I.ĐẠI SỐ
CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Bất phương trình
Khái niệm bất phương trình.
Nghiệm của bất phương trình.
Bất phương trình tương đương.
Phép biến đổi tương đương các bất phương
trình.
2. Dấu của một nhị thức bậc nhất
Dấu của một nhị thức bậc nhất.
Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn.
3. Dấu của tam thức bậc hai
Dấu của tam thức bậc hai.
Bất phương trình bậc hai.
Bài tập.
1. Xét dấu biểu thức
f(x) = (2x - 1)(5 -x)(x - 7).
g(x)=
1 1
3 3
−
− +
x x
h(x) = -3x
2
+ 2x – 7
k(x) = x
2
- 8x + 15
2. Giải bất phương trình
a)

1
7) -x)(x - (5
−
x
> 0
b) –x
2
+ 6x - 9 > 0;
c) -12x
2
+ 3x + 1 < 0.
d)
3 1
2
2 1
− +
≤ −
+
x
x
e)
2 2
3 1 2 1
+ −
≤
+ −
x x
x x
f/
1 1 1

1 2 2
+ >
− + −
x x x
g) (2x - 8)(x
2
- 4x + 3) > 0
h)
2
11 3
0
5 7
x
x x
+
>
− + −
k)
2
2
3 2
0
1
x x
x x
− −
≤
− + −

l). (1 – x )( x

2
+ x – 6 ) > 0
m).
1 2
2 3 5
+
≥
+ −
x
x x

3. Giải bất phương trình
a/
3 1
− ≥ −
x
b/
5 8 11
− ≤
x
c/
3 5 2
− <
x
d/
2 2 3
− > −
x x
e/
5 3 8

+ + − ≤
x x
4) Giải hệ bất phương trình sau
a)
5
6 4 7
7
8 3
2 5
2
x x
x
x

+ < +



+

< +


.
b)
( )
1
15 2 2
3
3 14

2 4
2
x x
x
x

− > +



−

− <


.
c)
3 1 2 7
4 3 2 19
x x
x x
+ ≥ +


+ < +

d)
2 3
1
1

( 2)(3 )
0
1
x
x
x x
x
+

>


−

+ −

<

−

5) Với giá trị nào của m, phương trình
sau có nghiệm?
a) x
2
+ (3 - m)x + 3 - 2m = 0.
b)
2
(m 1)x 2(m 3)x m 2 0− − + − + =
1
6) Cho phương trình :

2
( 5) 4 2 0m x mx m− − + − =
Với giá nào của m thì :
a) Phương trình vơ nghiệm
b) Phương trình có các nghiệm trái dấu
7) Tìm m để bpt sau có tập nghiệm là R:
a)
2 2
2x (m 9)x m 3m 4 0− − + + + ≥
b)
2
(m 4)x (m 6)x m 5 0− − − + − ≤

8) Xác định giá trị tham số m để phương
trình sau vơ nghiệm:
x
2
– 2 (m – 1 ) x – m
2
– 3m + 1 = 0.
9) Cho
f (x ) = ( m + 1 ) x
2
– 2 ( m +1) x – 1
a) Tìm m để phương trình f (x ) = 0 có
nghiệm
b). Tìm m để f (x)
≥
0 ,
∀ ∈ ¡x

CHƯƠNG 5. THỐNG KÊ
1.Bảng phân bố tần số - tần suất.
2. Biểu đồ
Biểu đồ tần số, tần suất hình cột.
Đường gấp khúc tần số, tần suất.
Biểu đồ tần suất hình quạt.
3. Số trung bình
Số trung bình.
Số trung vị và mốt.
4. Phương sai và độ lệch chuẩn của dãy số liệu thống kê
Bài tập.
1. Cho các số liệu ghi trong bảng sau
Thời gian hoàn thành một sản phẩm ở một nhóm công nhân (đơn vò:phút)
42 42 42 42 44 44 44 44 44 45
45 45 45 45 45 45 45 45 45 45
45 45 45 45 45 45 45 45 45 54
54 54 50 50 50 50 48 48 48 48
48 48 48 48 48 48 50 50 50 50
a/Hãy lập bảng phân bố tần số ,bảng phân bố tần suất.
b/Trong 50 công nhân được khảo sát ,những công nhân có thời gian hoàn thành một sản
phẩm từ 45 phút đến 50 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?
2. Chiều cao của 30 học sinh lớp 10 được liệt kê ở bảng sau (đơn vị cm):
145 158 161 152 152 167
150 160 165 155 155 164
147 170 173 159 162 156
148 148 158 155 149 152
2
152 150 160 150 163 171
a) Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp với các lớp là: [145; 155); [155; 165); [165;
175).

b) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột, đường gấp khúc tần suất
c) Phương sai và độ lệch chuẩn
3. Điểm thi học kì II môn Toán của một tổ học sinh lớp 10A (quy ước rằng điểm kiểm tra học
kì có thể làm tròn đến 0,5 điểm) được liệt kê như sau:
2 ; 5 ; 7,5 ; 8 ; 5 ; 7 ; 6,5 ; 9 ; 4,5 ; 10.
a) Tính điểm trung bình của 10 học sinh đó (chỉ lấy đến một chữ số thập phân sau khi
đã làm tròn).
b) Tính số trung vị của dãy số liệu trên.
4. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau :
Thành tích chạy 500m của học sinh lớp 10A ờ trường THPT C. ( đơn vị : giây )
a). Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp :
[ 6,0 ; 6,5 ) ; [ 6,5 ; 7,0 ) ; [ 7,0 ; 7,5 ) ; [ 7,5 ; 8,0 ) ; [ 8,0 ; 8,5 ) ; [ 8,5 ; 9,0 ]
b). Vẽ biểu đồ tần số hình cột, đường gấp khúc về thành tích chạy của học sinh.
c). Tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn của bảng phân bố.
5 Số lượng khách đến tham quan một điểm du lịch trong 12 tháng được thống kê như ở bảng
sau:
Tháng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Số
khách
430 55
0
430 52
0
55
0
515 55
0
11
0
52

0
430 55
0
880

a). Lập bảng phân bố tần số, tần suất và tìm số trung bình

b). Tìm mốt, số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn.
CHƯƠNG 6. GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Góc và cung lượng giác
Độ và rađian.
Góc và cung lượng giác.
Số đo của góc và cung lượng giác.
Đường tròn lượng giác.
2. Giá trị lượng giác của một góc
(cung)
Giá trị lượng giác sin, côsin, tang,
côtang và ý nghĩa hình học.
Bảng các giá trị lượng giác của các góc
thường gặp.
Quan hệ giữa các giá trị lượng giác.
3. Công thức lượng giác
Công thức cộng.
3
Cụng thc nhõn ụi.
Cụng thc bin i tớch thnh tng.
Cụng thc bin i tng thnh tớch.
Bi tp
1. i s o ca cỏc gúc sau õy sang
ra-ian:

105 ; 108 ; 5737'.
2. Mt ng trũn cú bỏn kớnh 10cm.
Tỡm di ca cỏc cung trờn ng
trũn cú s o:
a)
12
7

b) 45.
3. cho sin =
5
3
; v


<<
2
a) Cho Tớnh cos, tan, cot.
b) Cho tan = 2 v
2
3


<<
Tớnh
sin, cos.
4. Chng minh rng:
a) (cotx + tanx)2 - (cotx - tanx)2 = 4;
b) cos4x - sin4x = 1 - 2sin2x
5. Chng minh rng trong tam giỏc ABC

ta cú:
a) sin(A + B) = sinC
b) sin






+
2
BA
= cos
2
C
6. Tớnh: cos105; tan15.
7. Tớnh sin2a nu sin - cos = 1/5
8. Chng minh rng:
cos4x - sin4x = cos2x.
Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn
Dạng



=+
=+
''' cybxa
cbyax
1. Giải hệ phơng trình
1)






=+
=+
3)12(4
12)12(
yx
yx
2)







=
=+
5
3
1
7
3
1
3
2
5

3
yx
yx
2. Giải và biện luận hệ phơng trình
1)



=+
=+
55
55
myx
ymx
2)



=++
=
mmyxm
myxm
3)1(
72)5(
3. Tìm giá trị của tham số để
hệ phơng trình có vô số nghiệm
1)




+=++
=++
23)12(
3)12(
mmyxm
mymmx
2)



=+
+=+
mnmynx
nmnymx
2
22

4. Tìm m để hai đờng thẳng sau song song

my
m
xmyx
=++=++
1
)1(,046
5. Tìm m để hai đờng thẳng sau cắt nhau trên Oy

mymxmmyx 3)32(,2
=+++=


Hệ gồm một phơng trình bậc nhất
vàmột phơng trình bậc hai hai ẩn
Dạng



=++++
=+
)2(
)1(
22
khygxeydxycx
cbyax
PP giải: Rút x hoặc y ở (1) rồi thế vào (2).
1. Giải hệ phơng trình
1)



=
=
423
532
22
yyx
yx
2)




=+
=+
5)(3
0143
yxxy
yx
3)



=+++
=
100121052
132
22
yxyxyx
yx
2. Giải và biện luận hệ phơng trình
4
1)



=+
=
22
12
22
yx
ymx

2)



=+
=
22
12
22
yx
ymx
3. Tìm m để đờng thẳng
0)1(88
=++
mymx
cắt
parabol
02
2
=++
xyx
tại hai điểm phân biệt.
Hệ phơng trình đối xứng loại I
Dạng



=
=
0),(

0),(
2
1
yxf
yxf
; với
),( yxf
i
=
),( xyf
i
.
PP giải: đặt
PS
Pxy
Syx
4;
2




=
=+
1. Giải hệ phơng trình
1)



=++

=++
7
5
22
xyyx
xyyx
2)



=+
=++
30
11
22
xyyx
xyyx
3)





=++
=+
931
19
2244
22
yxyx

xyyx
4)





=+
=+
243
2
111
33
yx
yx
5)







=









++
=








++
49
1
1)(
5
1
1)(
22
22
yx
yx
xy
yx
6)






=+
=+
2
5
17
22
y
x
y
x
yx
2. Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm
1)





=+
=+
myx
yx
66
22
1
2)




=++
=+++
mxyyx
yxyx
)1)(1(
8)
22
3. Cho hệ phơng trình



=++
=+
3
2
22
xyyx
myx

Giả sử
( )
yx;
là một nghiệm của hệ. Tìm m để biểu
thức F=
xyyx
+
22
đạt max, đạt min.
Hệ phơng trình đối xứng loại II
Dạng




=
=
0),(
0),(
xyf
yxf

PP giải: hệ tơng đơng



=
=
0),(),(
0),(
xyfyxf
yxf
hay



=
=+
0),(),(
0),(),(
xyfyxf
xyfyxf

1. Giải hệ phơng trình
1)





=
=
yxx
xyy
43
43
2
2
2)





=
=
yxyx
xxyy
3
3
2
2
3)






=+
=+
yxyx
xyxy
40
40
23
23
4)





+=
+=
yxx
xyy
83
83
3
3

2. Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất.
1)






=+
=+
myxx
myxy
2)(
2)(
2
2
2)





+=
+=
myyyx
mxxxy
232
232
4
4

Hệ phơng trình đẳng cấp (cấp 2)
Dạng






=++
=++
)2(''''
)1(
22
22
dycxybxa
dcybxyax
PP giải: đặt
txy
=
nếu
0

x
1. Giải hệ phơng trình
1)





=++
=++
932

222
22
22
yxyx
yxyx
2)





=+
=+
42
1332
22
22
yxyx
yxyx
3)





=
=+
16
17243
22

22
yx
yxyx
4)





=
=
137
15
2
22
xyy
yx
5
2. T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
1)





+=++
=++
myxyx
yxyx
1732

1123
22
22
2)





=+−
=+−
myxyx
yxyx
22
22
54
132
Mét sè HÖ ph¬ng tr×nh kh¸c
1. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh
1)



=+−
=−
7
1
22
yxyx
yx

2)



−=−
−=−−
180
49
22
xyyx
xyyx
3)



=−
=−
7
2)(
33
yx
yxxy
4)



=−+−
=+
0)(9)(8
012

33
yxyx
xy
5)





=−−
=+
21
1
22
yx
yx
6)





=+
=−
yxyx
xyxy
10)(
3)(2
22
22

2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh
1)





=−++
=+++
12
527
yxyx
yxyx
3)





=++
=
=++
7
14
2
222
zyx
yxz
zyx
2)






=−
+=+−+
523
5
3
2
323
22
yx
x
xyy

3. T×m m ®Ó hai ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung
a)
mx 31
=−
vµ
124
22
=−
mx
b)
01)2()1(
2
=−−−−

xmxm
vµ

012
2
=+−−
mxx
4. T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm



=+++
+=−
02
)1(
xyyx
xyayx






=++
=++
11
1
xy
myx
4. T×m m, n ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nhiÒu

h¬n 5 nghiÖm ph©n biÖt






+−=−++
=++
myxyyxmx
ynxyx
22
22
)(
1

6