Giải bài tập chứng minh phản chứng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (196.28 KB, 5 trang )
Phát triển tư duy Hình học 7
HƯỚNG DẪN GIẢI
Chuyên đề 6. CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG
6.1 (h.6.9)
Cho
,
cắt
minh
cắt
tại
. Ta phải chứng
. Giả sửa
không cắt
. Như vậy qua điểm
thẳng là
và
thì
có hai đường
cùng song song với
,
trái với tiên đề Ơcơlit. Vậy điều giả sử là sai, suy ra
cắt
.
Hình 6.9
6.2 (h.6.10)
•
Trường hợp đường thẳng
cắt nhau tại
•
đi qua
và
.
Trường hợp đường thẳng
Giả sửa
thì
và
cắt
tại
.
không cắt nhau thì chúng
song song với nhau. Vì
nhau.
nên
, trái với giả thiết. Vậy
và
phải cắt
Hình 6.10
6.3 (h.6.11)
•
Giả sử
và
trùng nhau. Như vậy, qua
đường thẳng là
thẳng (hoặc
nhau. (1)
•
Giả sử
và
cùng vuông góc với đường
), vô lí. Vậy
. Ta có
và
nên
(gt), như vậy qua điểm
đường thẳng
có hai
không trùng
. Mặt khác
có hai đường thẳng là
, vô lí. Vậy điều giả sử là sai, suy ra
Từ (1) và (2) suy ra
cắt
và
và
cùng vuông góc với
không song song (2).
Hình 6.11
.
6.4 (h.6.12)
Giả sử
. Trong góc
thì
(vì
vẽ tia
).
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 1
Phát triển tư duy Hình học 7
Ta có
.
Do đó
hay
góc
. Điều này mâu thuẫn với giả thiết là
là góc nhọn. Vậy điều giả sử là sai, suy
ra
Hình 6.12
và
không song song.
6.5 (h.6.13)
Ta có
,
.
Do đó
.
Ta chứng minh
và
cắt nhau
bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử
. Ở trong góc
thì
(Vì
Ta có
ta
vẽ
)
(cặp góc so le trong)
Hình 6.13
(cặp góc so le trong)
Do đó
hay
trái với giả thiết là
Vậy điều giả sử là sai, suy ra hai đường thẳng
và
tù.
cắt nhau.
6.6 (h.6.14)
Trong số 50 đường thẳng vẽ qua
ít
nhất cũng có 49 đường thẩng cắt .
Ta chứng minh điều này bằng phản
chứng.
Giả sử có chưa đến
đường thẳng cắt
, suy ra ít nhất cũng còn 2 đường
thẳng không cắt
. Hai đường thẳng
này cùng đi qua điểm
song với
và cùng song
. ĐIều này vô lý vì nó trái với
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 2
Phát triển tư duy Hình học 7
tiên đề Ơclit. Vậy điều giả sử là sai, do đó có ít nhất cũng có 49 đường thẳng cắt
.
Nếu đường thẳng
thì số giao điểm của dường thẳng
thẳng đã vẽ ít nhất cũng là
•
Nếu đường thẳng
(điểm).
và đường thẳng
không
song song thì giao điểm của đường thẳng
đường thẳng
với các đường
với
cũng là giao điểm của đường thẳng
đó số giao điểm của đường thẳng
Hình 6.14
với đường thẳng
. Do
với các đường thẳng đã vẽ ít nhất cũng là
(điểm).
6.7. (h.6.8)
Giả sử
, suy ra
(vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).
Do đó
(cặp góc so le trong).
Điều này trái giả thiết.
Vậy điều giả sử là sai, do đó
.
6.8. (h.6.15)
9 đường thẳng cắt nhau tại
điểm trong chung.
•
Tổng của 18 góc này bằng
(*)
Nếu tất cả các góc đều nhỏ hơn
thì tổng của chúng
nhỏ hơn
, mâu thuẫn với (*). Vậy tồn tại một
góc lớn hơn hoặc bằng
•
tạo thành 18 góc không có
.
Nếu tất cả các góc đều lớn hơn
thì tổng của chúng lớn hơn
thuẫn với (*). Vậy tồn tại một góc nhỏ hơn hoặc bằng
, mâu
.
6.9. (h.6.16)
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 3
Phát triển tư duy Hình học 7
Gọi số đường thẳng vẽ qua
và cắt đường thẳng
cạnh đối diện nằm trên đường thẳng
là
. Số tam giác đỉnh
được tính theo công thức
có
.
Theo đề bài ta có
.
Vậy có 13 đường thẳng đi qua
có đường thẳng không cắt
và cắt đường thẳng
là 14.
14 đường thẳng này tạo nên 28 góc đỉnh
.
còn
. Theo tiên đề Ơ-clít chỉ có một đường thẳng như
thế. Vậy số đường thẳng đã vẽ qua
tổng số đo bằng
. Theo đề bài, qua
không có điểm trong chung và có
(*)
Vậy ít nhất phải có một góc nhỏ hơn hoặc bằng
có góc nào nhỏ hơn
, mâu thuẫn với (*).
vì nếu không
thì tổng của 28 góc này sẽ lớn hơn hoặc bằng
6.10. (h.6.17)
•
Điểm
và
•
không nằm giữa hai điểm
nằm trên tia
Giả sử điểm
do đó
(vì
,
và
thì
.
). Điều này vô lí vì
Vậy điều giả sử là sai, do đó điểm
Trong ba điểm
(1) vì
.
nằm giữa hai điểm
Suy ra
và
,
.
không nằm giữa hai điểm
và
. (2)
thẳng hàng phải có một điểm nằm giữa hai điểm còn lại
nên từ (1) và (2) suy ra điểm
nằm giữa
và
.
6.11. (h.6.18)
Giả sử hai tia
,
không đối nhau.
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 4
Phát triển tư duy Hình học 7
Ta vẽ tia
là tia đối của tia
Khi đó
(hai góc kề bù).
Mặt khác,
Suy ra
.
(gt).
(cùng bù với
phẳng bờ chứa tia
). Điều này vô lí vì trên cùng một nửa mặt
bao giờ cũng có một và chỉ một tia
Vậy điều giả sử là sai, do đó hai tia
,
sao cho
.
đối nhau.
6.12. Không thể xảy ra trường hợp mỗi đoạn thẳng cắt đúng 5 đoạn thẳng khác.
Ta chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử mỗi đoạn thẳng cắt đúng 5 đoạn thẳng khác.
Như vậy với cả 9 đoạn thẳng ta được
trường hợp hai đoạn thẳng cắt
nhau. Nhưng như thế thì mỗi trường hợp đã được tính hai lần (vì đoạn thẳng
cắt đoạn thẳng
thực sự chỉ có
là sai.
thì ngược lại, đoạn thẳng
cũng cắt đoạn thẳng
trường hợp hai đoạn thẳng cắt nhau. Vì
) do đó
nên điều giả sử
Do đó không thể xảy ra trường hợp mỗi đoạn thẳng cắt đúng 5 đoạn thẳng khác.
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 5
