Nghiệm của phương trình vi phân là hàm thay vào thỏa phương trình.
2.2 Phương trình vi phân cấp một
□ Định nghĩa 3
Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng:

( )
0,, =

′
yyxF
(1.8)
hay
( )
yxfy ,
=
′
(1.9)
∆ Định lý 4 (Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm)
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
9
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
Cho phương trình
( )
yxfy ,=
′

Giả sử các hàm
( )
,, yxf
( )
yxf ,
′
liên tục trên hình chữ nhật
( )
dycbxaD
≤≤≤≤
,


và
( )
00
, yx
là điểm trong của
D
.
Khi đó, tồn tại nghiệm duy nhất
( )
xy
của (1.9) xác định và liên tục trong khoảng
( )
δδ
+−
00
, xx
(
0
>
δ
nào đó ) sao cho
( )
00
xyy
=
.
□ Định nghĩa 4
Nghiệm của phương trình vi phân (1.9) là hàm
( )
xfy

=
thay vào thỏa (1.9).
Nghiệm tổng quát của (1.9) là hàm
( )
Cxy ,
ϕ
=
thỏa (1.9) với mọi hằng số
C
.
Nghiệm riêng của (1.9) là nghiệm duy nhất
( )
0
,Cxy
ϕ
=
thỏa điều kiện ban đầu
( )
00
xyy =
. Nghiệm riêng có thể thu được từ nghiệm tổng quát bằng cách cho
0
CC
=
.
Bài toán tìm nghiệm riêng được gọi là Bài toán Cauchy.
2.3 Phương trình vi phân cấp hai
□ Định nghĩa 5
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng


( ) ( ) ( )
xfyxayxay
=+
′
+
′′
21
(1.10)
trong đó
( ) ( ) ( )
xfxaxa ,,
21
là các hàm của biến độc lập
x
.
Nếu
( )
0
=
xf
thì (1.10) trở thành

( ) ( )
0
21
=+
′
+
′′
yxayxay

(1.11)
được gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng của (1.10).
Nếu
( )
0
≠
xf
thì (1.10) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không
thuần nhất.
2.4 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất
• Tìm một nghiệm riêng
( )
xy
1
.
• Tìm một nghiệm riêng
( )
xy
2

độc lập tuyến tính với
( )
xy
1
bằng công thức sau:
( )
.
2
1
12

1
∫
∫
=
−
y
e
yy
dxxa
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
10
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
• Khi đó, nghiệm tổng quát của (1.20) là:
2211
yCyCy
+=
với
21
, CC
là các hằng số bất kỳ.
◙ Chú ý Công thức cho nghiệm y
2
(x) được tìm từ phương pháp sau:
Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp hai:

( ) ( )
0=+
′
+
′′

yxqyxpy

trên khoảng mở
I
mà trong đó các hàm
( )
xp
và
( )
xq
là các hàm số liên tục.
Giả sử ta đã biết nghiệm
( )
xy
1
của phương trình này.
Ta sẽ tìm nghiệm
( )
xy
2
, sao cho
( )
xy
2
và
( )
xy
1
tạo thành hệ nghiệm độc lập tuyến
tính.

Đặt
( )
( )
( )
xy
xy
xv
1
2
=
. Nếu ta biết
( )
xv
thì
( )
xy
2
sẽ tìm theo công thức:

( ) ( ) ( )
xyxvxy
12
=

Thay biểu thức
2
y
vào phương trình đã cho với
112
yvyvy

′
+
′
=
′
và
1112
2 yvyvyvy
′′
+
′′
+
′′
=
′′
.
Ta được:
[ ] [ ]
1 1 1 1 1
2 ( ) ( ) 0vy v y v y p x vy v y q x vy
′′ ′ ′ ′′ ′ ′
+ + + + + =
.
Do
1
y
là nghiệm phương trình đã cho nên:
1 1 1
2 ( ) 0v y v y p x v y
′′ ′ ′ ′

+ + =
.
Đặt
uv =
′
với giả thiết
( )
xy
1
không triệt tiêu trên I. Khi đó, phương trình trên
trở thành
( )
1
1
2 0
y
u p x u
y
 
′
′
+ + =
 
 
.
Giải phương trình này ta nhận được
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
11
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
( )

Kdx
y
e
Cv
y
y
dxxp
+
∫
==
∫
−
2
11
2
.
Chọn
0,1 == KC
ta có:

2
y
chính là nghiệm độc lập tuyến tính với nghiệm y
1
(x).
∆ Định lý 5 Nếu
( ) ( )
xyxy
21
,

là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình:
( ) ( )
0
=+
′
+
′′
yxqyxpy
thì
( )
2121
2121
yyyy
yyyy
xp
′
−
′
′′
−
′′
−=
và
( )
2121
2121
yyyy
yyyy
xq
′

−
′
′′′
−
′′′
=
.
2.5 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất
• Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (1.11)
.
2211
yCyCy
+=
• Tìm nghiệm riêng của phương trình (1.10) có dạng:
( ) ( )
xByxAyY
21
+=
với
BA,
thỏa mãn hệ phương trình:
1 2
1 2
0
( )
A y B y
A y B y f x
′ ′
+ =



′ ′ ′ ′
+ =

• Khi đó, nghiệm tổng quát của (1.10) có dạng:
.Yyy
+=
2.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi
2.6.1 Phương trình thuần nhất
*Dạng:

0
=+
′
+
′′
qyypy
(1.12)
trong đó, p, q là hằng số.
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
12
( )
dx
y
e
yy
dxxp
∫
∫
=

−
2
1
12
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
*Cách giải:
Giải phương trình đặc trưng:

0
2
=++
qpkk
(1.13)
* Nếu (1.13) có hai nghiệm thực phân biệt
21
,kk
thì nghiệm tổng quát của (1.12)
là:
xkxk
eCeCy
21
21
+=
(
21
,CC
là hằng số tùy ý)
* Nếu (1.13) có nghiệm kép
21
kk

=
thì nghiệm tổng quát của (1.12) là:
( )
xk
exCCy
1
21
+=
* Nếu (1.13) có hai nghiệm phức liên hợp
βαβα
ikik
−=+=
21
,
thì nghiệm tổng quát của (1.12) là:
( )
.sincos
21
xCxCey
x
ββ
α
+=
2.6.2 Phương trình không thuần nhất
*Dạng:
( )
xfqyypy
=+
′
+

′′
(1.14)
trong đó, p, q là hằng số.
* Cách giải:
- Tìm nghiệm tổng quát
y
của phương trình thuần nhất tương ứng.
- Tìm một nghiệm riêng
Y
của (1.14)
a/ Trường hợp:
( ) ( )
xPexf
n
x
⋅=
α

trong đó,
( )
xP
n
là một đa thức bậc
n
và
α
là hằng số.
(i) Nếu
α
không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.13) thì tìm nghiệm

riêng dạng:
( )
xQeY
n
x
⋅=
α

( )
xQ
n
là một đa thức cùng bậc với
( )
xP
n
có
1
+
n
hệ số được xác định bằng
phương pháp hệ số bất định.
(ii) Nếu
α
là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (1.13) thì tìm nghiệm
riêng dạng:
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
13
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
( )
xQxeY

n
x
⋅=
α
với
( )
xQ
n
được xác định như trên.
(iii) Nếu
α
là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (1.13) thì nghiệm riêng:
( )
xQexY
n
x
⋅=
α
2

( )
(
n
Q x
là một đa thức cùng bậc với
( )
xP
n
có các hệ số được xác định bằng
phương pháp hệ số bất định).

b/ Trường hợp:
( ) ( ) ( ) ( )
cos sin 0
x
n m
f x e P x x Q x x
α
 
= ⋅ β + β β ≠
 
:
trong đó
( )
xP
n
,
( )
xQ
m
là các đa thức bậc n và m;
βα
,
là các hằng số.
(i) Nếu
βα
i
±
không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.13) thì tìm một
nghiệm riêng dạng:
( ) ( )

cos sin
x
r r
Y e A x x B x x
α
 
= ⋅ β + β
 
.
(ii) Nếu
βα
i
±
là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.13) thì tìm một nghiệm
riêng:
( ) ( )
cos sin
x
r r
Y xe A x x B x x
α
 
= ⋅ β + β
 
trong đó
( ) ( )
,
r r
A x B x
là các đa thức bậc

( )
nmr ,max
=
có các hệ số được tìm
bằng phương pháp hệ số bất định.
- Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất là:
Yyy
+=
.
2.7 Phương trình Cauchy-Euler
□ Định nghĩa 6 Phương trình Cauchy-Euler là phương trình có dạng:

0
01
2
2
=+
′
+
′′
ybyxbyxb
(1.15)
trong đó,
012
,, bbb
là các hằng số.
■ Cách giải:
Đổi biến
0
>=

t
ex
, (1.16)
Suy ra:
xt ln
=
(1.17)
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
14
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi

dt
dy
dx
dy
x =
(1.18)
và
dt
dy
dt
yd
dx
yd
x
−=
2
2
2
2

2
(1.19)
Thế (1.18) và (1.19) vào (1.15) ta được:

( )
0
021
2
2
2
=+−+ yb
dt
dy
bb
dt
yd
b
(1.20)
là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng số.
Giải (1.20) tìm được nghiệm
( )
tyy
=
Kết hợp (1.16) và (1.17), suy ra nghiệm
( )
xyy
=
của phương trình đã cho.
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
15

Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
Chương 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
CHUỖI
1. PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY THỪA
Một số phương trình vi phân có dạng rất đơn giản nhưng rất khó tìm nghiệm ở dạng
tổ hợp của các hàm số sơ cấp. Ví dụ như phương trình
02
=+
′
−
′′
yyxy
.
Phương trình này liên quan đến phương trình Schrödinger trong cơ học lượng tử và
một số phương trình vi phân khác nảy sinh từ các vấn đề, các bài toán của vật lý nên việc
giải các phương trình như dạng trên là rất quan trọng.
Vì vậy, cần thiết phải xây dựng các phương pháp để tìm nghiệm cho các phương
trình nói trên. Trong đó, phương pháp ứng dụng lý thuyết chuỗi để tìm nghiệm dưới dạng
chuỗi lũy thừa là phương pháp thông dụng nhất.
* Phương pháp chuỗi lũy thừa:
Phương pháp chuỗi lũy thừa là một phương pháp cơ bản để giải các phương trình vi
phân tuyến tính với hệ số là hàm số. Ý tưởng về phương pháp chuỗi lũy thừa cho việc giải
phương trình vi phân là đơn giản và tự nhiên.
Phương pháp này cho nghiệm của phương trình vi phân ở dạng lũy thừa:

( )
++++===
∑
∞
=

3
3
2
210
0
xcxcxccxcxyy
n
n
n
Cơ sở toán học của phương pháp này là thay biểu thức trên cùng với các đạo hàm
( ) ( ) ( )
∑∑
∞
=
−
∞
=
−
−=
′′
=
′
2
2
1
1
1,
n
n
n

n
n
n
xnncxynxcxy
, . . . vào phương trình vi phân và từ đó xác định
giá trị của các hằng số

10
,cc
.
1.1 Phương pháp hệ số bất định
Phương pháp này được minh họa qua các ví dụ sau.
▪ Ví dụ 1 Sử dụng phương pháp chuỗi để tìm nghiệm riêng của phương trình sau:
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
16
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
( )
,1
2
xyxyxy =+
′
+−
′′
với
( ) ( )
10,10 =
′
= yy
.
Một nghiệm theo các lũy thừa của

x
sẽ có dạng là:
( )
.
4
4
3
3
2
210
+++++= xcxcxcxccxy
với :
( )
,5432
4
5
3
4
2
321
+++++=
′
xcxcxcxccxy

( )
,201262
3
5
2
432

++++=
′′
xcxcxccxy
cũng hội tụ với mọi
x
.
Thế
yyy
′′′
,,
vào phương trình đã cho, ta được:
+++
2
432
1262 xcxcc

( )
( )
+++++−
3
4
2
321
4321 xcxcxccx

( )
.
4
4
3

3
2
210
2
xxcxcxcxccx =++++++ 
Sắp xếp các số hạng theo cùng lũy thừa của
x
, ta được:
( ) ( ) ( )
023121262
2
023412312
=++−−+−−−+− xccccxccccc
.
Do một chuỗi bằng 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của chuỗi đều bằng 0 nên
ta có:

⋅==−
2
,02
1
212
c
ccc

⋅
++
==−−−
6
12

,0126
12
3123
cc
cccc

⋅
−+
==+−−
12
23
,02312
023
40234
ccc
ccccc
Ta có:
( ) ( )
.0,0
10
cycy =
′
=
Kết hợp với điều kiện ban đầu, ta được:
.1,1
10
== cc
Suy ra:
⋅===
8

1
,
2
1
,
2
1
432
ccc
Vậy, nghiệm chuỗi cần tìm là:
( )
.,
822
1
432
∞<<∞−+++++= x
xxx
xxy 
▪ Ví dụ 2 Dùng chuỗi lũy thừa giải phương trình:
0
=+
′′
yy
.
Giả sử phương trình có nghiệm dạng:
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
17
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
y =
0

n
n
n
c x
∞
=
∑
.
Lấy vi phân từng số hạng chuỗi này, ta được:
y' = c
1
+ 2c
2
x + 3c
3
x
2
+ . . . =
1
1
n
n
n
nc x
∞
−
=
∑
,
y'' = 2c

2
+ 2.3c
3
x + . . . =
2
2
( 1)
n
n
n
n n c x
∞
−
=
−
∑
.
Thay vào phương trình đã cho, ta có:
.030201262
4
4
3
3
2
210
4
6
3
5
2

432
=+++++++++++
 xcxcxcxccxcxcxcxcc
Sắp xếp vế những số hạng trên theo số mũ tăng dần của x, ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.030201262
4
46
3
35
2
241302
=++++++++++
xccxccxccxcccc
Vì phương trình này thỏa với mọi x nên:
,030,020,012,06,02
4635241302
=+=+=+=+=+
cccccccccc
Từ đó:
.
30
1
,
20
1
,
12
1
,

6
1
,
2
1
4635241302
cccccccccc −=−=−=−=−=
Ta thấy:
2
c
biểu diễn qua
0
c
,
3
c

biểu diễn qua
1
c
. Và
4
c
biểu diễn qua
2
c
nhưng
2
c
biểu diễn qua

0
c
. Do đó:
.
24
1
2
1
12
1
12
00
2
4
cc
c
c =






−−=−=
Tương tự:
.
720
1
,
120

1
0615
cccc
−==
Nếu ta thế các giá trị từ
0
c
đến
6
c
vào y =
0
n
n
n
c x
∞
=
∑
và đặt
0
c
,
1
c
làm nhân tử chung
ta được:
( )
.
120

1
6
1
720
1
24
1
2
1
1
53
1
642
0






++−+






+−+−=  xxxcxxxcxy
◙ Chú ý Phương pháp này cho phép ta tìm được nhiều số hạng của nghiệm.
* Phương pháp sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều nếu ta tìm được dạng tổng quát

cho các hệ số
n
c
. Công việc này được tiến hành như sau:
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
18
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
Ta giải phương trình vi phân đã cho, nhưng lần này ta sử dụng ký hiệu tổng
∑
""
và
để thuận tiện cho việc so sánh các hệ số của y' , y'' dễ dàng hơn, ta đặt n’ = n – 2, nghĩa là
n = n’ + 2. Ta được :
( )( )
∑
∞
=
′
′
+
′
+
′
+
′
=
′′
0
2
.12

n
n
n
xcnny
Theo lý thuyết chuỗi lũy thừa, hai chuỗi
( )( )
∑
∞
=
′
′
+
′
+
′
+
′
0
2
12
n
n
n
xcnn
và
( )( )
∑
∞
=
+

++
0
2
12
n
n
n
xcnn
là như nhau. Nên
( )( )
∑
∞
=
+
++=
′′
0
2
12
n
n
n
xcnny
.
Kỹ thuật này rất quan trọng trong việc sử dụng phương pháp chuỗi.
Thay y, y' và y'' vào phương trình vi phân đã cho, ta được:
( )( )
[ ]
012
0

2
=+++
∑
∞
=
+
n
n
nn
xccnn
.
Một chuỗi lũy thừa đồng nhất bằng không khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó
bằng không. Do đó, các hệ số của
n
x
phải bằng 0:
( )( )
,2,1,0,012
2
==+⋅++
+
nccnn
nn
Suy ra:

( )( )
21
2
++
−=

+
nn
c
c
n
n
n = 0, 1, 2, 3, . . .
Nếu biết c
0
và c
1
thì các hệ số còn lại sẽ được xác định.
Với
.
2.1
,0
0
2
c
cn
−==
Với
.
3.2
,1
1
3
c
cn −==
Với

.
!44.3.2.14.3
,2
00
2
4
cc
c
cn ==−==
Với
.
!55.4.3.2.15.4
,3
11
3
5
cc
c
cn ==−==
Với
.
!66.5!.46.5
,4
00
4
6
cc
c
cn −=−=−==
Với

.
!77.6!.57.6
,5
11
5
7
cc
c
cn −=−=−==
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
19
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
Theo quy luật trên, ta có:
Với các hệ số chẵn:
( )
( )
.
!2
1
0
2
m
c
c
m
m
−=
Với các hệ số lẻ:
( )
( )

.
!12
1
1
12
+
−=
+
m
c
c
m
m
Do đó, nghiệm của phương trình đã cho là:
y = c
0
+ c
1
x + c
2
x
2
+ c
3
x
3
+ . . .
= c
0
( 1 −

2
2!
x
+
4
4!
x
−
6
6!
x
+ . . . +
2
( 1)
(2 )!
n
n
x
n
−
+ . . . )
+c
1
( x −
3 5 7 2 1
... ( 1) ...
3! 5! 7! (2 1)!
n
n
x x x x

n
+
+ − + + − +
+
)
= c
0
( )
( )
∑
∞
=
−
0
!2
1
n
n
n
n
x
+ c
1
( )
( )
∑
∞
=
+
+

−
0
12
!12
1
n
n
n
n
x
, với c
0
và c
1
là hai hằng số tùy ý.

► Nhận xét
* Chúng ta nhận thấy hai chuỗi tìm được ở trên chính là các chuỗi Maclaurin của
xcos
và
xsin
. Do đó, nghiệm của phương trình là:
1 2
cos sin .y C x C x
= +
* Tuy nhiên, có một số trường hợp khó có thể biểu diễn các nghiệm dạng chuỗi luỹ
thừa của các phương trình vi phân dưới dạng các hàm số sơ cấp đã biết.
Ví dụ sau minh họa điều này.
▪ Ví dụ 3
Giải phương trình:

02
=+
′
−
′′
yyxy
.
Giả sử nghiệm của phương trình có dạng:

.
0
∑
∞
=
=
n
n
n
xcy
Khi đó:
.
1
1
∑
∞
=
−
=
′
n

n
n
xncy

( ) ( )( )
∑∑
∞
=
+
∞
=
−
++=−=
′′
0
2
2
2
.121
n
n
n
n
n
n
xcnnxcnny
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
20
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
Thế

yyy
′′′
,,
vào phương trình và rút gọn, ta được:

2
0
[( 2)( 1) (2 1) ]
n
n n
n
n n c n c x
∞
+
−
+ + − −
∑
= 0 .
Do đó: (n+2)(n+1)c
n+2
− (2n−1)c
n
= 0.
Vậy: c
n+2
=
2 1
( 1)( 2)
n
n

c
n n
−
+ +
, n = 0, 1, 2, . . .
Với
.
2.1
,0
0
2
c
cn
−==
Với
.
3.2
,1
1
3
c
cn ==
Với
.
!4
3
4.3.2.1
3
4.3
3

,2
00
2
4
cc
c
cn −=−===
Với
.
!5
5.1
5.4.3.2.1
5
5.4
5
,3
11
3
5
cc
c
cn ====
Với
.
!6
7.3
6.5!.4
7.3
6.5
7

,4
00
4
6
cc
c
cn −=−===

. . . . . . . . . . . . .
Tổng quát, các hệ số được cho bởi:
( )
( )
,
!2
54...11.7.3
02
c
n
n
c
n
−
−=
( )
( )
2 1 1
1.5.9.13... 4 3
2 1 !
n
n

c c
n
+
−
=
+
Do đó, nghiệm của phương trình là:
( )
( )
+








−
−−=
∑
∞
=
2
22
0
!2
54....7.3
!2
1

1
n
n
x
n
n
xcy
( )
( )
.
!12
34...9.5.1
1
12
1








+
−
+
∑
∞
=
+

n
n
x
n
n
xc
► Nhận xét
Trong ví dụ này, hai chuỗi lũy thừa trong công thức nghiệm không thể được biểu
diễn dưới dạng các hàm số sơ cấp đã biết.
□ Định nghĩa 1 Hệ thức truy hồi giữa
,,,
210
ccc
là một phương trình có dạng
( )
11
,,,
−+++
=
mnnnmn
cccfc 
nghĩa là c
m+n
được xác định bởi m

số hạng trước nó.
* Số nguyên dương m là bậc của hệ thức truy hồi.
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
21
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi

Ví dụ:
( )( )
21
2
++
−=
+
nn
c
c
n
n

là hệ thức truy hồi bậc hai.
* Không có phương pháp tổng quát để tìm hệ thức truy hồi. Tuy nhiên, kỹ thuật
đơn giản thường làm là viết lại một cách khéo léo hệ thức truy hồi.
Điều này được minh hoạ qua các ví dụ sau:
* Hệ thức truy hồi
( )
,2,1
1
=−=
−
ncc
nn
có thể được viết lại dưới dạng:

( ) ( )
1
1

11
−
−
−=−
n
n
n
n
cc
, nên
( ) ( ) ( )
1 2
1 2 1 0
1 1 1 .
n n n
n n n
c c c c c
− −
− −
− = − = − = = − =

Do đó,
( )
0
1 .
n
n
c c
= −
* Hệ thức truy hồi

( )
,2,1
1
==
−
ncnc
nn
có thể được viết lại dưới dạng:
( )
1
!1!
−
−=
nn
cncn
, nên
( ) ( )
1 2 0
! 1 ! 2 ! .
n n n
n c n c n c c
− −
= − = − = =

Do đó, c
n
= c
0
/ 2
n

.
* Hệ thức truy hồi
( )( )
nn
ccnn
−=++
+
2
12
có thể được giải như sau:
Nếu
n
là số chẵn,
mn 2
=
, hệ thức truy hồi trên có thể được viết là :
( ) ( ) ( ) ( )
m
m
m
m
cmcm
222
1
!21!221
−=+−
+
+
, nên
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

.!221!21!221
022
1
222
1
ccmcmcm
m
m
m
m
m
m
==−−=−=+−
−
−
+
+

Do đó,
( ) ( )
!2/1
02
mcc
m
m
−=
Nếu n là số lẻ, n = 2m +1, hệ thức truy hồi trên có thể được viết là
( ) ( ) ( ) ( )
1232
1

!121!321
++
+
+−=+−
m
m
m
m
cmcm
, nên
( ) ( ) ( ) ( )
.!121!321
112#2
1
ccmcm
m
m
m
m
==+−=+−
++
+

Do đó,
( ) ( )
!.12/1
112
+−=
+
mcc

m
m
1.2 Phương pháp đạo hàm liên tiếp
Để đơn giản ta trình bày phương pháp này cho các phương trình cấp hai. Các
phương trình cấp khác được trình bày tương tự.
* Xét phương trình

( )
yyxfy
′
=
′′
,,
(2.1)

( )
00
yxy
=
,
( )
00
yxy
′
=
′
(2.2)
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
22
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi

trong đó, hàm số
f
và các đạo hàm riêng của nó liên tục trong miền mở
D

chứa điểm
( )
000
,, yyx
′
.
Vấn đề trước tiên là tìm
( )
( )
2,1,0,
0
=
nxy
n
với
( )
0
xy
,
( )
0
xy
′
đã biết.
Để tìm

( )
0
xy
′′
chỉ việc cho
0
xx =
,
0
yy
=
,
0
yy
′
=
′
vào (2.1) ta được

( ) ( )
0000
,, yyxfxy
′
=
′′
(2.3)
Tiếp theo để tìm
( )
0
xy

′′′
, ta đạo hàm (2.1)

( )
+
′
∂
∂
=
′′′
yyx
x
f
y ,,
( )
+
′′
∂
∂
yyyx
y
f
,,
( )
, ,
'
f
x y y y
y
∂

′ ′′
∂
(2.4)
rồi cho
0
xx
=
,
0
yy
=
,
0
yy
′
=
′
,
( )
00
xyyy
′′
=
′′
=
′′
( theo (2.3)) vào (2.4) ta được
( ) ( )
+
′

∂
∂
=
′′′
0000
,, yyx
x
f
xy
( )
+
′′
∂
∂
0000
,, yyyx
y
f
( )
.,,
0000
yyyx
y
f
′′′
∂
∂
Tiếp tục quá trình đó ta lần lượt tìm được
( )
( )

0
xy
n
, với mọi
n
. Tiếp đến thiết lập
chuỗi Taylor rồi tìm khoảng hội tụ của nó. Cuối cùng là kiểm tra xem chuỗi đó có phải là
nghiệm hay không.
Phương pháp này được minh họa qua các ví dụ sau:
▪ Ví dụ 4 Xét phương trình
xyy =
′
,
( )
.10
=
y
Ta có ngay
( )
00
=
′
y
, dễ thấy rằng
( ) ( )
( )
( )
.21
21
≥−+=

−−
nynxyy
nnn
Từ đấy, ta được
( )
( )
( ) ( )



=−−
+=
=
.2,13212
12,0
0
mnmm
mn
y
n

Vậy ta có chuỗi lũy thừa quanh
0
0
=
x
là:
( )
( )
( ) ( )( )

[ ]
( )
∑∑ ∑
∞
=
∞
=
∞
=
=
−−
+==
0
2
0 1
2
!2!2
13212
1
!
0
k
k
k
n k
kn
n
k
x
x

k
kk
x
n
y
xz

Ta có:
( )
( )
( )
( )
∑∑∑
∞
=
∞
=
−
−
∞
=
−
==
−
==
′
om
m
m
k

k
k
k
k
k
xxz
m
x
x
k
x
x
k
xk
xz
!2!12!2
2
2
1
1
12
1
12
Vậy
( )
xz
là nghiệm của phương trình.
▪ Ví dụ 5 Sử dụng phương pháp chuỗi để tìm một nghiệm riêng của phương trình sau:
( )
xyxyxy =+

′
+−
′′
2
1
,
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
23
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
với
( ) ( )
10,10 =
′
= yy
.
Bài toán này đã được giải bằng phương pháp hệ số bất định.
Ta có:
( ) ( ) ( )
xxQxxfxxf =−−== ,1,
1
2
0
. Vì các hàm này đều là các đa thức, nên
nghiệm chuỗi nhận được sẽ hội tụ với mọi
x
.
Điều kiện ban đầu cho ta giá trị của nghiệm và đạo hàm tại
0
=
x

nên ta sẽ tìm
nghiệm dưới dạng chuỗi Maclaurin là:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
++
′′′
+
′′
+
′
+=
4
4
32
!4
0
!3
0
!2
0
00 x
y
x
y
x
y
xyyxy
.

Thế
1,1,0 =
′
== yyx
vào phương trình đã cho, ta được:
( )
,010 =−
′′
y
hay
( )
10 =
′′
y
.
Để tìm
( )
0y
′′′
,
( )
( )
0
4
y
ta lấy đạo hàm hai vế của phương trình đã cho, ta được:
( )
121
2
=+

′
+
′
−
′′
+−
′′′
xyyxyyxy
.
Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế của phương trình này ta được:
( )
( )
02421
24
=+
′
+
′′
+
′′
−
′′′
+− yyxyxyyxy
.
Kết hợp với
1,1,1,0 =
′′
=
′
== yyyx

, ta suy ra:
( )
30 =
′′′
y
,
( )
( )
30
4
=y
.
Từ đó, ta được:
( )
,,
822
1
432
∞<<∞−+++++= x
xxx
xxy 
là nghiệm chuỗi với năm số hạng đầu tiên thỏa yêu cầu bài toán.
◙ Chú ý
( ) ( ) ( )
xQxfxf ,,
10
trong ví dụ trên được trình bày trong định lý sau đây.
1.3 Điều kiện tồn tại nghệm dạng chuỗi
□ Định nghĩa điểm chính qui
Điểm

0
xx =
được gọi là điểm chính qui ( điểm thông thường) của phương trình vi
phân tuyến tính

( )
( )
( )
( ) ( )
xQxFyFyxFy
n
n
n
=++++
−
−
01
1
1


nếu các hàm
,,,,
110 −n
FFF 
và
Q
đều giải tích tại
0
xx =

.
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
24
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
∆ Định lý 1 Cho phương trình vi phân tuyến tính có dạng:
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
xQyxfyxfyxfy
n
n
n
=+
′
+++
−
− 01
1
1

Nếu mỗi hàm
( ) ( ) ( ) ( )
xQxfxfxf
n
,,,,
110 −

trong phương trình trên đều giải tích tại
0

xx =
thì phương trình trên luôn có nghiệm
( )
xy
cũng giải tích tại
0
xx =
và thỏa
n

điều kiện ban đầu là:
( )
00
axy =
,
( )
,,
10
axy =
′
( )
( )
10
1
−
−
=
n
n
axy

.
1.4 Cách tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa của phương trình vi phân tuyến tính
Để dễ hình dung, phần sau đây nêu cách tìm nghiệm dạng chuỗi của phương trình vi
phân tuyến tính cấp hai.
* Để tìm nghiệm chuỗi lũy thừa của phương trình

( ) ( ) ( )
0
012
=+
′
+
′′
yxayxayxa
(2.5)
quanh
0
0
=
x
, trong đó
( ) ( )
,,
12
xaxa
( )
xa
0
là các đa thức của
x

và
( )
00
2
≠
a
, ta thực hiện
theo các bước sau:
* Giả sử nghiệm chuỗi có dạng:
∑
∞
=
=
0n
n
n
xcy
.
* Thay y và các đạo hàm thích hợp vào phương trình đã cho.
* Kết hợp các số hạng và đưa về cùng một dạng của số mũ trong mỗi chuỗi sau khi
đổi các chỉ số của tổng
* Để chỉ số dưới của tất cả các chuỗi bắt đầu với cùng một số nguyên.
* Cho hệ số của mỗi lũy thừa của x bằng không, từ đó nhận được hệ thức truy hồi.
* Tìm các số hạng trong nghiệm chuỗi hoặc tìm một công thức tổng quát cho c
n
.
* Kiểm tra sự hội tụ của các chuỗi.
◙ Chú ý
Nếu điều kiện ban đầu được cho với một giá trị đặc biệt của x thì giá trị này được sử
dụng cho x

0
, nghĩa là ta sẽ dùng chuỗi
( )
∑
∞
=
−=
0
0
n
n
n
xxcy
. Trong trường hợp này có hai cách
để làm:
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
25