Chương 3

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG- TÍCH PHÂN MẶT
§1- TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT

∫ f (x, y)dl hoặc ∫ f (x, y, z)dl

Tích phân đường loại một là tích phân có dạng :

C

C

Hàm f(x,y) , f(x,y,z) gọi là hàm dưới dấu tích phân, C gọi là đường cong lấy tích phân
( đường cong trong Oxy hoặc trong Oxyz) ; dl gọi là vi phân cung.

1.1- Các tính chất :
 Tích phân đường loại 1 không phụ thuộc hướng của cung lấy tích phân, tức là nếu
∩

C = AB thì :

∫ f(x,y,z)dl = ∫ f(x,y,z)dl
∩

∩

AB

BA
∩

 Nếu f,g là các hàm khả tích trên C = AB và a, b là các hằng số thì

∫ [ af (x, y, z) + bg(x, y, z)]dl = a.C f (x, y, z)dl + b.C g(x, y, z)dl
∫
∫

C

. Nếu đường cong C chia làm hai phần C1 , C 2 không dẫm lên nhau thì

∫ f (x, y, z)dl = C∫ f (x, y, z)dl

C

+

1

∫

f (x, y, z)dl

C2

. Nếu f(x,y,z) ≤ g(x,y,z) với mọi (x,y,z) thuộc đường cong C thì

∫ f (x, y, z)dl ∫ g(x, y, z)dl

C


C

. Nếu hàm f (x, y, z) cũng khả tích trên C thì

∫ f (x, y, z)dl

C

≤

∫

f (x, y, z) dl

C

 Định lý về giá trị trung bình :
Nếu f(x,y,z) liên tục trên cung trơn C , C có độ dài là L. Khi đó tồn tại điểm (x0,y0,z0)
1
thuộc C sao cho : ∫ f (x, y, z)dl = f(x0,y0,x0)L . Khi đó đại lượng
∫ f (x, y, z)dl gọi là giá
L C
C
trị trung bình của hàm f(x,y,z) trên cung C.

1.2- Cách tính tích phân đường loại 1 :
⎧ x = x(t)
t
⎪

1.2.1 Trong không gian: Nếu (C) ⎨ y = y(t) với a→ b thì
⎪ z = z(t)
⎩

b

' 2
' 2
' 2
∫ f (x, y, z)dl = ∫ f(x(t),y(t),z(t)). (x (t)) + (y (t)) + (z (t)) dt

C

a


1.2.2 Trong mặt phẳng :

t
⎧ x = x(t )
TH1: Nếu (C) : ⎨
, a → b thì
⎩ y = y (t )

∫

b

f ( x, y)dl = ∫ f ( x(t ), y (t )). ( x ' (t )) 2 + ( y ' (t )) 2 dt
a


C

⎧ y = y ( x)
⎪
 TH2:Nếu (C) : ⎨
thì :
x
⎪ a →b
⎩

∫
∫ f ( x, y)dl = a f ( x, y( x)).
C

⎧ x = x( y )
⎪
 TH3: Nếu (C) ⎨
thì :
y
⎪ a →b
⎩

∫
C

b

f ( x, y)dl =


b

∫ f ( x( y), y).
a

1 + ( y ' ( x)) 2 dx

1 + ( x' ( y )) 2 dy

 TH4: Neáu đường cong C trong mặt phẳng bởi tọa độ cực r = r( ϕ ), α ≤ ϕ ≤ β thì :

∫
C

f (x, y)dl =

β

∫ f (r(φ )cosφ,r(φ )sinφ ).
α

(r(φ ))2 + (r ' (φ ))2 dφ

1.3- Các ứng dụng của tích phân đường loại 1:
 . Khốâi lượng cung :
M=

∫ ρ ( x, y, z)dl trong đó ρ ( x, y, z) là hàm mật độ khối lượng.
C


Nếu ρ ( x, y, z ) = 1 thì M = L là độ dài của C.
 Trọng tâm của cung : Trọng tâm G(xo , yo, zo) lần lượt là

x0 =

1
1
1
.∫ x.ρ (x, y, z)dl ; y 0 = .∫ y.ρ (x, y, z)dl ; z 0 = .∫ z.ρ (x, y, z)dl
M C
M C
M C

với M là khối lượng cung .
 Momen quán tính : Momen quán tính của cung C được tính bởi công thức :

(

)

(

)

(

)

I x = ∫ y 2 + z 2 .ρ ( x, y, z )dl ; I y = ∫ x 2 + z 2 .ρ ( x, y, z )dl ; I z = ∫ x 2 + y 2 .ρ ( x, y, z )dl
C


C

C

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Bài Tập
Bài 1: Tính các tích phân đường loại 1:
1)

I=

∫ (x − y )d với OB là đoạn thẳng nối từ O(0;0) đến B(4;3).

OB

2)

I = ∫ xyd với L là biên của hình chữ nhật ABCD, A(0;0), B(4;0), C(4;2), D(0;2).
L

3)

L

4)

(


)

I = ∫ x 2 + y 2 d với L là biên của hình tam giác OAB, O(0;0), A(1;1), B(-1;1).

(

)

I = ∫ x 4 / 3 + y 4 / 3 d với L là đường axtrôit
L

3

x 2 + 3 y 2 = 3 a 2 (a>0).


5)

x2 y2
I = ∫ xyd với L là cung đường Elip 2 + 2 = 1 nằm trong góc phần tư thứ nhất.
a
b
L

6)

I = ∫ y d với L là đường cacđiôit r=a(1+cosϕ), (a>0).
L

7)


I = ∫ ye − x d với L là đường x=ln(1+t2), y=2arctgt–t+3, 0≤t≤1.
L

8)

⎧x = a cos t
⎪
I = ∫ y d với L là đường xoắn oác ⎨y = a sin t , (0 ≤ t ≤ 2π)
L
⎪z = bt
⎩

9)

⎧x = t
⎪
3t 2
⎪
I = ∫ (x + y )d trong đó L là đường cong ⎨y =
, (0 ≤ t ≤ 1)
2
L
⎪
⎪z = t 3
⎩

Baøi 2:
a) Tìm khối lượng của dây : y =
ρ(x,y)=1/y .


a x/a
e + e −x / a
2

(

)

từ x = 0 đến x = a biết khối lượng riêng

b) Tìm trọng tâm của đường đinh ốc đồng chất có khối lượng riêng ρ(x,y,z)=1 ; phương
⎧x = a cos t
⎪
trình đường đinh ốc là ⎨y = a sin t , (0≤t≤2π).
⎪z = kt
⎩
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

§2- TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI
2.1. Định nghóa:
Cho hai hàm số P(x, y), Q(x, y) xác định trên cung AB . Chia tùy ý cung AB thành n cung
nhỏ không dẫm lẫn nhau bởi các điểm chia A ≡ A0, A1, A2, …., An ≡ B. Gọi hình chiếu của
→
vectơ A A lên trục ox, oy lần lượt là Δxi, Δyi và ñaët d = .max{Δxi, Δyi /i= 1, 2, …, n)}.
i −1 i
Trêøn cung Ai –1Ai lấy tùy ý điểm Mi(xi, yi) và lập tổng tích phân.
In =

n


∑ ⎡ P(xi , yi )Δxi + Q(xi , yi )Δyi ⎤
⎣
⎦

i =1

Cho n → ∞ sao cho d → 0. Khi đó nếu In dần đến một giá trị hữu hạn I không phụ thuộc
cách chia cung AB và cách lấy các điểm Mi(xi, yi) thì giá trị I gọi là tích phân đường
loại 2 của các hàm P(x, y), Q(x, y) trên cung AB. Ký hiệu ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy

AB


n

[

lim ∑ P(x i , y i )Δx i + Q(x i , y i )Δy i
n→∞
(d → 0) i = 1

∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy =

AB

]

2.2- Điều kiện tồn tại:
Nếu cung AB trơn và các hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục trên cung AB thì tồn tại tích phân

đường loại hai ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy .

AB

2.3-Chú ý về ký hiệu:
 Nếu C là đường cong phẳng thì tích phân đường loại hai của P(x, y), Q(x, y) trên C
ký hiệu là ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy .

C

 Neáu C là đường cong không gian thì tích phân đường loại hai của các hàm P(x, y, z),
Q(x, y, z), R(x, y, z) trên C được ký hiệu là : ∫ P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(z, y, z)dz .

C

 Nếu đường lấy tích phân là đường kín C , ta quy ước chiều dương trên C là chiều mà
một người đi dọc theo C theo chiều ấy sẽ thấy miền giới hạn bởi C gần mình nhất về
phía bên trái.

2.4- Tính chất:
 Khi đổi chiều lấy tích phân thì tích phân đường loại 2 đổi dấu :

∫

P dx + Q dy = -

AB

∫


P dx + Q dy .

BA

 Nếu đường cong C được chia thành hai phần C1, C2 không dẫm lên nhau thì

∫ P dx + Q dy = ∫

C

∫

P dx + Q dy +

C
1

C

P dx + Q dy .

2

 ∫ α P dx + β Q dy = α ∫ P dx + β ∫ Q dy
C
C
C

2.5- Cách tính tích phân đường loại 2:
⎧ x = x(t )

t
⎪
 TH1: Neáu (C) ⎨ y = y (t ) với a → b thì
⎪ z = z (t )
⎩

b

∫ Pdx + Qdy + Rdz = a [P(x(t), y(t), z(t))x (t) + Q(x(t), y(t), z(t))y (t) + R(x(t), y(t), z(t))z (t)]dt
∫
,

C

,

,


⎧ x = x(t )
⎪
 TH2: Neáu (C) : ⎨
⎪ y = y (t )
⎩

b

t
a →b thì


⎡

,

⎤

∫ Pdx + Qdy = ∫ ⎢P(x(t ), y(t ))x (t ) + Q(x(t ), y(t ))y (t )⎥dt
⎣
⎦

c

,

a

b
⎧ y = y ( x)
⎪
 TH3: Nếu (C) : ⎨
thì ∫ Pdx + Qdy = ∫ P(x, y ( x) ) + Q(x, y ( x) )y , ( x) dx
x
⎪ a →b
⎩
a
c

[

]


b
⎧ x = x( y )
⎪
 TH4: Nếu (C) ⎨
thì ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫ [P(x( y), y )x' ( y ) + Q(x( y ), y )]dy
y
⎪ a →b
⎩
a
c

2.6 - Công thức Green: Nếu
⎧⋅ D là miền đóng, bị chặn trong mặt phẳng 0xy, có biên là đường cong (C) trơn từng khúc.
⎨
⎩ ⋅ Các hàm P(x, y) , Q(x, y) có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trong miền mở chứa D.
Khi đó ta có công thức Green:

⎛ ∂Q

∂P ⎞

 P dx + Q dy = ∫∫ ⎜ ∂x − ∂y ⎟ dxdy
∫
⎝
⎠

C

D


trong đó tích phân đường ở vế trái lấy theo chiều dương của C.

2.7- Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân:
2.7.1- Trong mặt phẳng:

Giả sử các hàm P(x, y), Q(x, y) có đạo hàm riêng cấp 1
liên tục trong miền mở đơn liên D. Khi đó 4 mệnh đề sau tương tương:


∫

P dx + Q dy không phụ thuộc vào dạng của đường cong trơn từng khúc nối A với B

AB
mà chỉ phụ thuộc điểm đầu A, điểm cuối B.


 P dx + Q dy = 0,
∫

∀ đường kín C trơn từng khúc nằm trong D.

C


∂Q ∂P
=
,
∂x ∂y


∀(x, y) ∈D.

 Tồn tại hàm U(x,y) sao cho dU = P(x, y) dx+ Q(x, y) dy , ∀(x, y) ∈ D.

2.7.2- Trong không gian:
Giả sử các hàm P(x, y,z), Q(x, y, z), R(x, y, z) có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trong miền
mở đơn liên D trong không gian 0xyz. Khi đó 4 mệnh đề sau đây tương đương:


∫

P dx + Q dy + R dz không phụ thuôc vào dạng đường trơn khúc trong D nối A với B

AB
mà chỉ phụ thuộc điểm đầu A, điểm cuoái B.




 P dx + Q dy + R dz = 0,
∫

∀ đường kín C trơn tùng khúc trong D.

C


∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P
=

=
,
,
, ∀ (x, y, z) ∈ D.
=
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

 Tồn tại hàm u(x, y, z) sao cho du = Pdx +Qdy + Rdz , ∀ (x, y, z) ∈ D
 Hệ quả 1: Nếu Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) thì

∫ Pdx + Qdy = u(B) – u(A) , ∀A, B nằn trong D.

AB
 Hệ quả 2:

Nếu D = R2 thì Pdx + Qdy là vi phân toàn phần hàm u(x, y) cho bởi công thức:
U(x, y) =

y

∫

x

P( x, y )dx +
0

0

y


0

x

0

x
P( x, y )dy + C hay U(x, y) = ∫ Q( x , y )dy + ∫ P( x, y )dx + C
∫
0
y
y
x
0

2.8- Ứng dụng của tích phân đường loại 2:
→
→
→
→
 Tính công : Công của trường lực F (x, y, x) = P i + Q j +R k sinh ra dọc theo
đường cong C là W được tính theo công thức:
W=

∫ Pdx + Qdy + Rdz

C

 Tính diện tích: Diện tích hình phẳng đơn liên D được tính theo công thức :

S(D) =

1
∫ x dy − y dx =  x dy =  −y dx với C là biên của D và lấy theo chiều dương.
∫
∫
2
C
C
C

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Bài Tập

Bài 3: Tính các tích phân đường loại 2 :

1) I = ∫ xydx với L là cung parabol y2=x, từ A(1;-1) đến B(1;1).
L

2) I = ∫ (xy − 1)dx + x 2 ydy với L là cung nối A(1;0), B(0;2)
L

a). theo đường thẳng AB.
b). theo cung parabol y2 = 4(1-x).
3) I = ∫ 2xdx − (x + 2y )dy trong đó L là chu vi của tam giác ABC theo chiều ngược chiều
L

kim đồng hồ với A(-1,0); B(0,2); C(2,0).
x 2 dy − y 2 dx

4) I= ∫
với L là cung axtrôit có phương trình x=Rcos3t và y=Rsin3t.
3
2
2
3
L x x +y y


5) I = ∫ x 2 dx + y 2 dy với C là nửa đường tròn x2+y2=4, chiều từ A(-2;0) đến B(2;0).

.

C

xdy − ydx
với L là cung nối từ A(-a;0) đến B(a,0), (a>0).
2
2
L x +y

6) I= ∫
7) I =

(x + 2y )dx + ydy .
(x + y )2
(1;1)

( 3;1)


∫

8) I = ∫ xy 2 dy − x 2 ydx trong đó L :x2+y2=R2.
L

xdy − ydx
; L: x 2 + y 2 = a 2 .
2
2
L x +y
dx + dy
10) I = ∫
với L là đường nối theo chiều từ A(1;0)→B(0;1)→C(-1;0).
x+y
L
9) I = ∫

11) I = ∫ (xy + x + 1)dx + (xy + x − y )dy , C:
C

12)

∫ (x + y ) dx − (x − y ) dy
2

L

2

với L là biên của miền D giới hạn bởi 2 đường y=x và y=x2.


(x + y )dx − (x − y )dy

13) I = ∫

x2 y2
+
= 1 laáy theo chiều dương.
a2 b2

trong đó C là đường tròn x2+y2=R2 theo chiều ngược chiều

x +y
kim đồng hồ.
14) I = ∫ xydx + ydy − yzdz trong đó C là đường cong cho bởi phương trình tham số :
2

C

2

C

⎧x = t
⎪
2
⎨y = t
⎪z = t
⎩
15) I =

16)

(0 ≤ t ≤ 1)

(1, 2,3 )

∫
(

(

)

2xydx + x 2 − z 2 dy − 2yzdz

0,0,0 )

(2,3, −4 )

∫ ) xdx + y
(

2

dy − z 3 dz

1,1,1

17) I =


(2,1,1)

⎛

(1, 2,1)

⎝

x
∫ (2x ln y − yz)dx + ⎜ y
⎜

2

⎞
− xz ⎟dy − xydz
⎟
⎠

Bài 4: Hãy chứng tỏ biểu thức trong dấu tích phân đường sau là biểu thức vi phân toàn
phần của hàm u(x,y) nào đó. Tìm hàm u(x,y) đó và tính tích phân đã cho.
a). I =
b). I =

( 2; 3 )

∫ xdy + ydx

(−1; 2 )
(1;1)


∫ ()x + y )dx + (x + y + 1)dy .
(
0; 0


(x − y ) . Biểu thức Pdx+Qdy có phải
x+y
; Q( x , y ) = − 2
2
2
x +y
x + y2
là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) hay không ?
Tính : I1 = ∫ Pdx + Qdy; I 2 = ∫ Pdx + Qdy với A(1;0), B(-1;0), C(0;1), D(0;-1)
Bài 5: Cho p(x,y)= P(x, y) =

ABC

Bài 6:

ADB

Xác định m để

(x − y )dx + (x + y )dy

(x

nào đó. Tìm u(x,y).


2

+y

)

2 m

là vi phân toàn phần của một hàm u(x,y)

Bài 7: Tính các tích phân đường sau
1)

(

)

(

)

I = ∫ x 2 + y 2 dx + x 2 − y 2 dy với L là chu vi tam giác OAB lấy theo chiều ngược
L

chiều kim đồng hồ với O(0;0), A(1;0), B(0;1)
2) I = ∫ 1 − x 2 ydx + x 1 + y 2 dy với L : x2+y2=R2.
L

3)


(

)

(

)

I = ∫ x 2 ydx + x 2 dy trong đó C là chu tuyến dương của miền giới hạn bởi các đường
C

y 2 = x và x 2 = y
4)

I = ∫ (6y + x )dx + (y + 2x )dy trong đó C là đường tròn (x − 2) + (y − 3) = 4
2

2

C

5)

I = ∫ (xy + x + y )dx + (xy + x − y )dy trong đó C là đường êlip
C

x2 y2
+
= 1 lấy theo

a2 b2

chiều ngược chiều kim đồng hồ.

Bài 8: Dùng tích phân đường để tính diện tích hình phẳng D được giới hạn bởi đường
axtrôit x=acos3t, y=asin3t, 0≤t≤2π. .
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

§3- TÍCH PHÂN MẶT LOẠI MỘT
3.1-Điều kiện tồn tại :
Nếu mặt S trơn ( tức là S liên tục và có vectơ pháp tuyến biến thiên liên tục ) và hàm
f(x,y,z) liên tục trên mặt S thì tồn tại tích phân mặt loại 1 :

∫∫ f (x, y, z)dS .
S

3.2 -Tính chất :
Tích phân mặt loại 1 có các tính chất giống như các tính chất của tích phân
kép.
3.3- Cách tính : Giả sử hàm f(x,y,z) liên tục trên mặt S.
 Trường hợp 1: Mặt S có phương trình z = z(x,y) , có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy
là miền Dxy và hàm z(x,y) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trên Dxy . Khi đó
2

⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞
∫∫ f(x,y,z) dS = ∫∫ f ( x,y,z(x,y)) 1+ ⎜ ∂x ⎟ + ⎜ ∂y ⎟ dxdy
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
S
Dxy
2



 Trường hợp 2 : Mặt S có phương trình x = x(y,z) , có hình chiếu xuống mặt phẳng
Oyz là miền Dyz hàm x(y,z) liên tục trên Dyz . Khi đó
2

2

⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂x ⎞
f(x, y, z) dS = ∫∫ f (x(y, z), y, z ) 1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dydz
∫∫
⎜ ⎟
⎝ ∂z ⎠ ⎝ ∂y ⎠
D yz
S

 Trường hợp 3 : Tương tự
3.4- Ứng dụng :
 Tính diện tích : Diện tích mặt cong S được tính bởi công thức:

S = ∫∫1dS
S

 . Tính khối lượng : Nếu mặt S có khối lượng riêng tại điểm (x,y,z) là ρ (x, y, z) thì
khối lượng mặt S được tính theo công thức :

M = ∫∫ ρ ( x, y, z )dS
S

 . Tọa độ trọng tâm : Nếu mặt S có khối lượng riêng tại (x,y,z) là ρ (x, y, z) thì tọa độ

trọng tâm G của S được tính bởi công thức :

xG =

1
M

∫∫ xρ ( x, y, z)dS ,
S

yG =

1
M

1

∫∫ yρ ( x, y, z)dS , zG = M ∫∫ zρ ( x, y, z)dS
S
S

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Bài Tập
Bài 9 : Tính các tích phân mặt loaïi 1
1)

S

2)


(

)

I = ∫∫ x 2 + y 2 dS với S là phần mặt nón z2 = x2+y2 nằm giữa z=0, và z=1.
I = ∫∫ (x + y + z )dS với S là biên của hình lập phương{0≤x,y,z≤1}.
S

3)

4)

x y z
4y ⎞
⎛
I = ∫∫ ⎜ z + 2x + ⎟dS với S là phần của mặt phẳng + + = 1 nằm trong góc
2 3 4
3 ⎠
S ⎝
phần tám thứ nhất.

I = ∫∫ (yz + xz + xy )dS với S là phần của mặt nón z = x 2 + y 2 nằm trong mặt trụ
S

x2+y2-2ax=0, (a>0).
5) I = ∫∫ ydS với S là phần của mặt z= x+y2, 0≤x≤1, 0≤y≤2.
S

6)


(

)

I = ∫∫ x 2 z 2 + z 2 y 2 dS với S là mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , (a > 0)
S

7) I = ∫∫ zdS với S là biên của vật thể giới hạn bởi các maët z=0, z = x+1, x2+y2 = 1.
S


(

)

8) I = ∫∫ y 2 + z 2 dS với S là phần của mặt paraboloit x= 4-y2-z2 nằm ở trên mặt phẳng
S

x=0.

Bài 10: Tính khối lượng của nửa mặt cầu x2 + y2 +z2 = a2 (z ≥ 0) mà mật độ tại
z
a
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

mỗi điểm là ρ (x, y, z) = .

§4- TÍCH PHÂN MẶT LOẠI HAI
4.1- Điều kiện tồn tại :

Nếu mặt S trơn từng khúc và các hàm P , Q , R liên tục trên S thì tồn tại tích phân mặt
loại 2 ∫∫ P dy dz + Q dx dz + R dx dy .
S

Tích phân trên mặt kín được ký hiệu là :

 P dy dz + Q dx dz + R dx dy
∫S∫

4.2.Lieân hệ với tích phân mặt loại 1:

∫∫ Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = ∫∫ (P cos α + Q cos β + R cos γ )dS .
S

Với cosα, cosβ, cosγ, là

S

các cosin chỉ phương của vectơ pháp đơn vị của mặt định hướng S.

4.3. Tính chất :
 Nếu đổi hứớng của mặt lấy tích phân thì tích phân mặt loại hai đổi dấu . Tức là

∫∫ Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = - ∫∫ (Pdydz + Qdxdz + Rdxdy . Với S
S

-

và S là hai mặt định


S−

hướng ngược nhau (của cùng một mặt).

 - Nếu S là mặt trụ song song 0z thì :

∫∫ R( x, y, z)dxdy = 0
S

 - Nếu S là mặt trụ song song 0y thì :

∫∫ Q(x, y, z)dxdz = 0
S

- Nếu S là mặt trụ song song 0x thì :

∫∫ P(x, y, z)dydz = 0
S

 -Các tính chất còn lại tương tự tích phân kép.
4.4. Cách tính: Đưa về tích phân kép
 Xét tích phân

∫∫ R(x, y, z)dxdy : Giả sử mặt S có phương trình là z = f(x,y), D

xy

S

→


chiếu của S lên mặt phẳng 0xy, n là vectơ pháp đơn vị của S. Ta có công thức.

là hình


→
⎧
R(x, y, f (x, y))dxdy nếu n tạo với 0z một góc nhọn
⎪ ∫∫
⎪D
⎪ xy
∫∫ R(x, y, z)dxdy = ⎨
→
⎪ − R(x, y, f (x, y))dxdy nếu n tạo với 0z một góc tù
S
⎪ ∫∫
⎪ Dxy
⎩

 Tương tự: Mặt S có phương trình x = f(y,z)
→
⎧
P(f (y, z), y, z)dydz nếu n tạo với 0x một góc nhọn
⎪ ∫∫
⎪D
⎪
= ⎨ yz
∫∫ P( x, y, z)dydz ⎪
→

S
− ∫∫ P(f (y, z), y, z)dydz nếu n tạo với 0x một góc tù
⎪
⎪ Dyz
⎩

4.5. Công thức Stokes:
Giả sử mặt định hướng S trơn từng khúc với biên là chu tuyến C. Các hàm
P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) liên tục và có các đạo hàm tiêng liên tục
trong miền mở chứa S. Khi đó ta có công thức Stokes.
⎛ ∂R

∂Q ⎞

⎛ ∂P

∂R ⎞

⎛ ∂Q

∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫ ⎜ ∂y − ∂z ⎟dydz + ⎜ ∂z − ∂x ⎟dxdz + ⎜ ∂x
⎜
⎟
⎜
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝


C

S

−

∂P ⎞
⎟dxdy
∂y ⎟
⎠

trong đó chiều tích phân trên C được lấy theo chiều dương tương ứng của
mặt S.
4.6. Công thức Gauss – Ostrogratski:
Giả sử V là miền giới hạn bởi mặt kín S trơn từng khúc . Các hàm P, Q, R
liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền mở chứa V. Khi đó ta
có công thức Gauss – Ostrogratski.
⎛ ∂P

∂Q

∫∫ Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = ∫∫∫ ⎜ ∂x + ∂y
⎜
⎝
S
V

+

∂R ⎞

⎟dxdydz
∂z ⎟
⎠

trong đó tích phân mặt ở vế trái lấy theo phía ngoài .
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Bài Tập

Bài 11 : Tính các tích phân mặt loại 2
1)

x2 y2 z2
I = ∫∫ zdxdy với S là mặt ngoài của mặt : 2 + 2 + 2 = 1
a
b
c
S

2) I = ∫∫ x 2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy với S là phía ngoài của mặt :
S


x 2 + y 2 + z 2 = a2 , z ≥ 0
3)

I = ∫∫ (y − z )dydz + (z − x )dzdx + (x − y )dxdy với S là phía ngoài của mặt nón :
S

x + y 2 = z 2 ,0 ≤ z ≤ h

2

4)

I = ∫∫ z 2 dydz + xdxdz − 3zdxdy với S là mặt phía trong của phần mặt trụ :
S

5)

z= 4-y2, giới hạn bởi x=0, x=1, z=0.
I = ∫∫ xzdydz + yzdxdz + dxdy với S là phía ngoài của chỏm cầu :
S

x + y 2 + z 2 ≤ 25; 3 ≤ z ≤ 5
2

6)

I = ∫∫ x 2 dydz + y 2 dxdz + z 2 dxdy với S là mặt ngoài của mặt nón :
S

x
y2 z2
+ 2 = 2 ;0 ≤ z ≤ 6
a2 a
b
8) I = ∫∫ (x − y + z)dydz + (y − z + x)dxdz + (z + y − x)dxdy với S là mặt ngoài của mặt :
7)

2


S

x − y + z + y −z + x + z − x + y =1

Bài 12 : Tính tích phân mặt loại 2 (có thể dùng công thức Gauss – Ostrogratski )
1)
2)

x2 y2 z2
+
+
=1
a2 b2 c2
S
I = ∫∫ (y − x )dydz + (z − y )dxdz + (x − z )dxdy trong đó S là mặt phía ngoài của hình
I = ∫∫ z dxdy với S là mặt ngoài của elipxôit
2

S

⎧− 1 ≤ x ≤ 1
⎪
lập phương V : ⎨− 1 ≤ y ≤ 1
⎪− 1 ≤ z ≤ 1
⎩

Baøi 13 : Tính các tích phân đường
1)


I = ∫ 2ydx − xdy + xdz với L là giao tuyến của x 2 + y 2 = 1 vaø z = y+1.
L

2)

I = ∫ 2ydx + zdy + 3ydz với L là giao tuyến của x 2 + y 2 + z 2 = 6z với z = 3 - x
L

3)

I = ∫ yzdx + xzdy + xydz với L là giao tuyến của x2+y2 = 1 với z = y2.
L

4)

I = ∫ (y − z )dx + (z − x )dy + (x − y )dz với L là giao tuyến của x2+y2 = a2 với
L

5)

x z
+ = 1;
a h
I = ∫ (y 2 − z 2 )dx + (z 2 − x 2 )dy + (x 2 − y 2 )dz với L là giao tuyến của hình lập phương:
L

0≤ x ≤a, 0 ≤ y ≤ a ; 0 ≤ z ≤ a với mặt phẳng x+y+z =

Bài 14: Tính các tích phân mặt loại 2.
1) I =


3a
.
2

dydz dxdz dxdy
x 2 y2 z2
, với S là mặt ngoài của mặt :
+
+
+
+
= 1.
∫∫ x
y
z
a 2 b2 c2
S


2) I =

∫∫ x

2

dydz + y 2 dxdz + z 2 dxdy , với S là mặt ngoài của mặt :

S


(x – a)2 + (y – b)2+ (z – c)2 = R2.
3) I = ∫∫ x 3 dydz + y 3 dxdz + z 3 dxdy , S là mặt phía dưới của nửa mặt cầu
S

x + y2 + z2 = R2 , z ≥ 0 .
4) = I = ∫∫ x 2 y 2 zdxdy ; với S là mặt trên của nửa mặt cầu x2 + y2 + z2 = R2 , z ≤ 0 .
2

S