TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC

TIỂU LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

ỨNG DỤNG HÀM SỐ TRONG CÁC BÀI TOÁN
VỀ PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC

Giảng viên hướng dẫn

Sinh viên thực hiện

ThS. Bùi Anh Tuấn

Nguyễn Văn Nhân
Mssv: B1300407
Lớp: Sư phạm Toán K39

Cần Thơ - 2017


LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu tài liệu cùng sự giúp đỡ của cha mẹ, thầy cô bạn bè,
mà tôi đã hoàn thành xong bài tiểu luận tốt nghiệp của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Bùi Anh Tuấn, người đã tận tình hướng dẫn tôi
trong suốt thời gian hoàn thành tiểu luận.
Đồng thời tôi xin gửi làm cảm ơn đến quý Thầy, Cô trong Bộ Môn SP Toán – Khoa
Sư Phạm – Trường Đại Học Cần Thơ trong bốn năm qua đã tận tình dạy dỗ và trang bị

những tri thức, những nền tảng vô cùng bổ ích, đã chỉ dẫn tôi rất nhiều về cách học, cách
làm việc và các kỹ năng sư phạm cần thiết cho công tác giảng dạy sau này.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè những người luôn sát cánh
cùng tôi vượt qua khó khăn trở ngại, luôn ủng hộ và động viên tôi cả về vật chất lẫn tinh
thần, luôn tạo điều kiện tốt nhất cho tôi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiện cứu để
tiểu luận của tôi hoàn thành tốt đẹp.
Mặc dù cố gắng rất nhiều nhưng thiếu sót khó có thể tránh khỏi. Tôi rất mong nhận
được những đóng góp quý báu của Thầy Cô.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Văn Nhân


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................................ 1
Chương 1 ........................................................................................................................ 2
KIẾN THỨC CẦN NHỚ ............................................................................................... 2
1.1 Tính đơn điệu của hàm số..................................................................................... 2
1.1.1 Định nghĩa: .................................................................................................... 2
1.1.2 Tính chất: ....................................................................................................... 2
1.1.3 Định lí: ........................................................................................................... 2
1.2 Phương pháp chứng minh hàm đơn điệu: ............................................................. 2
1.3 Tóm tắt kiến thức về căn thức .............................................................................. 3
1.3.1 Định nghĩa ..................................................................................................... 3
1.3.2

Chú ý .......................................................................................................... 3


1.3.3

Các pháp tính và tính chất của căn bậc n ................................................... 3

Chương 2 ........................................................................................................................ 4
ỨNG DỤNG HÀM SỐ TRONG CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC................................. 4
2.1 Ứng dụng trong giải phương trình căn thức: ........................................................ 4
2.1.1 Dạng 1: Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để chứng minh nghiệm duy
nhất giải phương trình dạng f  x   g  x  [ g  x  có thể là hằng số]. ..................... 4
2.1.1 Dạng 2: Biến đổi phương trình về dạng f u  x    f v  x   sử dụng
tính chất f  u   f  v   u  v để giải phương trình............................................. 18
2.2 Ứng dụng trong các bài toán có chứa tham số ................................................... 31
2.2.1 Dạng 1: khảo sát trực tiếp ............................................................................ 31
2.2.1 Dạng 2: khảo sát thông qua ẩn phụ ............................................................. 39
Chương 3 ...................................................................................................................... 47
MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP TỪ CÁC ĐỀ THI CAO ĐẲNG ĐẠI HỌC TỪ NĂM
2007 ĐẾN 2016 ............................................................................................................ 47
KẾT LUẬN .................................................................................................................. 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................ 56


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình THPT, học sinh đã được học hàm số và ứng dụng của hàm
số. Phần ứng dụng của hàm số khá hiệu quả trong việc góp phần giải các bài toán về
phương trình vô tỷ. Các bài toán giải phương trình vô tỷ là bài toán khó trong chương
trình THPT và thường xuất hiện trong đề thi đại học với vai trò phân biệt học sinh khá
giỏi, do đó thu hút được nhiều sự chú ý và quan tâm của học sinh. Vì vậy trong tiểu luận
này chúng tôi lựa chọn thực hiện đề tài “Ứng dụng về hàm số trong các bài toán về
phương trình căn thức” nhằm giúp các em học sinh hiểu và nắm được một số dạng

phương trình vô tỷ nhất định có thể sử dụng phương pháp ứng dụng hàm số để thực
hiện giải dạng toán này tốt hơn.

2. Mục tiêu nghiên cứu
Nhằm tổng hợp, hệ thống hóa các dạng toán trong phương trình vô tỷ giải bằng
phương pháp ứng dụng hàm số trong chương trình THPT.

3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Các dạng toán trong phương trình vô tỷ giải bằng phương pháp ứng dụng hàm
số trong chương trình THPT.

4. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp: tổng hợp và hệ thống hóa. Tham khảo các loại sách báo,
Internet và tài liệu có liên quan đến vấn đề.

1


Chương 1
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.1 Tính đơn điệu của hàm số
1.1.1 Định nghĩa:
Cho hàm số y  f ( x) xác định trên D
- Hàm số y  f  x  được gọi là đồng biến trên D , khi x tăng (giảm) mà giá trị
hàm số y tương ứng tăng (giảm).
- Hàm số y  f ( x) được gọi là nghịch biến trên D khi x tăng (giảm) mà giá trị
hàm số y tương ứng giảm (tăng).
- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên D gọi chung là hàm đơn điệu.

1.1.2 Tính chất:


- Tính chất 1: Nếu f  x  là hàm đơn điệu trên D thì f  x   0 có không quá một

nghiệm trên D.
- Tính chất 2: Nếu f  x  là hàm đơn điệu trên D thì f  u   f  v   u  v ,
u, v  D .

- Tính chất 3: Nếu hàm f  x  là đồng biến trong khoảng  a, b  và hàm g  x  là
hàm nghịch biến hoặc là hàm hằng trong khoảng  a, b  thì phương trình f  x   g  x  có
nhiều nhất một nghiệm trong khoảng  a, b  .

1.1.3 Định lí:

- Nếu f '  x   0, x   a, b  và f  x  liên tục trên  a, b  thì f  x  đồng biến trên

 a, b  .
- Nếu f '  x   0, x   a, b  và f  x  liên tục trên  a, b  thì f  x  nghịch biến trên

 a, b  .
1.2 Phương pháp chứng minh hàm đơn điệu:

 Bước 1: Tìm TXĐ D của f  x  và chỉ ra f  x  liên tục trên D
 Bước 2: Tính f '  x 
 Bước 3: Xét f '  x  Nếu:
o Nếu f '  x   0, x  D thì f  x  đồng biến trên D
o Nếu f '  x   0, x  D thì f  x  nghịch biến trên D
2


1.3 Tóm tắt kiến thức về căn thức

1.3.1 Định nghĩa
Với n là số nguyên dương, căn bậc n của số thực a là số thực b nếu bn  a

1.3.2 Chú ý
 Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n.
Ký hiệu: n a
 Khi n là số chẵn, mỗi số thực a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.
Ký hiệu:
o Căn bậc n có giá trị dương là n a ( còn gọi là căn số học bậc n của a)
o Căn bậc n có giá trị âm là  n a
o Đặc biệt khi n  2 được kí hiệu đơn giản là a

1.3.3 Các pháp tính và tính chất của căn bậc n
1) Không tồn tại 0 a
2)

a a

1

3) n 0  0
4) Không tồn tại căn bặc chẵn của số âm
5) n là số nguyên dương lẻ ta có a  0  n a  0 ; a  0  n a  0

a
an  

a

n 2


6)

n

7)

n

a a

8)

n

ab  n a . n b

9)

n

a na

b nb

10)

m n

n 2


1
n

 a  0, b  0 

a  m.n a

11) n a m 

 a
n

12) n a  m.n a m

 a  0, b  0

m

 a  0
m 

, n  , n  2

 a  0

3


Chương 2

ỨNG DỤNG HÀM SỐ TRONG CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC
2.1 Ứng dụng trong giải phương trình căn thức
2.1.1 Dạng 1: Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để chứng minh
nghiệm duy nhất giải phương trình dạng f  x   g  x  [ g  x  có thể là hằng
số].
 Phương pháp :
o Nếu g  x   k với k là hằng số
 Bước 1: Xét f  x 
 Tìm TXĐ D của f  x 
 Tìm f '  x 
 Chứng minh f  x  là đơn điệu trên D
 Bước 2: Chỉ ra x0  D sao cho f  x0   k .
 Bước 3: Kết luận x0 là nghiệm duy nhất của f  x   g  x   k .
o Nếu g  x  là hàm số
 Bước 1: Xét f  x  và g  x 
 Tìm TXĐ D  Dx  Dy của f  x  và g  x  .
 Tìm f '  x  và g '  x  .
 Chứng minh f  x  và g  x  ngược tính đơn điệu.
 Bước 2: Chỉ ra x0  D sao cho f  x0   g  x0  .
 Bước 3: Kết luận x0 là nghiệm duy nhất của f  x   g  x  .
 Chú ý:
o Khi hàm g  x  là hàm hằng ta chỉ cần chỉ ra hàm f  x  đơn điệu.
o Khi f  x  và g  x  cùng tính đồng biến hoặc nghịch biến chuyển sang
cách khác
o Ta có thể biến đổi f  x   g  x  thành f  x   g  x   0 . Sau đó xét tính
đơn điệu của hám số h  x   f  x   g  x  .
 Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình

x 1  3  x  4 .


Giải
 x  1
 x  1
 x  4

Điều kiện: 

4


Khi đó ta có: x  1  3  x  4  x  1  x  4  3
Xét f  x   x  1  x  4
Ta thấy f là hàm liên tục trên  1,   và
f ' x 

1
1

 0, x   1,   .
2 x 1 2 x  4

Suy ra f đồng biến trên  1,   .
Ta thấy f  0   3 suy ra x  3 là nghiệm duy nhất của phương trình f  x   3 .
Vậy f  x  là phương trình có một nghiệm duy nhất x  3 .
Ví dụ 2: Giải phương trình 2 x5  5 x 2  5 x  2 2  x  0 .
Giải
Điều kiện : x  2
2 x5  5 x 2  5 x  2 2  x  0  2 x5  5 x 2  5 x  2 2  x
Xét f  x   2 x5  5 x 2  5 x và g  x   2 2  x trên  , 2

Ta thấy f  x  , g  x  là hàm liên tục trên  , 2
2
 2 1 2 
1
1 
 4
f '  x   10 x  10 x  5  10  x  x    10  x     x     0, x   , 2
2
2 
2  


4

1
 0, x   , 2 
2 x
Suy ra f đồng biến trên  , 2 , g nghịch biến trên  , 2 .
g ' x 

Ta thấy f 1  g 1 suy ra x  1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  1 .
Ví dụ 3: Giải phương trình 3x  2  6  x  3x 2  12 .
Giải.
2

x 
Điều kiện:  3
 x  6


3x  2  6  x  3x 2  12  3x  2  6  x  3x 2  12  0

Xét f  x   3x  2  6  x  3x2  12

5


2
Ta thấy f là hàm liên tục trên  , 6 
3 
 f ' x 

1
1
2 

 6 x  0, x   , 6 
2 3x  2 2 6  x
3 

2
Suy ra f đồng biến trên khoảng  , 6 
3 

Ta thấy f  2   0 suy ra x  2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  2 .
Ví dụ 4: Giải phương trình

4 x 1  4 x2 1  1 .


Giải.
1

x  4
1


1
x 

1
Điều kiện:  4
x
 x 
2
2
4 x 2  1  0  


1
  x   2


Xét f  x   4 x  1  4 x 2  1
1



Ta thấy f là hàm liên tục trên  ,  
2


f ' x 

1
4x
1


 0, x   ,  
2
2 4x 1
2

4x 1

1
Suy ra f đồng biến trên  ,  
2



Ta thấy f  0   1  x  0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  0 .
Ví dụ 5: Giải phương trình

x2  x  1  x2  7 x  1  4 x .

Giải.
x  0


Điều kiện:  x 2  x  1  0  x  0
 x2  7 x  1  0


Ta thấy x  0 không là nghiệm của phương trình
6


Nên

x2  x  1  x2  7 x  1  4 x

 x 1 

Đặt t  x 

1
1
 x7  4
x
x

1
với t  1 Khi đó suy ra
x

t 1  t  7  4

1 với


t 1

Xét f  t   t  1  t  7 với t  1
Ta thấy f là hàm liên tục trên 1,  
f ' t  

1
1

 0, x  1,  
2 t 1 2 t  7

Suy ra f đồng biến trên 1,  
Ta thấy f  2   4  t  2 là nghiệm duy nhất của phương trình 1
Vậy phương trình 1 có nghiệm duy nhất t  2
1
x

Với t  2  x   2  x  2 x  1  0  x  1
Vậy phương trình đầu có nghiệm là S  1
Ví dụ 6: Giải phương trình

6
8

6.
3 x
2 x

Giải.

3  x  0
 x2
2  x  0

Điều kiện: 

Xét hàm số f  x  

6
8

3 x
2 x

Ta thấy f là hàm liên tục trên  , 2
6
f ' x 

2

8

6
8
2
3
4
3 x 
2 x 


 0, x   , 2 
3
3
6
8
6
8








3 x
2 x
3

x
2

x





Suy ra f đồng biến trên  , 2


7


3

3

Ta thấy f    6  x  là nghiệm duy nhất của phương trình.
2
2
3
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  .
2





Ví dụ 7: Giải phương trình  x  1 2 x  1  3 3 x  6  x  6 .
Giải.
Điều kiện: x  1  0  x  1
Ta thấy x  1 không thỏa phương trình





Khi đó  x  1 2 x  1  3 3 x  6  x  6
 2 x 1  3 3 x  6 


x6
x 1

 2 x 1  3 3 x  6 

x6
0
x 1
x6
x 1

Xét hàm số f  x   2 x  1  3 3 x  6 
Ta thấy f là hàm liên tục trên 1,  
 f ' x 

1

x 1

1
3

 x  6

2



7


 x  1

2

 0, x  1,  

Suy ra f đồng biến trên 1,  
Ta thấy f  2   0  x  2 là nghiệm duy nhất của phương trình
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  2 .
 Bài tập rèn luyện:
1) Giải phương trình

3  x  x2  2  x  x2  1 .

2) Giải phương trình 4 x  2  22  3x  x 2  8 .
3) Giải phương trình

x  2  4  x  6 x  18 .

4) Giải phương trình 3x7  5  4 x  3  x3 .
5) Giải phương trình 2 x  2  2 x  1  x  1  4 .
6) Giải phương trình 15  x  3  x  6 .
8


7) Giải phương trình

2  19  2 x
1.
x


5
3
8) Giải phương trình x  x  1  3x  4  0 .

9) Giải phương trình

3x  1  x  7 x  2  4 .

10) Giải phương trình

3x  5  2 x  3  2  12  x .

11) Giải phương trình

3x  1  8  x  1 .

12) Giải phương trình

x2  x  4  x2  4x  4  3 x .

13) Giải phương trình 15  3 x 2  2 x  3  3 x 2  2 x  6 .
14) Giải phương trình

4x 1  4 x2 1 1  0 .

 Hướng dẫn giải
1) 3  x  x 2  2  x  x 2  1

1

Giải

3  x  x  0
Điều kiện 
2
2


2  x  x  0

t  3
t  2

Đặt t  x 2  x với 

Khi đó 1  3  t  2  t  1

 2

Xét f  t   3  t  2  t
Ta thấy f là hàm liên tục trên  3, 2
f ' t  

1
1

 0, x   3, 2 
2 3t 2 2t

Suy ra f là hàm đồng biến trên  3, 2 .

Ta nhận thấy f 1  1  t  1 là nghiệm duy nhất của phương trình  2  .
Vậy phương trình  2  có nghiệm duy nhất t  1 .

9



5 1
x 
2
Khi đó ta có x 2  x  1  x 2  x  1  0  

5 1
x 

2

2) 4 x  2  22  3x  x 2  8 .
Giải
 x  2

Điều kiện:  22
 x  3

Khi đó 4 x  2  22  3x  x 2  8  4 x  2  22  3x  x 2  8  0
Xét f  x   4 x  2  22  3x  x 2  8
22
Ta thấy f là hàm liên tục trên  2, 



f ' x 

3

2
3
22 


 2 x  8  0, x   2, 
3 
x  2 2 22  3x


22
Suy ra f nghịch biến trên  2, 


3

Ta nhận thấy f  2   0  x  2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  2 .
3).

x  2  4  x  6 x  18 .

Giải
x  2
x  4


Điều kiện: 
Khi đó:

x  2  4  x  6 x  18  x  2  4  x  6 x  18  0

Xét f  x   x  2  4  x  6 x  18
Ta thấy f là hàm liên tục trên  2, 4
f ' x 

1
1

 6  0, x   2, 4  .
2 x2 2 4 x

10


Suy ra f là hàm đồng biến trên  2, 4 .
Ta nhận thấy f  3  0  x  3 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  3
4) 3x7  5  4 x  3  x3 .
Giải
5
4

Điều kiện: x 

Khi đó 3x7  5  4 x  3  x3  3x7  5  4 x  3  x3  0
Xét f  x   3x7  5  4 x  3  x3

5
Ta thấy f  x  là hàm liên tục trên  ,  .
4

2
5

 3x 2  0, x   , 
4
5  4x


f '  x   21x 6 

5
Suy ra f là hàm đồng biến trên  , 
4


Ta nhận thấy f 1  0  x  1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  1 .
5). 2 x  2  2 x  1  x  1  4 .
Giải
Ta có : 2 x  2  2 x  1  x  1  4



2




2

x 1 1  x 1  4

1

Điều kiện x  1
Khi đó:

1  2
2



x 1 1  x 1  4



x 1 1  x 1  4

 x 1  2

Xét f  x   x  1
11


Ta thấy f là hàm liên tục trên  1,  
f ' x 


1
 0, x   1,  
2 x 1

Suy ra f là hàm đồng biến trên  1,  
Ta nhận thấy f  3  2  x  3 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  3 .
6) 15  x  3  x  6 .
Giải
Điều kiện:
15  x  0  x  15

 x3

3  x  0
x  3

Xét f  x   15  x  3  x
Ta thấy f là hàm liên tục trên  ,3
f ' x  

1
1

 0, x   ,3
2 15  x 2 3  x

Suy ra f là hàm nghịch biến trên  ,3
Ta nhận thấy f  1  6  x  1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  1 .

7)

2  19  2 x
1.
x

Giải
Điều kiện :
x  0
x  0
19

  19  x 

2
19  2 x  0
 x  2

Khi đó:

12


2  19  2 x
1
x
 2  19  2 x  x
  19  2 x  x  2

Xét f  x    19  2 x  x

19



Ta thấy f là hàm liên tục trên  ,  
2

f ' x 

1
 19

 1  0, x   ,  
19  2 x
 2


19



Suy ra f là hàm đồng biến trên  ,  
2

Ta nhận thấy f  5   2  x  5 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  5 .
5
3
8) x  x  1  3x  4  0 .


Giải
Điều kiện: x 
Xét

1
3

f  x   x 5  x 3  1  3x  4

.


1

Ta thấy f là hàm liên tục trên  , 
3

f '  x   5 x 4  3x 2 

3
1

 0, x   , 
3
2 1  3x




1


Suy ra f là hàm đồng biến trên  , 
3

Ta nhận thấy f  1  0  x  1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  1 .
9)

3x  1  x  7 x  2  4 .

Giải
Điều kiện:
13



1
1

x   3
x   3


2
2
7  57


 x  
x

x  
7
7
2


x   7x  2 
7  57

x 


2

Xét f  x   3x  1  x  7 x  2
 7  57

,  
 2


Ta thấy f là hàm liên tục trên 

7
1
3
2 7 x  2  0, x   7  57 ,  
f ' x 




2
2 3x  1 2 x  7 x  2


 7  57

,  
 2


Suy ra f là hàm đồng biến trên 

Ta nhận thấy f 1  4  x  1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  1 .
10) 3x  5  2 x  3  2  12  x .
Giải
Điều kiện:
5

x


3
5


3

x 

3
x    
2

 x  12
 x  12



Khi đó: 3x  5  2 x  3  2  12  x  3x  5  2 x  3  2  12  x  0
Xét f  x   3x  5  2 x  3  12  x  2
5



Ta thấy f là hàm liên tục trên  ,12
3 
f ' x 

3
1
1
5



 0, x   ,12 
2 3x  5
2x  3
12  x

3


14


5
Suy ra f là hàm đồng biến trên  ,12
3 

Ta nhận thấy f  3  2  x  3 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  3 .
11)

3x  1  8  x  1 .

Giải
Điều kiện:
1

1
x  
3 x

3
 x  1

Khi đó:
3x  1  8  x  1  3x  1  x  1  8


Xét f  x   3x  1  x  1
1
Ta thấy f là hàm liên tục trên  ,  
3

f ' x 



3
1
 1


 0, x   ,  
3
2 3x  1
x 1



1
Suy ra f là hàm đồng biến trên  ,  
3



Ta nhận thấy f  8   8  x  8 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  8 .
12)


x2  x  4  x2  4x  4  3 x .

Giải
 x2  x  4  0

Điều kiện:  x 2  4 x  4  0  x  0
x  0


Ta thấy x  0 không là nghiệm của phương trình
Nên

x2  x  4  x2  4x  4  3 x  x  1 

4
4
 x4  3
x
x

1
15


Đặt t  x 

4
với t  4 khi đó 1  t  1  t  4  3
x


 2

Xét f  t   t  1  t  4 Ta thấy f là hàm liên tục trên  4,  
 f ' t  

1
1

 0, x   4,  
2 t 1 2 t  4

Suy ra f là hàm đồng biến trên  4,  
Mà f  5   3  t  5 là nghiệm duy nhất của phương trình  2 
Vậy phương trình  2  có nghiệm duy nhất t  5
x  1
x  4

4
x

Với t  5  x   5  x 2  5 x  4  0  

Vậy phương trình đầu có nghiệm là S  1, 4 .
13) 15  3 x 2  2 x  3  3 x 2  2 x  6 .
Giải
Điều kiện:
3 2

15  x  2 x  0

 3 2

3  x  2 x  0

Đặt t  3 x 2  2 x
Khi đó ta có phương trình:
15  t  3  t  6

Điều kiện:
t  15
t 3

t  3

Xét f  t   15  t  3  t
Ta thấy f là hàm liên tục trên  ,3
f ' t   

1
1

 0, x   ,3
2 15  t 2 3  t

Suy ra f là hàm nghịch biến trên  ,3
16


Ta nhận thấy f  1  6  t  1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất t  1 .

Khi đó ta có
 3 x 2  2 x  1

 x 2  2 x  1
 x2  2 x  1  0
 x 1

Vậy x  1 là nghiệm cần tìm.
14)

4x 1  4 x2 1 1  0 .

Giải

Điều kiện:
1

1
x 
 x
4

2
4 x 2  1  0


Khi đó ta có:
4 x 1  4 x2 1 1  0  4 x 1  4 x2 1  1

Xét


f  x   4 x 1  4 x2 1
1



Ta thấy f là hàm liên tục trên  ,  
2

 f ' x 

2
4x
1


 0, x   ,  
2
4x 1
2

4x 1

1
Suy ra f là hàm đồng biến trên  ,  
2

1




1

Ta nhận thấy f    1  x  là nghiệm duy nhất của phương trình.
2
2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 

1
2

17


2.1.1 Dạng 2: Biến đổi phương trình về dạng f u  x    f v  x   với f là
hàm đơn điệu.
 Dấu hiệu: phương trình có thể đưa về dạng f u  x    f v  x   .
 Phương pháp:
o Bước 1: Biến đổi phương trình đưa về dạng f u  x    f v  x  
o Bước 2: Chứng minh f đơn điệu
o Bước 3: Từ f u  x    f v  x    u  x   v  x 
o Bước 4: Giải phương trình u  x   v  x  và kết luận nghiệm.
 Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình 3x  5  3 3x  5  8 x3  36 x 2  56 x  30 .
Giải
Ta có :
3x  5  3 3x  5  8 x3  36 x 2  56 x  30
 3 x  5  3 3 x  5   2 x  3  2 x  3
3


Xét f  t   t 3  t trên
f '  t   3t 2  1  0, t 

Ta có : f



3

.Ta có f liên tục trên
suy ra f là hàm đồng biến trên



3 x  5  f  2 x  3

 3 3x  5  2 x  3
 3 x  5   2 x  3

3

x  2
 3x  5  8 x  36 x  54 x  27  8 x  36 x  51x  22  0  
x  5  3

4
3

2


3

2

 5 3


4 




Vậy phương trình có nghiệm là S  2,

Ví dụ 2: Giải phương trình x3  2 x  3  x2  1 3 3x2  1 .
Giải
Ta có

18


8 x3  4 x  3  x 2  1 3 x 2  1
 8 x3  4 x   3 x 2  1 3 x 2  1  2 3 x 2  1
3

  2 x   2  2 x  3x 2  1  2 3x 2  1
3

Xét f  t   t 3  2t trên


. Ta thấy f là hàm liên tục trên

f '  t   3t 2  2  0, t 

suy ra f là hàm đồng biến trên

Ta có :
f  2x   f





3x 2  1  2 x  3x 2  1

 4 x 2  3x 2  1  x 2  1
x  1

 x  1

Vậy phương trình có nghiệm là S  1,1
Ví dụ 3 : Giải phương trình 4 x3  x  8x  3 2 x  1  0 .
Giải.

Điều kiện: x  

1
2

Ta có :

4 x 3  x   8 x  3 2 x  1  0
 4 x3  x   8 x  5  2 x  1
 4 x3  x  4  2 x  1 2 x  1  2 x  1
3

 4 x3  x  4 2 x  1  2 x  1

Xét f  t   4t 3  t trên

. Ta thấy f là hàm liên tục trên

f '  t   12t 2  1  0, t 

suy ra f là hàm đồng biến trên

Ta có :
f  x  f





2x  1  x  2x  1
 x2  2 x  1  0
x  1 2

 x  1  2




Vậy phương trình có nghiệm là S  1  2,1  2


19


Ví dụ 4 : Giải phương trình x3  4 x 2  5 x  6  3 7 x 2  9 x  4 .
Giải.
Ta có x3  4 x 2  5 x  6  3 7 x 2  9 x  4
 x3  4 x 2  5 x  6  7 x 2  9 x  4  7 x 2  9 x  4  3 7 x 2  9 x  4
 x3  3x 2  4 x  2  7 x 2  9 x  4  3 7 x 2  9 x  4
  x  1  x  1  7 x 2  9 x  4  3 7 x 2  9 x  4
2

Xét f  t   t 3  t trên

. Ta thấy f liên tục trên

f '  t   3t 2  1  0, t 

Ta có : f  x  1  f



3

suy ra f là hàm đồng biến trên

7 x2  9x  4




 x  1  3 7 x2  9 x  4
  x  1  7 x 2  9 x  4
3

 x3  3x 2  3x  1  7 x 2  9 x  4  x3  4 x 2  6 x  5  0


x  5

1  5
  x 
2

 x  1  5

2

 1  5 1  5 

,

2
2 




Vậy phương trình có nghiệm là S  5,


Ví dụ 5: Giải phương trình 8  12 x  12 x2  4 x3  2 x3  3  x  3  2 x .
Giải.
Điều kiện : 3  2 x  0  x 

3
2

Ta nhận thấy x  0 không phải là nghiệm của phương trình
Nên với x  0 ta có : 8  12 x  12 x2  4 x3  2 x3  3  x  3  2 x


8 12 12
   4   6  2x  3  2x
x3 x 2 x

1

20


1
x

Dặt a  , b  3  2 x ,  b  0 
Khi đó 1  8a 3  12a 2  12a  4   3  b 2  b
  2a  1  3  2a  1   3  b2  b
3

Xét


f  t   t 3  3t

trên

f '  t   3t 2  3  0, t 

.Ta thấy f liên tục trên
suy ra f là hàm đồng biến trên
2
x

Mà ta có f  2a  1  f  b   2a  1  b   1  3  2 x
 2  x  x 3  2x   2  x   x2 3  2x 
2

 2 x3  2 x 2  4 x  4  0
x  1

x   2



Vậy phương trình có nghiệm là S  1, 2,  2



Ví dụ 6: Giải phương trình 3x  2 x  1  x 2  x  1 

4

3  0 .
3x

Giải.
4
4

 3 0
x 
Điều kiện :  3 x

9
 x  0
 x  0

Khi đó ta có : 3x  2 x  1  x 2  x  1 
  2 x  1  x 2  x  1 

4
3  0
3x
1 4
3  0
3x 3x

 8 x3  12 x 2  12 x  4 

4 4
3  0
3x 3x


3
 4
 4
  2 x  1  3  2 x  1    3  3 
3  0
 3x
 3x

21


4
3
 4
 4
  2 x  1  3  2 x  1    3 
3 3
3  0
3x
 3x
 3x
3





4
4

  2 x  1  3  2 x  1   
 3   3  
 3 
 3x

 3x

3

Xét

f  t   t 3  3t

trên

.Ta thấy f liên tục trên

f '  t   3t 2  3  0, t 

suy ra f là hàm đồng biến trên




4

4

Mà ta có : f  2 x  1  f  
 3   2 x  1  

3
3x
 3x

4
4
2
 3  1  2 x    3
3x
3x

 1 2x 

 x  12

 3x3  3x 2  3x  1   x  1  2 x3
3

 x 1   3 2x  x 

3

1
2 1

Vậy phương trình có nghiệm là x 
Ví dụ 7: Giải phương trình




1
3
2 1

x2  1  x





4x2  4x  2  2x  1  1 .

Điều kiện x 
2

x 1  0
Vì  2
2

4 x  4 x  2   2 x  1  1  0

Ta có



x2  1  x



x 




4x2  4x  2  2x  1  1

 4x2  4x  2  2x  1 
 4x2  4x  2  2x  1 

1
x2  1  x
x2  1  x
x2  1  x2

 4 x2  4 x  2  2 x  1  x2  1  x



Xét

 2 x  1

2

1  2x 1 

f t   t 2  1  t

trên

x


2

1  x

.Ta thấy f liên tục trên

22