Luyeọn Thi ẹH Cẹ 2009 - 1 - GV Tran Thũ Lan Thuứy
CU TRC THI TUYN SINH I HC, CAO NG
I. PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im)
Cõu
Ni dung kin thc
im
I
Kho sỏt, v th ca hm s.
Cỏc bi toỏn liờn quan n ng dng ca o hm v
th ca hm s: Chiu bin thiờn ca hm s. Cc tr. Giỏ tr
ln nht v nh nht ca hm s. Tip tuyn, tim cn (ng
v ngang) ca th hm s. Tỡm trờn th nhng im cú
tớnh cht cho trc; tng giao gia hai th (mt trong hai
th l ng thng);...
2,0
II
Phng trỡnh, bt phng trỡnh; h phng trỡnh i s.
Cụng thc lng giỏc, phng trỡnh lng giỏc.
2,0
III
Tỡm gii hn.
Tỡm nguyờn hm, tớnh tớch phõn.
ng dng ca tớch phõn: Tớnh din tớch hỡnh phng, th
tớch khi trũn xoay.
1,0
IV
Hỡnh hc khụng gian (tng hp):Quan h song song, quan h
vuụng gúc ca ng thng, mt phng. Tớnh din tớch xung
quanh ca hỡnh nún trũn xoay, hỡnh tr trũn xoay; tớnh th
tớch khi lng tr, khi chúp, khi nún trũn xoay, khi tr
trũn xoay; tớnh din tớch mt cu v th tớch khi cu.

1,0
V
Bi toỏn tng hp.
1,0
II. PHN RIấNG (3,0 im)
Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn 1 hoc phn 2).
1. Theo chng trỡnh Chun:
Cõu Ni dung kin thc im
VI.a
Phng phỏp to trong mt phng v trong khụng gian:
Xỏc nh to ca im, vect.
ng trũn, elip, mt cu.
Vit phng trỡnh mt phng, ng thng.
Tớnh gúc; tớnh khong cỏch t im n mt phng. V trớ
tng i ca ng thng, mt phng v mt cu.
2,0
VII.a
S phc.
T hp, xỏc sut, thng kờ.
Bt ng thc. Cc tr ca biu thc i s.
1,0
Luyện Thi ĐH CĐ 2009 - 2 - GV Trần Thò Lan Thùy
2. Theo chương trình Nâng cao:
Câu Nội dung kiến thức Điểm
VI.b
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong khơng gian:
 Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
 Đường tròn, ba đường cơnic, mặt cầu.
 Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
 Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt

phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng. Vị trí tương đối
của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
2,0
VII.b
• Số phức.
• Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng
2
+ +
=
+
ax bx c
y
px q
và một số yếu tố liên quan.
• Sự tiếp xúc của hai đường cong.
• Hệ phương trình mũ và lơgarit.
• Tổ hợp, xác suất, thống kê.
• Bất đẳng thức. Cực trị của biểu thức đại số.
1,0
Các chuyên đề luyện thi Đại Học
 Lớp 12 :
• Khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan hàm số
• Phương trình , Bất phương trình mũ Logarit
• Nguyên hàm - Tích phân
• Số Phức
• Hình Học Không gian cổ điển
• Hình Học Giải Tích trong không gian Oxyz
 Lớp 10 , 11
• Đại số : Phương trình, Bất PT, Hệ Phương trình (căn thức , đối
xứng , . . . .) . Bất đẳng thức , Giá trò lớn nhất nhỏ nhất

• Công thức lượng giác , phương trình lượng giác .
Luyện Thi ĐH CĐ 2009 - 3 - GV Trần Thò Lan Thùy
• Đại số tổ hợp , xác suất . . Nhò thức Newton
• Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy
Chuyªn ®Ị kh¶o s¸t hµm sè
Vấn đề 1: Đơn điệu – Cực trò của hàm số
    
 Đònh tham số m để hàm số luôn đồng biến (nghòch biến ) trên R :
Nếu y’= g(x) = ax
2
+ bx + c hoặc dấu y’ tùy thuộc tam thức g(x)
 Hàm số luôn đồng biến trên R
g(x)
0
g(x) 0 , x
0
a
R
>

⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔

∆ ≤

 Hàm số luôn nghòch biến trên R
g(x)
0
g(x) 0 , x
0
a

R
<

⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔

∆ ≤

 Đònh tham số m để hàm đồng biến (NB) trong một khoảng cho trước :
Xét hàm số y’ = g(x) = ax
2
+ bx + c , tính g’(x) và lập bảng biến thiên
Dưa vào bảng BT tìm điều kiện đề g(x) ≥ 0 ( hoặc ≤) trên khoảng (a ; b)
 Cực trò của hàm hửu tỉ : Nếu hàm số hữu tỉ :
( )
( )
( )
u x
y f x
v x
= =
đạt cực trò
tại x
1
thì giá trò cực trò tương ứng là
1
1
1
'( )
( )
'( )

u x
f x
v x
=

 Cực trò của hàm bậc 3 : Nếu hàm số bậc 3 : y = ax
3
+bx
2
+cx + d có 2 điểm
cực trò x
1
và x
2
.
 Giả sử khi chia đa thức bậc 3 là y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d cho đạo hàm y’=
3ax
2
+2bx +c được thương q (x) và phần dư r(x)= kx+ m
 Ta viết : y = y’. q(x) + r(x) .
 Nếu hàm số đạt cực trò tại x
1
thì y’(x
1
) = 0
⇒

y
1
= r(x
1
) và tương tự cho
y
2
=r(x
2
)
 Do đó phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trò của đồ thò hàm số bậc 3
là phần dư : y = r(x) = kx + m
• y’ =g(x) = ax
2
+ bx + c . Điều kiện hàm số có cực trò
g(x)
0

0
a
≠

⇔

∆ >

Luyện Thi ĐH CĐ 2009 - 4 - GV Trần Thò Lan Thùy
♦ Hs đạt cực đại tại x
0
0

0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
=

⇔

<

♦ Hsđạt cực tiểu tại x
0
0
0
'( ) 0

''( ) 0
f x
f x
=

⇔

>

(1) Tìm m để
3 2
2 3 3y x x mx
= + + −


(a)Đồng biến trên R (b) Đồng biến trên (1 ; +∞)
(c) Nghòch biến trên ( - 2 ; 1)
(2) (a) Đònh m để
= − − + − −
3 2
(2 1) ( 2) 2y mx m x m x
đồng biến trên R
(b) Tìm m để hs
3 2
3y x x mx m
= + + +
nghòch biến trên đoạn có độ dài
bằng 1
(c) Tìm m để hs
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
− +
=
−
đồng biến trên ( 1 ; +∞)
(3) Dùng tính đơn điệâu để chứng minh bất đẳng thức :
[a]
≥ − ∀ >
cos 1 ( 0)x x x
[b]

x (0; )
2
tgx x
π
> ∈

[c] e
x
> 1 + x (∀x∈ R) [d]
2
ln(1 )
2
x
x x x
− < + <

[e]
1 1 1
ln
1
x
x x x
+
< <
+
[f] x+y = 1 thì
4 4
1
8
x y+ ≥


(a) Chứng minh rằng
− ≤ ∀ ∈
2
2 3
(1 ) x (0;1)
9
x x

(b) Từ đó chứng minh rằng : nếu a,b,c >0 và a
2
+ b
2
+ c
2
=1 thì

+ + ≥
+ + +
2 2 2 2 2 2
3 3

2
a b c
b c c a a b
Tìm m để hàm số
= − − + − +
3 2
1 1
( 1) 3( 2)

3 3
y mx m x m x
a) Có cực đại và cực tiểu có hoành độ dương
b) Có cực đại và cực tiểu tại x
1
; x
2
thỏa điều kiện x
1
+2x
2
= 1
(a) Tìm m để hàm số
− + − + −
−
2 2
x ( 1) 4 2
y=
1
m x m m
x
có tích của giá trò cực
đại và cực tiểu đạt giá trò nhỏ nhất
Luyện Thi ĐH CĐ 2009 - 5 - GV Trần Thò Lan Thùy
(b) Tìm m để hàm số
+ +
+
2
x 2 2
y=

1
mx
x
có khoảng cách từ 2 điểm cực đại
và cực tiểu đến đường thẳng x+y+2 = 0 bằng nhau
(a) Đònh m để
4 2
1 3
4 2
y x mx= − +
có cực tiểu nhưng không có cực đại
(b) CMR hàm số
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x
= − + + + +
và hoành độ các
điểm CĐ, CT thỏa x
1
– x
2
không phụ thuộc m
(c) Tìm m để hàm số
= + − + − −
3 2
2 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x
.có cực trò và
đường thẳng qua điểm CĐ và CT song song đường thẳng y = –2x
(d) Cho hàm số y = x
3
− 3mx

2
+ (m
2
+ 2m − 3)x + 3m + 1 Tìm m để đồ thị
hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.
Cho hµm sè y = x
3
+2(m-1)x
2
+(m
2
-4m+1)x –2(m
2
+1) t×m m ®Ĩ y ®¹t cùc ®¹i , cùc tiĨu
t¹i x
1
x
2
sao cho
1 2
1 1 1
2x x
+ =

Tìm m để hàm số có cực trò và các điểm cực trò thỏa điều kiện
a)
= − + + − +
3 2 2
3 ( 2 3) 4y x mx m m x
có 2 điểm cực trò nằm 2 phía của trục

tung
b)
+ + +
−
2
mx 3 2 1
y =
1
mx m
x
có 2 điểm CĐ và CT nằm 2 phía Ox
c)
3 2 3
3 4y x mx m
= − +
có 2 điểm cực trò đối xứng qua đthẳng y = x
d)
= − + +
4 2 4
2 2y x mx m m
có 3 điểm cực trò lập thành một tam giác đều .
Tính diện tích tam gíac theo m .
e)
− + − + −
−
2 2
x ( 1) 4 2
y=
1
m x m m

x
để tích của CĐ va øCT đạt giá trò NNhất
f) y = x
3
+ (1 – 2m).x
2
+ (2 – m).x + m + 2 để đồ thị hàm số có điểm cực đại ,
điểm cực tiểu , đồng thời hồnh độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1
(a) CMR ∀m hàm số
+ + + +
+
2
x ( 1) 1
y=
1
m x m
x
luôn có điểm cực đại và điểm
cực tiểu và khoảng cách 2 điểm đó bằng
20
(KhốiB2005)
Luyện Thi ĐH CĐ 2009 - 6 - GV Trần Thò Lan Thùy
(b) Đònh m để (C
m
) :
= +
1
y mx
x
có cực trò và khoảng cách từ điểm cực tiểu

đến tiệm cận xiên (C
m
) bằng
1
2
(KhốiA2005)
(c)Tìm m để
+ − +
4 2 2
y = m ( 9) 10x m x
có 3 cực trò (KhốiB2002)
(a) CMR
= − +
3 2
3 4y x x m
luôn có 2 điểm cực trò. Khi đó tìm m để một trong 2
điểm cực trò nầy thuộc trục hoành (CĐSPMG2004)
(b) Tìm m để
= − + + − +
3 2 2
3 ( 2 3) 4y x mx m m x
có điểm cực đại và cực
tiểu nằm 2 phía của trục tung (CĐCaoThắng2006)
(c)Tìm các điểm trên
+ −
−
2
x 1
y=
1

x
x
mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với
đường thẳng qua 2 điểm cực đại và cực tiểu (CĐYTế2006)
(d)Tìm m để
+ +
+
2
x
y=
1
x m
x
có 2 giá trò cực trò trái dấu (CTCN_2006)
(a)T×m m ®Ĩ ®å thÞ y = 2x
3
-3(2m+1)x
2
+6m(m+1)x +1 cã hai ®iĨm cùc trÞ ®èi xøng
nhau qua ®êng th¼ng y = x+2
(b) CMR hµm sè y =
3
3
x
–mx
2
–x +m+1 lu«n cã cùc ®¹i A cùc tiĨu B, t×m m ®Ĩ AB
nhá nhÊt
(c) T×m m ®Ĩ y = x
4

+ (m+3)x
3
+2(m+1)x
2
cã cùc ®¹i . CMR khi ®ã hoµnh ®é cùc
®¹i kh«ng d¬ng
(d) T×m m ®Ĩ ®å thÞ hµm sè y = -x
4
+2(m+2)x
2
–2m –3 chØ cã cùc ®¹i , kh«ng cã cùc
tiĨu
(e) T×m m ®Ĩ hµm sè y = x
4
–2mx
2
+2m +m
4
cã cùc ®¹i , cùc tiĨu ®ång thêi c¸c ®iĨm ®ã
lµ c¸c ®Ønh cđa mét tam gi¸c ®Ịu
Sử dụng tính đơn điệu để tìm điều kiện có nghiệm của Phương trình –Bất
phương trình . Tìm m để phương trình sau có nghiệm
a)
4 4
13 + 1 0x x m x
− + − =
b)
4 2
1 x x m
+ − =

c)
2 2
1 + 1=mx x x x
+ + − +

c)
2 ( 5 4 )x x x m x x
+ + = − + −
d).
2
2m x x m
+ = +
có hai nghiệm phân biệt
e)
2
9 9 (f) 3 6 (3 )(6 )x x x x m x x x x m
+ − = − + + + − − + − =
g)
4 4
2 2 2
( 2 2 4) 4 2 4m x x x x
+ + − − − = −
Luyện Thi ĐH CĐ 2009 - 7 - GV Trần Thò Lan Thùy
• ĐS a) m > -3/2 b) 0<m<1 c) -1<m<1 d).
2 3( 5 2) 12m− ≤ ≤
d).
2 1 v 1<m< 2m− < < −
e)
37
3

4
m
− ≤ ≤
f)
6 2 9
3
2
m
−
≤ ≤
g) m>1
Cho phương trình:
mxxmxxx
+++−+−=++−
)44(1644
22422
(1)
a) Giải phương trình (1) khi m=0
b) Tìm các giá trị của tham số m để 1 có nghiệm.
Vấn đề 2 Giá Trò Lớn Nhất, Nhỏ Nhất Của Hàm Số
    
 Tìm GTLN và NN trên khoảng ( a; b ) hoặc nửa khoảng : với a có thể là
–
∞
và b có thể là +
∞

Ta lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng (a , b ) . Nếu f(x) là hàm số liên
tục trên (a ; b ) chỉ có 1 cực trò duy nhất :
+ Là cực đại thì Max f(x) = y

CĐ
và không có Min f(x)
+ Là cực tiểu thì Min f(x) = y
CT
và không có Max f(x)
 Nếu bài toán tìm GTLN và GTNN của hàm số mà không chỉ ra tập X thì ta
tìm trên toàn tập xác đònh D
 Ứ NG D Ụ NG GTLN – GTNN Đ Ể GI Ả I PH ƯƠ NG TRÌNH VÀ BP T
Để giải phương trình
( )
, 0F x m =
ta biến đổi về dạng
( ) ( )
f x g m
=
(1)
 Lập luận số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao iđ ểm của đồ thị
( )
y f x
=
và đường thẳng
( )
y g m=
 Lập bảng biến thiên của hàm số
( )
y f x
=
trên miền xác định
 Kết luận:
Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số

(a)
+
=
+
2
1
1
x
y
x
trên
[ 1;2]−
(Khối D2003) (b)
=
2
x+ 4-x y
( Khối B2003)

=
2
ln
( )
x
c y
x
trên
3
[1; ]e

( Khối B2004) (d)

2
cosy x x
= +
trên đoạn
[0; ]
2
π
(e)
2 2
( ) cos 2 2(sin cos ) 3sin 2f x x x x x
= + + −
(f)
2008 2008
y=sin cos (0; )
2
x x
π
+

π
+ +
∞ +
− +
2
2
x 1
( ) y = (-1;+ ) (h) y =2sin sin (0 ; )
2
x 1
x x

g x
x
Luyện Thi ĐH CĐ 2009 - 8 - GV Trần Thò Lan Thùy

3 3
2
2
1 1
(i) y = (0; ) (j) sin cos ( ; )
sin cos 2 2
x+1
(k) y= (l) y=(x+2) 4
2
y x x
x x
x
x
π π
π
+ = + −
−
+
Tìm Maxf(x) và Minf(x) của các hàm số :
(a)
2
y = sinx+ 2 sin x
−

( đặt t = sinx ∈ {- 1 ; 1] )
(b)

= +
8 4
2sin cos 2y x x
( đặt t = cos2x
∈
{- 1 ; 1] )
(c)
+
=
+ +
2
in 1
sin sin 1
s x
y
x x
(d)
2
x 2 4
y=
1
x
x
− +
−
(e)
6 6
y =sin os sin cosx c x a x x
+ +
(đặt t = sin2x ∈ {- 1 ; 1] )

(f)
sinx+cosx+1
y =
sin cos sin 2x 4x x
+ + +
( đặt t = sinx+cosx ∈
−
[ 2; 2]
)
(g)
2
2
1
y =log
l g 2
x
o x
+
+
Tìm GTNN (đặt t =log
2
x ≥ 0 )
Sử dụng GTLN và GTNN để giải PT ; BPT chứng minh BĐT
Cho phương trình x
3
– 3x
2
+ m = 0
i). Khi m = – 4 , phương trình có mấy nghiệm
ii). Tìm m để phtrình có 3 nghiệm phân biệt . Khi đó hãy xét dấu các nghiệm

Tìm m để phương trình : m.16
x
+ 2.81
x
= 5..36
x
có 2 nghiệm
Tìm m để phương trình
2 2
3 3
log log 1 2 1 0x x m
+ + − − =
có ít nhất 1
nghiệm trên
3
[1;3 ]
2
2
5 3 10 20
: 7 x R
2 2 3
x x
CMR
x x
+ +
≤ ≤ ∀ ∈
+ +

CMR
2 2

sin cos
2 3 3 3 4 x R
x x
≤ + ≤ ∀ ∈

Cho phương trình
1 3x x m
+ + − =

i) Giải phương trình khi m=2
ii) Tìm m để phương trình có nghiệm
Cho phương trình
2 3 2
1
( ) ( 1 ) 1
3
f x x x= + − −

i). Tìm Max f(x) và Minf(x)
ii). Tìm m để phương trình f(x) ≥ m có nghiệm ∀x∈ R
Giải phương trình bằng phương pháp tìm Max(f(x)) và Min(f(x))
Luyeọn Thi ẹH Cẹ 2009 - 9 - GV Tran Thũ Lan Thuứy
1) Tỡm tham s
m
phng trỡnh
3 2
3 0x x m + =
cú ba nghim phõn bit
2) Bin lun theo tham s
m

s nghim ca phng trỡnh
2
3 1x m x
+ = +
3) Bin lun theo tham s
m
s nghim ca phng trỡnh
2
1
ln 0
2
x x m =
4) Cho phng trỡnh
6 6
sin cos sin 2x x m x+ =
a) Gii phng trỡnh khi
1m
=
b) Vi giỏ tr no ca tham s
m
thỡ phng trỡnh cú nghim
5) Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh
2
1x m m x+ = +
6) Cho phng trỡnh
sin 2 2sinx x m
+ =

a) Gii phng trỡnh khi
0m

=
b) Tỡm
m
phng trỡnh cú ỳng hai nghim thuc on
5
0;
4




7) Cho phng trỡnh
2sin cos 1
sin 2cos 3
x x
a
x x
+ +
=
+

a) Gii phng trỡnh khi
1
3
a
=
b) Vi giỏ tr no ca tham s
a
thỡ phng trỡnh cú nghim
8) Cho phng trỡnh

( ) ( )
2 sin 2 cos 2 1m x m x m
+ = +
a) Tỡm tham s
m
phng trỡnh cú nghim
2
;
2 3
x





b) Gii v bin lun phng trỡnh vi nghim
( )
0;x


9) Tỡm
m
phng trỡnh
3 3
sin cosx x m
=
cú 3 nghim phõn bit
[ ]
0;x



10) Tỡm
m
ph trỡnh
( ) ( )
3 9 2 5 3 1 0
x x
m m m
+ + + =
cú hai nghim trỏi
du.
11) Cho phng trỡnh
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1
3 3
3 log 4 2 1 log 4 2 0m x m x m
+ + + =
.
Tỡm
m
phng trỡnh cú nghim
1 2
,x x
tho món
1 2
4 7x x
< < <
.
Giaỷi baỏt phửụng trỡnh .

1) Tỡm
m
bt phng trỡnh
2
2 1x x m
+ + >
cú nghim
x R

2) Tỡm
m
bt phng trỡnh
2
2 9m x x m
+ < +
cú nghim
Luyện Thi ĐH CĐ 2009 - 10 - GV Trần Thò Lan Thùy
3) Tìm
m
để bất phương trình
( ) ( )
( )
2
1 2 3 2 5 3x x m x x
+ − ≥ + − −
đúng
1
;3
2
x

 
∀ ∈ −
 
 
4) Tìm
m
để bất phương trình
4 2 16 4x x m
− + − ≤
có nghiệm
5) Cho bất phương trình
2
2 4x m x x
+ ≤ −
a) Tìm
m
để bất phương trình có nghiệm.
b) Giải và biện luận bất phương trình
6) Giải và biện luận bất phương trình
2
3 4mx x x+ ≥ −
7) Tìm
m
để bất phương trình
2
cos 2 cos 2 0x m x m
+ + + ≥
,
x R
∀ ∈

8) Tìm
m
để bất phương trình
2
2 2
2 2
2 2 0
1 1
x x
m m
x x
   
+ + + ≥
 ÷  ÷
+ +
   
,
x R
∀ ∈
9) Với giá trị nào của
m
thì bất phương trình
4 .2 3 0
x x
m m
− − + ≤
có ít nhất
một nghiệm.
10) Tìm
m

để bất phương trình
( )
2 2 2
2 2 2
9 2 1 .6 4 0
x x x x x x
m m
− − −
− + + ≤
đúng
1
:
2
x x
∀ ≥
Vấn đề 3: Bài Toán tiếp xúc– Phương trình tiếp tuyến
    
 Bài toán : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) trong các
trường hợp
1). Viết phương trình tiếp tuyến (C) tại M
0
(x
0
,y
0
)
∈
(C) :
 Cho hoành độ tiếp điểm x
0

⇒ Tính y
0
và f ‘ (x
0
)
 Cho tung độ tiếp điểm y
0
⇒ Tìm x
0
và f ‘ (x
0
)
 Cho hệ số góc tiếp tuyến k ( hay là tiếp tuyến // hoặc ⊥ một
đường thẳng khác ) . Giải có phương trình k = f’(x
0
) ta có x
0

y – y
0
= f ’(x
0
).( x - x
0
)
2). Viết phương trình tiếp tuyến (C) đ i qua A (x
A
,y
A
) (hoặc phát xuất từ A)



Viết phương trình (d ) qua A và có hệ số góc k :
y – y
A
= k ( x – x
A
)
⇒
y = k ( x – x
A
) + y
A
(*)


Ta có hệ phương trình hoành độ tiếp điểm :
( ) ( ) (1)
'( ) (2)
A A
f x k x x y
f x k
= − +


=



Thế (2) vào (1)

⇒
f(x) = f ’(x) .( x – x
A
) + y
A

Luyện Thi ĐH CĐ 2009 - 11 - GV Trần Thò Lan Thùy
 Giải phương trình tìm được hoành độ tiếp điểm . Thế vào (2)
suy ra k . Thay vào (*) được phương trình tiếp tuyến .
 Chú ý :Điều kiện tiếp xúc của hai đường (C
1
) và (C
2
) là hệ
phương trình
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=


=

có nghiệm
+ Nếu (C
2
) là đường thẳng thì f ’(x) =hệ số góc k và (C
2
) là tiếp

tuyến
+ Nếu (C
2
) và (C
2
) là 2 đường cong thì tại đó có tiếp tuyến chung
Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm cho trước :
(a)
= −
3 2
1
3
y x x
qua A(3 ; 0 ) (b)
4 2
y x 10x 9
= − +

qua M( 0 ; 9)
(c)
+
=
+
2 1
qua A(-1 ; 3)
1
x
y
x
(d)

2
3
qua A(2 ; -5)
1
x x
y
x
− − +
=
+

(e) y = 2x
3
– 3x
2
+ 5 qua A(
12
19
, 4) (ĐHQG khối A 2001)
(f) y =
12
1
+
+−
x
x
biết tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của tiệm cận đứng và trục Ox
Đònh m để (D) tiếp xúc với (C) :

3 2

[ ] (C) : y = x 3 2 ; ( ) : y = m(x+1) -2
x+3
[b] (C) : y = ; ( ) : y = -2x + m
x+1
a x
− + ∆
∆

2
x 3 3
[c] (C) : y = ; ( ) : y = 3x + m
1
x
x
− +
∆
−
[d] (C)
2
( 2m 1)x m
y ; : y=x
x 1
∆
− −
=
−
( Khối D2002)
T×m m ®Ĩ
)(
m

C
y =
3 2
2
1(1)
3
x mx− +
tiÕp xóc víi Ox
Luyện Thi ĐH CĐ 2009 - 12 - GV Trần Thò Lan Thùy
Cho





−+−=
−+−=
8652:)(
474:)(
23
2
23
1
xxxyC
xxxyC
ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun cđa (C
1
) , (C
2
) t¹i c¸c

giao ®iĨm chung cđa (C
1
) vµ (C
2
)
Chøng minh r»ng mäi ®êng cong (C
m
)
3 2
(2 1) ( 2) 2y mx m x m x
= − − + − −
®Ịu
tiÕp xóc nhau
Cho (C)
1)(
23
−−+==
mmxxxfy
,
(a) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun (t) t¹i c¸c ®iĨm cè ®Þnh mµ hä (C) ®i qua
(b) T×m q tÝch giao ®iĨm cđa c¸c tiÕp tun ®ã
(a)Tìm m để (C
m
) y = – x
3
+ (2m + 1).x
2
– m – 1 tiếp xúc với đường thẳng (d)
: y = 2mx – m – 1
(b) T×m m ®Ĩ

)(
m
C

)12(2)232()1(
223
−++−−+−=
mmxmmxmxy
tiÕp xóc víi ®êng th¼ng y = -49x+98
Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) y =
1
−
x
x
sao cho d và hai tiệm cận của
(C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân
(4) Gọi I là tâm đồi xứng của (C) y =
1
12
−
−
x
x
. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho
tiếp tuyến của (C) tại M vng góc với đường thẳng IM
Cho hàm số y = x
3
+ 3mx
2
+ ( m + 1) x + 1 , (1) Tìm các giá trị của m để tiếp

tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hồnh độ x = –1 đi qua điểm A(1 ; 2)
Cho (C)
73)(
3
+−==
xxxfy
ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun víi (C) biÕt tiÕp
tun t¹o víi y=2x+3 gãc 45
0

Cho (C
m
)
122)(
24
+−+−==
mmxxxfy
T×m m ®Ĩ c¸c tiÕp tun víi ®å thÞ t¹i
A(1;0), B(-1;0) vu«ng gãc víi nhau
Cho hàm số
( )
2
3 1m x m m
y
x m
+ − +
=
+
, với
0m

≠

( )
m
C
.
(a)Với giá trị nào của m thì tại giao điểm của đồ thị với trục hồnh, tiếp tuyến sẽ
song song với đường thẳng
10y x
+ =
.
(b)Chứng minh họ đường cong
( )
m
C
ln tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thò (C )
(a) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thò hàm số đều lập
với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.
Luyện Thi ĐH CĐ 2009 - 13 - GV Trần Thò Lan Thùy
(b) Tìm tất cả những điểm trên trục tung mà từ đó chỉ kẻ được

đúng một tiếp tuyến tới đồ thò (C ).
(c) Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thò (C ) sao cho tiếp tuyến tại
đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bé
nhất.
T×m m ®Ĩ tõ ®iĨm A(1;2) kỴ ®ỵc 2 tiÕp tun AB,AC ®Õn ®å thÞ (C)
2
−
+
=
x
mx
y
sao cho tam gi¸c ABC ®Ịu (ë ®©y B,C lµ 2 tiÕp ®iĨm)
 §Ị Thi vỊ Ph ¬ng tr×nh tiÕp tun c¸c n¨m tr íc
Viết phươngtrình tiếp tuyến của (C)

2
x x 1
y
x 2
+ −
=
+
,biết tiếp tuyến
vuông góc với tiệm cận xiên của (C) . (Khối B_
2006)
[a] Khảo sát hàm số :
= − +
3 2
1

2 3 (C)
3
y x x x
[b] Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm uốn và chứng
minh rằng ∆ là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất
(Khối B 2004)
[a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) : y =
2
1
x
x
+
−
[b] Cho điểm A(0,a) . Đònh a để từ A kẽ được 2 tiếp tuyến đến (C)
sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía đối với trục Ox
(ĐHQGkhối B2001)
[a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) : y = x
3
+ 3 x
2

[b] Tìm các điểm trên trục hoành mà từ đó kẽ được đúng 3 tiếp
tuyến của (C) , trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc nhau
(ĐHNôngLâm2001)
[a] Đònh m để (C
m
)
4 2
2( 1) 2 1y x m x m
= − + + − −

cắt trục hoành tại 4
điểm có hoành độ tạo thành 1 cấp số cộng .
[b] Gọi (C) khi m =0 . Tìm tất cả các điểm trên trục tung sao cho
từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến với (C) . (ĐH
YDược TPHCM98)
Cho ®å thÞ (C
m
)
1
24
−−+=
mmxxy
. T×m m ®Ĩ tiÕp tun víi ®å thÞ t¹i A song
song víi ®êng th¼ng y=2.x víi A lµ ®iĨm cè ®Þnh cã hoµnh ®é d¬ng (C
m
)
Luyện Thi ĐH CĐ 2009 - 14 - GV Trần Thò Lan Thùy
(5) Cho điểm M ∈
3 2
m
1 m 1
(C ) : y x x
3 2 3
= − +
có hoành độ –1. Tìm m
để tiếp tuyến tại điểm M song song đường thẳng 5x– y = 0
(KhốiD 2005)
(6) Cho hàm số
2
3 3

1
x x
y
x
− +
=
−
. Tìm 2 điểm A , B thuộc đồ thò hàm
số sao cho tiếp tuyến tại A,B của đồ thò song song với nhau và độ
dài đoạn AB ngắn nhất .
(ĐHAninh - 01 D): Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số
3 2
3y x x
= −
, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
3
x
y =
.
Cho ®å thÞ
32
54
+−
−
=
x
x
y
vµ ®iĨm M bÊt kú thc (C) . Gäi I lµ giao diĨm 2 tiƯm
cËn . tiÕp tun t¹i M c¾t 2 tiƯm cËn t¹i A,B

(a) CMR»ng M lµ trung ®iĨm AB (b) CMR diƯn tÝch tam gi¸c IAB kh«ng
®ỉi
(c) T×m M ®Ĩ chu vi tam gi¸c IAB nhá nhÊt
Cho ®å thÞ (Cm)
mx
mx
y
−
+
=
32
T×m m ®Ĩ tiÕp tun bÊt kú cđa (Cm) c¾t 2 ®êng
th¼ng tiƯm cËn t¹o nªn 1 tam gi¸c cã diƯn tÝch b»ng 8
(ĐHTCKT – 030) Tìm trên đồ thò
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
các điểm sao cho tiếp
tuyến tại đó vuông góc với tiệm cận xiên.
(ĐHANinh – 01A): Tìm trên đồ thò h số
2
2
1
x x

y
x
+ +
=
−
các điểm A để tiếp
tuyến của đồ thò tại A vuông góc với đường thẳng đi qua A và tâm
đối xứng của đồ thò.
(HVQY – 0)1: Chứng minh rằng tại một điểm của đồ thò hàm số
2
5
2
x x
y
x
+
=
+
, tiếp tuyến luôn cắt hai tiệm cận một tam giác có diện
tích không đổi.
(ĐHQGHN – 97A): Tìm
a
để đồ thò hàm số
2
3
1
x x a
y
x
+ +

=
+
có tiếp tuyến
vuông góc với
y x
=
. Chứng minh rằng khi đó hàm số có cực đại,
cực tiểu.
Luyện Thi ĐH CĐ 2009 - 15 - GV Trần Thò Lan Thùy
(ĐHTM – 98): Tìm
m
để đồ thò hàm số
( )
( )
3 2 2 2
2 4 1 4y f x mx m x m
= = − + +
tiếp xúc với trục hoành.
(ĐHQGHN – 95B): Tìm tất cả các giá trò của
k
để mọi đường thẳng
y kx b
= +
không thể tiếp xúc với đồ thò hàm số
( ) ( )
2
3y f x x x
= = −
(ĐHDược HN – 99): Chứng minh rằng qua
( )

1;0A
có thể kẻ được hai tiếp
tuyến đến đồ thò hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
và hai tiếp tuyến này vuông
góc với nhau.
(HVHCQG – 01D): Chứng minh rằng từ điểm
( )
1; 4A
−
có thể kẻ được ba
tiếp tuyến với đồ thò hàm số
3 2
2 3 5y x x
= + −
(ĐHLuật HN – 95): Tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ điểm đó kẻ
được đúng một tiếp tuyến đến đồ thò
2
1
1
x x
y

x
+ −
=
−
.
(ĐHNT – 00 A): Từ một điểm bất kì trên đường thẳng
2x
=
ta có thể kẻ
được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thò hàm số
3 2
6 9 1y x x x
= − + −
.
( ĐHCThơ – 00A) Tìm trên đường thẳng
2x
=
các điểm mà từ đó kẻ
được đúng ba tiếp tuyến tới đồ thò hàm số
3
3y x x
= −
.
(HVBCVT TPHCM 98): Tìm điểm
M
trên đường thẳng
4y
= −
sao cho qua
M

kẻ được tới đồ thò
3
12 12y x x
= − +
ba tiếp tuyến.
TiƯm cËn cđa ®å thÞ hµm sè
(a) T×m a ®Ĩ kho¶ng c¸ch tõ gèc to¹ ®é ®Õn tiƯm cËn xiªn

2
1sin.2cos.
2
−
++
=
x
axax
y
®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt
(b) Cho (C)

1
232
)(
2
−
+−
==
x
xx
xfy

CMR tÝch c¸c kho¶ng c¸ch tõ M thc (C)
®Õn 2 tiƯm cËn lu«n kh«ng ®ỉi T×m M thc (C) ®Ĩ tỉng c¸c kho¶ng c¸ch tõ M thc
(C) ®Õn 2 tiƯm cËn nhá nhÊt
(c) Cho (C
m
)

1
22
)(
2
−
−+
==
x
mxx
xfy
T×m m ®Ĩ ®êng th¼ng tiƯm cËn xiªn
t¹o víi 2 trơc mét tam gi¸c cã diƯn tÝch b»ng 4
Luyện Thi ĐH CĐ 2009 - 16 - GV Trần Thò Lan Thùy
(d) Cho (C
m
)
0) # (m
2).1(
)(
222
mx
mmxmmmx
xfy

−
+−+−+−
==

CMR kho¶ng c¸ch tõ gèc to¹ ®é ®Õn tiƯm cËn xiªn kh«ng lín h¬n
2

Vấn đề 4 : Sự tương giao của 2 đường (Biện luận số giao
điểm )
 Bài toán : Tìm điều kiện của tham số (hoặc chứng minh) 2
đường (C
1
) : y = f(x) và (C
2
) : y = g(x) có n giao điểm
 Phương Pháp :
• Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
):
f(x)=g(x) (1)
• Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm (C
1
) và
(C
2
) :



(1) vô nghiệm  không có giao điểm


(1) có n nghiệm phân biêt  có n giao điểm


(1) có nghiệm đơn  cắt nhau tại 1 điểm

Cho hàm số: y = x
3
+ 3x
2
+ 1 (1)
(a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
(b) Đường thẳng (d) đi qua điểm A(-3 ; 1) có hệ góc là k. Xác định k để (d) cắt
đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt.
Cho hàm số y =
12
2
+
+
x
x
(H)
(a). CMR đường thẳng (d) y = mx + m – 1 ln đi qua một điểm cố định của
(H) khi m biến thiên
(b) Tìm các giá trị m sao cho đường thẳng (d) đã cho cắt (H) tại hai điểm thuộc
cùng một nhánh của (H)
(a) Biện luận theo m số cực trò của (C
m

): y = – x
4
+ 2mx
2
– 2m + 1
(b) Đònh m để (C
m
) cắt Ox tại 4 điểm lập thành cấp số cộng .Đònh
cấp số cộng nầy
T×m c¸c gi¸ trÞ cđa tham sè m ®Ĩ ®êng th¼ng y = x + m c¾t ®å thÞ (C) y=
22
2
−
+
x
x
t¹i
hai ®iĨm ph©n biƯt A, B mµ OA
2
+ OB
2
= 37/2 ( O gèc täa ®é)
Tìm m để
= + + + +
3 2
3 ( 2) 2 ( )
m
y x x m x m C
cắt trục hoành tại ba điểm
phân biệt có hoành độ âm là số âm.

Cho hàm số y =
xaax
xa
)23(
3
)1(
2
3
−++
−
(a) Tìm a để hàm số ln ln đồng biến
Luyện Thi ĐH CĐ 2009 - 17 - GV Trần Thò Lan Thùy
(b) Tìm a để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt
Cho (D)
2)1(
++=
xmy
vµ (C)
xxy 3
3
−=
T×m m ®Ĩ (D) c¾t (C) t¹i 3 ®iĨm
ph©n biƯt A,B,C trong ®ã A lµ ®iĨm cè ®Þnh vµ tiÕp tun víi ®å thÞ t¹i B,C
vu«ng gãc víi nhau
Xác định m để đường thẳng
2y x m
= +
cắt (C)
1
1

x
y
x
+
=
−
tại hai điểm phân biệt
A và B sao cho tiếp tuyến tại A và B của (C) song song với nhau
Cho
)(
m
C
323
43 mmxxy
+−=
T×m m ®Ĩ
)(
m
C
c¾t ®êng th¼ng y = x t¹i 3 ®iĨm
ph©n biƯt lËp thµnh cấp số cộng
CMR với mọi
0m
≠
, đường thẳng
3y mx m
= −
cắt (C)
2
1

x
y
x
−
=
−
tại hai
điểm phân biệt, trong đó ít nhất một giao điểm có hồnh độ lớn hơn 2.
Cho hàm số y = x
3
– 3x + 1 (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + 3.Tìm m để (d)
cắt (C) tại M(-1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vng góc nhau.
Tìm k để đường thẳng d:
3y kx
= +
cắt đồ thị hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
−
tại hai điểm
M, N sao cho tam giác OMN vng góc tại O. ( O là gốc tọa độ)
Tìm m để đường thẳng d
m
:
( )

1 2y m x m
= + + −
cắt đồ thị (C)
3 1
1
x
y
x
+
=
−
tại
hai điểm phân biệt sao cho tam giác AOB có diện tích bằng
3
2
CMR với mọi m, đường thẳng y= - x+m (d) ln cắt đồ thị (C)
2
1
x
y
x
−
=
−
tại
hai điểm phân biệt A, B. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB.
Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1 ; 2) với hệ số góc k ( k >–3)
đều cắt đồ thị của hàm số y = x
3
– 3x

2
+ 4 tại ba điểm phân biệt I , A, B đồng thời
I là trung điểm đoạn thẳng AB (Khối D_2008)
CMR ®êng th¼ng (D) 2x – y + m = 0 lu«n c¾t ®å thÞ (C)
1
1
−
+
=
x
x
y
t¹i 2
®iĨm ph©n biƯt A,B thc 2 nh¸nh cđa (C)
CMR víi mäi m ®êng th¼ng y= m lu«n c¾t ®å thÞ (C) :
1
1
2
−
++−
=
x
xx
y
t¹i A,B
ph©n biƯt . T×m m ®Ĩ ®é dµi AB nhá nhÊt
Cho hàm số: y = x
3
– 3mx
2

+ 3(m
2
– 1)x – m
3
(C
m
). Tìm m để đồ thò (C
m
)
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm có
hoành độ âm.
Cho điểm M trên (C) y = x
4
– 6x
2
+ 5 có hoành độ x
M
= a. Tìm những giá
trò của a để tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm khác nhau.
Luyện Thi ĐH CĐ 2009 - 18 - GV Trần Thò Lan Thùy
T×m m ®Ĩ ®êng th¼ng y=m c¾t ®å thÞ hµm sè (C)
2
3 3
2( 1)
x x
y
x
− + −
=
−

t¹i 2
®iĨm A, B sao cho AB=3
Gọi d là đường thẳng đi qua I(2; 0) và có hệ số góc m. Định m để d cắt đồ thị (C)
y =
2 1
1
x
x
−
+
tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho I là trung điểm của đoạn AB.
Tìm m để đồ thị hố y = x
3
+ mx + 2 cắt trục hòanh tại một điểm duy nhất.
(a) Tìm m để (C):
3 2 2
(1 )y x m x m
= + − −
cắt trục hoành tại 3 điểm
phân biệt có hoành độ dương . (ĐHQG
HàNội96)
(b)Tìm m để (C)
3
2 1y x x
= − + +
cắt (C’)
2
( 1)y m x
= −
tại 3 điểm phân

biệt
(a) Khảo sát hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thò (C) (CĐSPHCM 2004)
(b) CMR (d) y= 2x + m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B . Tìm m
để 2 tiếp tuyến tại A và B song song nhau
(c) Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận . Tìm M trên (C) để độ dài IM
ngắn nhất
Cho hàm số :
1
3y x m
x m
= + − +
+

(ĐH Huế khối A -98)
(a) Chứng minh hàm số có cực trò ∀ m
(b) Đònh a để đường thẳng y = a (x +1 ) +1 cắt (C) tại hai điểm có
hoành độ trái dấu
Đònh m để (C
m
)
3 2 2

3( 1) 2( 4 1) 4 ( 1)y x m x m m x m m
= − + + + + − +
cắt trục
hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ > 1
(ĐHNgoạiThương94)
Vấn đề 5: Khoảng cách
 Khỏang cách giữa 2 diễm A và B :
AB =
2 2
( ) ( )
B A B A
x x y y
− + −
 Khỏang cách từ điểm M đến (
∆
):Ax+By+C=0 là :
d(M, ∆)=
22
MM
BA
CBxAx
+
++
 Đặc biệt :  d(M,Ox) =
M
y

 d(M,Oy) =
M
x


Luyện Thi ĐH CĐ 2009 - 19 - GV Trần Thò Lan Thùy
 (∆) : x = a ⇒ d(M, ∆) =
M
x a
−

 (∆) : y = b ⇒ d(M, ∆) =
M
y b
−
T×m m ®Ĩ ®êng th¼ng y = m c¾t ®å thÞ hµm sè y=
( )
12
33
−
−
x
x
t¹i hai ®iĨm A, B
sao cho AB = 1.
Đònh k để đường thẳng (D) : y = k cắt (C)

2
1
x mx m
x
+ −
−
tại 2 điểm phân

biệt A và B sao cho AB =
5
Tìm các điểm M trên (C) : y =
2
3
x
x
+
−
sao cho khoảng cách đến 2 đường
tiệm cận bằng nhau
Tìm m để (C
m
) y = x
3
– 3x
2
+ 3mx + 3m + 2. có hai điểm cực trò cách đều
đường thẳng: x + y – 1 = 0.
Tìm phtrình đ thẳng (d) qua điểm
( )
2;0A −
sao cho khoảng cách từ điểm cực đại
của ( C )
( ) ( )
3 2
3 1 3 2 2y x m x m m x
= − + − + − −
đến (d) là lớn nhất.
Tìm các điểm M thuộc (C)

1
+
x
x
có tổng khoảng cách từ M đến đường thẳng :
3x + 4y = 0 bằng 1
Gọi (D) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k. Tìm k sao cho (D) cắt
2 4
( )
1
x
C y
x
+
=
−
tại hai điểm M, N và
3 10MN
=
.
(a) Tìm những điểm M thuộc (C)

2
1
1
x x
x
− +
−
sao cho tổng khoảng cách

từ M đến hai tiệm cận nhỏ nhất .
(b) Tìm điểm A ,B thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) để khoảng
cách giữa chúng nhỏ nhất (ĐHQG
2000)
(a) Chứng minh rằng đường thảng (D) : y = 2x –1 không cắt đồ thò (C) :
y = 2x
4
– 3x
2
+ 2x + 1
(b) Tìm trên (C) điểm A có khoảng cách đến (D) là nhỏ nhất
Tìm m để h số
1
y mx
x
= +
(C
m
) có cực trò và khoảng cách từ điểm
cực tiểu của (C
m
) đến đường tiệm cận xiên của (C
m
) bằng
1
2

( KhốiA_2005)
Luyện Thi ĐH CĐ 2009 - 20 - GV Trần Thò Lan Thùy
T×m hai ®iĨm A,B ph©n biƯt trªn hai nh¸nh kh¸c nhau cđa ®å thÞ

y = 1 +
1
1
−
x
.sao cho AB ng¾n nhÊt
Vấn đề 6: Bài toán đối xứng
    
 Phương pháp
 Trường hợp 1 Tìm 2 điểm trên (C) : y = f(x) đối xứng nhau qua
điểm I cho trước:
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và có hệ số góc k
 Lập phương trình hoành độ giao điểm (d) và (C) (*) .
Giả sử phương trình có 2 nghiệm x
A
; x
B
 Do I là trung điểm AB nên S = x
A
+ x
B
= 2 x
I
. Từ đó tìm được k
 Thay k vào phương trình (1) tìm được tọa độ A , B
 Trường hợp 2 Tìm 2 điểm trên (C) : y = f(x) đối xứng nhau qua
đường thẳng (d) : y = ax + b :
 Viết phương trình đường thẳng (
∆
)

⊥
(d) là : y =
1
x m
a
− +

 Lập phương trình hoành độ giao điểm (
∆
) và (C) (*) .
 Dùng đònh lý Viét tìm toạ độ trung điểm I của AB
 A và B đối xứng nhau qua (d) nên I
∈
(d) . Từ đó tìm được m
 Thay m vào phương trình (*) tìm được tọa độ A , B

Tìm m để đồ thị y = x
3
– 3x
2
+ m có hai điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ
Tìm trên (C) y =
3
11
3
3
2
3
−++−
xx

x
hai điểm phân biệt M , N đối xứng với
nhau qua trục tung
Tìm hai điểm A, B thuộc (C)
3 1x m
y
x m
+ −
=
−
sao cho A và B đối xứng với nhau
qua đường thẳng (d): x + 3y - 4 = 0.
T×m trªn (C) :
24
53
−
+−
=
x
x
y
c¸c ®iĨm ®èi xøng nhau qua I(1;-2)
Tìm các cặp điểm A , B ∈ (C) :
2
2
1
x x
y
x
+ +

=
−
đối xứng nhau qua điểm I
(
5
(0 ; )
2
(ĐHQG HN 97)
Tìm m để hàm số y = x
3
– 3x
2
+ m
2
x + m có cực đại , cực tiểu và các điểm
CĐ,CT của đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua đường thẳng
Luyện Thi ĐH CĐ 2009 - 21 - GV Trần Thò Lan Thùy
y =
2
5
2
1
−
x
Đònh m để (C
m
) :
2
4 5
2

x mx m
y
x
− +
=
−
có 2 điểm phân biệt đối xứng
nhau qua O ( 0 ; 0 ) (ĐH Thùy Sản 2000)
Tìm 2 điểm phân biệt A , B trên (C)
2
1
x
y
x
=
−
đối xứng nhau qua đường
thẳng y = x – 1 (ĐH Hàng Hải 99)
Đònh a để điểm cực đại và cực tiểu của hàm số :
3 2 3
3 4y x ax a
= − +
đối xứng qua đường thẳng y = x (ĐH YDược TPHCM 96)
Tìm 2 điểm phân biệt M , N trên (C)
2
3 4
2 2
x x
y
x

− +
=
−
đối xứng nhau qua
đường thẳng y = x ( ĐH Luật TPHCM 95)
Vấn đề 7: Đồ Thò của Hàm co ù chứa giá trò tuyệt đối
 Bài toán : Cho đồ thò (C) của hàm số :y = f(x). Từ đồ thò (C)
suy ra đồ thò hàm số sau :
 Đồ thò (C
1
): y =
( ) nếu f(x) > 0
( )
( ) nếu f(x) < 0
f x
f x
f x

=

−

.
Do đó (C
1
) gồm 2 phần đều nắm trên trục hoành :
 Phần 1 trùng với phần của đồ thò (C) nằm phía trên trục
Ox.
 Phần 2 đối xứng với phần của (C) dưới Ox qua Ox
 Đồ thò (C

2
): y = f (
x
):
Ta có f(– x) = f ( x) dây là hàm số chẵn nên đồ thò đối xứng qua
trục tung
 Phần 1 trùng với phần bên phải của Oy của (C)
 Phần 2 sẽ đối xứng với phần 1 trên qua Oy
Luyeọn Thi ẹH Cẹ 2009 - 22 - GV Tran Thũ Lan Thuứy
ẹo thũ
=
1
( ) f(x) C

=
2
( ) ( x )C f

Dạng đồ thị (C
3
) của hàm số:
( )
xfy
=
Ta có:
( )
xfy
=

( )

( )



=

xfy
xf 0
(Do đó
( )
xfy
=
đợc coi là hàm đa trị của y theo x)
Vẽ đồ thị (C) của hàm y = f(x)
Đồ thị (C
3
) gồm hai phần:
Phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành.
Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Ox.
Dạng đồ thị (C
4
)của hàm số: y =
( )
( )
xg
xf
Ta có: y =
( )
( )
xg

xf
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )







<

0xf nếu
xf
-
0xf nếu
xg
xg
xf
Vẽ đồ thị (C) của hàm số: y =
( )
( )
xg
xf
Đồ thị (C

4
) gồm hai phần:
Phần đồ thị của (C) ứng với f(x) 0
Phần đồ thị của (C) ứng với f(x) < 0 qua trục hoành.
Luyện Thi ĐH CĐ 2009 - 23 - GV Trần Thò Lan Thùy
e) D¹ng ®å thÞ (C
5
) cđa hµm sè: y =
( )
( )
xg
xf
• C¸c bíc lµm t¬ng tù nh phÇn d)
• Chó ý: g(x) ≠ 0.
Vẽ (C) : y = x
3
+ 3x
2
–4 rồi suy ra đồ thò
(a) (C
1
)
= + −
3 2
3 4y x x
(b) (C
2
)
=
3

2
x + 3x -4 y
Vẽ
x-1
x-1 x-1
( ) : y = ; (H') : y= ; (H") : y =
x+1 x+1 x+1
H
:
(a) Vẽ (C) : y = x
3
–3kx
2
– 6kx khi k =
1
4
.
(b) Biện luận số nghiệm phương trình :
3
2
4 x -3x - 6 x -4a = 0
(a) Khảo sát và vẽ (C):
3 2
2 9 12 4y x x x= − + −
.
(b)Tìm m để ptr có 6 nghiệm phân biệt
3
2
2 x 9x 12 x m
− + =

(KhốiA_2006)
(a) Khảo sát hàm số y =
x
x 1
−
+
(b). Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình :
2x
x 1
−
(a) Khảo sát hàm số y = x
4
– 6x
2
+ 5
(b). Tìm m để ph/tr sau có 4 nghiệm phân biệt : x
4
– 6x
2
–
m
2
log
= 0
(a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = (x + 1)
2
(x - 2).
(b) Đường thẳng ∆ qua M(2; 0) và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng ∆
cắt đồ thị của hàm số y =
3

x 3 x 2
− −
tại bốn điểm phân biệt:
(a)Khảo sát hàm số y =
1
3
x
3
– 2x
2
+ 3x
(b) Dựa và đồ thị (C) ở câu trên, hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của
phương trình:
1
3
e
3x
– 2e
x
+ 3e
x
= m
Luyện Thi ĐH CĐ 2009 - 24 - GV Trần Thò Lan Thùy
(a) Khảo sát hàm số hàm số:
2 3
3
x
y
x
−

=
−
đồ thị (C).
(b)Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm phtr :
2
2 3
log
3
x
m
x
−
=
−
Cho hàm số
7)1(2)1(
24
−+++−=
mxmxmy
1) Định m để hàm số chỉ có cực đại mà khơng có cực tiểu
2) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=0
b) Dùng (C), biện luận theo tham số a số nghiệm của phương trình:
0
44
12
8)
44
12
(
2

2
2
2
2
=+
+−
+−
−
+−
+−
a
xx
xx
xx
xx
Vấn đề 8: §iĨm cè ®Þnh cđa hä ®å thÞ
Bước 1: Gọi
);(
000
yxM
là điểm cố đònh (nếu có) mà họ (C
m
) đi qua.
Khi đó phương trình:
),(
00
mxfy
=
nghiệm đúng
∀

m (1)
Bước 2: Biến đổi phương trình (1) về một trong các dạng sau:
+ Dạng 1:
0
=+
BAm

m
∀
+ Dạng 2:
0
2
=++
CBmAm

m
∀
(1)
0
=+
BAm



=
=
⇔∀
0
0
B

A
m
(2)





=
=
=
⇔∀=++
0
0
0
0
2
C
B
A
mCBmAm
(3)
Bước 3: Giải hệ (2) hoặc (3) ta sẽ tìm được
);(
00
yx
T×m ®iĨm cè ®Þnh cđa
)(
m
C

)1(4)14(2)1(3
223
+−++++−=
mmxmmxmxy
CMR
)(
m
C

18712)246()4(
23
−+−−−−=
mmxxmxmy
lu«n cã 3 ®iĨm
cè ®Þnh th¼ng hµng . ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua 3 ®iĨm ®ã
T×m ®iĨm cè ®Þnh
)(
m
C

1)2()1(
23
−++−−−=
mxmxmmxy

CMR
)(
m
C


1)12()1(
23
+−+−+=
mxmxmy
lu«n cã 3 ®iĨm cè ®Þnh th¼ng
hµng Víi gi¸ trÞ nµo cđa m th×
)(
m
C
cã tiÕp tun vu«ng gãc víi ®êng th¼ng qua 3
®iĨm ®ã
T×m ®iĨm cè ®Þnh

)(
m
C

5
24
−−+=
mmxxy
Luyeọn Thi ẹH Cẹ 2009 - 25 - GV Tran Thũ Lan Thuứy
Cho hàm số
)(
m
C

1
23
+=

mmxxy
,. Viết phơng trình tiếp tuyến tại các
điểm cố định mà họ đờng cong luôn đi qua với mọi m
Tìm điểm cố định họ
)(
m
C
2
42
2
+
+
=
x
mmxx
y

CMR đồ thị
)(
m
C

mx
xmx
y
+
+++
=
3)1(2
2

không đi qua điểm cố định nào
CMR đồ thị
)(
m
C
mxm
mx
y
4)2(
13
++
+
=
luôn đi qua 2 điểm cố định
Cho y = -(m
2
+5m ) x
3
+6mx
2
+6x 6 tìm các điểm cố định của đồ thị .
Tiếp tuyến tại đó có cố định hay không
Tìm những điểm cố định của họ các đờng cong: y = mx
3
3mx
2
+2(m-
1)x +2 . cmr: những điểm cố định đó thẳng hàng. từ đó suy ra họ đờng
cong có chung một tâm đối xứng
BI TP ễN V HM BC 3

Cho h ng cong bc ba
( )
m
C
v h ng thng
k
D
ln lt cú phng
trỡnh l
3 2
y x mx m
= +
va


1y kx k
= + +
I. Phõn 1. Trong phn ny cho m = 3.
1) Kho sỏt v v th (C) ca hm s.
2) Gi A v B l 2 im cc i v cc tiu ca (C) v M l im bt k trờn
cung AB vi M khỏc A, B. Chng minh rng trờn (C) ta tỡm c hai im
ti ú cú tip tuyn vuụng gúc vi tip tuyn ti M vi (C).
3) Gi

l ng thng cú phng trỡnh y = 1. Bin lun s tip tuyn vi (C)
v t
E

vi (C).
4) Tỡm

E

qua E cú ba tip tuyn vi (C) v cú hai tip tuyn vuụng
gúc vi nhau.
5) nh p trờn (C) cú 2 tip tuyn cú h s gúc bng p, trong trng hp ny
chng t trung im ca hai tip im l im c nh.
6) Tỡm M

(C) qua M ch cú mt tip tuyn vi (C).
II. Phõn 2. Trong phn ny cho tham s m thay i.
7) Tỡm im c nh ca
( )
m
C
. nh m hai tip tuyn ti hai im c nh
ny vuụng gúc nhau.
8) nh m
( )
m
C
cú 2 im cc tr. Vit ph trỡnh ng thng qua 2 im
cc tr.
9) nh m
( )
m
C
ct Ox ti 3 im phõn bit.
10) . nh m : (a) Hm s ng bin trong (1, 2).