TON CAO CP-XC SUT THNG Kấ

B MễN TON TIN

Phần I
Toán cao cấp
Chơng i
Ma trận - Định thức
1.1. Ma trận
1.1.1. Các khái niệm cơ bản về ma trận
a) Khái niệm ma trận
Định nghĩa: Một bảng gồm m n số xếp thành m hàng và n cột
đợc gọi là một ma trận cấp m n và đợc ký hiệu nh sau:
a11
a
A 21


a m1

a12
a 22

am2

a1n
a 2 n


a mn

Các số aij đợc gọi là các phần tử của ma trận A . Cụ thể aij là phần
tử nằm trên hàng i và cột j của ma trận A .
Để kí hiệu ma trận ngời ta thờng viết bảng số bên trong hai dấu
ngoặc vuông nh trên hoặc hai dấu ngoặc tròn.
Để nói A là ma trận cấp m n có phần tử nằm ở hàng i cột j là aij ta
viết



A aij

mn

Khi m n , ta có ma trận với n hàng n cột, ta gọi nó là ma trận vuông
cấp n .
Trong ma trận vuông cấp n :
a11
a
A 21


a n1

a12
a 22

an2

a1n
a 2 n



a nn

các phần tử a11 , a22 , , ann gọi là các phần tử chéo. Đờng thẳng đi qua
các phần tử chéo gọi là đờng chéo chính của ma trận, đờng chéo
còn lại gọi là đờng chéo phụ. Ma trận vuông có tất cả các phần tử
TRNG I HC Y DC - I HC THI NGUYấN

1


TON CAO CP-XC SUT THNG Kấ

B MễN TON TIN

nằm về một phía của đờng chéo chính bằng không gọi là ma trận
tam giác. Có hai loại ma trận tam giác:
a11
0



0

a12
a 22

0


a1n
a11
a
a 2 n
21
và




a nn
a n1

0
a 22

an 2

0
0


a nn

Ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đờng chéo
chính bằng không đợc gọi là ma trận chéo. Ma trận chéo cấp n có
dạng:
a11
0




0

0
a 22

0

0
0


a nn

Trờng hợp đặc biệt, khi a11 a22 ann 1 ma trận chéo đợc gọi là
ma trận đơn vị. Ma trận đơn vị đợc ký hiệu I hoặc E:
1 0 0
0 1 0

I



0 0 1

Ví dụ 1:
1 2 3 4
A


5 6 7 8

là một ma trận cấp 2 4 với các phần tử:
a11 1 , a12 2 , a13 3 , a14 4
a 21 5 , a22 6 , a23 7 , a 24 8.

Ví dụ 2:

B 1 2 3

là ma trận cấp 13 (còn gọi là ma trận hàng) với các phần tử:
b11 1, b12 2 , b13 3 .

Ví dụ 3:

4
C 5
6
TRNG I HC Y DC - I HC THI NGUYấN

2


TON CAO CP-XC SUT THNG Kấ

B MễN TON TIN

là ma trận cấp 31 (còn gọi là ma trận cột) với các phần tử:
c11 4 , c21 5 , c31 6 .


TRNG I HC Y DC - I HC THI NGUYấN

3


TON CAO CP-XC SUT THNG Kấ

B MễN TON TIN

b) Ma trận không và ma trận đối
Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng
không. Ma trận không ký hiệu là 0 .



Với mỗi ma trận A aij

mn



ta đặt A aij



mn .

Ma trận A đ-

ợc gọi là ma trận đối của ma trận A .

c) Ma trận bằng nhau
Định nghĩa: Hai ma trận A và B gọi là bằng nhau nếu chúng có
cùng cấp và các phần tử cùng vị trí bằng nhau, tức là:
1) A [ aij ]mn , B [bij ]mn
2) aij bij ; i 1, m; j 1, n
Khi A bằng B ta viết A B .
Ví dụ:
1 2 a b
3 4 c d




có nghĩa là a 1 , b 2 , c 3 , d 4 .
1.1.2 Các phép toán đối với ma trận
a) Phép cộng ma trận
Định nghĩa: Cho hai ma trận A [ aij ]mn , B [bij ]mn . Tổng của hai
ma trận A và B là một ma trận cấp m n , ký hiệu A B và đợc xác
định nh sau:
A B [aij bij ]mn
Nh vậy muốn cộng hai ma trận cùng cỡ ta cộng các phần tử cùng vị
trí với nhau.
Ví dụ:
2 4
1
3 4 2



1 5 1


.
6 5 2

Tính chất: Phép cộng ma trận có các tính chất sau:

TRNG I HC Y DC - I HC THI NGUYấN

4


TON CAO CP-XC SUT THNG Kấ

B MễN TON TIN

A B BA
( A B) C A ( B C )
A 0 0 A A
A ( A) ( A) A 0

b) Phép nhân ma trận với một số



Định nghĩa: Cho ma trận A aij

mn ,

k là số thực bất kỳ. Tích của


ma trận A với số k là một ma trận cấp m n , ký hiệu kA và đợc xác
định nh sau:
kA [kaij ]mn
Nh vậy, muốn nhân một ma trận với một số ta nhân tất cả các
phần tử của ma trận với số đó.
Ví dụ:
3 4 6 8
2
2 8

1
4




Tính chất: Phép nhân ma trận với một số có các tính chất sau:
k ( A B ) kA kB
(k h) A kA hA
k (hA) (kh) A
1. A A
0. A 0

c) Phép nhân ma trận với ma trận



Định nghĩa: Cho hai ma trận A aij

mn




, B bij

np .

Tích của ma

trận A với ma trận B là một ma trận cấp m p , ký hiệu AB và đợc
xác định nh sau:

mp

AB cij

n

trong đó: cij ai1b1 j ai 2 b2 j ain bnj aik bkj ,
k 1

Cách tính cij có thể hình dung bằng sơ đồ sau:

TRNG I HC Y DC - I HC THI NGUYấN

5


TOÁN CAO CẤP-XÁC SUẤT THỐNG KÊ


BỘ MÔN TOÁN TIN

b1 j
b2 j
ai1

ai 2

 ain

bnj

vµ cã thÓ nãi t¾t: cij b»ng hµng i cña A nh©n víi cét j cña B .

TRƯỜNG ĐẠI HỌC Y DƯỢC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

6


TON CAO CP-XC SUT THNG Kấ

B MễN TON TIN

Ví dụ:
3
3 12
2 1 4 2 8




3
1 4 11
2
1 2
1 2 3
10
4 1 2 3 2 9

1 4


1 2 3 0 5
0 1 1 4 1




18
18
8
4

3 0 1 2 3 6
1 4 0 1 1 2




3 2 1
2 0 1




2 16
3
8
4

Chú ý:
Mun nhõn hai ma trn iu kin cn l s ct ca ma trn trc bng s hng
ca ma trn sau, do ú tớch hai ma trn khụng cú tớnh cht giao hoỏn
Tính chất: Phép nhân ma trận với ma trận có tính chất sau
A ( B C ) AB AC
( B C ) A BA CA
A( BC ) ( AB)C
k ( BC ) ( kB)C B( kC )
IA A ; BI B
Đặc biệt, trong tập các ma trận vuông cùng cấp ta có: AI IA A
1.1.3 Ma trận chuyển vị



Định nghĩa: Xét ma trận A aij

mn ,

nếu chuyển các hàng của A

thành các cột với thứ tự tơng ứng (khi đó các cột trở thành hàng với
thứ tự tơng ứng) ta đợc ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của A

, ký hiệu là At .
Nh vậy

nm .

At a ji

TRNG I HC Y DC - I HC THI NGUYấN

7


TON CAO CP-XC SUT THNG Kấ

B MễN TON TIN

Ví dụ:
2 3
2 1 4
A 1 0 thì At
3 0 5

4 5

1.1. 4. Chuyển vị của tích hai ma trận
Giả sử A aij mn , B bij np . Qua phép chuyển vị ta có:

nm ,

At a ji


pn

B t b ji

Vì vậy ta có thể nhân B t At đợc.
Định lý:
( AB) t B t At

Chứng minh. Với hai ma trận: A aij mn , B bij np

mp

AB C cij

n

trong đó cij aik bkj
k 1

Ta có:


b

At aijt
Bt

nm


t
ij pn



C t cijt

t
trong đó aij a ji
t
trong đó bij b ji
n

pn

t
trong đó cij c ji a jk bki
k 1

Do đó có thể nhân B t At và
n

pm trong đó d ij bikt akjt

B t At D d ij

k 1

Ta nhận thấy:
n


n

k 1

k 1

d ij bki a jk a jk bki c ji cijt

Do đó:
B t At C t ( AB) t

Định lý đợc chứng minh.

TRNG I HC Y DC - I HC THI NGUYấN

8


TON CAO CP-XC SUT THNG Kấ

B MễN TON TIN

Ví dụ:
1 2
2 1
A
, B



1 4
3 1

Ta có
8 3
8 14
AB
, ( AB) t


14 5
3 5
1 1
2 3
t
At
,
B


1 1
2 4


8 14
B t At

3 5

1. 2. Định thức

1.2.1. Định thức của ma trận vuông
Xét ma trận vuông cấp n :
a11
a
21

A
ai1


a n1

a12
a 22

ai 2

an 2

a1 j
a2 j

aij

a nj

a1n
a 2 n



ain


a nn

Ta chú ý đến phần tử aij , bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j ta thu đợc
ma trận cấp n 1 . Ta ký hiệu nó là M ij và gọi nó là ma trận con ứng
với phần tử aij .
Chẳng hạn, với:
a11
A a 21
a31

a12
a 22
a32

a13
a 23
a33

ta có:

TRNG I HC Y DC - I HC THI NGUYấN

9


TON CAO CP-XC SUT THNG Kấ


B MễN TON TIN

a
M 11 22
a32

a 23
a
, M 12 21

a33
a31

a 23
a
, M 13 21

a33
a31

a 22
a32

a
M 21 12
a32

a13
a11
,

M

22
a
a33
31

a13
a11
,
M

23
a
a33
31

a12
a32

a
M 31 12
a 22

a
a13
, M 32 11

a 23
a 21


a11
a13
, M 33
a 23
a 21

a12
a 22

Định nghĩa: Định thức của ma trận A , ký hiệu là det( A) , đợc định
nghĩa nh sau:
Nếu A là ma trận cấp 1:
A a11 thì det( A) a11 .

Nếu A là ma trận cấp 2:
a
A 11
a 21

a12
a 22

thì det(A) a11 det(M 11 ) a12 det(M 12 ) a11 a 22 a12 a 21 .
Một cách tổng quát, nếu A là ma trận cấp n :
a11
a
A 21



a n1

a12
a 22

an2

a1n
a 2 n


a nn

thì det( A) a11 det(M 11 ) a12 det(M 12 ) 11n a1n det(M 1n ) . (2.1)
Để ký hiệu định thức, ngời ta dùng hai gạch đứng đặt ở hai bên:
a11
a 21

a12
,
a 22

a11
a 21
a31

a12
a 22
a32


a13
a 23
a33

Định thức của ma trận cấp n gọi là định thức cấp n .

TRNG I HC Y DC - I HC THI NGUYấN

10


TON CAO CP-XC SUT THNG Kấ

B MễN TON TIN

1 2
1.4 3.2 2
3 4

Ví dụ:

1
2 3
5 6
4 6
4 5
4 5 6 1
2
3


8 9
7 9
7 8
7 8 9
1(45 48) 2( 36 42) 3(32 35) 240

Đối với định thức cấp 3 ta có thể tính theo quy tắc đờng chéo nh
sau:
Cho A là ma trận cấp 3:
a11 a12 a13
A a21 a22 a23
a31 a32 a33
Theo định nghĩa ta có:
det( A) a11 det(M 11 ) a12 det(M 12 ) a13 det(M 13 )
a11

a22 a23
a32 a33

a12

a21 a23
a31 a33

a13

a21 a22
a31 a33

a11a22 a33 a12 a23 a31 a21a32 a13 a31a22 a13 a12 a21a33 a32 a23 a11

+ Ba thành phần mang dấu (+) là: tích các phần tử thuộc đờng chéo chính; tích của hai phần tử nằm trên mỗi đờng song
song với đờng chéo chính và phần tử ở góc đối diện.
+ Ba thành phần mang dấu (-) đợc thành lập hoàn toàn tơng
tự nhng theo đờng chéo phụ.
Quy tắc đờng chéo đợc biểu diễn theo sơ đồ sau:
* * *
* * *
* * *

* * *
* * *
* * *

Ví dụ:
1 2 3
4
5 6 1.5.9 2.6.7 ( 4)( 8).3 7.5.3 ( 4).2.9 ( 8).6.1 240
7 8 9
TRNG I HC Y DC - I HC THI NGUYấN

11


TON CAO CP-XC SUT THNG Kấ

B MễN TON TIN

1.2.2. Tính chất của định thức
Tính chất 1. det( A) det( At ) .
Ví dụ:

1 2
2
3 4

;

1 3
2
2 4

Hệ quả: Một tính chất đã đúng khi phát biểu theo hàng của định
thức thì nó vẫn còn đúng khi phát biểu ta thay hàng bằng cột.
Tính chất 2. Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) của một định thức ta
đợc một định thức mới bằng định thức cũ đổi dấu.
Ví dụ:
1 2
2
3 4

;

3 4
2
1 2

Tính chất 3. Một định thức có hai hàng (hay hai cột) nh nhau thì
bằng không.
Tính chất 4. Dựa vào định nghĩa (2.1) và áp dụng tính chất 2 ta
suy ra
det( A) ( 1) i 1 a i1 det(M i1 ) ai 2 det(M i 2 ) ain det(M in ) (2.2)


Công thức (2.2) gọi là khai triển của định thức theo hàng i .
Ta có công thức khai triển định thức theo cột j





det( A) ( 1)1 j a1 j det(M 1 j ) a2 j det(M 2 j ) a nj det(M nj ) (2.3)

Ví dụ: Xét
1
2 3
4
5 6
7 8 9

ở ví dụ trên ta đã tìm đợc 240 .
Bây giờ áp dụng khai triển định thức theo hàng 3 ta có
2 3
1 3
1 2
( 1) 31 7
( 8)
9
7(12 15) 8(6 12) 9(5 8) 240 áp
5
6

4

6

4
5



dụng khai triển định thức theo cột 2 ta cũng có
TRNG I HC Y DC - I HC THI NGUYấN

12


TON CAO CP-XC SUT THNG Kấ

B MễN TON TIN

4 6
1 3
1 3
( 1)12 2
5
( 8)
2( 36 42) 5(9 21) 8(6 12) 240
7 9
4 6
7 9

Tính chất 5. Một định thức có một hàng (hay một cột) toàn số
không thì bằng không.

Đó là hệ quả của các công thức (2.2) và (2.3).
Tính chất 6. Khi nhân các phần tử của một hàng (hay một cột) với
cùng một số k thì đợc một định thức mới bằng định thức cũ nhân
với k .
Đó cũng là hệ quả của các công thức (2.2) và (2.3).
Hệ quả: Từ tính chất 6 ta suy ra nhận xét sau: khi các phần tử của
một hàng (hay một cột) có thừa số chung, ta có thể đa thừa số
chung đó ra ngoài dấu định thức.
Ví dụ:
2 3
2 3
4
4(4 3) 4
4 8
1 2

Tính chất 7. Một định thức có hai hàng (hay hai cột) tỉ lệ thì
bằng không.
Thật vậy, đa hệ số tỉ lệ ra ngoài dấu định thức thì đợc một
định thức có hai hàng (hay hai cột) nh nhau nên nó bằng không.
Tính chất 8. Khi tất cả các phần tử của một hàng (hay một cột) có
dạng tổng của hai số hạng thì định thức có thể phân tích thành
tổng của hai định thức, chẳng hạn nh:
a11
a 21

a12

a12
a

11

a 22 a 22
a 21

a11

a11
a 21


a12
a
11
a 22
a 21

a12

a12
a
11
a 22
a 21


a12

a 22



a12
a
11
a 22
a 21


a12
a 22

Đó là hệ quả của các công thức (2.2) và (2.3).

TRNG I HC Y DC - I HC THI NGUYấN

13


TON CAO CP-XC SUT THNG Kấ

B MễN TON TIN

Tính chất 9. Cộng vào các phần tử của một hàng (hoặc cột) các
phần tử tơng ứng của một hàng (cột) khác sau khi đã nhân với cùng
một số thì định thức không thay đổi.
Ví dụ:
2 1 3
2
1
3

2 1 3
4 5 7 4 ( 2)2 5 ( 2)1 7 ( 2)3 0 3 1
6 1 5
6
1
5
6 1 5

Tính chất 10. Các định thức của ma trận tam giác bằng tích các
phần tử chéo.
a11
0

0

a12 a1n
a11
a 22 a 2 n
a
a11 a 22 a nn , 21


0

a nn

a n1

0
a 22



0
0
a11 a 22 a nn


a n 2 a nn

Để chứng minh ta dựa vào khai triển (2.2) và (2.3).
Ví dụ:
1 2 3
0 5 4 1.5.7 35
0 0 7

1.3. phơng pháp tính định thức
1.3.1. Phơng pháp khai triển
Phơng pháp khai triển là phơng pháp sử dụng các công thức (2.2)
và (2.3).
Bây giờ ta đa vào khái niệm phần bù đại số, khi đó các công thức
này đợc viết đơn giản hơn.
a) Khái niệm phần bù đại số
Cho ma trận vuông cấp n:
a11
a
A 21


an1


a12
a22

an 2

a1n
a2n



ann

TRNG I HC Y DC - I HC THI NGUYấN

14


TON CAO CP-XC SUT THNG Kấ

B MễN TON TIN

Ta gọi ma trận M ij suy ra từ A bằng cách bỏ đi hàng i cột j là ma
i j
trận con ứng với phần tử aij .Ta gọi Cij ( 1) det(M ij ) là phần bù đại

số của phần tử aij .
Với các ký hiệu đó công thức (2.2) kết hợp với tính chất 3 của định
thức ta có:
det( A) khi k i
a k1Ci1 ak 2 Ci 2 akn Cin

khi k i
0

(2.4)

Kết hợp công thức (2.3) với tính chất 3 ta có:
det( A) khi k j
a1k C1 j a 2 k C 2 j a nk C nj
khi k j
0

(2.5)

Vậy công thức tính định thức bằng cách khai triển theo hàng i
hoặc cột j bất kỳ đợc viết lại nh sau:
+ Khai triển theo hàng i : det( A) ai1Ci1 ai 2Ci 2 ... ain Cin (2.6)
+ Khai triển theo cột j : det( A) a1 j C1 j a2 j C2 j ... anj Cnj (2.7)
Ví dụ: Tính định thức sau:
1
1 4
2 1 3
|A| =
0 2 0
1 1 0

2
1
0
1


Khai triển định thức đó theo hàng 3 ta đợc:
1 4 2
32
|A| = 2.( 1) 2 3 1 14
1 0 1
b) Phơng pháp biến đổi về dạng tam giác
Để tính một định thức ta có thể áp dụng một số tính chất
của nó để đa định thức về dạng tam giác.
Ví dụ: Hãy tính
TRNG I HC Y DC - I HC THI NGUYấN

15


TON CAO CP-XC SUT THNG Kấ

B MễN TON TIN

0 1 5
3 6 9
2 6 1

Ta có
3 6 9
0 1 5
2 6 1
1 2 3
= 30 1 5
2 6 1


(đổi chỗ hàng 1 và hàng 2)

(đa thừa số 3 ở hàng 1 ra ngoài)

1 2 3
5 (cộng -2 lần hàng 1 vào hàng 3)
= 30 1
0 10 5
1 2
3
5
= 30 1
(cộng -10 lần hàng 2 vào hàng 3)
0 0 55
3.1.1.( 55) 165

Chú ý: Cũng có thể xét các biến đổi sơ cấp về cột và áp dụng
chúng để tính định thức.
1.3.2 Định thức của tích hai ma trận
Định lí: Nếu A và B là hai ma trận cùng cấp thì có:
det( AB) det( A) det( B ) .

Ví dụ: Cho
3 1
A

2 1

1 3
B


5 8

Khi đó
2 17
AB

3 14

Ta thấy: det( A) 1, det( B ) 23, det( AB) 23
Vậy rõ ràng:

det( AB) det( A) det( B ) .

TRNG I HC Y DC - I HC THI NGUYấN

16


TON CAO CP-XC SUT THNG Kấ

B MễN TON TIN

1. 4 Ma trận nghịch đảo
1.4.1 Khái niệm ma trận nghịch đảo
Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n . Nếu tồn tại ma trận
vuông B cấp n sao cho:
AB BA I

trong đó I là ma trận đơn vị cấp n thì ta nói A khả đảo và gọi

B là ma trận nghịch đảo của A .

Ngời ta ký hiệu ma trận nghịch đảo của A là A 1 , nghĩa là:
AA 1 A 1 A I .

Ví dụ:
1 2
1
A
thì A
3
4



1
2


3 2 1 2

vì:
1 1 0
1 2 2
3 4 3 2 1 2 0 1




1

2
3 2 1 2



1 2 1 0
3 4 0 1




1. 4.2. Tớnh duy nhất của ma trận nghịch đảo
Định lý: Ma trận nghch đảo A 1 của A nếu có thì chỉ có một mà
thôi.
Thật vậy,giả sử B và C đều là ma trận nghịch đảo của A , tức là:
AB BA I ,

AC CA I

Khi đó ta có: B ( AC ) BI B và ( BA)C IC C
Do phép nhân ma trận có tính chất kết hợp nên ta suy ra B C
1. 4.3 Sự tồn tại của ma trận nghịch đảo và biểu thức của
nó
Xét ma trận:

TRNG I HC Y DC - I HC THI NGUYấN

17



TOÁN CAO CẤP-XÁC SUẤT THỐNG KÊ

 a11
a
A   21


 a n1

a12
a 22

an2

BỘ MÔN TOÁN TIN

 a1n 
 a 2 n 
 

 a nn 

TRƯỜNG ĐẠI HỌC Y DƯỢC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

18


TON CAO CP-XC SUT THNG Kấ

B MễN TON TIN


Định lí: Nếu det( A) 0 thì ma trận A có ma trận nghịch đảo A 1
tính bởi công thức sau:
C11

1
1 C12
1
t
A
C
det( A)
det( A)

C1n

C 21
C 22

C2n

C n1
C n 2


C nn

Một ma trận vuông có định thức khác không đợc gọi là ma trận
không suy biến.
Chứng minh. Nhân AC t và áp dụng công thức (2.4) ta đợc:

0
det( A)
0
det( A)
t
AC



0
0


0

0



det( A)

Nhân C t A và áp dụng công thức (2.5) ta cũng đợc kết quả nh vậy.
Do đó:
1
0
1
1
t
t
AC

C A
...
det( A)
det( A)

0

0
1
...
0

...
...
...
...

0
0
I
...

1

và định lý đợc chứng minh.
Ví dụ 1: Cho
1 2 3
A 2 5 3
1 0 8


Ta có: det( A) 1 0
C11 40

C12 13

C13 5

C 21 16

C 22 5

C 23 2

C31 9

C32 3

C33 1

Do đó:

TRNG I HC Y DC - I HC THI NGUYấN

19


TOÁN CAO CẤP-XÁC SUẤT THỐNG KÊ

 40  13  5
C   16 5

2 
  9
3
1 

BỘ MÔN TOÁN TIN

 40  16  9
C   13 5
3 
  5
2
1 
t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC Y DƯỢC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

20


TON CAO CP-XC SUT THNG Kấ

B MễN TON TIN

Vậy:
40 16 9
1
A 1 C t 13 5 3
1
5

2 1

Ví dụ 2: Xét ma trận cấp 2
a b
A

c d

Nếu det( A) ad bc 0 thì:
A 1

1 d b
ad bc c a

C12 d c
C
C 11
b a
C
C


21
22

Vì

d b
C t


c a

Do đó:

1. 4.4 Tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp:
a) Các phép biến đổi sơ cấp:
Các phép biến đổi sau đây đối với ma trận đợc gọi là các phép
biến đổi sơ cấp:
1) Nhân các phần tử của hàng (hoặc cột) với số khác không.
2) Đổi chỗ hai hàng (hoặc hai cột).
3) Cộng vào các phần tử của một hàng (hoặc cột) các phần tử
tơng ứng của một hàng (cột) khác sau khi đã nhân với cùng một số.
b) Tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp
Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A (cấp n ) ta ghép
ma trận đơn vị I cấp n bên cạnh ma trận A , khi đó ta đợc ma
trận cấp n (2n) :
C [ A I ]
Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp về hàng để đa ma trận C về
dạng:
[I B]
TRNG I HC Y DC - I HC THI NGUYấN

21


TON CAO CP-XC SUT THNG Kấ

B MễN TON TIN

Khi đó ma trận B chính là ma trận nghịch đảo của ma trận A .

Ví du:
Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau bằng biến đổi sơ cấp:
1 2 3
A 2 5 3
1 0 8

Toàn bộ quá trình biến đổi đợc thể hiện trong bảng sau:
123

100

L1

253

010

L2

108
123

001
100

L3

0 1 -3

-2 1 0


2 L1 L2 L2

0 -2 5
123

-1 0 1
100

0 1 -3

-2 1 0

0 0 -1
123

-5 2 1
100

0 1 -3

-2 1 0

001
120

5 -2 -1
-14 6 3

1L3 L3

3L3 L1 L1

010

13 -5 -3

3L3 L2 L2

001
100

5 -2 -1
-40 16 9

2 L2 L1 L1

010

13 -5 -3

001

5 -2 -1

1L1 L3 L3

2 L2 L3 L3

Vậy
A


1

40 16 9
13 5 3
5 2 1

Phơng pháp nói trên còn gọi là phơng pháp Gauss- Jordan.
1.4.5 Ma trận nghịch đảo của tích hai ma trận

TRNG I HC Y DC - I HC THI NGUYấN

22


TON CAO CP-XC SUT THNG Kấ

B MễN TON TIN

Định lí: Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp. Giả sử A và B
là hai ma trận khả đảo. khi đó AB cũng khả đảo và
( AB) 1 B 1 A 1

Chứng minh. Ta có
( AB ) B 1 A 1 A( BB 1 ) A 1 AIA 1 I
B 1 A 1 ( AB ) B 1 ( A 1 A) B B 1 IB I

Vậy AB khả đảo và B 1 A 1 là ma trận nghịch đảo của AB .
Định lí: Nếu A là ma trận khả đảo và có nghịch đảo A 1 thì:
1) A 1 cũng khả đảo và ( A 1 ) 1 A .

2) A m cũng khả đảo và ( A m ) 1 ( A 1 ) m , m nguyên dơng.
1
k

3) k 0 ta có kA cũng khả đảo và (kA) 1 A 1 .
1. 4.6 ứng dụng của ma trận nghịch đảo
Trong tập các ma trận A vuông cấp n ma trn B tha món iu kin ca
phộp nhõn bờn trỏi v nhõn bờn phi vi ma trn A-1 , ta xét các phơng trình:
AX = B

(2.8)

YA = B

(2.9)

Nếu A có ma trận nghịch đảo, nhân hai vế của phơng trình
(2.8) với A-1 về bên trái ta đợc:
X = A-1B

(2.10)

Tơng tự nhân hai vế của phơng trình (2.9) với A-1 về bên phải ta
đợc:
Y = B A-1

(2.11)

Nh vậy, khi ma trận A có ma trận nghịch đảo thì mỗi phơng
trình (2.8) và (2.9) có một nghiệm duy nhất đợc xác định theo

các công thức (2.10) và (2.11).
Ví dụ: Cho hai ma trận:
1 2
5 6
A
B

;

7 8
3 4


TRNG I HC Y DC - I HC THI NGUYấN

23


TON CAO CP-XC SUT THNG Kấ

B MễN TON TIN

Vì det( A) 2 0 nên ma trận A có nghịch đảo:
A 1

1 4 2
1
2 3

Phơng trình AX = B có một nghiệm duy nhất:

X

8 3 4
1 4 2 5 6
1 6



5
2 3 1 7 8
2 8 10 4

Phơng trình YA = B có một nghiệm duy nhất:
Y

1 5 6 4 2
1 2


2 7 8 3 1
2 4

4 1

6 2

2
3

Chú ý:

Nếu ma trận A không có nghịch đảo ta có thể giải các phơng
trình (2.8) và (2.9) bằng cách quy về hệ phơng trình tuyến tính
với các ẩn số là các phần tử của ma trận phải tìm mà ta sẽ nghiên
cứu ở chơng sau.
1.5

hạng của ma trận

1.5.1. Hạng của ma trận
Xét ma trận cấp m n
a11
a
A 21


a m1

a12
a 22

am2

a1n
a 2 n


a mn

Gọi p là số nguyên dơng min m, n .
Định nghĩa 5.1. Ma trận vuông cấp p suy ra từ A bằng cách bỏ

đi m p hàng và n p cột gọi là ma trận con cấp p của A . Định thức
của ma trận con đó gọi là định thức con cấp p của A .
Ví dụ: Xét ma trận
1 3 4 2
A 2 1 1 4
1 2 1 2

Ta có min 3,4 3 , vậy p 1, 2, 3.
TRNG I HC Y DC - I HC THI NGUYấN

24


TON CAO CP-XC SUT THNG Kấ

B MễN TON TIN

Các định thức con cấp 3 của A là:
1 3 4
1 4 2
3 4 2
13 2
2 1 1 0 ; 2 1 4 0 ; 1 1 4 0 ; 2 1 4 0
1 2 1
1 1 2
2 12
1 2 2

TRNG I HC Y DC - I HC THI NGUYấN


25