GV: Nguyn Vn Huy ( T: 093.2421.725 )
GII HN HM S
Tóm tắt lý thuyết:
I/ các định nghĩa:
1.ĐN1: Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn là L nếu

00
:,0 nnNn >>

thì | u
n
- L | <

Viết lim u
n
= L.
2. ĐN2 : Ta nói dãy số (u
n
) dần tới vô cực nếu với mọi số dơng M cho
trớc ( lớn bao nhiêu tuỳ ý ) , tồn tại một số dơng n
0
sao cho
với mọi n>n
0
thì | u
n
|>M. Ta viết Lim u
n
=

.
3. Chú ý :
3.1 Khi dãy (u
n
) dần tới vô cực thì nó không có giới hạn ,song để
cho tiện ta vẫn dùng kí hiệu Lim u
n
=

.
3.2
.:,0lim
00
MunnNnMu
nn
>>>+=
3.3
.:,0lim
00
MunnNnMu
nn
<>>=
3.4
1||,0lim;0
1
lim <== qq
n
n
k

4. ĐN3: Giới hạn hàm số (SGK)
5. ĐN4: Giới hạn hàm số dần tới vô cực (SGK)
6. ĐN5: Giới hạn hàm số tại vô cực (SGK)
7. ĐN6: Giới hạn một phía của hàm số (SGK)
8. chú ý :
8.1
0,
1
0
>=

k
x
Lim
k
x

8.2 Giới hạn dạng
=
0
a
8.3
0,0
1
>=

k
x
Lim
k

x
II/ Một số định lý
1. các định lý về giới hạn dãy số ;
Định lý 1: nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Định lý 2: nếu một dãy số có giới hạn thì dãy số đó bị chặn.
Định lý 3: nếu một dãy số tăng và bị chặn trên (giảm và bị chặn
dới) thì dãy số đó có giới hạn.
Định lý 4 : các phép toán về giới hạn( SGK).
Định lý 5 : Giới hạn kẹp giữa ( SGK).
2. các định lý về giới hạn hàm số:
Định lý 1: nếu một hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Định lý 2: điều kiện cần hàm số có giới hạn(điều kiện đủ hàm số
có giới hạn).(SGK)
Định lý 3: Định lý giới hạn một phía ( sgk)
Định lý 4 : các phép toán về giới hạn( SGK).
Định lý 5 : Giới hạn kẹp giữa ( SGK).
III/ Bài tập:
Loại1: Giới hạn của dãy số qua các phép toán
Cách làm
ta có thể áp dụng các định lý về giới hạn , các phép toán về tổng hiệu
tích thơng để đa vào một kết luận trực tiếp.
Trong trờng hợp gặp các dạng vô định (
0,,,
0
0



)ta thờng biến
đổi các biểu thức :

- Bằng cách đặt thừa số chung sau đó rút gọn.
- Chia tử, mẫu cho số khác không và áp dụng
1

1||,0lim;0
1
lim <== qq
n
n
k
- Nhân lợng liên hợp nếu chứa dạng có căn thức .
- sử dụng kết quả đã tính đợc.
Các VD: tìm các giới hạn sau
1.lim
)2(
22
++ nnn
gợi ý : nhân liên hợp , kq: 1/2
2.lim (
4
2222
).1( 3.42.31.2
n
nn +++++
)
Gợi ý:

4
222
4

2222
3)13(2)12(1)11().1( 3.42.31.2
nn
nn ++++++
=
+++++

6
)12)(1(
4
)1(
) 1() 1(
22
2233
++
+
+
=+++++
nnnnn
nn
3. lim
15
5
1
1
+

+
+
n

nn
e
kq:1/5
4. Lim
927
14
3
23
+
+
nn
nn
kq: 1/7
5.lim
)43)(32)(1(
12
3
+++
+
nnn
n
kq: 1/3
6. Lim
)
)1(
1

3.2
1
2.1

1
(
+
+++
nn
7. Lim
)
)12)(12(
1

7.5
1
5.3
1
(
+
+++
nn
8. Lim
)
)2(
1

4.2
1
3.1
1
(
+
+++

nn
9. Lim
)
)3(
1

5.2
1
4.1
1
(
+
+++
nn
10. Lim
)
1

21
(
222
n
n
nn

+++
Loại 2: Giới hạn dãy số thông qua sự so sánh ( Định lý kẹp)
1.
n
n

n
3
sin)1(
lim
+
2.
2
!
lim
n
n
3.
n
en

)lim(sin
4.
)
21
lim(
222
nn
n
n
n
n
n
+
++
+

+
+
với n>0
Loại 3 Giới hạn hàm số thông qua các định lý
Cách làm
ta có thể áp dụng các định lý về giới hạn , các phép toán về tổng, hiệu,
tích, thơng để đa vào một kết luận trực tiếp.
Trong trờng hợp gặp các dạng vô định (
0,,,
0
0



)ta thờng biến
đổi các biểu thức :
- Bằng cách đặt thừa số chung sau đó rút gọn.
- Chia tử, mẫu cho số khác không và áp dụng

0
1
lim,
1
lim
0
==

k
x
k

x
xx
- Nhân lợng liên hợp nếu chứa dạng có căn thức .
- sử dụng kết quả đã tính đợc.
2
Bài tập : Tìm các giới hạn sau:
1)
1
1
lim
5
1



x
x
x
5)
15
123
lim
2
2
+
++

xx
xx
x

2)
9
935
lim
2
23
3

++

x
xxx
x
6)
53
1
lim
2
+
++

x
xx
x
3)
1
213
lim
1


+

x
x
x
7)
53
1
lim
2
+
++
+
x
xx
x
4)
1
12
lim
2
3 2
3
1

++

x
xxx
x

8)
x
x
x
x
x


+
+
+
1
1
)
2
1
(l im
9)
x
x
x
sin
lim

10)
)
4
(.2lim
4
xtgxtg

x





11)
)1(lim xx
x
+
+
12)
)1(lim xx
x
++

Loại 4: giới hạn các hàm số lợng giác
Một số công thức hay sử dụng.

1
sin
lim
0
=

x
x
x
1
)(

)(s in
lim
0
=

xu
xu
xx
(trong đó
0)( xu
khi
0x
)
1lim
0
=

x
tgx
x
1
)(
)(
lim
0
=

xu
xtgu
xx

(trong đó
0)( xu
khi
0x
)
Bài tập : tìm
1)
2
0
cos1
lim
x
x
x


2)
x
x
x
3sin
lim
0
3)
x
tgx
x
2sin
lim
2

0
4)
2007
0
2007sin 3sin2sinsin
lim
x
xxxx
x
5)
x
xx
x
sin
112
lim
0
++

6)
x
xx
x
2
0
sin
3coscos
lim



7)
xx
x
x
2sin
cos1
lim
3
0


Loại 5: Giới hạn các hàm số có liên quan tới e
Một số công thức hay sử dụng.
1)
e
x
x
x
=+

)
1
1(lim
2)
ex
x
x
=+

1

0
)1(lim
3)
( )
1
)1ln
lim
0
=
+

x
x
x
4)
1
1
lim
0
=


x
e
x
x

Bài tập : Tìm
1)
x

ee
bxax
x

0
lim
với
0,0 ba
2)
2
0
cos3
lim
2
x
x
x
x


3)
x
x
x
)
2
1(lim

4)
2

1
2
)
2
(lim


x
x
x

Loại 6 : phơng pháp gọi số hạng vắng tìm giới hạn hàm số
Cách làm: Bản chất việc khử dạng 0/0 là làm xuất hiện nhân tử
chung để:
- Hoặc là khử nhân tử chung đa về dạng xác định
- Hoặc là đa giới hạn về dạng giới hạn cơ bản ,quen thuộc đã biết rõ
kết quả hoặc cách giải .
- Trong các bài toán khó chứa nhiều căn thức và chỉ số căn khác
nhau ta cần thêm bớt vào giới hạn một hằng số hoặc một hàm số
3
phù hợp để tách thành nhiều giới hạn đảm bảo phân số tham gia
vào dạng vô định chỉ chứa một căn và vẫn là dạng 0/0.
Ví dụ: Tìm
1)
1
75
lim
2
3 23
1


+

x
xx
x
=
1
)27()25(
lim
2
3 23
1

+

x
xx
x
=
1
27
lim
1
)25(
lim
2
3 2
1
2

3
1

+




x
x
x
x
xx
Bình Luận : Ta đã tách thành hai giới hạn đơn giản hơn đã biết
cách làm .Tại sao lại nghĩ đợc thêm bớt số 2? Trả lời là

1
27
;
1
)25(
2
3 2
2
3

+


x

x
x
x
đều có dạng 0/0 vậy không thể
chọn số khác ngoài 2.
2)
2
3
0
1321
lim
x
xx
x
++

=
2
3
0
)113()121(
lim
x
xxxx
x
++

=
2
0

)1(21
lim
x
xx
x
++

-
2
3
0
)1(13
lim
x
xx
x
++

Bình Luận : Ta đã tách thành hai giới hạn đơn giản hơn đã biết
cách làm,trong trờng hợp này ta phải thêm vào x+1 vì nếu
thêm hằng số ta chỉ thu đợc dạng vô định mới mục đích
Vẫn chỉ làm mất bậc hai ở mẫu.Vì sao lại là x+1 mà không
phải biểu thức khác ( xem loại7)
Bài tập: tìm
1)
x
xx
x
3
0

812
lim
+

2)
1
75
lim
2
3 2
1

+

x
xx
x
3)
2
3
0
1321
lim
x
xx
x
++

4)
29

202
lim
4
3
7
+
++

x
xx
x
5)
x
xx
x
2
3
1
sin
coscos
lim


6)
)23(lim
2
3
23
xxxx
x

+
+

Loại 7: Giới hạn sử dụng công thức
1.
n
a
x
ax
n
x
=
+

11
lim
0
trong đó a
*
,0 Nn
Chứng minh :
ta đặt ẩn phụ
tax
n
=+1
từ đó suy ra ĐPCM
2. Giới hạn dạng
k
nm
ax

ax
xgxf
)(
)()(
lim



dạng
0
0
,
{ }
nmkNknm ,min1,,,
Phân tích thành
k
n
n
m
m
ax
ax
xhxhxgxhxhxf
)(
)]()]([)([)]()]([)([
lim
11

++


Và phân tích thành hai giới hạn loại 6.
VD1: Tìm
)(lim
0
xF
x
Trong đó
x
xx
xF
200721)2007(
)(
7
2
+
=
HD:

7
2007.2
121
.2007lim21lim
)121(200721
lim)(lim
7
0
7
0
77
2

00
=

+=
+
=

x
x
xx
x
xxx
xF
xxxx
4
VD2 : Tìm I =
3
3 223
0
27279968
lim
x
xxxxx
x
+++++

HD: I=
3
3
3323

0
)]3()3([)]3()3(8[
lim
x
xxxxxx
x
+++++

Bài Tập : Tìm
1)
4
3
44
3
0
184)2/3(
13/12/11
lim
xxx
xxxx
x
++
+++

2)
x
xxxxx
x
3
4

3
0
4
)1ln(cos33cos
2
312cos
lim
++

++

gợi ý : h(x) = cosx
3)
2
4
2
0
42122cos
lim
x
xxxx
x
+

Gợi ý: h(x) = 1-x
4)
2
4
232
0

21422cos223
lim
x
xxxxxx
x
+++++


5)
2
3
0
3
31)1ln(521
lim
x
xxxx
x
++++

Loại 8: Tham khảo toán cao cấp .
Định lý : Nếu f(x), g(x) có đạo hàm ở lân cận x
0
,f(x
0
) = g(x
0
) =0 và
g(x) khác không ở lân cận x
0

,thì
( )
( )
( )
( )
xg
xf
iml
xg
xf
xx
xx


=


0
0
lim
( Quy tắc lô pi tan)
VD:
=


xx
x
x
sin
2007

lim
3
0
x
x
x
cos1
3.2007
lim
2
0


=
2007.6
sin
2.3.2007
lim
0
=

x
x
x
Bài tập tổng hợp
Bài1 tính các giới hạn sau:
a)
x
x
x

cos1
||3sin1|1|
lim
0

+

b)
)
2
sin(
)cos
2
cos(
lim
2
0
x
x
x



c)
3
0
sin
lim
x
xtgx

x


d)
xx
xx
x
+
++

243
sin121
lim
3
0

e)
)cot
2sin
2
(lim
0
gx
x
x


f)
2
0

7
5cos1
lim
x
x
x



g )
2
2
0
)()(
lim
x
atgxatgxatg
x
+

h)
1
57
lim
2
3
1

+


x
xx
x
i) )
x
xx
x
sin
112
lim
3 2
0
++

k)
x
xxx
x
7sin
)7cos5cos3cos1
(
83
98
lim
2
0


Bài2: Tính các giới hạn sau
a)

3
0
sin11
lim
x
xtgx
x
++

b)
x
xx
x
11sin
7cos5cos1
lim
2
0


5
c)
)1ln(
1
lim
2
3 22
0
2
x

xe
x
x
+
+−
→
d)
11
1sincos
lim
2
44
0
−+
−−
→
x
xx
x
e)
)(lim Zn
nx
xtg
nx
∈
+
−→
π
f)
x

x
x
cos1
121
lim
2
0
−
+−
→
g)
x
x
x
2sin
)31ln(
lim
0
+
→
h)
2
1
0
)2(coslim
x
x
x
→


6