Chuyên đề giới hạn dãy số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (681.21 KB, 44 trang )
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
TOÁN 11
1D4-1
ĐT:0946798489
GIỚI HẠN DÃY SỐ
TRUY CẬP ĐƯỢC NHIỀU
HƠN
Contents
PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1
DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT.................................................................................................................................. 1
DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC ...................................................................................................................... 2
Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu ................................................................................................................. 2
Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu .................................................................................................................... 4
Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu ................................................................................................................ 8
Dạng 1.4 Phân thức chứa căn ....................................................................................................................................... 9
DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC......................................................................................................................... 9
DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA....................................................................................................................... 11
DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG ...................................................................................................... 13
DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC ........................................................................................................................ 13
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .............................................................................................................................. 16
DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT................................................................................................................................ 16
DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC .................................................................................................................... 17
Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu ............................................................................................................... 17
Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu .................................................................................................................. 20
Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu .............................................................................................................. 25
Dạng 1.4 Phân thức chứa căn ..................................................................................................................................... 26
DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC....................................................................................................................... 26
DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA....................................................................................................................... 31
DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG ...................................................................................................... 33
DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC ........................................................................................................................ 34
PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1.
Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?.
A. Nếu lim un và limv n a 0 thì lim un vn .
u
B. Nếu lim un a 0 và limv n thì lim n 0 .
vn
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
u
C. Nếu lim un a 0 và limv n 0 thì lim n
vn
.
u
D. Nếu lim un a 0 và limv n 0 và vn 0 với mọi n thì lim n
vn
Câu 2.
Tìm dạng hữu tỷ của số thập phân vô hạn tuần hoàn P 2,13131313... ,
A. P
Câu 3.
.
212
99
B. P
213
.
100
C. P
211
.
100
D. P
211
.
99
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Ta nói dãy số un có giới hạn là số a (hay un dần tới a ) khi n , nếu lim un a 0 .
n
B. Ta nói dãy số un có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có thể lớn hơn một số dương
tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
C. Ta nói dãy số un có giới hạn khi n nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể
từ một số hạng nào đó trở đi.
D. Ta nói dãy số un có giới hạn khi n nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể
từ một số hạng nào đó trở đi.
Câu 4.
Cho các dãy số un , vn và lim un a, lim vn thì lim
A. 1.
Câu 5.
B. 0 .
un
bằng
vn
C. .
D. .
Trong các khẳng định dưới đây có bao nhiêu khẳng định đúng?
(I) lim n k với k nguyên dương.
(II) lim q n nếu q 1 .
(III) lim q n nếu q 1
B. 1 .
A. 0 .
Câu 6.
Câu 7.
C. 3 .
1
với mọi n * . Khi đó
n3
A. lim un không tồn tại. B. lim un 1 .
C. lim un 0 .
D. 2 .
Cho dãy số un thỏa un 2
D. lim un 2 .
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Phát biểu nào sau đây là sai?
A. lim un c ( un c là hằng số ).
C. lim
1
0 .
n
D. lim
B. lim q n 0 q 1 .
1
0 k 1 .
nk
DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC
Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 8.
n 1
.
n3 3
C. L 3.
(THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Tính L lim
A. L 1.
Câu 9.
ĐT:0946798489
B. L 0.
(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) lim
A. 0 .
B.
1
.
7
A.
B.
.
Câu 11. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) lim
A.
1
.
2
1
bằng
5n 3
1
.
3
Câu 10. (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) lim
C. .
1
.
5
1
.
5
D. 0 .
1
bằng
2n 5
B. 0 .
B. 0 .
D.
1
bằng
2n 7
1
C. .
2
Câu 12. (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) lim
A.
D. L 2.
C. .
D.
1
bằng
5n 2
1
C. .
2
1
.
5
D. .
Câu 13. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Tìm I lim
A.
7
.
3
2
B. .
3
7 n 2 2n 3 1
.
3n3 2n 2 1
D. 1 .
C. 0 .
2n 2 3
bằng:
n6 5n5
3
C.
.
5
Câu 14. (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) lim
A. 2 .
B. 0 .
2018
n bằng
Câu 15.
A. .
B. 0 .
D. 3 .
lim
D. .
C. 1 .
2n 1
?
2 n n2
D. L 0 .
Câu 16. (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Tính giới hạn L lim
A. L .
B. L 2 .
C. L 1 .
Câu 17. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
1 2n
n2 2
n 2 2n
1 2n 2
u
A. un
.
B.
u
.
C.
.
D.
u
.
n
n
n
5n 3n2
5n 3n 2
5n 3n 2
5n 3n 2
Câu 18. (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Tính I lim
A. I .
B. I 0 .
C. I .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
2n 3
2n 3n 1
D. I 1 .
2
3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 19. Tìm lim un biết un
A.
3
.
4
ĐT:0946798489
1
1
1
2
... 2
.
2 1 3 1
n 1
3
2
B. .
C.
5
3
2
D.
4
.
3
1
1
1
1
...
Câu 20. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn lim
.
1.2
2.3
3.4
n
n
1
3
A. 0 .
B. 2 .
C. 1 .
D. .
2
Câu 21. (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN
1
1
1
L lim
...
1 2 ... n
1 1 2
5
A. L .
B. L .
2
Câu 22. Với n là số nguyên dương, đặt Sn
CHÁNH
-
PHÚ
YÊN
-
2018)
Tìm
3
D. L .
2
C. L 2 .
1
1
1
...
. Khi đó
1 2 2 1 2 3 3 2
n n 1 n 1 n
lim Sn bằng
A.
1
2 1
B.
1
.
2 1
C. 1 .
D.
1
.
22
cos n sin n
.
n2 1
D. .
Câu 23. (THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Tính giá trị của lim
A. 1.
B. 0.
Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu
C. .
Câu 24. (THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Giá trị của lim
A. 1 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 0 .
Câu 25. (THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Kết quả của lim
A.
1
.
3
1
B. .
3
C. 2 .
Câu 26. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tìm giới hạn I lim
2
A. I .
3
B. I 1 .
2n
bằng
n 1
n2
bằng:
3n 1
D. 1 .
3n 2
.
n3
C. I 3 .
D. k .
Câu 27. (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Giới hạn lim
A.
2
.
3
B.
1
.
3
C. 1 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
1 2n
bằng?
3n 1
2
D. .
3
4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
2n 2017
.
3n 2018
2017
C. I
.
2018
Câu 28. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Tính giới hạn I lim
A. I
2
.
3
B. I
3
.
2
lim
Câu 29. (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019)
19
1
A.
.
B.
.
18
18
D. I 1 .
1 19n
18n 19 bằng
C. .
D.
1
.
19
Câu 30. (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ?
1
n 1
1
sin n
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
n
n
n
n
1 n2
Câu 31. (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) lim 2
bằng
2n 1
1
1
A. 0 .
B. .
C. .
2
3
Câu 32. (SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn lim
A.
1
.
2
B. 4 .
D.
1
.
2
4n 2018
.
2n 1
C. 2 .
D. 2018 .
8n5 2n3 1
Câu 33. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Tìm lim 5
.
4n 2 n 2 1
A. 2 .
B. 8 .
C. 1 .
D. 4 .
Câu 34. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Tính lim
B. 0 .
A. 2 .
Câu 35. (THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) lim
A.
2
.
11
B.
1
.
2
C.
2n 1
được kết quả là
1 n
1
.
2
D. 1.
2n 4 2 n 2
bằng
4n 4 2n 5
C. .
D. 0 .
2n 2 3
Câu 36. (Thi thử SGD Cần Thơ mã 121 – 2019) Giá trị của lim
bằng
1 2n 2
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 0 .
n2 n
A lim
12n 2 1 bằng
Câu 37. Giá trị
1
A.
.
B. 0 .
12
lim
Câu 38. Tính
C.
1
.
6
D.
1
.
24
5n 3
2n 1 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
A. 1.
ĐT:0946798489
B. .
C. 2 .
D.
5
.
2
1
.
4
D.
1
.
2
D.
1
.
2
n 3 4n 5
lim 3
3n n2 7 bằng
Câu 39.
A. 1 .
B.
1
.
3
C.
n 2 3n3
Câu 40. Tính giới hạn lim 3
.
2n 5n 2
1
A. .
B. 0 .
5
Câu 41. Giới hạn của dãy số un với un
A. 2 .
B.
Câu 42. Tính giới hạn I lim
A. I
10
.
3
3
C. .
2
2n 1
, n * là:
3 n
2
.
3
C. 1 .
10n 3
ta được kết quả:
3n 15
10
3
B. I .
C. I .
3
10
2n 1
n 1 bằng
Câu 43.
A. 1 .
1
D. .
3
2
D. I .
5
lim
lim
Câu 44.
B. 2 .
C. 2 .
B. 0 .
C.
1
B. .
2
C. 4 .
D. .
3n2 1
n 2 2 bằng:
A. 3 .
lim
Câu 45. Tính
1
.
2
1
D. .
2
8n 2 3n 1
4 5n 2 n 2 .
A. 2 .
Câu 46. Cho hai dãy số un và vn có un
A. 0 .
B. 3 .
Câu 48. Giá trị của B lim
4n 2 3n 1
3n 1
2
u
1
3
; vn
. Tính lim n .
vn
n 1
n3
C.
8n5 2n3 1
lim 2
2n 4n5 2019 bằng
Câu 47. Giới hạn
A. 2 .
B. 4 .
1
D. .
4
1
.
3
C. .
D. .
D. 0 .
bằng:
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
6
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
A.
4
.
9
ĐT:0946798489
B.
4
.
3
D. 4
C. 0 .
Câu 49. (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Tính L lim
A.
1
.
2018
C. .
B. 3 .
n3 n 2 1
2018 3n3
1
D. .
3
Câu 50. (Thi thử chuyên Hùng Vương Gia Lai lần -2019) Gọi S là tập hợp các tham số nguyên a thỏa
3n 2
a 2 4a 0 . Tổng các phần tử của S bằng
mãn lim
n2
A. 4 .
B. 3 .
C. 5 .
D. 2 .
Câu 51. (Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho a sao cho giới hạn lim
.Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?
1
A. 0 a 2 .
B. 0 a .
2
Câu 52.
3n 1 3 n
Dãy số un với un
3
4n 5
A. 192
B. 68
C. 1 a 0 .
an 2 a 2 n 1
n 1
2
a2 a 1
D. 1 a 3 .
2
có giới hạn bằng phân số tối giản
C. 32
a
. Tính a.b
b
D. 128
2n3 n 2 4 1
với a là tham số. Khi đó a a 2 bằng
3
an 2
2
A. 12 .
B. 2 .
C. 0 .
Câu 53. Biết lim
Câu 54. Cho dãy số un với un
D. 6 .
1 2 3 ... n
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
n2 1
A. lim un 0 .
1
.
2
C. Dãy số un không có giới hạn khi n .
B. lim un
D. lim un 1 .
Câu 55. (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Giới hạn lim
trị bằng?
2
A. .
3
lim
Câu 56.
A.
B.
1
.
6
C. 0 .
12 22 32 42 ... n 2
có giá
n3 2n 7
D.
1
.
3
1 3 5 ... 2n 1
3n 2 4
bằng
2
.
3
B. 0 .
C.
1
.
3
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
D. .
7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 57.
ĐT:0946798489
n
1 2 3
Lim 2 2 2 ... 2
n bằng
n n n
B. 0 .
A. 1.
C.
Câu 58. Cho dãy số un xác định bởi: un
B. .
A. 0`.
1
.
3
D.
1
.
2
1
3
2n 1
2 2 với n * Giá trị của lim un bằng:
2
n
n
n
C. .
D. 1
n
1 2
Câu 59. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Tìm lim 2 2 ... 2 .
n
n n
1
1
A. .
B. .
C. .
D. 0 .
n
2
Câu 60. (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần
1
1
1
lim 1 2 1 2 ... 1 2 .
2 3 n
1
A. 1 .
B. .
2
1-năm
C.
2017-2018)
1
.
4
D.
Tính
giới
hạn:
3
.
2
Câu 61. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số un với
un
A.
1
1
1
...
. Tính lim un .
1.3 3.5
2n 1.2n 1
1
.
2
B. 0.
2019
4
lim 2 3n n 1
L lim
2
.
3
B. L 0 .
Câu 66. Giới hạn
D. 2
1
C. L .
3
D. L .
C. 1 .
D. .
2 3n 2n3
3n 2
B. .
lim
C. 81
n3 2n
3n2 n 2
Câu 65. Tính giới hạn của dãy số un
A.
D. 2019 .
là:
B.
A. L .
C. 2 .
3
A.
Câu 64. Tính giới hạn
D.
2018
Câu 62. Tính lim(2n 3n 4) ?
A. .
B. .
Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu
Câu 63.
1
.
4
C. 1.
1 5 ... 4n 3
2n 1
bằng
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
A. 1.
ĐT:0946798489
B. .
C.
2
.
2
D. 0 .
Dạng 1.4 Phân thức chứa căn
4n 2 1 n 2
bằng
2n 3
Câu 67. (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) lim
3
.
2
A.
B. 2.
C. 1.
Câu 68. (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Cho I lim
5
B. I .
3
A. I 1 .
D. .
4n 2 5 n
4n n 2 1
C. I 1 .
. Khi đó giá trị của I là:
3
D. I .
4
Câu 69. (CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn
4x2 x 1 x2 x 3
x
3x 2
1
2
A. .
B. .
3
3
lim
Câu 70. Tìm lim un biết un
A.
1
.
2
C.
n 1 3 5 ... 2n 1
2n 2 1
B. .
1
.
3
C. 1.
Câu 71. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tính lim
A.
1
.
6
B.
1
2 6
.
2
D. .
3
C.
1
.
2
D. .
12 22 33 ... n 2
2n n 7 6n 5
D. .
DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC
lim
Câu 72.
n 2 3n 1 n
A. 3 .
bằng
C. 0 .
B. .
D.
3
.
2
Câu 73. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào có giá trị bằng 1?
3n 1 2n
3n 2 n
A. lim
.
B.
.
lim
5 3n
4n 2 5
2n 3 3
C. lim n 2 2n n 2 1 .
D. lim
.
1 2n 2
Câu 74. Giới hạn
lim n
n4 n3
bằng
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
A. 0 .
ĐT:0946798489
B. .
7
.
2
C.
D.
1
.
2
Câu 75. Tính giới hạn lim n n 2 4n .
B. 1 .
A. 3 .
C. 2 .
Câu 76. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để lim
n 2 4n 7 a n 0 ?
B. 1.
A. 3 .
D. 4 .
C. 2.
D. 0 .
Câu 77. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tính I lim n
A. I .
B. I
3
.
2
C. I 1, 499 .
Câu 78. (LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Tính lim n
L lim
Câu 79. Tính giới hạn
L lim
Câu 80. Tính giới hạn
Câu 81. Tính giới hạn L lim
L lim
Câu 82. Tính giới hạn
L lim
A. .
C. .
D.
9
.
4
C. .
D.
9
.
4
D.
1
.
4
9
.
4
.
.
4 n 2 n 4 n 2 2 . ĐS:
1
.
4
C. .
n 2 3n 5 n 25
.
B. 7 .
A. .
Câu 83. Tính giới hạn
4n2 n 1 9n
B. 7 .
A. .
4n 2 3 3 8n3 n .
B. 7 .
A. .
D. I 0 .
2
.
3
9n 2 2n 1 4n 2 1
B. 1 .
A. .
n2 2 n2 1 .
D.
C. .
B. 1 .
A. .
2n 1 n 3
4n 5
3
53
.
2
D.
C.
53
.
2
D.
.
B. 7 .
Câu 84. Tính giới hạn sau L lim
C.
2 1
.
2
n 4 3 n 1 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
B. 7 .
A. .
Câu 85. Tính giới hạn L lim
3
Câu 86. Tính giới hạn L lim
3
A. .
Câu 87. Tính giới hạn L lim
3
3
Câu 89. Tính giới hạn L lim
3
A. .
A. .
Câu 91. Tính giới hạn L lim
A. .
2
.
3
C.
53
.
2
D.
1
.
2
C.
53
.
2
D.
1
.
2
D.
1
.
2
25
.
4
2n n3 n 1 .
n n3 n 2 .
C. 1 .
n3 2n 2 n 1 .
5
.
4
C.
53
.
2
5
D. .
3
C.
1
.
2
5
D. .
3
53
.
2
D.
n 4 n 2 3 n6 1 .
B.
D.
8n3 3n 2 4 2n 6 .
B.
53
.
2
C.
B. 2 .
A. .
D. 0 .
B. 1 .
53
.
2
8n3 3n 2 2 3 5n 2 8n3 .
B.
A. .
Câu 88. Tính giới hạn L lim
C.
B. 7 .
A. .
Câu 90. Tính giới hạn L lim
ĐT:0946798489
5
.
4
n 2 n 1 3 n3 n 2 .
B.
5
.
4
C.
1
.
6
DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA
Câu 92. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
n
4
A. .
e
n
1
B. .
3
n
5
C. .
3
n
5
D. .
3
Câu 93. (THPT THÁI PHIÊN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) lim 2 n bằng.
n
A. 2 .
B. .
C. .
D. 0 .
Câu 94. Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng 0
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
n
ĐT:0946798489
n
2
A. lim .
3
n
5
B. lim .
3
4
C. lim .
3
B. .
C.
n
D. lim 2 .
n
2018
lim
2019 bằng.
Câu 95.
A. 0 .
1
.
2
D. 2 .
Câu 96. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
n
n
A. 0,999 .
lim
Câu 97.
lim 3n 4n
D. 1, 2345 .
B. 100 .
C.
1
.
100
D. 0 .
B. .
C.
4
.
3
D. 1 .
C.
6
.
5
D. 6 .
là
A. .
Câu 99. Tính giới hạn lim
A.
n
C. 1, 0001 .
100n 1 3.99n
102 n 2.98n 1 là
A. .
Câu 98.
n
B. 1 .
3.2n 1 2.3n 1
.
4 3n
3
.
2
B. 0 .
Câu 100. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ?
1 2.2017 n
1 2.2018n
A. lim
.
B.
lim
.
2016n 2018n
2016n 2017 n1
1 2.2018n
2.2018n 1 2018
C. lim
. D. lim
.
2017 n 2018n
2016n 2018n
lim
Câu 101. Tính
2n 1
2.2n 3 .
A. 2.
B. 0.
C. 1.
D.
1
.
2
Câu 102. (Chuyên - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc
9n 3n 1
1
khoảng 0; 2019 để lim n
?
n a
5 9
2187
A. 2018 .
B. 2012 .
C. 2019 .
D. 2011 .
Câu 103. (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn
T lim
A. T 0 .
16n 1 4n 16n1 3n .
B. T
1
.
4
1
C. T .
8
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
D. T
1
.
16
12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG
Câu 104. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 1
1
và công bội q .
2
B. S
A. S 2 .
3
.
2
D. S
C. S 1 .
2 2
2
Câu 105. Tổng vô hạn sau đây S 2 2 ... n ... có giá trị bằng
3 3
3
8
A. .
B. 3 .
C. 4 .
3
2
.
3
D. 2 .
Câu 106. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 3,15555... 3,1 5 viết dưới dạng hữu tỉ là
A.
63
.
20
B.
142
.
45
C.
1 1 1
1 n ...
Câu 107. Tổng 2 4 2
bằng
1
A. .
B. 2.
2
1
.
18
D.
C. 1.
7
.
2
D. .
u1 3
Câu 108. (Chu Văn An - Hà Nội - lần 2 - 2019) Cho dãy số (u n ), n , thỏa mãn điều kiện
un .
un 1 5
Gọi S u1 u2 u3 ... un là tổng n số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Khi đó lim S n bằng
*
A.
1
.
2
B.
3
.
5
C. 0 .
D.
u1 1
Câu 109. Cho dãy số un thoả mãn
. Tìm lim un .
2
*
un 1 3 un 4, n
A. lim un 1 .
B. lim un 4 .
C. lim un 12 .
D. lim un 3 .
Câu 110. Cho cấp số cộng un có số hạng đầu u1 2 và công sai d 3 . Tìm lim
1
A. L .
3
B. L
1
.
2
5
.
2
n
.
un
D. L 2
C. L 3 .
DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
Câu 111. (THTT
số
5-488
tháng
2
năm
2018)
Cho
dãy
số
un
thỏa
mãn
un n 2018 n 2017, n * . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Dãy số un là dãy tăng.
B. lim un 0 .
n
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
C. 0 un
ĐT:0946798489
1
, n * .
2 2018
D. lim
n
un 1
1 .
un
2
Câu 112. (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Đặt f n n 2 n 1 1 , xét dãy số un sao
cho un
f 1 . f 3 . f 5 ... f 2n 1
f 2 . f 4 .f 6 ... f 2n
A. lim n un
1
.
3
. Tìm lim n un .
B. lim n un 3 .
C. lim n un
1
.
2
D. lim n un 2 .
Câu 113. (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho dãy số un xác định bởi u1 0 và un 1 un 4n 3 ,
n 1 . Biết
lim
un u4 n u42 n ... u42018 n
un u2 n u22 n ... u22018 n
a 2019 b
c
với a , b , c là các số nguyên dương và b 2019 . Tính giá trị S a b c .
A. S 1 .
B. S 0 .
C. S 2017 .
D. S 2018 .
Câu 114. (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Dãy số un nào sau đây có giới hạn khác số 1
khi n dần đến vô cùng?
2018
2017 n . B.
A. un
un n
2017
n 2018 n
n 2 2018 n 2 2016 .
u1 2017
C.
.
1
un 1 2 un 1 , n 1, 2,3...
D. un
1
1
1
1
...
.
1.2 2.3 3.4
n n 1
Câu 115. (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Cho dãy số un được xác định như sau
u1 2016; un 1 n2 un 1 un , với mọi n * , n 2 , tìm giới hạn của dãy số un .
A. 1011.
B. 1010 .
Câu 116. Cho dãy số un như sau: un
A.
1
.
4
B. 1 .
C. 1008 .
n
1 n2 n4
D. 1009 .
, n 1 , 2 ,... Tính giới hạn lim u1 u2 ... un .
x
C.
1
.
2
D.
1
.
3
Câu 117. (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Cho dãy số
u1 2
. Tính lim un .
*
3 4un 1 1 4un 1 4, n
1
3
1
A. .
B. .
C. .
3
4
2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
D.
un
thỏa mãn
2
.
3
14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
u1 2
Câu 118. (THPT GANG THÉP - LẦN 3 - 2018) Cho dãy số un biết
, khi đó
un 3un 1 1, n 2
L lim
un
3n
A. Không xác định.
5
C. L .
6
B. L .
D. L 0 .
Câu 119. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam
giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC .
Ta xây dựng dãy các tam giác A1B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,... sao cho A1B1C1 là một tam giác đều
cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n 2 , tam giác An BnCn là tam giác trung bình của tam
giác An1Bn 1Cn 1 . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu S n tương ứng là diện tích hình tròn ngoại
tiếp tam giác An BnCn . Tính tổng S S1 S2 ... Sn ... ?
A. S
15
.
4
B. S 4 .
C. S
9
.
2
D. S 5 .
Câu 120. (CTN - LẦN 1 - 2018) Trong các dãy số un cho dưới đây, dãy số nào có giới hạn khác 1 ?
A. un
n n 2018
n 2017
2017
2018
. B. un n
n 2 2020 4n 2 2017 .
2
2
2
C. un
.
1.3 3.5
2n 1 2n 3
u1 2018
D.
.
1
un 1 2 un 1 , n 1
Câu 121. (SGD&ĐT BRVT - 2018) Cho dãy số (un ) thỏa mãn: u1 1 ; un 1
2 2
un a , n * . Biết rằng
3
lim u12 u22 ... un2 2n b . Giá trị của biểu thức T ab là
A. 2 .
B. 1 .
C. 1 .
D. 2 .
Câu 122. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Với n là số tự nhiên lớn hơn 2 , đặt
1
1
1
1
S n 3 3 4 ... 3 . Tính lim S n
C3 C4 C5
Cn
3
1
A. 1.
B. .
C. 3 .
D. .
2
3
Câu 123. (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Có bao nhiêu giá trị
9n 3n 1
1
?
n
na
5 9
2187
C. 2019 .
D. 2009 .
nguyên của tham số a thuộc khoảng 0; 2018 để có lim
A. 2011 .
B. 2016 .
Câu 124. Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống
1
đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng độ cao mà quả bóng đạt trước
10
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt
đất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. 67 m ; 69 m .
B. 60 m ; 63m .
C. 64 m ; 66 m .
D. 69 m ; 72 m .
Câu 125. (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hai dãy số un , vn đều tồn tại giới hạn hữu hạn. Biết rằng
hai dãy số đồng thời thỏa mãn các hệ thức un 1 4vn 2, vn 1 un 1 với mọi n . Giá trị
của giới hạn lim un 2vn bằng
n
A. 0.
B.
3
.
2
C. 1 .
D.
1
.
2
Câu 126. Một mô hình gồm các khối cầu xếp chồng lên nhau tạo thành một cột thẳng đứng. Biết rằng mỗi
khối cầu có bán kính gấp đôi khối cầu nằm ngay trên nó và bán kính khối cầu dưới cùng là 50 cm.
Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Chiều cao mô hình không quá 1, 5 mét
B. Chiều cao mô hình tối đa là 2 mét
C. Chiều cao mô hình dưới 2 mét.
D. Mô hình có thể đạt được chiều cao tùy ý.
Câu 127. Trong một lần Đoàn trường Lê Văn Hưu tổ chức chơi bóng chuyền hơi, bạn Nam thả một quả bóng
chuyền hơi từ tầng ba, độ cao 8m so với mặt đất và thấy rằng mỗi lần chạm đất thì quả bóng lại
nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết quả bóng chuyển động vuông góc với
mặt đất. Khi đó tổng quảng đường quả bóng đã bay từ lúc thả bóng đến khi quả bóng không máy
nữa gần bằng số nào dưới đây nhất?
A. 57m .
B. 54m .
C. 56m .
D. 58m .
Câu 128. Với mỗi số nguyên dương n , gọi sn là số cặp số nguyên x; y thỏa mãn x 2 y 2 n 2 . (nếu a b
thì hai cặp số a; b và b; a khác nhau). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. lim
n
sn
2 .
n
B. lim
n
sn
2 .
n
C. lim
n
sn
.
n
D. lim
n
sn
4 .
n
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1.
DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Chọn C
u
Nếu lim un a 0 và limv n 0 thì lim n là mệnh đề sai vì chưa rõ dấu của vn là dương
vn
hay âm.
Câu 2.
Chọn D
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 3.
Lấy máy tính bấm từng phương án thì phần D ra kết quả đề bài
Chọn A
Câu 4.
Chọn B
ĐT:0946798489
Dùng tính chất giới hạn: cho dãy số un , vn và lim un a, lim vn trong đó a hữu hạn thì
lim
Câu 5.
un
0 .
vn
Chọn D
(I) lim n k với k nguyên dương I là khẳng định đúng.
(II) lim q n nếu q 1 II là khẳng định sai vì lim q n 0 nếu q 1 .
(III) lim q n nếu q 1 III là khẳng định đúng.
Vậy số khẳng định đúng là 2 .
Câu 6.
Chọn D
Ta có: un 2
1
1
lim un 2 lim 3 0 lim un 2 0 lim un 2 .
3
n
n
Câu 7.
Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số (SGK ĐS11-Chương 4) thì lim q n 0 q 1 .
Câu 8.
DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC
Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu
Chọn B
1 1
3
2
n 1
n
n 0 0.
Ta có lim 3
lim
3
n 3
1
1 3
n
Câu 9.
Chọn A
1
1
Ta có lim
lim n 0 .
3
5n 3
5
n
Câu 10. Chọn D
1
1
Ta có: lim
lim n 0 .
7
2n 7
2
n
Câu 11. Chọn B
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Ta có: lim
ĐT:0946798489
1
1 1
lim .
0 .
2n 5
n 2 5
n
Câu 12. Chọn B
1
1 1
1
lim
lim
0. 0 .
5n 2
n 5 2
5
n
Câu 13.
Hướng dẫn giải
Chọn B
7
1
2 3
7 n 2 2n3 1
n 2.
Ta có I lim 3
lim n
2
2 1
3n 2n 1
3
3 3
n n
2 3
2n 3
n 4 n6 0 .
Câu 14. Ta có lim 6
lim
5
n 5n5
1
n
2
Câu 15. Chọn B
Câu 16. Chọn D
2 1
2n 1
n n 2 0 .
Ta có: L lim
lim
2 1
2 n n2
1
n2 n
Câu 17. Chọn C
Xét đáp án
Xét đáp án
Xét đáp án
2
1 2
n2 2
1
A. lim
lim n .
2
5
5n 3n
3 3
n
2
1
2
n 2n
n 1
B. lim
lim
2
5
5n 3n
3 3
n
1 2
2
1 2n
n
n 0 .
C. lim
lim
5
5n 3n2
3
n
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Xét đáp án
ĐT:0946798489
1
2
1 2n 2
2
n2
D. lim
lim
.
2
5
5n 3n
3
3
n
2 3
2 3
n2 2
2
2n 3
n n
n
n
lim
lim
Câu 18. I lim 2
0 .
3
1
3 1
2n 3n 1
2 2
n2 2 2
n n
n n
Câu 19. Chọn A
Ta có: un
1
1
1
1
1
1
1
2
... 2
...
2 1 3 1
n 1 1.3 2.4 3.5
n 1 n 1
2
1 1 1 1 1 1 1
1
1 1 1 1
1 3
1
...
.
2 1 3 2 4 3 5
n 1 n 1 2 1 2 n 1 4 2 n 1
3
1 3
Suy ra: lim un lim
.
4 2 n 1 4
1 1 1 1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
Câu 20. Ta có:
.
...
n 1 n n n 1
n 1
1.2 2.3 3.4
n n 1 1 2 2 3
1
1
1
1
1
...
Vậy lim
lim 1
1 .
n n 1
n 1
1.2 2.3 3.4
Ta có 1 2 3 ... k là tổng của cấp số cộng có u1 1 , d 1 nên 1 2 3 ... k
Câu 21.
1 k k
2
2
2
1
2
, k * .
1 2 ... k k k 1 k k 1
2
2
2
2 2 2 2 2 2
2
L lim ...
lim
2 .
n n 1
1 2 2 3 3 4
1 n 1
Câu 22.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
1
1
n 1 n
1
1
.
n n 1 n 1 n
n n 1
n
n 1
n n 1 n 1 n
Suy ra
Sn
1
1
1
...
.
1 2 2 1 2 3 3 2
n n 1 n 1 n
1 1
1
1
1
1
1
....
1
.
1
2
2
3
n
n 1
n 1
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
19
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Suy ra lim Sn 1
Câu 23.
Ta có 0
2
cos n sin n cos n sin n
2
0 .
và lim 2
2
2
2
n 1
n 1
n 1
n 1
cos n sin n
0.
n2 1
Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu
2
1
2n
0 1
n
1 .
Câu 24. Ta có: lim
lim
1
n 1
1 0
1
n
Suy ra lim
2
2
n 1
1
n2
n
n 1 .
Câu 25. Ta có lim
lim
lim
1 3
1
3n 1
3
n3
n
n
2
3
3n 2
n 3 .
Câu 26. Ta có I lim
lim
3
n3
1
n
1
2
1 2n
2
Câu 27. Ta có lim
lim n
.
1
3n 1
3
3
n
2017
2n 2017
n 2 .
Câu 28. Ta có I lim
lim
2018
3n 2018
3
3
n
Câu 29. Chọn A
2
1
19
1 19n
19
n
Ta có lim
lim
.
19 18
18n 19
18
n
Câu 30. Chọn C
n 1
1
lim1 lim 1 .
n
n
1
1
2
1 n2
1
n
Câu 31. Ta có lim 2
lim
.
1
2n 1
2
2 2
n
Có lim
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
20
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 32.
ĐT:0946798489
2018
4
4n 2018
n 2 .
Ta có lim
lim
1
2n 1
2
n
Câu 33. Chọn A
2 1
2 1
n5 8 2 5
8 2 5
8n 2n 1
n n
n n 8 2 .
Ta có lim 5
lim
= lim
2
2 1
2 1
4n 2 n 1
4 3 5 4
n5 4 3 5
n n
n n
5
3
1
1
n2
2
2n 1
n
n 2 0 2 .
Câu 34. Ta có lim
lim
lim
1
1 n
1
1 0 1
n 1
n
n
2 2
4
3
2 n 2n 2
n
n 1 .
Câu 35. Ta có lim 4
lim
2
5
4n 2 n 5
4 3 4 2
n n
Câu 36. Chọn C
3
2 2
2n 2 3
n 1 .
lim
lim
1
1 2n 2
2
n2
2
4
Câu 37.
Chọn A
1
n n
n 1 .
A lim
lim
2
1
12n 1
12 2 12
n
1
Vậy A .
12
2
1
Câu 38. Chọn D
3
5n 3
n 5 .
lim
Ta có lim
1 2
2n 1
2
n
5
Câu 39. Chọn B
4 5
1 2 3
n 3 4n 5
n n 1 .
Ta có: lim 3
lim
2
1 7
3n n 7
3 3 3
n n
Câu 40. Chọn C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
21
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
1
1
n3 3
3
n 3n
3
n
n
Ta có: lim 3
lim
lim
.
5 2
5 2
2
2n 5n 2
2 2 3
n3 2 2 3
n n
n n
2
3
Câu 41. Chọn D
1
2
2n 1
n 1 .
Ta có lim un lim
lim
3
3 n
3
1
n
Câu 42. Chọn B
3
10n 3
n 10 .
Ta có I lim
lim
15
3n 15
3
3
n
10
Câu 43. Chọn B
1
2
2n 1
n 2 .
lim
Ta có lim
1
n 1
1
n
Câu 44. Chọn A
1
3n 1
n2 3
lim 2
lim
2
n 2
1 2
n
Câu 45. Chọn C
3
2
3 1
8 2
8n 2 3n 1
n n 4 .
Ta có lim
lim
2
4
5
4 5n 2 n
2
2
n
n
Câu 46. Chọn C
1
3
1
un
n
3
n 1 .
Ta có I lim
lim n 1 lim
lim
3
vn
3 n 1
1 3
3 1
n3
n
Câu 47. Chọn A
2 1
8 2 5
8n 2n 1
n n
lim
Ta có: lim 2
2 .
5
2
2019
2n 4n 2019
3 4 5
n
n
5
Câu 48. Chọn
3
A.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
22
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
3 1
3 1
n2 4 2
4 2
4n 3n 1
n n
n n 400 4
lim
lim
Ta có: B lim
2
2
2
2
9
1
1
3 0
3n 1
2
n 3
3
n
n
2
1 1
1 3
n n 1
1
lim n n
Câu 49. L lim
3
2018
2018 3n
3
3
3
n
Câu 50. Chọn A
3n 2
a 2 4a
Ta có: lim
n2
3
2
a 4a 3 n 2 2a 8a
lim
n2
2
2
2
2 2 a 2 8a
a
4
a
3
2
n
lim
a 4a 3 .
2
1
n
3n 2
a 2 4a 0 a 2 4a 3 0 a 3 a 1 .
Theo giả thiết: lim
n2
Vậy S 1;3 1 3 4 .
Câu 51. Chọn A
a2 1
an a n 1
an a n 1
n n 2 a .
Ta có lim
lim
lim
2
2 1
n 2 2n 1
n 1
1 2
n n
2
2
2
a
2
a 2 a 1 a a 2 2 a 1 0 a 1 .
Câu 52.
Chọn A
2
Ta có: lim
Câu 53.
3n 1 3 n
3
4n 5
2
1 3
3 1
3 a
n n
lim
. Do đó: a.b 192
3
64 b
5
4
n
Chọn A
3
2
Ta có lim 2 n 3 n 4 lim
an 2
1 4
n3 2 3
n n 2 1 .
2
a 2
n3 a 3
n
Suy ra a 4 . Khi đó a a 2 4 4 2 12 .
Câu 54. Chọn B
n n 1
1 2 3 ... n
1
Ta có: lim un lim
lim
.
2
n 1
2
2 n 2 1
Câu 55. Chọn D
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
23
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Ta có kết quả quen thuộc 12 22 32 ... n 2
2
Do đó lim
Câu 56.
Chọn
2
2
2
n n 1 2n 1
.
6
n n 1 2n 1
2
1 2 3 4 ... n
lim
n3 2n 7
6 n3 2n 7
1
1
1 2 1.2 1
n
n
lim
.
2 7
6 3
6 1 2 3
n n
C.
Ta có 1 3 5 ... 2n 1
1 2n 1 n 1
2
n 1
2
.
2 1
2
1 2
1 3 5 ... 2n 1
n
1
lim n n 1 .
lim
lim 2
2
4
3n 4
3n 4
3
3 2
n
Câu 57. Chọn D
n
1 2 3
1 2 3 ... n
n(n 1)
1 1 1
Lim 2 2 2 ... 2 lim
lim
lim
2
2
n
n
n n n
2n
2 2n 2
Câu 58. Chọn D
1
3
2n 1 1 3 ... 2n 1 n 2
Ta có 1 3 ... 2n 1 n
2 2 ... 2
2 1
n n
n
n2
n
Suy ra lim un 1.
2
1
1 n 1
n n 1
n
1 2
1 2 ... n
Câu 59. lim 2 2 ... 2 lim
.
lim
lim
2
n
n2
n n
2n
2 2
Câu 60.
Chọn B
1
1
1
Xét dãy số un , với un 1 2 1 2 ... 1 2 , n 2, n .
2 3 n
Ta có:
u2 1
1 3 2 1
;
22 4 2.2
1
1 3 8 4 3 1
u3 1 2 . 1 2 .
;
2 3 4 9 6 2.3
1
1
1 3 8 15 5 4 1
u4 1 2 . 1 2 1 2 . .
2 3 4 4 9 16 8 2.4
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
24
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
un
ĐT:0946798489
n 1
.
2n
Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định un
n 1
, n 2
2n
1
1
1
n 1 1
.
Khi đó lim 1 2 1 2 ... 1 2 lim
2n 2
2 3 n
Ta có : un
Câu 61.
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
...
...
1.3 3.5
2n 1 2n 1
2n 1.2n 1 2 1 3 3 5
1 1
1
n
2 1 2n 1 2n 1
Suy ra : lim un lim
n
1
.
2n 1 2
Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu
Câu 62. Chọn A
3
4
Ta có lim 2n 2019 3n 2018 4 lim n 2019 . 2 2019 .
n n
Câu 63. Chọn B
4
3
72
4
3
1
lim 2 3n n 1 lim n 3 1
n
n
Ta có lim n 7
4
4
2
lim 3 3 34
n
3
1
lim 1 1
n
4
3
lim 2 3n n 1
Câu 64. Chọn A
3
Ta có: L lim
1
2
n2
n 2n
lim
.
3 1 2
3n 2 n 2
n n2 n3
Câu 65. Chọn B
2
n 2n 2
2 3n 2n
1 2
2
n
lim
lim
do lim n 2n 2 lim n 2 2 3
2
3n 2
n n
n
3
n
2
và lim 3 3 0 .
n
3
Câu 66.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
25
