Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT
Ứng dụng hàm số trong giải toán
Bài toán 1:
Tìm m để bất phương trình:
mxxxx ≥++++ )64)(3)(1(
2
thoả mãn với mọi
Rx ∈
Hướng dẫn:
Đặt
34
2
++= xxt
2042' −=⇔=+=⇒ xxt
Ta có BBT:
x -
∞
-2 +
∞
t’ - 0 +
t
+
∞
-1
+
∞
Vậy
1−≥t
với mọi
Rx ∈
.

Khi đó ta có:
mtt ≥+ 3
2
(*)
Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi
Rx
∈
khi và chỉ khi bất
phương trình (*) nghiệm đúng với mọi
1−≥t
.
Xét hàm số:
tty 3
2
+=
với
1−≥t
Có
2
3
032' −=⇔=+= tty
BBT:
t -
∞
2
3
−
1 +
∞
y’ - 0 0 +

y
+
∞
-1 -2
+
∞
Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi
21
−<⇔−≥
mt

Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi
2
−<⇔∈
mRx

Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình
1
Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT
Bài toán 2: Tìm điều kiện của a để :
182)2)(4(4
2
−+−≤+−− axxxx
nghiệm đúng với mọi
]4,2[−∈x
Hướng dẫn:
* TXĐ:
]4,2[−∈x
.
Đặt

82
2
++−= xxu
với
]4,2[−∈x
Có
10
82
1
'
2
=⇔=
++−
+−
= x
xx
x
u
BBT:
x
-∞
-2 -1 4
+∞
u’ + 0 -
u

0
3
0
Vậy:

30
≤≤
u
Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:
auu ≤+− 104
2
Xét hàm số:
104
2
+−=
uuy
với
30
≤≤
u
Có :
2042'
=⇔=−=
uuy
BBT
x
-∞
0 2 3
+∞
u’ - 0 +
u
10
6
7
Vậy để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi

]4,2[−∈x
[ ]
a
Maxy
u
≤⇔
∈ 3,0
1010 ≥⇔≤⇔ aa
Bài toán 3: Tìm m để phương trình:
12318511 +=−−−−−++ mxxxx
có nghiệm.
có nghiệm?
Hướng dẫn :
Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình
2
Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT
* TXĐ:
]5,1[∈∀x
Đây là một dạng phương trình “không mẫu mực”, tức là ta không thể luỹ
thừa 2 vế của phương trình để giải. Đối với các loại phương trình này người ta
thường giải bằng cách đánh giá giá trị của 2 vế của phương trình đó. ở bài toán này
ta sẽ khảo sát hàm số
xxxxy 318511 −−−−−++=
trên tập xác định của nó là đoạn
]5,1[
. Khi đó việc tìm m để phương trình có
nghiệm hoàn toàn có thể thực hiện được.
Ta có
]5,1[,0
3182

1
52
1
12
1
12
1
' ∈∀>
−
+
−
+
−
+
+
= x
xxxx
y
Do đó hàm số đồng biến trên đoạn [1,5] và:
1522)1( −−=y
;
362)5( −+=y
Ta có BBT sau:
x
-∞
1 5
+∞
y’ +
y


1522 −−
362 −+
Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm khi :
362121522 −+≤+≤−− m
;
2
262
2
1522 −+
≤≤
−−
⇔ m
Bài toán 4: Tìm điểu kiện để phương trình:
mxxxx =−+−−++ )6)(3(63
Hướng dẫn :
* TXĐ:
[ ]
6,3−∈∀x
Đây là một bài toán thường gặp trong các bài thi Đai học. Đối với bài toán
này ta có thể sử dụng một số phương pháp khác như: Phương pháp tam thức bậc 2,
phương pháp chuyển hệ phương trình và sử dụng điều kiện đường tròn
Đặt:
xxt −++= 63
,
[ ]
6,3−∈∀x
Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình
3
Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT
Ta có:

2
3
0
)6)(3(2
36
62
1
32
1
' =⇔=
−+
+−−
=
−
−
+
= x
xx
xx
xx
t
x
-∞
-3 3/2 6
+∞
t’ + 0 -
t
3
23
3

Vậy
[ ]
23,3∈t
Khi đó ta có:
2
9
)6)(3()6)(3(29
2
2
−
=−+⇔−++=
t
xxxxt
Vậy phương trình đã cho trở thành:
mtt 292
2
=++−
Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ẩn t có
nghiệm
[ ]
23,3∈t
.
Xét hàm số:
92
2
−+−= tty
,
[ ]
23,3∈t
.

có:
1022' =⇔=+−= tty
BBT:
t
-∞
1 3
23
+∞
y’ 0 -
y
6
926 −
Vậy phương trình có nghiệm khi:
3
2
926
62926 ≤≤
−
⇔≤≤− mm
Bài toán 5: Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
1
3
1
2
2
++=







−
mm
xx
. (1)
Hướng dẫn:
Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình
4
Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT
Vì
mmm ∀>++ 01
2
nên ta có:
(1)
)1(log
3
1
log.2
2
3
1
3
1
2
++=−⇔ mmxx
)1(log2
2
3
1

2
++=−⇔ mmxx
Đặt:
)1(log
2
3
1
++= mmM
Mxx =−⇔ 2
2
Xét
xxy 2
2
−=
Ta có bảng biến thiên sau:
x 0 1 2
xxy 2
2
−=
xx 2
2
−
-(
xx 2
2
−
)
xx 2
2
−

y’ 2x-2 2-2x 2x-2
y’ - + 0 - +
xxy 2
2
−=
1
0 0
Từ BBT ta thấy: Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ
khi:
10
<<
m
⇔

1)1(log0
2
3
1
<++< mm
⇔
11
3
1
2
<++< mm
⇔
01
<<−
m
Bài toán 6: Biện luận số nghiệm của phương trình

1
2
+=+ xmmx
Hướng dẫn:
TXĐ: R
⇔

)11(
2
−+= xmx
⇔

22
)11( mxxx =++
Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình
5
Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT
⇔



=++
=
mxx
x
11
0
2
Vậy phương trình luôn có nghiệm x=0.
Với

0
≠
x
ta có:
x
x
m
11
2
++
=
Xét hàm số:
( )
0;
11
2
≠
++
= x
x
x
y
0,0
1
1
1
)1(
'
2222
22

≠∀>
+
−
=
+
+−
=⇒ x
xxxx
xx
y
Vậy hàm số nghịch biến với mọi
0≠x
.
Và:
1
11
limlim;1
11
limlim
22
+=
++
=−=
++
=
+∞→
+∞→
−∞→
−∞→
x

x
y
x
x
y
x
x
x
x
+∞=
++
=−∞=
++
=
+
+
−
−
→
→
→
→
x
x
y
x
x
y
x
x

x
x
11
limlim;
11
limlim
2
0
0
2
0
0
Ta có BBT sau:
x -
∞
0 +
∞
y’ - -
y
-1
-
∞
+
∞
+1
Kết luận: Với
11 ≥∨−≤ mm
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Với
11 <<− m

Phương trình có 1 nghiệm duy nhất x=0
Bài toán 7: Tìm các giá trị của m để hệ phương trình :



=++
=−+
myxyx
yxyx
22
22
12
(I)
có nghiệm?
Hướng dẫn:
* Với y=0 , hệ trở thành:



=
=
mx
x
2
2
12
. Hệ có nghiệm khi
2
1
=m

.
* Với
0≠y
, ta đặt
t
y
x
=
. Khi đó hệ trở thành





−+=++
=−+
)12(1
1
12
22
2
2
ttmtt
y
tt
(II)
Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình
6
Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT
Vậy để hệ phương trình (I) có nghiệm (x,y) khi và chỉ khi hệ phương trình

(II) có nghiệm (t,y).
Từ hệ (II) xét phương trình :
2
2
1
12
y
tt =−+
ta có:




>
−<
⇔>−+
2
1
1
012
2
t
t
tt
Do đó hệ phương trình (II) có nghiệm (t,y)
12
1
2
2
−+

++
=⇔
tt
tt
m
có nghiệm
),
2
1
()1,( +∞∪−−∞∈t
.
Xét hàm số:
12
1
)(
2
2
−+
++
=
tt
tt
tf
trên
),
2
1
()1,( +∞∪−−∞
Ta có:
22

2
)12(
26
)('
−+
++
−=
tt
tt
tf
;



+−=
−−=
⇔=
73
73
0)('
t
t
tf
Lập bảng biến thiên:
t
-∞
73 −−
-1
73 +−
2

1
+∞
f’(t) - 0 + + 0 - -
f(t)
2
1
71128
7514
+
+
+∞
+∞
2
1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ
khi:
71128
7514
+
+
≥m
Bài toán 8: Tìm điều kiện của a để hệ phương trình



=+
=+
)2(
)1(
22

22
xaxy
yayx
có
nghiệm duy nhất?
Hướng dẫn:
Trừ hai vế của hai phương trình cho nhau ta có:



=++
=
⇒=++−
0
0))((
yxxy
xy
yxxyyx
TH1: Nếu y=x thay vào phương trình (1) ta có:
23
xxa +−=
.
Số cặp nghiệm của hệ phương trình là số nghiệm của phương trình:
23
xxa +−=
Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình
7
Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT
Xét hàm số
23

)( xxxf +−=
Ta có:




=
=
⇔=+−=
3
2
0
023)('
2
x
x
xxxf
BBT:
x
-∞
0
3
2
+∞
f’(x) - 0 + 0 -
f(x)
+∞
0
27
4

-∞
Vậy: - Với
),
27
4
()0,( +∞∪−∞∈a
Hệ có một cặp nghiệm.
- Với




=
=
27
4
0
a
a
Hệ đã cho có 2 cặp nghiệm phân biệt.
- Với
)
27
4
,0(∈a
Hệ đã cho có 3 cặp nghiệm phân biệt.
TH2: Nếu
1
0
+

−
=⇔=++
x
x
yyxxy
vì
1−≠x
Thay vào phương trình (1) ta có:
2
234
)1( +
++
=
x
xxx
a
Xét hàm số
2
234
)1(
)(
+
++
=
x
xxx
xg
với
1−≠x
Ta có:

4
2
)1(
)12)(2)(1(
)('
+
++++
=
x
xxxxx
xg
Vậy





−≠
−=
=
⇔=
1
2
0
0)('
x
x
x
xg
BBT:

x
-∞
-2 -1 0
+∞
g’(x) - 0 + - 0 +
g(x)
+∞
12
+∞ +∞ +∞
Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình
8
Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT
0
Vậy: - Với a<0 Hệ phương trình vô nghiệm.
- Với a=0 Hệ có 1 cặp nghiệm.
- Với
)12.0(∈a
Hệ có 2 cặp nghiệm.
- Với a=12 Hệ có 3 cặp nghiệm.
- Với
),12( +∞∈a
Hệ có 4 cặp nghiệm.
Kết luận: Vậy với m<0 Hệ phương trình đã cho có 1 cặp nghiệm duy nhất.
Bài toán 9:
1/. Tìm miền giá trị của hàm số:
x
x
y
4cos3
4cos

2
+
=
2/. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
xmxx 4coscossin
2244
=+
.
Hướng dẫn:
1/. Đặt
]1,1[4cos −∈⇒= txt
, như vậy bài toán trở thành tìm miền giá trị cử
hàm số:
]1,1[,
3
2
−∈
+
= t
t
t
y
Ta có:



−=
=
⇒=
+

+
=
6
0
0
)3(
6
'
2
2
x
x
t
tt
y
Vậy ta có BBT sau:
t
-∞
-1 0 1
6 +∞
y’ - 0 +
y

2
1
0
4
1
Vậy miền giá trị của hàm số đã cho là:
2

1
0 ≤≤ y
2/. Xét phương trình:
xmxx 4coscossin
2244
=+

xmx 4cos44cos3
22
=+⇔
Vì m=0 không thoả mãn phương trình nên ta có:
2
2
4
1
4cos3
4cos
m
x
x
=
+
Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình
9
Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT
Từ câu 1/. ta thấy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
2
1
2
1

4cos3
4cos
0
2
2
≥⇔≤
+
≤ m
x
x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nếu:
2
2
≥m
Bài toán 10: Tìm điều kiện để phương trình:
tgxxmx += 1.cos.2cos
2
có
nghiệm






∈
3
;0
π
x

Giải: Với






∈
3
;0
π
x
ta có
[ ]
3;0∈tgx
Phương trình đã cho tương đương với:
xtg
tgx
m
xtg
xtg
22
2
1
1
.
1
1
+
+

=
+
−





=+−






∉+−=⇔−=⇔=+
⇔
+=+−⇔
(*)1)1(
3
;0
4
101
1.)1)(1(
mtgxtgx
kxtgxtgx
tgxmtgxtgx
π
π
π

Vậy để phương trình đã cho có nghiệm






∈
3
;0
π
x
khi và chỉ khi (*) có
nghiệm






∈
3
;0
π
x
Xét phương trình:
mtgxtgx =+− 1)1(
Đặt






−=






+∈
⇒+=
1
31;1
1
2
ttgx
t
tgxt
Khi đó ta có: m=(2-t
2
).t=-t
3
+2t
Xét hàm số y=-t
3
+2t trên đoạn







+ 31;1
Ta có:
3
6
023'
2
±=⇔=+−= tty
Và có:
)13(2)31(;1)1( −−=+= yy
Vậy ta có BBT như sau:
t -∞
3
6−
1
31+
3
6−
+∞
y' 0 0
Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình
10
Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT
y
1
)13(2 −−
Vậy phương trình có nghiệm khi
))13(2;1( −−∈m

Bài 11: Cho tam giác ABC có góc
CBA ≥≥
Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
Asin
sin2Csin2BP
++=
Giải: Ta có:
Asin
sin2Csin2BP
++=
A
A
CB
A
CB
A
CBCB
sin
4
sin2
)1)(cos(;
sin
4
)sin(2
sin
4
)cos().sin(2
+≤
≤−++≤

+−+=
Đặt x=sinA. Theo bài ra có
CBA ≥≥
và A+B+C=180
0
vậy
0
60≥A
Vậy






∈ 1;
2
3
x
Khi đó ta có:
x
xP
4
2 +≤
Xét hàm số:
x
xy
4
2 +=
với







∈ 1;
2
3
x
Ta có:
2
2
2
424
2'
x
x
x
y
−
=−=
Vây y'=0




−=
=
⇔=−⇔

2
2
042
2
x
x
x
Ta có bảng biến thiên như sau:
x
2−
2
3
1
2
y' 0 - 0
y
3
11
6
Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình
11
Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT
Vậy






∈∀≤ 1;

2
3
;
3
11
xy
3
11
≤≤⇒ yP
Kết luận:
3
11
=MaxP
khi và chỉ khi:













=
=
=

⇔





=
=−
3
2
3
2
3
sin
1)cos(
π
π
A
A
CB
A
CB
C:/ Kết luận :
Hàm số và ứng dụng của nó có một vai trò quan trọng trong chương trình
THPT, nó có tác dụng rất lớn trong các bài toán biện luận số nghiệm của phương
trình, hệ phương trình, bất phương trình Mặt khác các bài toán này thường được
đề cập rất nhiều trong các kỳ thi, đặc biệt là các kỳ thi thuyển sinh vào các trường
Đại học - Cao đẳng - THCN.
Với chuyên đề này tôi đã áp dụng đối với một số lớp 12 và học sinh khá giỏi
và nhận thấy là hiệu quả tương đôi khả quan trong các bài toán biện luận phương

trình và hệ phương trình Đại số.
Do đó qua bài viết này tôi muốn nhấn mạnh những ưu điểm của việc sử dụng BBT
của hàm số trong việc giải toán phổ thông. Tuy nhiên trong bài viết này có nhiều
vấn đề tôi chưa đề cập đến và cũng không tránh khỏi những thiếu sót. Mong bạn
đọc thông cảm và bổ sung ý kiến để đề tai hoàn thiện và có tác dụng tốt hơn nữa.
Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình
12
Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT
D/. Một số bài toán tương tự:
1/. Tìm điều kiện của m để phương trình:
mxxxx =−+++−++ 3131
44
có
nghiệm duy nhất.
2/. Tuỳ thuộc vào m biện luận số nghiệm của hệ phương trình:





=+−
=+−
mxyx
myxy
2)(
2)(
2
2
3/. Biện luận số nghiệm của phương trình:
13

2
+=+ xmx
theo m
4/. Tuỳ thuộc vào a biện luận số nghiệm phương trình:
axaxa =−++ 22
5/. Tìm điều kiện để phương trình:
mxxxx =−+−−++− 3)24)(28(52428
có nghiệm
6/. Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm






∈
2
;0
π
x
)cos(sincos.sincos.sin2cos2
22
xxmxxxxx +=++
7/. Tìm điều kiện của m để phương trình:
0
cos
1
sin
1
cot

2
1
1)cos(sin =






++++++
xx
gxtgxxxm
có nghiệm
)
2
;0(
π
∈x
Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình
13