Chứng minh bất đẳng thức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (125.2 KB, 5 trang )
Phần I. BẤT ĐẲNG THỨC
I. ĐỊNH NGHĨA: Cho A và B là hai biểu thức.
A > B; A < B; A
≤
B hoặc A ≥ B gọi là các bất đẳng thức.
II.TÍNH CHẤT:
1.Tính phản xạ:
A ,A A∀ ∈ ≤¡
2.Tính bắt cầu:
A B
A C
B C
≥
⇒ ≥
≥
3.Chuyển vế:
+ A ≥ B ⇔ A – B ≥ 0
+ A > A ⇔ A – B > 0
4.Cộng hai vế:
+ A ≥ B ⇔ A ± C ≥ B ± C
5.Cộng cùng chiều:
A< B , C < D
⇒
A + C < B + D
6.Nhân hai vế cùng một số khác 0
Cho A ≥ B
Nếu
C 0 : AC BC
> ≥
Nếu
C 0: AC BC
< ≤
7.Nhân hai vế hai bất đẳng thức cùng chiều:
A B 0
AC BD
C D 0
> >
⇒ >
> >
8.Nghịch đảo:
1 1
A B 0
A B
≥ > ⇔ ≤
9.Nâng luỹ thừa,lấy căn:
+
n n
A B 0 A B> > ⇒ >
+
n n
A B 0 A B> > ⇒ >
Chú ý:+
x y x y± ≤ +
+
x y x y− ≤ ±
III.CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC:
♦Phương pháp 1: BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.
Để chứng minh A > B ta chứng minh
A > B
⇔ A
1
> B
1
⇔ A
2
> B
2
Chứng minh bấy đẳng thức Trang 1 Biên soạn Nguyễn Văn Xê
...
⇔ A
n
> B
n
Nếu bất đẳng thức A
n
> B
n
đúng thì A > B đúng.
Ví dụ: Chứng minh với mọi a , b ta có:
2 2 2
a b c ab bc ca+ + ≥ + +
Giải:Ta có
2 2 2
a b c ab bc ca+ + ≥ + +
2 2 2
2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca⇔ + + ≥ + +
2 2 2
2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca 0⇔ + + − − − ≥
2 2 2 2 2 2
a 2ab b b 2bc c c 2ca a 0⇔ − + + − + + − + ≥
2 2 2
(a b) (b c) (c a) 0⇔ − + − + − ≥
Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức đã cho đúng.
♦Phương pháp 2:SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY.
Với n số không âm a
1
, a
2
,…, a
n
, ta có:
1 2 n
n
1 2 n
a a ... a
a a ...a
n
+ + +
≥
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi : a
1
= a
2
= … = a
n
Đặc biệt: Cho a , b không âm:
a b
ab
2
+
≥
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi : a = b
Ví dụ: Cho a, b, c > 0, CMR: (a + b)
1 1
4
a b
+ ≥
÷
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a , b
a b
ab
2
+
≥
a b 2 ab⇔ + ≥
(1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số
1 1
,
a b
1 1
1 1
a b
.
2 a b
+
≥
1 1 1 1
2 .
a b a b
⇔ + ≥
(2)
Nhân (1) và (2) ta được
(a + b)
1 1 1
2 ab.2 4
a b ab
+ ≥ =
÷
Vậy (a + b)
1 1
4
a b
+ ≥
÷
♦Phương pháp 3:SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACÔPKI.
Cho 2 cặp số: a
1
, a
2
, … , a
n
và b
1
, b
2
, … , b
n
, ta có:
Chứng minh bấy đẳng thức Trang 2 Biên soạn Nguyễn Văn Xê
(a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ … + a
n
b
n
)
2
≤ (
2
1
a
+
2
2
a
+…+
2
n
a
)(
2
1
b
+
2
2
b
+…+
2
n
b
)
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho: a
i
= kb
i
(∗) với
∀ i = 1, 2,…, n hay
a a
a
n
1 2
...
b b b
n
1 2
= = =
Ví dụ: Cho 2x + 3y = 1, chứng minh
2 2
1
4x 9y
2
+ ≥
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 4 số 1 , 2x , 1 , 3y, ta có:
2 2 2 2 2
(2x 3y) (1 1 )(4x 9y )+ ≤ + +
2 2
1
4x 9y
2
⇔ + ≥
♦Phương pháp 4:SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CỐSI-SVACXƠ.
Cho 2 cặp số: a
1
, a
2
, … , a
n
và b
1
, b
2
, … , b
n
, ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n
a b + a b + ... + a b a a ... a b b ... b≤ + + + + + +
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi:
a a
a
n
1 2
...
b b b
n
1 2
= = =
Ví dụ: Cho
2 2
x y 1+ =
.Chứng minh rằng:
2x 3y 13+ ≤
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi-Svacxơ cho 2,3,x,y ta có:
2 2 2 2
2x+3y 2 3 x y≤ + +
2x 3y 13⇔ + ≤
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi:
x y
2 3
=
và
2 2
x y 1+ =
Suy ra
2 3
x ;y
13 13
= =
hoặc
2 3
x ;y
13 13
= − = −
IV.BÀI TẬP:
1. Chứng minh
2 2 2
4ab 12bc 6ac a 4b 9c , a,b,c− + ≤ + + ∀
.
2. Chứng minh
4 4 4
a b c
a b c ,
abc
+ +
+ + ≤ ∀
a;b;c>0.
3.Cho a,b,c > 0,chứng minh:
a b c 3
b c c a a b 2
+ + ≥
+ + +
4. Chứng minh với mọi a,b,c > 0, ta có:
Chứng minh bấy đẳng thức Trang 3 Biên soạn Nguyễn Văn Xê
2 2 2
a b c a b c
b c c a a b 2
+ +
+ + ≥
+ + +
5.Cho a,b,c > 0, chứng minh:
3 5
2 a 3 b 5 ab+ ≥
6.Cho a> 1; b> 1;c>1. Chứng minh:
3abc
ca b 1 bc a 1 ab c 1
2
− + − + − ≤
7. Cho a, b, c ≥
1
4
−
, a + b + c = 3, chứng minh:
4a 1 4b 1 4c 1 3 5+ + + + + ≤
8.Cho a;b;c > 0 và a + b +c = 1 . Chứng minh:
1 1 1
1 1 1 64
a b c
+ + + ≥
÷ ÷ ÷
9. Cho a;b;c > 0 . Chứng minh:
a b c
1 1 1 8
b c a
+ + + ≥
÷ ÷ ÷
10.Cho a;b;c >0, a>c; b>c. Chứng minh:
a b
c(a c) c(b c)
2
+
− + − ≤
11. Cho a;b;c > 0 . Chứng minh:
3 3 3 2 2 2
a b c a bc b ca c ab+ + ≥ + +
12. Cho a;b;c > 0 . Chứng minh:
3 3 3 2 2 2
3(a b c ) (a b c)(a b c )+ + ≥ + + + +
13. Cho a;b;c > 0 . Chứng minh:
2 2 2
a b c 3
a 1 b 1 c 1 2
+ + ≤
+ + +
14. Cho a;b;c > 0 . Chứng minh:
17
12
5 a 12 b 17 ab+ ≥
15. Cho a;b;c > 0 . Chứng minh:
a b b c c a
6
c a b
+ + +
+ + ≥
16. Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z ≤ 1, chứng minh :
Chứng minh bấy đẳng thức Trang 4 Biên soạn Nguyễn Văn Xê
2 2 2
2 2 2
1 1 1
x y z 82
x y z
+ + + + + ≥
(Khối A- 2003)
17.Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1, chứng minh:
3 3 3 3 3 3
1 x y 1 y z 1 z x
3 3
xy yz zx
+ + + + + +
+ + ≥
(Khối D-2005)
18.Chứng minh với mọi x ta có:
x x x
x x x
12 15 20
3 4 5
5 4 3
+ + ≥ + +
÷ ÷ ÷
Dấu bằng xảy ra khi nào ? (Khối B -2005)
19.Cho x, y, z là 3 số dương và
1 1 1
4
x y z
+ + =
, chứng minh:
1 1 1
1
2x y z x 2y z x y 2z
+ + ≤
+ + + + + +
(Khối A -2005)
20. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn:
x(x+y+z) = 3yz,
Ta có (x + y)
3
+ (x + z)
3
+ 3(x + y)(x + z)(y + z) ≤ 5(y + z)
3
.
(Khối A- 2009)
Chứng minh bấy đẳng thức Trang 5 Biên soạn Nguyễn Văn Xê
