Chöông 4
NOÄI SUY VAØ
XAÁP XÆ HAØM

I. ĐẶT BÀI TOÁN :
Để tính giá trò của một hàm liên tục
bất kỳ, ta có thể xấp xỉ hàm bằng một
đa thức, tính giá trò của đa thức từ đó
tính được giá trò gần đúng của hàm

Xét hàm y = f(x) cho dưới dạng bảng số
y
o
y
1
y
2
. . . y
n
y
x
o
x
1
x
2
. . . x
n
x


Các giá trò x
k
, k = 0, 1, .., n được sắp theo
thứ tự tăng dần gọi là các điểm nút nội suy

Các giá trò y
k
= f(x
k
) là các giá trò cho trước
của hàm tại x
k

Bài toán : xây dựng 1 đa thức p
n
(x) bậc ≤n
thoả điều kiện p
n
(x
k
) = y
k
, k=0,1,.. n. Đa thức
này gọi là đa thức nội suy của hàm f(x).

II. ĐA THỨC NỘY SUY LAGRANGE:
Cho hàm y = f(x) và bảng số
y
o
y

1
y
2
. . . y
n
y
x
o
x
1
x
2
. . . x
n
x
Ta xây dựng đa thức nội suy hàm f(x)
trên [a,b]=[x
0
, x
n
].

Ñaët
( )
0,
0,
0 1 1 1
0 1 1 1
( )
( )

( )
( )( )...( )( )...( )
( )( )...( )( )...( )
n
i
k
i i k
n
n
k i
i i k
k k n
k k k k k k k n
x x
p x
x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
= ≠
= ≠
− +
− +
−
=
−
− − − − −
=
− − − − −
∏
∏

Ta coù
( )
1
( )
0
k
n i
i k
p x
i k

=
=

≠


Đa thức
( )
0
( ) ( )
n
k
n n k
k
L x p x y
=
=
∑
có bậc ≤ n và thỏa điều kiện L

n
(x
k
) = y
k
gọi là đa thức nội suy Lagrange của hàm f
Ví dụ : Cho hàm f và bảng số
1 -1 2 y
0 1 3 x
Xây dựng đa thức nội suy Lagrange và tính
gần đúng f(2).

n = 2
(0) 2
( 1)( 3) 1
( ) ( 4 3)
(0 1)(0 3) 3
n
x x
p x x x
− −
= = − +
− −
Giaûi
(1) 2
( 0)( 3) 1
( ) ( 3 )
(1 0)(1 3) 2
n
x x

p x x x
− −
= = − −
− −
(2) 2
( 0)( 1) 1
( ) ( )
(3 0)(3 1) 6
n
x x
p x x x
− −
= = −
− −
Ña thöùc noäi suy Lagrange
2 2 2 2
1 1 1 7 19
( ) ( 4 3) ( 3 ) ( ) 1
3 2 3 6 6
n
L x x x x x x x x x= − + + − + − = − +
f(2) ≈ L
n
(2) = -2/3


Caựch bieồu dieón khaực :
(x
k
) = (x

k
-x
0
)(x
k
-x
1
)...(x
k
-x
k-1
)(x
k
-x
k+1
)...(x
k
- x
n
)
ẹaởt (x) = (x- x
0
)(x- x
1
) .... (x- x
n
)
( )
( )
( )

'( )( )
k
n
k k
x
p x
x x x


=

0
( ) ( )
'( )( )
n
k
n
k
k k
y
L x x
x x x


=
=


vụựi D
k

= (x
k
) (x-x
k
)
0
( ) ( )
n
k
n
k
k
y
L x x
D

=
=

0
0
'( ) ( )
n
n
i
k
i
i k
x x x


=
=

=



Để tính giá trò của L
n
(x), ta lập bảng
ω(x)
D
0
D
1
…
D
n
x- x
0
x
0
- x
1
.... x
0
- x
n
x
1

- x
0
x- x
1
.... x
1
- x
n
.... .... .... ....
x
n
- x
0
x
n
- x
1
.... x- x
n
x
0
x
1
…
x
n
x
0
x
1

.... x
n
x
tích
dòng
tích đường chéo

Ví dụ : Cho hàm f và bảng số
-1 -4 -9 y
-9 -7 -4 x
Tính gần đúng f(-6)
Ta lập bảng tại x = -6
-6
30
-6
-30
3 -2 -5
2 1 -3
5 3 -2
-9
-7
-4
-9 -7 -4 x = -6
Vậy f(-6) ≈ L
2
(-6) = -6(-1/30+4/6+9/30) = -5.6

Ví dụ : Cho hàm f và bảng số
1 1 2 -1y
0 1 3 4x

Tính gần đúng f(2)
Ta lập bảng tại x = 2
4
-24
6
6
-24
2 -1 -3 -4
1 1 -2 -3
3 2 -1 -1
4 3 1 -2
0
1
3
4
0 1 3 4x = 2
Vậy f(2) ≈ L
3
(2) = 4(-1/24 + 1/6 + 1/3 +1/24) = 2

•
TH đặc biệt : các điểm nút cách đều
với bước h = x
k+1
– x
k
Đặt
0
( )x x
q

h
−
=
Ta có x
k
= x
o
+ kh
⇒ x-x
k
= x- x
o
-kh = (q-k)h
x
i
-x
j
= (x
o
+ih)-(x
o
+jh) = (i-j)h
⇒ ω(x)=(x-x
0
)(x-x
1
) .... (x-x
n
)=q(q-1)…(q-n)h
n+1

ω’(x
k
) = (x
k
-x
0
) ... (x
k
-x
k-1
)(x
k
-x
k+1
) … (x
k
-x
n
)
= k.(k-1) … 1.(-1)(-2) … (k-n)h
n
= (-1)
n-k
k! (n-k)! h
n

0
( ) ( )
'( )( )
n

k
n
k
k k
y
L x x
x x x
ω
ω
=
=
−
∑
0
( 1)
( ) ( 1)...( )
!( )!( )
n k
n
k
n
k
y
L x q q q n
k n k q k
−
=
−
⇒ = − −
− −

∑
Ví dụ : Cho hàm f và bảng số
15 18 19 24y
1.1 1.2 1.3 1.4x
Tính gần đúng f(1.25)

Ta coù n = 3 x = 1.25
h = 0.1 q = (1.25-1.1)/0.1 = 1.5
Vaäy f(1.25) ≈ 18.375
15 18 19 24
(1.25) (1.5)(0.5)( 0.5)( 1.5)[ ]
3!(1.5) 2!(0.5) 2!( 0.5) 3!( 1.5)
18.375
n
L
= − − − + − +
− −
=
giaûi


Công thức đánh giá sai số :
Giả sử hàm f(x) có đạo hàm đến
cấp n+1 liên tục trên [a,b].
Đặt
( 1)
1
[ , ]
max | ( ) |
n

n
x a b
M f x
+
+
∈
=
Ta có công thức sai số
1
| ( ) ( ) | | ( ) |
( 1)!
n
n
M
f x L x x
n
ω
+
− ≤
+

Ví dụ : Cho hàm f(x)=2
x
trên đoạn [0,1]. Đánh
giá sai số khi tính gần đúng giá trò hàm tại điểm
x=0.45 sử dụng đa thức nội suy Lagrange khi
chọn các điểm nút x
o
=0, x
1

=0.25, x
2
=0.5, x
3
=0.75,
x
4
=1
Giải
Ta có n = 4, f
(5)
(x) = (ln2)
5
2
x
⇒ M
5
= max |f
(5)
(x)| = 2(ln2)
5
1
5
5
| ( ) ( ) | | ( ) |
( 1)!
2(ln2)
| (0.45)(0.20)( 0.05)( 0.30)( 0.55) | 0.198 10
5!
n

n
M
f x L x x
n
x
ω
+
−
− ≤
+
= − − − =
công thức sai số

III. ĐA THỨC NỘY SUY NEWTON:
1. Tỉ sai phân :
Cho hàm y = f(x) xác đònh trên [a,b]=[x
o
, x
n
]
và bảng số
y
o
y
1
y
2
. . . y
n
y

x
o
x
1
x
2
. . . x
n
x
Đại lượng
1
1
1
( ) ( )
[ , ]
k k
k k
k k
f x f x
f x x
x x
+
+
+
−
=
−
gọi là tỉ sai phân cấp 1 của hàm f trên [x
k
,x

k+1
]

Tæ sai phaân caáp 2
1 2 1
1 2
2
[ , ] [ , ]
[ , , ]
k k k k
k k k
k k
f x x f x x
f x x x
x x
+ + +
+ +
+
−
=
−
Baèng qui naïp ta ñònh nghóa tæ sai phaân caáp p
1 2 1 1
1
[ , , ... , ] [ , , ... , ]
[ , , ... , ]
k k k p k k k p
k k k p
k p k
f x x x f x x x

f x x x
x x
+ + + + + −
+ +
+
−
=
−

Ví dụ : Cho hàm f và bảng số
0.76 0.62 0.46 0.28y
1.0 1.3 1.6 2.0x
Tính các tỉ sai phân
0
1
2
3
k
0.23-0.111
0.119
-0.4667
-0.5333
-0.45
0.76
0.62
0.46
0.28
1.0
1.3
1.6

2.0
f[x
k
,x
k+1
,x
k+2
,x
k+3
]f[x
k
,x
k+1
,x
k+2
]f[x
k
,x
k+1
]f(x
k
)x
k
Giải : ta lập bảng các tỉ sai phân

2. ẹa thửực noọi suy Newton :
Tổ sai phaõn caỏp 1
0
0
0

0 0 0
( ) ( )
[ , ]
( ) [ , ]( )
f x f x
f x x
x x
f x y f x x x x

=

= +
Tổ sai phaõn caỏp 2
0 1 0
0 1
1
0 0 1 0 1 1
[ , ] [ , ]
[ , , ]
[ , ] [ , ] [ , , ]( )
f x x f x x
f x x x
x x
f x x f x x f x x x x x

=

= +
neõn
0 0 1 0 0 1 0 1

( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( )f x y f x x x x f x x x x x x x= + +

Tiếp tục bằng qui nạp ta được
Đặt
(1)
0 0 1 0 0 1 2 0 1
0 1 0 1 1
0 0 1
( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( ) ...
[ , ,..., ]( )( ) ... ( )
( ) [ , ,..., ]( )( ) ... ( )
n
n n
n n n
x y f x x x x f x x x x x x x
f x x x x x x x x x
x f x x x x x x x x x
−
ℵ = + − + − − +
+ − − −
ℜ = − − −
0 0 1 0 0 1 2 0 1
0 1 0 1 1
0 0 1
( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( ) ...
[ , ,..., ]( )( ) ... ( )
[ , ,..., ]( )( ) ... ( )
n n
n n
f x y f x x x x f x x x x x x x

f x x x x x x x x x
f x x x x x x x x x
−
= + − + − − +
+ − − −
+ − − −
Ta được
(1)
( ) ( ) ( )
n n
f x x x=ℵ + ℜ
Công thức này gọi là công thức Newton tiến
xuất phát từ điểm nút x
o

Tương tự ta có công thức Newton lùi
(2)
(2)
1 2 1 1
0 1 1 1
( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( ) ...
[ , ,..., ]( )( ) ...
( ) ( ( )
( )
)
n n n n n n n n n n
n n
n
n
n

x y f x x x x f x x x x x x x
f x x x x x x
f x
x
x x
x x
− − − −
−
ℵ = + − + − − +
+ − −
ℵ
−
= + ℜ
(1)
(2)
( ) :
( ) :
( ) :
n
n
n
x đa thức nội suy Newtontiến
x đa thức nội suy Newtonlùi
x xác đònh sai số
ℵ
ℵ
ℜ
Nếu hàm f có đạo hàm liên tục đến cấp n+1,
ta có công thức đánh giá sai số :
( 1)

1
1
| ( ) | | ( ) | max | ( ) |
( 1)!
n
n
n n
M
x x với M f x
n
ω
+
+
+
ℜ ≤ =
+

Ví dụ : Cho hàm f xác đònh trên [0,1] và bảng số
2 2.2599 2.5238 2.7183y
0 0.3 0.7 1 x
Tính gần đúng f(0.12) bằng Newton tiến và
f(0.9) bằng Newton lùi
0.2786
-0.2950
-0.0164
0.8663
0.6598
0.6483
2
2.2599

2.5238
2.7183
0
0.3
0.7
1
f[x
k
,x
k+1
,x
k+2
,x
k+3
]f[x
k
,x
k+1
,x
k+2
]f[x
k
,x
k+1
]f(x
k
)x
k
Giải : ta lập bảng các tỉ sai phân
Newton lùi

Newton tiến

(1)
(0.12) (0.12)
2 0.8663(0.12) 0.2950(0.12)( 0.18) 0.2786(0.12)( 0.18)( 0.58)
2.1138
n
f
≈ ℵ
= + − − + − −
=
(2)
(0.9) (0.9)
2.7183 0.6483( 0.1) 0.0164( 0.1)(0.2) 0.2786( 0.1)(0.2)(0.6)
2.6505
n
f
≈ ℵ
= + − − − + −
=
Ta coù

3. TH các điểm nút cách đều :
Sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm tại điểm x
k

∆y
k
= y
k+1

- y
k
Bằng qui nạp, Sai phân hữu hạn cấp p của hàm
tại điểm x
k

∆
p
y
k
= ∆(∆
p-1
y
k
) = ∆
p-1
y
k+1
- ∆
p-1
y
k
Ta có công thức
1
[ , ,..., ]
!
p
k
k k k p
p

y
f x x x
p h
+ +
∆
=