Khai thác một hình vẽ để giải một số bài toán hình tứ diện trong SGK Hình học 11
I. Đặt vấn đề
Tìm tòi và sáng tạo là những đức tính rất cần thiết của học sinh để có thể học
tập tốt các môn học nói chung và môn toán nói riêng. Vì thế trong quá trình giảng dạy
tôi luôn mong muốn bồi dỡng cho học sinh năng lực t duy sáng tạo, năng lực giải
quyết vấn đề và tạo hứng thú học tập cho các em.
Nếu có thói quen thờng xuyên khai thác mỗi bài toán trong sách giáo khoa
bằng việc đi tìm những lời giải khác nhau hoặc khai thác, tìm kiếm các kết luận mới
từ hình vẽ của lời giải sẽ giúp ta có đợc nhiều kết quả thú vị. Qua đó nhằm phát hiện
và bồi dỡng năng lực toán cho học sinh.
Chính ví thế tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm:
"Khai thác một hình vẽ để giải một số bài toán hình tứ diện
trong SGK Hình học 11".
II. Nội dung
1. Cơ sở lí luận
Thông qua khai thác, tìm hiểu để rồi từ đó phát triển một bài toán sẽ giúp rèn
luyện t duy lôgic, khả năng phân tích tổng hợp, trí tởng tợng phong phú và óc sáng tạo
cho học sinh.
2. Thực trạng của vấn đề.
a) Thuận lợi:
- Hình học không gian là môn học mới đối với học sinh lớp 11 vì nó có nội
dung mới và phong phú hơn so với hình học phẳng. Nó rèn luyện cho học sinh trí t-
ởng tợng không gian thông qua các hình ảnh, mô hình cụ thể theo con đờng từ t duy
trực quan sang t duy trừu tợng.
- Trong SGK Hình học 11 bài tập về hình tứ diện rất nhiều, tuy nhiên trong số
đó có nhiều bài chỉ khác nhau về một đơn vị kiến thức nào đó. Những bài này nếu học
sinh biết khai thác sẽ thấy chúng có mối liên hệ với nhau.
b) Khó khăn
- Môn hình học không gian đòi hỏi học sinh phải có trí tởng tợng, có kiến thức
tốt về hình học phẳng
- Trong hình học không gian có rất nhiều kiến thức mới đòi hỏi học sinh phải

nhớ, phải hiểu mới có thể vận dụng làm bài đợc.
Chính điều đó gây ra khó khăn cho không ít học sinh trong môn học này.
3. Biện pháp tiến hành
Trong giảng dạy tôi luôn:
- Tích cực làm mô hình hỗ trợ cho các bài giảng.
- Tích cực ứng dụng CNTT vào các bài giảng
- Lựa chọn các ví dụ minh hoạ sinh động, thực tế phục vụ cho bài giảng
- Hớng dẫn học sinh tìm hiểu sâu sắc mỗi bài toán, mỗi hình vẽ để có thể liên hệ tới
các bài toán khác.
Sau đây là một trong những hoạt động nhằm tạo hứng thú học tập, nghiên
cứu của học sinh mà tôi đã làm: (ở dây là hoạt động hớng dẫn học sinh tìm hiểu
một hình vẽ của lời giải một bài toán để có đợc các kết quả khác).
Lơng Cao Vinh - Trờng THPT Cộng Hiền - Vĩnh Bảo - Hải Phòng.
1
Khai thác một hình vẽ để giải một số bài toán hình tứ diện trong SGK Hình học 11
Bài 1. (VD1 trang 85 SGK HH11 NC)
Giải
* Yêu cầu học sinh tìm một lời giải khác ?
Gợi ý: "Từ giả thiết về hai điểm M, N và kết luận của bài toán ta nghĩ tới tính chất
của đờng trung bình trong tam giác và MN là đờng trung bình đó."
Từ đó ta có cách giải khác nh sau:
* Tiếp tục hớng dẫn học sinh khai thác các yếu tố của hình vẽ 2
Có đợc hình vẽ 2 rồi, không dừng lại ở đó, tìm hiểu thêm ta sẽ đợc nhiều kết quả
khác.
- Khai thác đờng trung bình MN của tam giác ABE.
Ta có MN song song với mp(ADE) mà mp này cũng song song với BC từ đó ta đợc
lời giải bài toán khác sau đây:
Lơng Cao Vinh - Trờng THPT Cộng Hiền - Vĩnh Bảo - Hải Phòng.
2
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AB và CD.

Chứng tỏ rằng:
1 1
( ) ( ).
2 2
MN AD BC AC BD= + = +
uuuur uuur uuur uuur uuur
Gọi E là đỉnh thứ ba của hình bình hành BCED.Khi đó N
là tâm của hình bình hành BCED.
Do M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BE, do
đó MN là đờng trung bình của tam giác ABE.
Suy ra:
1
.
2
MN AE=
uuuur uuur
(1)
Sử dụng quy tắc 3 điểm, ta có
.
AE AD DE
AE AC CE
= +
= +
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
(2)
Mà BCED là hình bình hành nên
, .DE BC CE BD= =
uuur uuur uuur uuur
(3). Từ (1), (2), (3) suy ra:

1 1
( ) ( ).
2 2
MN AD BC AC BD= + = +
uuuur uuur uuur uuur uuur
A
B
C
D
N
M
Hình 1
A
B
C
D
E
N
M
Hình 2
* Cách giải của SGK
Sử dụng quy tắc ba điểm , ta có
MN MA AD DN= + +
uuuur uuur uuur uuur
,
MN MB BC CN= + +
uuuur uuur uuur uuur
.
Do
0MA MB+ =

uuur uuur r
và
0DN CN+ =
uuur uuur r
nên
1
( )
2
MN AD BC= +
uuuur uuur uuur
.
Tơng tự nh trên, ta có

1
( )
2
MN AC BD= +
uuuur uuur uuur
.
Khai thác một hình vẽ để giải một số bài toán hình tứ diện trong SGK Hình học 11
Bài 2. (Bài toán 1 trang 87 SGK HH11 NC)
Giải
sử dụng hình vẽ 2
- Với việc tạo ra hình bình hành BCED, ta nhận thấy mối quan hệ giữa AC và BD,
giữa AD và BC đợc tìm hiểu thông qua mối quan hệ giữa AC và CE, AD và DE thuận
lợi hơn nhiều. Sau đây là một ví dụ.
Bài 3. (VD1 trang 86 SGK HH11 CB)
Giải.
Sử dụng hình vẽ 3
Do BCED là hình bình hành nên


BD CE AC BD AC CE AE
BC DE AD BC AD DE AE

= + = + =


= + = + =


uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Từ đó suy ra:
AC BD AD BC
+ = +
uuur uuur uuur uuur
(đpcm)
- Khai thác hai tam giác ACE và ADE.
Hai tam giác ACE và ADE có chung cạnh AE.
Gọi P là trung điểm của đoạn AE, nối C với P,
nối D với P, nối P với N. Ta đợc hình vẽ 4.
Ta nhận thấy PN//AB vậy quan hệ vuông góc
giữa AB và CD đa về quan hệ giữa PN và CD,
mà PN là trung tuyến của tam giác CPD, do đó
lại liên quan tới hai cạnh CP, DP là hai trung
tuyến của hai tam giác ACE và ADE
Khi đó ta có đợc lời giải các bài toán sau đây:.
Lơng Cao Vinh - Trờng THPT Cộng Hiền - Vĩnh Bảo - Hải Phòng.
3

Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lợt là trung điểm của AB và
CD. Chứng minh rằng ba vectơ
, ,BC MN AD
uuur uuuur uuur
đồng phẳng.
Ta có BC // DE nên BC // (ADE), MN// AE nên MN
// (ADE). Do đó mp(ADE) chứa đờng thẳng AD và
song song với các đờng thẳng BC và MN. Từ đó suy
ra ba đờng thẳng BC, MN, AD cùng song song với
một mặt phẳng. Do đó ba vectơ
, ,BC MN AD
uuur uuuur uuur
đồng
phẳng.
A
B
C
D
E
N
M
Hình 2
Cho tứ diện ABCD. Chứng minh:
.AC BD AD BC
+ = +
uuur uuur uuur uuur
A
B
C
D

E
N
Hình 3
A
B
C
D
E
P
N
Hình 4
Khai thác một hình vẽ để giải một số bài toán hình tứ diện trong SGK Hình học 11
Bài 4. (Bài 20 trang 103 SGK HH11 NC)
Giải
Bài 5. (Bài 20 trang 103 SGK HH11 NC)
Giải
Lơng Cao Vinh - Trờng THPT Cộng Hiền - Vĩnh Bảo - Hải Phòng.
4
Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vuông góc
thì cặp cạnh đối còn lại cũng vuông góc. (Tứ diện nh thế gọi là tứ
diện trực tâm)
Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng các mệnh đề sau đây là t-
ơng đơng.
a) ABCD là tứ diện trực tâm.
b) AB
2
+ CD
2
= AC
2

+ BD
2
= AD
2
+ BC
2
.
Ta sử dụng hình vẽ 4 nh trên.
Ta luôn có
/ / .AB PN
Khi đó
AB CD PN CD
(mà
PN
là trung tuyến của
CPD
)

CPD
cân tại P

PC PD =

2 2
PC PD =
(mà
PC
và
PD
lần lợt là hai đờng trung tuyến của

ACE
và
ADE
)

2 2 2 2 2 2
2 4 2 4
AC CE AE AD DE AE+ +
=

2 2 2 2
AC CE AD DE + = +
(mà
CE BD
=
và
DE BC
=
)

2 2 2 2
AC BD AD BC + = +
.
Tơng tự nh trên ta cũng có
2 2 2 2
2 2 2 2
AD BC AC BD AB CD
AC BD AB CD AD BC
+ = +
+ = +

Vậy hai mệnh đề đã cho là tơng đơng. (đpcm)
Không mất tính tổng quát giả sử tứ diện ABCD có
AC BD
và
AD BC
. Ta phải chứng minh
.AB CD
Sử dụng hình vẽ 4
Có
AD BC
mà
/ /BC DE
suy ra
AD DE
. Vậy tam giác
ADE vuông tại D, mà DP là trung tuyến nên
1
.
2
DP AE=
(1)
Tơng tự,
AC BD
mà
/ /BD CE
suy ra
AC CE
. Vậy tam
giác ACE vuông tại C, mà CP là trung tuyến nên
1

.
2
CP AE=
(2).
Từ (1), (2) suy ra
CP DP=
do đó tam giác CPD cân tại P.
Khi đó trung tuyến PN đồng thời là đờng cao. Vậy
.PN CD
(3)
Trong tam giác ABE có PN là đờng trung bình nên
/ / .PN AB
(4).
Từ (3), (4) suy ra
.AB CD
(đpcm)
A
B
C
D
E
P
N
Hình 4
Khai thác một hình vẽ để giải một số bài toán hình tứ diện trong SGK Hình học 11
- Trong hình vẽ 4 gọi M là trung điểm của AB, ta đợc hình vẽ 5 (dới đây) lại khai thác
đờng trung bình MN của tam giác ABE ta thấy MN//AE vì thế mối quan hệ giữa MN
với AB và CD đa về mối quan hệ giữa AE với AB và CD, đợc thể hiện qua bài toán
sau đây:
Bài 6. (Bài 35 trang 118 SGK HH11 NC)

Giải
Bài 7. (Bài 9 trang 96 SGK HH11 NC)
Giải
Lơng Cao Vinh - Trờng THPT Cộng Hiền - Vĩnh Bảo - Hải Phòng.
5
Cho tứ diện ABCD, Chứng minh rằng nếu AC = BD, AD = BC thì đờng
vuông góc chung của AB và CD là đờng nối trung điểm của AB và CD.
Điều ngợc lại có đúng không?
Ta sử dụng hình vẽ 5 ở bên.
Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AB và CD.
Ta có
AC = BD, AD = BC nên AC = CE, AD = DE do đó tam
giác ACE cân tại C và tam giác ADE cân tại D. Suy ra
các trung tuyến CP và DP cùng vuông góc với AE. Suy
ra
( ) , .AE CPD AE PN AE CD

Mà
/ / , / / ,AE MN PN AB MN AB MN CD
.
Điều ngợc lại cũng đúng, tức là nếu MN là đờng vuông
góc chung của AB và CD với M, N lần lợt là trung điểm
của AB và CD thì AC = BD và AD = BC.
Thật vậy, có các lập luận ở phần trên theo chiều ngợc
lại vẫn đúng, suy ra đpcm.
Cho hình chóp tam giác S.ABC có
SA SB SC
= =
và
ã

ã
ã
ASB BSC CSA= =
.
Chứng minh rằng
SA BC
,
SB AC
,
.SC AB
Ta sử dụng hình vẽ 5 '(ở bên).
Chứng minh
SA BC

.
Từ giả thiết suy ra SAB = SAC (c-g-c) =>
AB = AC mà ABEC là hình bình hành nên
suy ra BE = CE từ đó suy ra SBE = SCE
(c-c-c) => BP = CP (hai trung tuyến tơng
ứng) => CPB cân tại P => trung tuyến PN
đồng thời là đờng cao =>
PN BC
mà SA //
PN =>
SA BC
.
Vẽ hình tơng tự và chứng minh tơng tự ta
cũng đợc
SB AC
,

.SC AB
(đpcm)
A
B
C
D
E
P
N
M
Hình 5
S
A
B
C
E
P
N
M
Hình 5'