Tải bản đầy đủ (.docx) (5 trang)

Giải bài tập chứng minh phản chứng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (196.28 KB, 5 trang )

Phát triển tư duy Hình học 7

HƯỚNG DẪN GIẢI
Chuyên đề 6. CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG
6.1 (h.6.9)
Cho

,

cắt

minh

cắt

tại

. Ta phải chứng

. Giả sửa

không cắt

. Như vậy qua điểm
thẳng là



thì

có hai đường



cùng song song với

,

trái với tiên đề Ơcơlit. Vậy điều giả sử là sai, suy ra

cắt

.
Hình 6.9

6.2 (h.6.10)


Trường hợp đường thẳng
cắt nhau tại



đi qua



.

Trường hợp đường thẳng
Giả sửa

thì




cắt

tại

.

không cắt nhau thì chúng

song song với nhau. Vì
nhau.

nên

, trái với giả thiết. Vậy



phải cắt

Hình 6.10

6.3 (h.6.11)


Giả sử




trùng nhau. Như vậy, qua

đường thẳng là
thẳng (hoặc
nhau. (1)


Giả sử



cùng vuông góc với đường

), vô lí. Vậy

. Ta có



nên

(gt), như vậy qua điểm
đường thẳng

có hai

không trùng
. Mặt khác


có hai đường thẳng là

, vô lí. Vậy điều giả sử là sai, suy ra

Từ (1) và (2) suy ra

cắt




cùng vuông góc với
không song song (2).
Hình 6.11

.

6.4 (h.6.12)
Giả sử

. Trong góc
thì

(vì

vẽ tia
).

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”


Page. 1


Phát triển tư duy Hình học 7

Ta có
.
Do đó

hay

góc

. Điều này mâu thuẫn với giả thiết là

là góc nhọn. Vậy điều giả sử là sai, suy

ra
Hình 6.12



không song song.

6.5 (h.6.13)
Ta có

,
.


Do đó

.

Ta chứng minh

cắt nhau
bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử

. Ở trong góc
thì

(Vì

Ta có

ta

vẽ

)

(cặp góc so le trong)

Hình 6.13

(cặp góc so le trong)
Do đó


hay

trái với giả thiết là

Vậy điều giả sử là sai, suy ra hai đường thẳng



tù.
cắt nhau.

6.6 (h.6.14)
Trong số 50 đường thẳng vẽ qua

ít

nhất cũng có 49 đường thẩng cắt .
Ta chứng minh điều này bằng phản
chứng.
Giả sử có chưa đến

đường thẳng cắt

, suy ra ít nhất cũng còn 2 đường
thẳng không cắt

. Hai đường thẳng

này cùng đi qua điểm
song với


và cùng song

. ĐIều này vô lý vì nó trái với

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 2


Phát triển tư duy Hình học 7

tiên đề Ơclit. Vậy điều giả sử là sai, do đó có ít nhất cũng có 49 đường thẳng cắt
.
Nếu đường thẳng

thì số giao điểm của dường thẳng

thẳng đã vẽ ít nhất cũng là


Nếu đường thẳng

(điểm).

và đường thẳng

không

song song thì giao điểm của đường thẳng

đường thẳng

với các đường

với

cũng là giao điểm của đường thẳng

đó số giao điểm của đường thẳng

Hình 6.14

với đường thẳng

. Do

với các đường thẳng đã vẽ ít nhất cũng là

(điểm).
6.7. (h.6.8)
Giả sử

, suy ra

(vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).

Do đó

(cặp góc so le trong).


Điều này trái giả thiết.
Vậy điều giả sử là sai, do đó

.

6.8. (h.6.15)
9 đường thẳng cắt nhau tại
điểm trong chung.



Tổng của 18 góc này bằng

(*)

Nếu tất cả các góc đều nhỏ hơn

thì tổng của chúng

nhỏ hơn

, mâu thuẫn với (*). Vậy tồn tại một

góc lớn hơn hoặc bằng


tạo thành 18 góc không có

.


Nếu tất cả các góc đều lớn hơn

thì tổng của chúng lớn hơn

thuẫn với (*). Vậy tồn tại một góc nhỏ hơn hoặc bằng

, mâu

.

6.9. (h.6.16)

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 3


Phát triển tư duy Hình học 7

Gọi số đường thẳng vẽ qua

và cắt đường thẳng

cạnh đối diện nằm trên đường thẳng



. Số tam giác đỉnh

được tính theo công thức




.

Theo đề bài ta có
.
Vậy có 13 đường thẳng đi qua
có đường thẳng không cắt

và cắt đường thẳng

là 14.

14 đường thẳng này tạo nên 28 góc đỉnh
.

còn

. Theo tiên đề Ơ-clít chỉ có một đường thẳng như

thế. Vậy số đường thẳng đã vẽ qua

tổng số đo bằng

. Theo đề bài, qua

không có điểm trong chung và có

(*)


Vậy ít nhất phải có một góc nhỏ hơn hoặc bằng
có góc nào nhỏ hơn
, mâu thuẫn với (*).

vì nếu không

thì tổng của 28 góc này sẽ lớn hơn hoặc bằng

6.10. (h.6.17)


Điểm




không nằm giữa hai điểm
nằm trên tia

Giả sử điểm

do đó
(vì

,



thì


.
). Điều này vô lí vì

Vậy điều giả sử là sai, do đó điểm
Trong ba điểm

(1) vì

.

nằm giữa hai điểm

Suy ra



,

.

không nằm giữa hai điểm



. (2)

thẳng hàng phải có một điểm nằm giữa hai điểm còn lại

nên từ (1) và (2) suy ra điểm


nằm giữa



.

6.11. (h.6.18)
Giả sử hai tia

,

không đối nhau.

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 4


Phát triển tư duy Hình học 7

Ta vẽ tia

là tia đối của tia

Khi đó

(hai góc kề bù).

Mặt khác,

Suy ra

.

(gt).
(cùng bù với

phẳng bờ chứa tia

). Điều này vô lí vì trên cùng một nửa mặt

bao giờ cũng có một và chỉ một tia

Vậy điều giả sử là sai, do đó hai tia

,

sao cho

.

đối nhau.

6.12. Không thể xảy ra trường hợp mỗi đoạn thẳng cắt đúng 5 đoạn thẳng khác.
Ta chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử mỗi đoạn thẳng cắt đúng 5 đoạn thẳng khác.
Như vậy với cả 9 đoạn thẳng ta được

trường hợp hai đoạn thẳng cắt


nhau. Nhưng như thế thì mỗi trường hợp đã được tính hai lần (vì đoạn thẳng
cắt đoạn thẳng

thực sự chỉ có
là sai.

thì ngược lại, đoạn thẳng

cũng cắt đoạn thẳng

trường hợp hai đoạn thẳng cắt nhau. Vì

) do đó

nên điều giả sử

Do đó không thể xảy ra trường hợp mỗi đoạn thẳng cắt đúng 5 đoạn thẳng khác.

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 5



×