De thi hoc sinh goi toan nam 2008 - 209
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (91.09 KB, 4 trang )
Hớng dẫn chấm Toán thi HSG 9 Năm học 2008 2009
Câu ý Điểm
1
4đ
Câu2
3đ
a
2,5đ
b.
1,5đ
a
1đ
Đk:
0 0
9 0 9
4
2 0
x x
x x
x
x
Ta có:
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
. 3 3 3 2 2 9
1 :
3 3 2 3
2 3
3 4 4 3
: .
3 3
2 3
2
3
2
x x x x x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x
x
+ + +
+ +
+
= =
+ +
+
=
Vậy P =
3
2x
P = 1
1 =
3
2x
2 3 5 25x x x = = =
Vậy với x= 25 thì P = 1
Với m = 1 hệ phơng trình đã cho:
( )
2
1 2 1
2
m x my m
mx y m
+ + =
=
Trở thành
2 1
1
x y
x y
=
=
Giải ra ta đợc x = 0; y = 1
0,5đ
0,5đ
1đ
0,5đ
1đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b
2đ
( )
2
1 2 1
2
m x my m
mx y m
+ + =
=
Từ (2) suy ra y = -m
2
+ mx+2 thay vào (1) Ta đợc:
(m+1)x + m(-m
2
+mx+2) = 2m 1
(m
2
+m+1)x = m
3
1
mà m
2
+m+1 = (m+
1
2
)
2
+
3
4
>0 với mọi m
Hệ có nghiệm duy nhất là
1
2
x m
y m
=
= +
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Ta có: P = x.y = (m-1).(2- m) = - m
2
+2m +m -2
= -(m
2
3m +
9
4
) +
1
4
2
3 1 1
2 4 4
m
= +
ữ
Dấu bằng xây ra khi và chỉ khi : m -
3 3
0
2 2
m= =
Vậy gía trị lớn nhất của biểu thức p là: Max P =
1
4
3
2
m =
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 3
3đ
Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
2 2
2 2
2009 2009 2009 2009
2009 2009 2009
2009 2009 2009
x x y y x x y y
x x y y
x x y y
+ + + + + +
= + +
= + +
Vậy
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
2 2
2009 2009 2009 2009
. 2009 2009 *
x x y y x x y y
x y y x
+ + + + = + +
+ = +
Nếu x = 0 suy ra y = 0 suy ra S = 0
Nếu x
0 suy ra y
0 Từ (*) suy ra
( ) ( )
2
2
2 2
2 2 2 2
2 2
2009
0 0
2009
2009
2009 2009
2009
0
0
ma 0 0
x x
xy
y
y
x x
Vay x y x y
y y
x y x y
S x y
xy x y
+
= > <
+
+
= = =
+
+ =
= + =
<
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu 4
Ta có:
2 2 2
0 hoac a = b = c 0
a b c b c a c a b
c a b
a b c b c a c a b
c a b
a b c b c a c a b
c a b
a b c
+ + +
= =
+ + +
+ = + = +
+ + + + + +
= =
+ + =
Vi a+b+c = 0 thì
1 1 1 . .
. . 1
b c a a b b c c a
P
a b c a b a
c a b
a b c
+ + +
= + + + =
ữ ữ ữ
= =
1đ
1đ
Với a = b = c
0
thì
( ) ( ) ( )
1 . 1 . 1 1 1 1 1 1 1 8
b c c
P
a b a
= + + + = + + + =
ữ ữ ữ
1đ
Câu 5
5đ
a
1đ
H
O
B
A
M
N
M1
N1
P
Q
Ta có
ã
ã
1 1 1
M N N M BA=
(Góc có cạnh tơng ứng vuông góc)
Mà
ã
ã
ã
ã
1 1 1
M BA BMN M N N BMN= =
1đ
b
2đ
đặt AM
1
= a
1
; BM
1
= a; AN
1
= b
1
; BN
1
= b
Ta có:
1 1
1 1
;
2
a b
PQ M BN
+
= V
vuông tại B;
1 1
BA M N
2 2
1 1 1 1
. hay a 4BA AM AN b R = =
Gọi H là trực tâm của
thi H ABBPQ V
Xét
PAHV
và
BAQV
có
ã ã
1HAP BAQ v= =
ã
ã
HPA QBA=
(Cùng phụ với
ã
AQB
)
1 1
2
1 1
hay AH : : 2
2 2
4
2
4 4 2
b aAH PA
PPH BAQ R
AQ BA
a b R R
AH AH
R R
= =
= = =
V V
Vậy trực tâm H của
BAQV
là trung điểm của OA
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
c
2đ
Ta có: S
BPQ
= 1/2 AB.PQ = R. PQ Suy ra:
S
BPQ
nhỏ nhất khi PQ nhỏ nhất.
Suy ra M
1
N
1
nhỏ nhất (Vì 2.PQ = M
1
N
1
)
Từ:
1 1
1 1
2
2
a b
PQ PQ a b
+
= = +
mà a
1
.b
1
= 4R
2
không đổi
2PQ = a
1
+b
1
nhỏ nhất khi a
1
= b
1
= 2R.
PQ = 2R khi và chỉ khi M
1
N
1
= 4R = 2AB
AB = 1/2M
1
N
1
và AM
1
= AN
1
Tam giác BM
1
N
1
cân
ã
ã
ã
ã
1 1 1 1 1 1
/ /
tai O
BMN BNM BN M BM N MN M N
MN AB
= = =
Vậy Min S
PQR
= 2R
2
khi MN vuông góc với AB tại O
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
C©u 6
2®
Ta cã:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 2 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
. 1 . . 1
1 . 1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1
x y xy x xy y xy
x y x y y x y x
xy x xy y
x xy y xy x y xy
y x x y y x
y x x xy yx y
x y xy x y xy
y x xy y x y x
x y
+ − = − + −
÷ ÷
+ + + + + + +
− + + − +
− −
= + =
+ + + + + + +
− + − +
− + − −
= =
+ + + + + +
− − − −
=
+ + +
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
1
0 x 1; y 1
1 1 1
y x xy
Vi
xy x y xy
− −
= ≥ ≥ ≥
+ + +
VËy
2 2
1 1 2
1 1 1x y xy
+ ≥
+ + +
0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
