Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI HSG 11 YÊN LẠC 2 – VP - 2019 – TỔ 2

ĐỀ KSCL ĐỘI TUYỂN HSG KHỐI 11
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2 – VĨNH
PHÚC
MÔN TOÁN
TIME: 180 PHÚT
Câu 1 (1,0 điểm).

a) [1D1-3.3-3] Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
b) [1D1-3.5-2] dGiải phương trình:

y=

cos x + 2sin x + 3
2cos x − sin x + 4 .

cos 2 x + ( 1 + 2cos x ) ( sin x − cos x ) = 0 .

Câu 2 (1,0 điểm).

[1D1-3.5-2] Cho tam giác

ABC

có

· = 90°
BC = a, AB = c, AC = b . Biết góc BAC

theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính số đo góc

và

a,

2
b, c
3

B, C .

Câu 3 (1,0 điểm).
[1D2-3.2-3] Cho

n

là một số nguyên dương. Gọi

2
đa thức của ( x + 1) ( x + 2 )
n

n

. Tìm

a3n− 3


là hệ số của

x3n − 3

trong khai triển thành

n sao cho a3n− 3 = 26n ?.

Câu 4 (1,0 điểm).
[1D2-2.1-4] Cho các chữ số 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Từ 8 chữ số trên lập được bao nhiêu số tự
nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau sao cho tổng 4 chữ số đầu bằng tổng 4 chữ số cuối?
Câu 5 (1,0 điểm).

[1D4-1.7-4] Cho dãy số
quát và tính

( un )

u1 = 2019


1
n
un +1 = n +1 un +
thỏa mãn: 
2019n . Tìm công thức số hạng tổng

lim un .

Câu 6 (2,0 điểm).

Cho

hình

chóp

S .ABCD

có

đáy

ABCD

là

· = 600 , SA ⊥ ( ABCD), SA = a 3.
AD = 2a, AB = BC = CD = a, BAD
M
uuur uuur r uur uur r
mãn 3MB + MS = 0, 4 IS + 3ID = 0. Mặt phẳng ( AIM ) cắt SC tại N .

hình
và

I

thang

có


là hai điểm thỏa


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

SD

Đề THI HSG 11 YÊN LẠC 2 – VP - 2019 – TỔ 2

a)

Chứng minh rằng đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng

b)

Chứng minh

c)

Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng

( AIM ).

·ANI = 900 ; ·AMI = 900.

( AMI )


và hình chóp

S .ABCD.

Câu 7 (1,0 điểm).
Cho tứ diện
phẳng

(α )

ABCD , gọi G

đi qua

G′

BCD , G′

là trung điểm của

lần lượt tại

B′, C ′, D′ . Tính

là trọng tâm tam giác

cắt các cạnh

AB, AC , AD


AB AC AD
+
+
AB′ AC ′ AD′ .
Câu 8 (1,0 điểm).
[1D4-3.4-4] Cho

n số a1 , a2 ,..., an ∈ [ 0;1] . Chứng minh rằng:

( 1 + a1 + a2 + a3 + ... + an )

2

≥ 4 ( a12 + a22 + a32 + ... + an2 )

AG .

Một mặt


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI HSG 11 YÊN LẠC 2 – VP - 2019 – TỔ 2

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI CHỌN HSG
THPT YÊN LẠC 2 – VĨNH PHÚC
KHỐI 11

Câu 1 (1,0 điểm).


a) [1D1-3.3-3] Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
b) [1D1-3.5-2] Giải phương trình:

y=

cos x + 2sin x + 3
2cos x − sin x + 4 .

cos 2 x + ( 1 + 2cos x ) ( sin x − cos x ) = 0 .
Lời giải

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y=

cos x + 2sin x + 3
2cos x − sin x + 4 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Yên Phương; Fb: Yenphuong Nguyen
Phản biện: Fb:Hieu Le
Với mỗi

x∈ ¡

ta có:

2cos x − sin x + 4 = 2 ( cos x + 1) + ( 1 − sin x ) + 1 > 0

(vì


sin x ∈ [ − 1;1] , cos x ∈ [ − 1;1] )

nên

y=

cos x + 2sin x + 3
⇔ y ( 2cos x − sin x + 4 ) = cos x + 2sin x + 3
2cos x − sin x + 4

⇔ ( y + 2 ) sin x + ( 1 − 2 y ) cos x + ( 3 − 4 y ) = 0
Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi

tương đương

11y 2 − 24 y + 4 ≤ 0 ⇔

(*)

( y + 2) + ( 1 − 2 y ) ≥ ( 3 − 4 y )
2

2

2

2
≤ y≤2
.

11

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho lần lượt là

m=

2
,M = 2
.
11

,


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

b) Giải phương trình:

Đề THI HSG 11 YÊN LẠC 2 – VP - 2019 – TỔ 2

cos 2 x + ( 1 + 2cos x ) ( sin x − cos x ) = 0 .
Lời giải
Tác giả: Lê Trọng Hiếu ; Fb: Hieu Le
Phản biện: Nguyễn Văn Mạnh ; Fb: Nguyễn Văn Mạnh

Ta có:

cos 2 x + ( 1 + 2cos x ) ( sin x − cos x ) = 0

⇔ cos 2 x − sin 2 x + ( 1 + 2cos x ) ( sin x − cos x ) = 0

⇔ ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x ) − ( 1 + 2cos x ) ( cos x − sin x ) = 0
⇔ ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x − 1 − 2cos x ) = 0
⇔ ( cos x − sin x ) ( sin x − cos x − 1) = 0
 cos x − sin x = 0
⇔
 sin x − cos x − 1 = 0
•

π
 π
cos x − sin x = 0 ⇔ sin x − cos x = 0 ⇔ sin  x − ÷ = 0 ⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ )
4
4

 π π
 π
 x − 4 = 4 + k 2π
x = + k 2π
 π
sin x − cos x − 1 = 0 ⇔ 2 sin  x − ÷ = 1 ⇔ 
⇔
( k ∈ ¢)
2

4

 x − π = 3π + k 2π
 x = π + k 2π
 4 4
•

Vậy phương trình có 3 nghiệm :

x=

π
π
+ kπ x = + k 2π x = π + k 2π ( k ∈ ¢ )
;
;
4
2

Câu 2 (1,0 điểm).

[1D1-3.5-2] Cho tam giác

ABC

có

BC = a, AB = c, AC = b . Biết góc

theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính số đo góc

· = 90°
BAC

và

a,


2
b, c
3

B, C .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Mạnh ; Fb: Nguyễn Văn Mạnh
Phản biện: Nguyễn Đức Hoạch ; Fb: Hoạch Nguyễn


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Do

a,

Đề THI HSG 11 YÊN LẠC 2 – VP - 2019 – TỔ 2

2
2 2
b, c
b = ac
theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có 3
(*)
3

Áp dụng định lí sin cho tam giác


ABC

a
b
c
=
=
· = 90° ⇒ sin A = 1
ta có sin A sin B sin C mà BAC

b
c
=
= a ⇒ b = a sin B, c = a sinC = a cosB
Do đó sin B sin C
(vì tam giác
Khi đó (*)

⇔

ABC

vuông tại

A)

2 2 2
a sin B = a 2 cos B ⇔ 2 ( 1 − cos 2 B ) = 3cos B ⇔ 2cos 2 B + 3cos B − 2 = 0
3


1

cosB =

⇔
2

 cosB = − 2(lo¹i)
Với
Vậy

cosB =

1
2 vì

B là góc của tam giác ABC

nên

B = 60° ⇒ C = 30°

B = 60°, C = 30° .

Câu 3 (1,0 điểm).
[1D2-3.2-3] Cho

n

là một số nguyên dương. Gọi


2
đa thức của ( x + 1) ( x + 2 )
n

n

. Tìm

a3n− 3

là hệ số của

x3n − 3

trong khai triển thành

n sao cho a3n− 3 = 26n ?.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Đức Hoạch, Fb: Hoạch Nguyễn
Phản biện: Nguyễn Văn Mộng, FB: Nguyễn Văn Mộng

 n k 2 n −k   n m n − m m   n k 2 n− 2 k   n m n− m m 
( x + 1) ( x + 2) =  ∑ Cn ( x ) ÷. ∑ Cn x .2 ÷ =  ∑ Cn x ÷. ∑ Cn x .2 ÷
Ta có:
 k =0
  m=0
  k =0
  m =0


2

n

n

( m, n, k ∈ ¥ ; 0 ≤ m, k ≤ n ) .


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Xét số hạng chứa
Do

k , m∈ ¥

x3n − 3

thì ta suy ra

nên suy ra

Hệ số của số hạng chứa
Theo giả thiết

( 2n − 2k ) + ( n − m ) = 3n − 3 ⇔ 2k + m = 3 .

( k , m ) ∈ { ( 0;3) , ( 1;1) } .
x3n − 3


a3n− 3 = 26n

là

a3n− 3 = Cn0 .Cn3 .23 + Cn1 .Cn1 .2 .

nên

Cn0 .Cn3 .23 + Cn1 .Cn1 .2 = 26n ⇔
⇔

Đề THI HSG 11 YÊN LẠC 2 – VP - 2019 – TỔ 2

n!
n!
n!
.8 +
.
.2 = 26n
3!( n − 3) ! ( n − 1) ! ( n − 1) !

4n ( n − 1) ( n − 2 )
+ 2n 2 = 26n
⇔ 2n2 − 3n − 35 = 0 ⇔ n = 5 (Do n∈ ¥ ) .
3

Vậy

n = 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Câu 4 (1,0 điểm).
[1D2-2.1-4] Cho các chữ số 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Từ 8 chữ số trên lập được bao nhiêu số tự
nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau sao cho tổng 4 chữ số đầu bằng tổng 4 chữ số cuối?
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Mộng; Fb: Nguyễn Văn Mộng
GVPB: Trần Thanh Sơn; Fb: Trần Thanh Sơn

0+ 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7 = 28, nên để tổng 4 chữ số đầu và tổng 4 chữ số cuối bằng nhau là
tổng đó bằng 14 .
Do

Ta lập 4 bộ số có tổng là 14 và có chữ số 0 là:

( 0;1;6;7) ; ( 0;2;5;7) ; ( 0;3;4;7) ; ( 0;3;5;6) . Với mỗi bộ số có số 0 trên ứng với một bộ còn lại
không có số 0 và có tổng bằng 14.
TH1: Bộ có số 0 đứng trước: có 4 bộ có chữ số 0, ứng với mỗi bộ có:
+) Xếp 4 số đầu có

3.3! cách.

+) Xếp 4 số cuối có

4! cách.

Áp dụng qui tắc nhân có

4.3.3!.4! = 1728 số.

TH2: Bộ có số 0 đứng sau: có 4 bộ có chữ số 0, ứng với mỗi bộ có:
+) Xếp bộ không có chữ số 0 đứng trước có

+) Xếp bộ có chữ số 0 đứng sau có
Áp dụng qui tắc nhân có

4! cách.

4.4!.4! = 2304 số.

4! cách.


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Vậy có

Đề THI HSG 11 YÊN LẠC 2 – VP - 2019 – TỔ 2

1728+ 2304 = 4032 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 5 (1,0 điểm).

Cho dãy số

( un )

u1 = 2019


1
n
un +1 = n +1 un +

thỏa mãn: 
2019n . Tìm công thức số hạng tổng quát và tính

lim un .
Lời giải
Tác giả: Trần Thanh Sơn ; Fb: Trần Thanh Sơn
Phản biện: Dương Hà Hải; Fb: Dương Hà Hải

Ta có

unn++11 = unn +

1
1
⇒ unn++11 − unn =
n
2019
2019n do đó

1
 2 1
u2 − u1 = 20191

u 3 − u 2 = 1
3
2
20192

L


u n − u n −1 = 1
 n n −1 2019n −1 .
n −1

Suy ra:

unn − u11 =

1
1
1
+
+K +
1
2
2019 2019
2019n −1

 1 
1− 
÷
2019 

=
2018

.

n −1


 1 
1− 
÷
n
2019 
un = 2019 + 
Vậy
2018

.

Ta có
n −1

 1 
1− 
÷
n
2019 

1 < un = 2019 +
2018
(AM-GM cho

< n 2020 = n 1.1K 1.2020 <

n − 1 số 1 và số 2020 ).

 2019 
lim  1 +

÷= 1
Mặt khác
n  . Vậy lim un = 1 .

Câu 6 (2,0 điểm).

1 + 1 + K + 1 + 2020
2019
= 1+
n
n


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Cho

hình

chóp

S .ABCD

có

Đề THI HSG 11 YÊN LẠC 2 – VP - 2019 – TỔ 2

đáy

ABCD


là

· = 600 , SA ⊥ ( ABCD), SA = a 3.
AD = 2a, AB = BC = CD = a, BAD
M
uuur uuur r uur uur r
mãn 3MB + MS = 0, 4 IS + 3ID = 0. Mặt phẳng ( AIM ) cắt SC tại N .

SD

d)

Chứng minh rằng đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng

e)

Chứng minh

f)

Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng

hình
và

I


thang

là hai điểm thỏa

( AIM ).

·ANI = 900 ; ·AMI = 900.

( AMI )

và hình chóp

S .ABCD.

Lời giải
Tác giả: Dương Hà Hải ; Fb: Dương Hà Hải.
Phản biện: Vũ Huỳnh Đức; Fb: Vũ Huỳnh Đức

a) Đặt

uuur r uuur r uuur r
AB = a, AD = b, AS = c.

uuur 1 r r
r
r
rr
rr
rr
BC = b, a = a, b = 2a, c = a 3, a.b = a 2 , a.c = 0, c.b = 0.

Ta có
2
uuur r r uur 3 r 4 r uuuur
SD = b − c, AI = b + c, AM =
Ta có:
7 7
Suy ra

uuur uur uuur uuuur
SD.AI = 0, SD. AM = 0.

Do đó

SD ⊥ AI , SD ⊥ AM .

Vậy

3r 1r
a + c.
4 4

SD ⊥ ( AMI ).

BD tại E. Trog mặt phẳng (SBD), SE
Khi đó, trong mặt phẳng ( SAC ), AF cắt SC tại N .

b) Trog mặt phẳng

( ABCD), AC


cắt

cắt

MI

có

tại

F.


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Ta có:

uuur 1 r 1 r
AN = a + b +
2 4

Đề THI HSG 11 YÊN LẠC 2 – VP - 2019 – TỔ 2

1 r uur
1r 5 r 1 r
c, NI = − a + b + c
2
2 28 14

uuur uur

⇒ AN .NI = 0 ⇒ AN ⊥ NI ⇒ ·ANI = 900.
uuuur 3 r 1 r uuur
3r 3r 9 r
AM = a + c, MI = − a + b + c
4 4
4 7 28

c)

uuuur uuur
· = 900.
⇒ AM .MI = 0 ⇒ AM ⊥ MI ⇒ AMI
Thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( AMI ) và hình chop S . ABCD
Ta có S AMNI = S ANI + S AMN
Ta có

AM =

là tứ giác

AMNI .

a 3
a 6
a 42
, AN =
, NI =
2
2
14


1
3a 2 7
⇒ S ANI = AN .NI =
.
2
28
uuuur uuur
uuuur uuur 15a 2
AM . AN
5
14
·
·
AM . AN =
⇒ cos MAN
=
=
⇒ sin MAN
=
Ta có
16
AM . AN 4 2
8
1
3a 2 7
·
⇒ S AMN = AN . AM .sin MAN =
2
32

2
2
3a 7 3a 7 45a 2 7
S
=
+
=
.
Vậy AMNI
28
32
224
Câu 7 (1,0 điểm).
Cho tứ diện
phẳng

(α )

ABCD , gọi G

đi qua

G′

BCD , G′

là trung điểm của

lần lượt tại


B′, C ′, D′ . Tính

là trọng tâm tam giác

cắt các cạnh

AB, AC , AD

AG .

Một mặt

AB AC AD
+
+
AB′ AC ′ AD′ .
Lời giải
Tác giả: Vũ Huỳnh Đức; Fb: Vũ Huỳnh Đức.
Phản biện: Trần Đức Phương; Fb: Phuong Tran Duc.
1) Trước hết ta xét bài toán: “ Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM . Một đường
thẳng d bất kì cắt các cạnh

AB, AC

và đoạn thẳng

AB AC
AM
+
=2

A . Chứng minh rằng AB1 AC1 AM 1 ”

AM

lần lượt tại các điểm

B1 , C1 , M 1 khác


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI HSG 11 YÊN LẠC 2 – VP - 2019 – TỔ 2

Chứng minh:
Qua B và

C

lần lượt dựng các đường thẳng nhận

uuuur
B1C1

làm vectơ chỉ phương. Mỗi đường

AM tại E và F (hình vẽ). Không mất tính tổng quát,
AM thì khi đó F đối xứng với E qua M .

thẳng này theo thứ tự cắt đường thẳng
ta giả sử


E

thuộc đoạn

Áp dụng định lí Thales, ta có

AB AE AM − ME AC AF AM + MF AM + ME
=
=
=
=
=
AB1 AM 1
AM 1 , AC1 AM 1
AM 1
AM 1 .
⇒

AB AC AM − ME AM + ME
AM
+
=
+
=2
AB1 AC1
AM 1
AM 1
AM 1 .(đpcm)


2) Gọi

M,N

theo thứ tự là trung điểm của

của mặt phẳng

(α )

với

CD và BG

còn

M ′, N ′

theo thứ tự là giao điểm

AM , AN .

Áp dụng kết quả của bài toán trên vào các tam giác

∆ ACD, ∆ ABG, ∆ AMN

g

AC AD
AM

+
=2
( 1) ,
AC ′ AD′
AM ′

g

AB AG
AN
AB
AN
AB
AN
+
=2
⇔
+2= 2
⇔
=2
− 2 ( 2)
AB′ AG′
AN ′ AB′
AN ′ AB′
AN ′

g

AM AN
AG

+
=2
= 2.2 = 4 ( 3)
AM ′ AN ′
AG′

ta được:

AC AD AB
 AM AN 
+
+
= 2
+
÷ − 2 = 2.4 − 2 = 6 .
′
′
Từ ( 1) , ( 2 ) và ( 3) suy ra AC ′ AD′ AB′
AM
AN




Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI HSG 11 YÊN LẠC 2 – VP - 2019 – TỔ 2

AC AD AB
+

+
=6
Vậy AC ′ AD′ AB ′
.
Câu 8 (1,0 điểm).
[1D4-3.4-4] Cho

n số a1 , a2 ,..., an ∈ [ 0;1] . Chứng minh rằng:

( 1 + a1 + a2 + a3 + ... + an )

2

≥ 4 ( a12 + a22 + a32 + ... + an2 )
Lời giải

Tác giả: Trần Đức Phương; Fb: Phuong Tran Duc.
Phản biện: Nguyễn Phương Thu; Fb: Nguyễn Phương Thu
Xét tam thức

f ( x ) = x 2 − ( 1 + a1 + a2 + ... + an ) x + ( a12 + a22 + ... + an2 )

Ta có:

f ( 1) = 1 − ( 1 + a1 + a2 + ... + an ) + ( a12 + a22 + ... + an2 )

= a1 ( a1 − 1) + a2 ( a2 − 1) + a3 ( a3 − 1) + ... + an ( an − 1)

Mặt khác


a1 , a2 ,..., an ∈ [ 0;1]

nên

 a1 ( a1 − 1) ≤ 0

 a2 ( a2 − 1) ≤ 0
⇒ f ( 1) ≤ 0

...

 a ( a − 1) ≤ 0
 n n
Mà

f ( 0 ) = a12 + a22 + ... + an2 ≥ 0 ⇒ f ( 1) . f ( 0 ) ≤ 0

Mặt khác hàm số

f ( x)

liên tục trên

[ 0;1] .


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Do đó phương trình


f ( x) = 0

Đề THI HSG 11 YÊN LẠC 2 – VP - 2019 – TỔ 2

có nghiệm trên đoạn

[ 0;1] .

2
2
2
Suy ra ∆ = ( 1 + a1 + a2 + ... + an ) − 4 ( a1 + a2 + ... + an ) ≥ 0
2

Do đó: ( 1 + a1 + a2 + ... + an )

2

≥ 4 ( a12 + a22 + ... + an2 ) .