De thi huyen Trieu Son 2008-2009
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (99.49 KB, 4 trang )
đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9
Môn thi: Toán
Năm học: 2008 - 2009
Câu 1: Cho các số a, b, c thoả mãn: a+b+c = 4 và a, b, c dơng
Chứng minh:
4
>+++++
accbba
câu 2 : a) Chứng minh rằng: (x
3
- x)
6 với
x
Z
b) Tính giá trị của biểu thức: B = ( a
2006
- a
2007
+ a
2008
)
2009
Biết a = (
526526
++
):
20
CÂU 3: Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời
x
2
+ 2y = -1; y
2
+ 2z = -1; z
2
+ 2x = -1
Tính giá trị của biểu thức: P = x
2009
+ y
2009
+ z
2009
câu 4: a) Biết b > a > 0 và 3a
2
+ b
2
= 4ab. Tính
ba
ba
+
b) Chứng minh rằng nếu a+b+c = 0 thì:
0
111
222222222
=
+
+
+
+
+
cbabacacb
câu 5 : Tìm nghiệm dơng của phơng trình:
( 1+x -
1
2
x
)
2005
+ (1+ x +
1
2
x
)
2005
= 2
2006
câu 6 : Gọi h
a
, h
b
, h
c
là các đơng cao ứng với các cạnh a, b, c của tam giác ABC, I là tâm
đờng tròn nội tiếp tam giác, r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác.
a) Chứng minh: IA + IB + IC 6r
b) Cho biết diện tích tam giác ABC bằng 1
Chứng minh: (a
2
+b
2
+c
2
)(h
a
2
+ h
b
2
+ h
c
2
) 36
câu 7: Cho
ABC
. Một đờng thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại D v cắt AC tại
E. Chứng minh rằng với mọi điểm P trên cạnh BC, ta luôn có diện tích
DP E
không lớn
hơn
1
4
diện tích
ABC
.
Đờng thẳng DE ở vị trí n o thì diện tích
DP E
đạt giá trị lớn nhất.
câu 8: Cho tam giác ABC. Các đờng cao AH, BK, CI. Chứng minh:
a)
AKI
đồng dạng với
ABC
b) AI . BK . CH = AB . BC . CA . cosA . cosB . cosC
Họ và tên: Nguyễn Nam Anh SBD: 430
1
đáp án đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9
Môn thi: Toán
Năm học: 2008 2009
Câu 1:
Câu 2: a) Ta có P = x
3
x = x(x
2
-1) = (x-1)x(x+1)
Vì x, x+1 là 2 số nguyên liên tiếp nên P
2
Nếu x
3
thì P
3
Nếu x chia cho 3 d 1 thì (x-1)
3
suy ra P
3
Nếu x chia cho 3 d 2 thì (x+1)
3
suy ra P
3
Vậy P
3
mà (2,3) = 1 suy ra P
6
b) Ta có a = (
526526
++
):
20
= (
1515
++
):
20
= 1
Từ đó P = (1
2006
-1
2007
+1
2008
)
2009
= 1
Câu 3: Từ giả thiết ta có :
2
2
2
2 1 0
2 1 0
2 1 0
x y
y z
z x
+ + =
+ + =
+ + =
Cộng từng vế các đẳng thức ta có :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 2 1 2 1 0x x y y z z+ + + + + + + + =
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 0x y z + + + + + =
1 0
1 0
1 0
x
y
z
+ =
+ =
+ =
x = y = z = -1
P = x
2009
+ y
2009
+ z
2009
= (-1)
2009
+ (-1)
2009
+ (-1)
2009
= -3
Vậy : P = -3.
Câu 4: a) 3a
2
+ b
2
= 4ab nên 3a
2
+ b
2
- 4ab = 0
hay 3a(a - b) - b(a- b) = 0
(b - 3a)(b- a) = 0.
Từ đó suy ra b - 3a = 0
b = 3a. ( Vì b > a
a - b < 0)
Vậy
ba
ba
+
=
2
1
4
2
3
3
=
=
+
a
a
aa
aa
(vì a > 0).
b) Từ a+ b+ c = 0
a+ b = - c
a
2
+ b
2
+ 2ab = c
2
a
2
+ b
2
- c
2
= - 2ab.
2
Tơng tự: c
2
+ a
2
- b
2
= - 2ac và b
2
+ c
2
- a
2
= - 2bc.
Thay vào vế trái, ta đợc:
-
0
22
1
2
1
2
1
=
++
=
abc
cba
bcacab
( abc
0)
Câu 5: Vì tìm nghiệm dơng của phơng trình nên ta chỉ xét với x 1
Do (x -
1
2
x
)( x +
1
2
x
)
= 1
Đặt t = x -
1
2
x
> 0 => x +
1
2
x
=
t
1
> 0
Ta đợc phơng trình ( 1 + t )
2005
+ ( 1+
t
1
)
2005
= 2
2006
(1)
Ta có (1 + t )
2005
= [( 1 -
t
)
2
+ 2
t
]
2005
(2
t
)
2005
= 2
2005
. (
t
)
2005
(2)
và (1 +
t
1
)
2005
= [(1 -
t
1
)
2
+
t
2
]
2005
(
t
2
)
2005
= 2
2005
. (
t
1
)
2005
(3)
=> (1 + t)
2005
+ (1 +
t
1
)
2005
2
2005
. [(
t
)
2005
+ (
t
1
)
2005
]
Mặt khác (
t
)
2005
+ (
t
1
)
2005
= [
t(
)
2005
-
t(
)
2005
]
2
+ 2 2 (4)
nên (1 + t)
2005
+ (1 +
t
1
)
2005
2
2006
Vậy phơng trình 1 có nghiệm khi dấu " = " ở (2), (3) và (4) xảy ra => t = 1
x -
1
2
x
= 1
1
2
x
= x - 1 x = 1
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1
Câu 6:
Câu 7:
Kẻ
AH BC
, AH cắt DE tại K
Đặt AH = h, AK = k
2
)(
k
khk
h
kh
BC
DE
S
S
P
ABC
PDE
=
==
p dụng bất đẳng thức:
( )
2 , 0ab a b a b +
Dấu = xảy ra khi
a b
=
Tổng không đổi thì tích lớn nhất khi
a b
=
Ta có k + h k = h không đổi mà
0, 0k h k
3
k
K
H
E
A
B C
D
P
⇒
tÝch k(h – k) lín nhÊt khi
2
h
k h k k= − ⇒ =
ABCPDE
SS
h
h
P
4
1
4
1
4
2
2
≤⇒=≤⇒
VËy
DP E
S
lín nhÊt khi
2
h
k =
hay DE l ®à êng trung b×nh cña
ABC
∆
.
C©u 8: A
K
I
B H C
a) Gäi giao ®iÓm cña AH, BK vµ CI lµ M
4
