BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRẦN THỊ MINH HÀ

MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.01.04

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng – Năm 2017


Công trình được hoàn thành tại:
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học: TS. Trương Công Quỳnh

Phản biện 1: .............................................................................
Phản biện 2: .............................................................................

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
(ghi ngành của học vị được công nhận) họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày
…...… tháng …...… năm …...….

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
 Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng
 Thư viện trường Đại học .........., Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do lựa chọn đề tài và lịch sử vấn đề
Như chúng ta đã biết một môđun là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu nó
bất biến qua tự đồng cấu của bao nội xạ của nó. Theo kết quả của
Camillo, Khurana, Lam, Nicholson và Zhou vành tự đồng cấu của một
môđun nội xạ là vành clean tức là một vành mà mọi phần tử là tổng
của phần tử lũy đẳng và phần tử khả nghịch. Vì vậy, một môđun là
tựa nội xạ nếu và chỉ nếu nó bất biến qua tự đẳng cấu và tự đồng
cấu lũy đẳng của bao nội xạ của nó. Theo Jeremy một môđun là tựa
liên tục nếu và chỉ nếu nó bất biến qua tự đồng cấu lũy đẳng của bao
nội xạ của nó. Vì vậy, các tác giả Lee và Zhou đã đưa ra và nghiên
cứu khái niệm môđun bất biến đẳng cấu nghĩa là một môđun bất biến
đẳng cấu nếu nó bất biến qua các tự đẳng cấu của bao nội xạ của nó.
Ở đây, họ phát triển các tính chất cơ bản của các lớp môđun và xem
xét khi nào một môđun bất biến đẳng cấu là tựa nội xạ hay nội xạ.
Trước hết họ đặc trưng các lớp môđun, chẳng hạn một môđun M là
bất biến đẳng cấu nếu và chỉ nếu mọi đẳng cấu giữa hai môđun con
cốt yếu của M mở rộng đến tự đẳng cấu (hay tự đồng cấu) của M .
Tiếp theo họ chứng minh rằng tổng trực tiếp môđun M ⊕ N là bất
biến đẳng cấu dẫn đến M, N nội xạ lẫn nhau. Do đó, một môđun M
là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M ⊕ M là bất biến đẳng cấu và một
môđun M là nửa đơn nếu và chỉ nếu mọi môđun 2-sinh trong σ[M ]
là bất biến đẳng cấu.
Tác giả Đinh Quang Hải đã chứng minh rằng mọi môđun giả nội
xạ thỏa mãn (C2). Ở đây, các tác giả đã chứng tỏ được rằng mọi



2

môđun bất biến đẳng cấu thỏa mãn (C3). Vì vậy, một môđun là tựa
nội xạ nếu và chỉ nếu nó là CS bất biến đẳng cấu. Một môđun là tựa
nội xạ nếu và chỉ nếu nó là CS giả nội xạ, đây là mở rộng kết quả của
Ganesan và Vanaja.
Boyle và Goodearl đã chứng tỏ rằng mọi môđun tựa nội xạ không
suy biến trên vành Goldie phải nửa nguyên tố là nội xạ. Trên vành
Goldie phải nửa nguyên tố tất cả môđun bất biến đẳng cấu không suy
biến là nội xạ. Mọi môđun giả nội xạ không suy biến trên vành Goldie
phải nguyên tố là nội xạ , đây là mở rộng kết quả của Jain và Singh.
Tiếp tục nghiên cứu các lớp môđun này các tác giả Kosan, Quỳnh và
Srivastava đã nghiên cứu các vành mà mỗi iđêan phải là bất biến đẳng
cấu.
Với mong muốn tìm hiểu về những kết quả của môđun bất biến
đẳng cấu, các vành mà iđêan bất biến đẳng cấu, chúng tôi đã chọn
đề tài: “MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU” cho luận văn thạc sĩ của
mình để nghiên cứu với hy vọng có thể tìm hiểu sâu hơn các tính chất
của chúng.
2. Mục đích nghiên cứu
Với mục tiêu nghiên cứu khái niệm và các tính chất của môđun
bất biến đẳng cấu và một số lớp vành liên quan, chẳng hạn như avành, q-vành, vành bất biến đẳng cấu, vành Goldie phải nửa nguyên
tố. Đồng thời tìm các đặc trưng của vành thông qua lớp môđun bất
biến đẳng cấu.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Môđun bất biến đẳng cấu trong phạm trù M od − R.
4. Phương pháp nghiên cứu


3


Sử dụng các tính chất của môđun trong phạm trù M od − R để
nghiên cứu các môđun bất biến đẳng cấu.
5. Đóng góp của luận văn
Làm tài liệu tham khảo cho một số học viên cao học, cho các sinh
viên toán liên quan đến học phần vành và môđun.


4

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Các kiến thức cơ bản về môđun
Định nghĩa 1.1.1. Môđun con A của M được gọi là môđun
con thực sự nếu A không phải là môđun con tầm thường của M ,
nghĩa là, A = 0, A = M .
Định nghĩa 1.1.2. Môđun con A của M được gọi là môđun
con cực đại của M nếu A = M và A không thực sự chứa trong bất
kỳ môđun con thực sự nào của M .
Định nghĩa 1.1.3. Cho MR và N ≤ M . N được gọi là hạng tử
trực tiếp của M nếu tồn tại môđun con P của M sao cho M = N +P
và N ∩ P = 0.
Định nghĩa 1.1.4. Một môđun MR hữu hạn sinh nếu trong M
tồn tại tập sinh ra M hữu hạn.
Bổ đề 1.1.5. (Bổ đề Zorn) Giả sử A là tập sắp thứ tự. Nếu
mỗi tập con sắp thứ tự toàn phần của A đều có cận trên trong A
thì A có phần tử cực đại.
1.2. Môđun con cốt yếu, môđun đều, môđun con đóng
Định nghĩa 1.2.1. Môđun con N của R-môđun M được gọi

cốt yếu trong M , ký hiệu N ≤e M , nếu với mọi môđun con K của
M thỏa mãn N ∩ K = 0 thì K = 0. Khi đó, ta cũng nói M là mở
rộng cốt yếu của N .
Môđun con N của R-môđun M được gọi là đối cốt yếu trong
M , ký hiệu N

M , nếu với mọi môđun con K của M thỏa mãn


5

N + K = M thì K = M .
Định nghĩa 1.2.2. Môđun con Rad(M ) =
được gọi là căn của M . Môđun con Soc(M ) =

{N ≤ M : N

M}

{N ≤ M : N ≤e M }

được gọi là đế của M .
Đối với vành R, ta có Rad(RR ) = Rad(R R). Vì vậy, căn của vành
R được ký hiệu là J(R) = Rad(RR ).
Định nghĩa 1.2.3. Môđun M được gọi là môđun đều nếu mọi
môđun con khác không của môđun M là cốt yếu trong M .
Ví dụ: (1) Q là Z-môđun đều.
(2) Zp (với p là số nguyên tố) là Z-môđun đều.
Định nghĩa 1.2.4. Môđun M được gọi là có chiều đều (chiều
Goldie) bằng n, ký hiệu G.dim(M ) = n hoặc u.dim(M ) = n nếu tồn

n

tại n môđun con đều Ui của M sao cho

Ui ≤e M . Môđun 0 được

i=1

quy ước có chiều bằng 0. Các môđun có chiều bằng 0, 1, 2, ... được gọi
là môđun có chiều Goldie hữu hạn.
Khi RR có chiều Goldie hữu hạn thì ta gọi u.dim(RR ) là chiều
Goldie phải của vành R, ta nói R có chiều Goldie phải hữu hạn.
Ví dụ: Đặt R = Z4 ∼
= Z/4Z thì R có chiều Goldie là 1.
Định nghĩa 1.2.5. Môđun con A của M được gọi là phần bù
của môđun B trong M nếu A là môđun con cực đại trong số các
môđun con C của M thỏa mãn tính chất C ∩ B = 0 và A được gọi là
phần bù trong M nếu A là phần bù của môđun con nào đó của M .
Định nghĩa 1.2.6. Môđun A được gọi là bao đóng của môđun
B nếu A là mở rộng cốt yếu cực đại của B.
Định nghĩa 1.2.7. Môđun con A của M được gọi là môđun


6

con đóng nếu A không có mở rộng cốt yếu thực sự nào trong M ,
nghĩa là, nếu B là môđun con của M sao cho A ≤e B thì A = B.
Mệnh đề 1.2.8. Với mọi môđun con A của môđun M luôn
tồn tại môđun con B của M sao cho A ⊕ B ≤e M .
Mệnh đề 1.2.9. Cho A là môđun con của M , B là phần bù

của A trong M , thế thì:
(1) B đóng trong M .
(2) A ⊕ B ≤e M .
Mệnh đề 1.2.10.
(1) Nếu A là môđun con đóng của M thì hạng tử trực tiếp của
A cũng đóng trong M .
(2) Nếu A là môđun con đóng trong hạng tử trực tiếp của M
thì A cũng đóng trong M .
(3) Nếu A là môđun con đóng trong X và X đóng trong M thì
A là môđun con đóng trong M .
1.3. Môđun nội xạ
Định nghĩa 1.3.1.
(1) Môđun M là R-môđun phải, M được gọi là N -nội xạ nếu với
mỗi môđun con X của N thì mọi đồng cấu f : X −→ M đều mở
rộng đến đồng cấu g : N −→ M .
(2) Môđun M được gọi là nội xạ nếu M là N -nội xạ với mọi N
thuộc M od − R.
(3) M, N được gọi là nội xạ lẫn nhau nếu N là M -nội xạ và M
là N -nội xạ.
(4) M được gọi là tựa nội xạ hay tự nội xạ nếu M là M -nội xạ.


7

Định nghĩa 1.3.2. M được gọi là giả nội xạ nếu mọi đơn cấu
từ môđun con của M đến M mở rộng đến tự đồng cấu của M .
M được gọi là giả nội xạ cốt yếu nếu mọi đồng cấu từ môđun
con cốt yếu của M đến M mở rộng đến tự đồng cấu của M .
Định nghĩa 1.3.3. Cho M là R-môđun phải. Môđun E được
gọi là bao nội xạ của môđun M nếu E là mở rộng cốt yếu của M và

E là nội xạ. Ký hiệu E(M ). Nói cách khác, bao nội xạ của môđun M
là môđun nội xạ bé nhất sao cho M cốt yếu trong E(M ).
Ví dụ: (1) QZ là bao nội xạ của Z.
(2) Bao nội xạ của một môđun nội xạ là chính nó.
(3) Bao nội xạ của miền nguyên là trường các thương.
Mệnh đề 1.3.4. Mọi môđun đều có một bao nội xạ. Nó duy
nhất sai khác một phép đẳng cấu.
Mệnh đề 1.3.5. Cho M là R-môđun phải. Khi đó,
(1) M là nội xạ khi và chỉ khi M = E(M ).
(2) Nếu N ≤e M thì E(N ) = E(M ).
(3) Nếu M ≤ Q và Q là môđun nội xạ thì Q = E(M ) ⊕ E .
E(Mα ) là nội xạ (đặc biệt, nếu A là hữu hạn) thì

(4) Nếu
α∈A

E(

Mα ) =
α∈A

E(Mα ).
α∈A

Bổ đề 1.3.6. Cho L, K, N là các môđun con của M , K ≤ L.
Khi đó,
(1) Tồn tại môđun con đóng H của M sao cho N ≤e H.
(2) Môđun con K đóng trong M nếu và chỉ nếu Q ≤e M, K ≤
Q thì Q/K ≤e M/K.



8

(3) Nếu L đóng trong M thì L/K đóng trong M/K.
(4) Nếu K đóng trong L và L đóng trong M thì K đóng trong
M.
(5) Giả sử N là phần bù của K. Khi đó, K đóng trong M khi
và chỉ khi K là phần bù của N trong M .
1.4. Môđun nửa đơn
Định nghĩa 1.4.1. Một môđun M được gọi là đơn nếu M chỉ
có đúng hai môđun con là 0 và M .
Bổ đề 1.4.2. Bổ đề (Schur’s) Nếu M là môđun đơn thì EndR (M )
là thể.
Định nghĩa 1.4.3. Một môđun M được gọi là nửa đơn nếu
M phân tích được thành tổng trực tiếp của các môđun con đơn. Một
vành R được gọi là nửa đơn phải (trái) nếu RR (R R) là môđun nửa
đơn.
Định nghĩa 1.4.4. Tập L các môđun con nào đó của M được
gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (ACC) trong trường hợp
mọi dãy L1 ≤ L2 ≤ ... ≤ Ln ≤ ... trong L, tồn tại n ∈ N để cho
Ln+i = Ln(i = 1, 2, ...).
Tập L các môđun con nào đó của M được gọi là thỏa mãn điều
kiện dây chuyền giảm (DCC) trong trường hợp mọi dãy L1 ≥ L2 ≥
... ≥ Ln ≥ ... trong L, tồn tại n ∈ N để cho Ln+i = Ln(i = 1, 2, ...).
Môđun MR được gọi là Noether nếu MR thỏa mãn điều kiện dây
chuyền tăng hoặc mọi tập khác rỗng các môđun con nào đó của M
đều có phần tử cực đại.
Môđun MR được gọi là Artin nếu thỏa mãn điều kiện dây chuyền
giảm hoặc mọi tập khác rỗng các môđun con nào đó của M đều có



9

phần tử cực tiểu.
Định nghĩa 1.4.5. Vành R được gọi là Noether phải (Artin
phải) nếu môđun RR là Noether (Artin).
Định nghĩa 1.4.6. Cho M và N là các R-môđun. Môđun N
được gọi là M -sinh nếu tồn tại toàn cấu f : M Λ −→ N với tập chỉ
số Λ nào đó. Ta nói một R-môđun phải N là được sinh con bởi M
hoặc M là một vật sinh con của N nếu N đẳng cấu với một môđun
con của một môđun M -sinh. Ta ký hiệu σ[M ] là phạm trù con của
phạm trù M od − R mà các vật là các R-môđun phải được sinh con
bởi M và các cấu xạ là các đồng cấu môđun. Rõ ràng, σ[M ] là phạm
trù con đầy đủ của phạm trù M od − R.
1.5. Môđun CS
Cho môđun M , chúng ta định nghĩa các tính chất sau đây của
M : (C1) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong hạng tử trực tiếp
của M .
(C2) Nếu một môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử trực
tiếp của M thì A cũng là một hạng tử trực tiếp của M .
(C3) Nếu M1 và M2 là hạng tử trực tiếp của M thỏa mãn M1 ∩M2 = 0
thì M1 ⊕ M2 là hạng tử trực tiếp của M .
Định nghĩa 1.5.1. Môđun M được gọi là môđun CS nếu M
thỏa mãn tính chất (C1). Hay nói cách khác, M là môđun CS nếu
mọi môđun con đóng của M đều là hạng tử trực tiếp của M .
Môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn tính chất (C1)
và (C2).
Môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn tính chất
(C1) và (C3).



10

Định nghĩa 1.5.2. Môđun M được gọi là môđun CS yếu nếu
mọi môđun con nửa đơn của M là cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của
M.
1.6. Môđun suy biến
Định nghĩa 1.6.1. Cho M là R-môđun phải.
Ta ký hiệu Z(M ) = {m ∈ M : annR (m) là một iđêan phải cốt
yếu của R} với annR (m) = {r ∈ R/mr = 0} là linh hóa tử phải của
m trong R. Z(M ) được gọi là môđun con suy biến của M .
Z(M ) = M thì M được gọi là môđun suy biến.
Z(M ) = 0 thì M được gọi là môđun không suy biến.
Định nghĩa 1.6.2. Môđun con suy biến của RR được gọi là
iđêan suy biến của vành R. Ký hiệu: Z(RR ). Z(RR ) là iđêan của R.
Định nghĩa 1.6.3. Vành R được gọi là không suy biến phải
(trái) nếu RR (R R) là môđun không suy biến.
Mệnh đề 1.6.4. Nếu N là môđun con cốt yếu của M thì
M/N suy biến.
Định nghĩa 1.6.5. Môđun N được gọi là không suy biến trong
σ[M ] hay M -không suy biến nếu ZM (N ) = 0.
Định nghĩa 1.6.6. Cho M là R-môđun phải. Ta ký hiệu Z2(M )
là môđun con (duy nhất) của M thỏa mãn điều kiện:
Z2(M )/Z(M ) = Z(M/Z(M )).
Z2(M ) được gọi là môđun con suy biến cấp hai của M .
Z2(M ) = M được gọi là môđun xoắn Goldie.
Mệnh đề 1.6.7. Môđun con Z2(M ) của M có các tính chất
sau:



11

(i) Z(M ) ≤e Z2(M ).
(ii) Nếu N ≤ M sao cho N/M là môđun con không suy biến
thì
Z2(M ) ≤ N.
1.7. Môđun chính phương
Định nghĩa 1.7.1. Hai môđun M và N được gọi là trực giao
nếu không có môđun con khác không của M là đẳng cấu với môđun
con của N .
Một môđun M được gọi là môđun chính phương (square module)
nếu tồn tại môđun phải N sao cho M ∼
= N 2.
Môđun con N của môđun M được gọi là nghiệm vuông (square
- root) trong M nếu N 2 nhúng trong M .
Định nghĩa 1.7.2. Một môđun M được gọi là không chính
phương nếu M không chứa nghiệm vuông khác không. Hay một
môđun M được gọi là không chính phương nếu M không chứa tổng
trực tiếp của hai môđun con khác không đẳng cấu.
Môđun M được gọi là chính phương đầy đủ nếu mọi môđun con
của M chứa nghiệm vuông khác không trong M .
1.8. Các lớp vành
Định nghĩa 1.8.1. Một vành R được gọi là chính quy Von
Neumann nếu cho mỗi phần tử a ∈ R thì tồn tại b ∈ R sao cho
a = aba.
Định nghĩa 1.8.2. Vành R được gọi là đơn vị chính quy nếu
với mọi phần tử x ∈ R, tồn tại một phần tử khả nghịch u ∈ R sao
cho x = xux.



12

Định nghĩa 1.8.3. Vành R được gọi là chính quy mạnh nếu
mọi a ∈ R, tồn tại b ∈ R sao cho a = a2b.
Định nghĩa 1.8.4. (1) Phần tử e = 0 được gọi là phần tử lũy
đẳng nếu e2 = e.
(2) Hai lũy đẳng α, β được gọi là trực giao nếu αβ = βα = 0.
(3) Phần tử lũy đẳng e trong R được gọi là lũy đẳng tâm nếu
ex = xe với mọi x ∈ X.
Mệnh đề 1.8.5. Iđêan phải I của vành R là một hạng tử trực
tiếp của RR nếu và chỉ nếu tồn tại một lũy đẳng e ∈ R sao cho
I = eR. Hơn nữa, nếu e ∈ R là một lũy đẳng thì 1 − e cũng vậy
và
RR = eR ⊕ (1 − e)R.
Mệnh đề 1.8.6. Với lũy đẳng e ∈ R khác không bất kỳ, các
phát biểu sau tương đương:
(1) eR(Re) không phân tích được như R-môđun phải (trái).
(2) Vành eRe không có các lũy đẳng không tầm thường.
(3) e không có sự phân tích dạng α + β với α, β là các lũy đẳng
trực giao khác không trong R.
Nếu lũy đẳng e = 0 thỏa mãn một trong các điều kiện trên, ta
nói e là lũy đẳng nguyên thủy của R.
Định nghĩa 1.8.7. Vành R được gọi là chuỗi tổng quát nếu R
là tổng trực tiếp của các môđun chuỗi.
Định nghĩa 1.8.8. Vành Artin phải (trái) R được gọi là chuỗi
tổng quát nếu với mọi lũy đẳng nguyên thủy e của R, eR(Re) có duy
nhất dãy hợp thành như R-môđun phải (trái).


13


Định nghĩa 1.8.9. Vành R được gọi là vành clean nếu mọi
phần tử là tổng của phần tử lũy đẳng và phần tử khả nghịch.
Định nghĩa 1.8.10. Một phần tử a của vành R là lũy linh nếu
tồn tại n sao cho an = 0.
Định nghĩa 1.8.11. Iđêan I của vành R là lũy linh nếu I n = 0
với n ∈ N∗ nào đó.
Định nghĩa 1.8.12. Vành R được gọi là nguyên tố nếu tích
của hai iđêan khác không của R là khác không. Nói cách khác, vành
R được gọi là nguyên tố nếu aRb = 0, a, b ∈ R thì a = 0 hoặc b = 0.
Iđêan I của vành R được gọi là iđêan nguyên tố nếu R/I là vành
nguyên tố.
Định nghĩa 1.8.13. Căn nguyên tố của R là giao tất cả các
iđêan nguyên tố của R. Ký hiệu là N (R). Căn nguyên tố của R chứa
tất cả các iđêan lũy linh của R.
Định nghĩa 1.8.14. Vành R được gọi là nửa nguyên tố nếu R
không có iđêan phải lũy linh khác không hay vành R được gọi là nửa
nguyên tố khi và chỉ khi N (R) = 0.
Định nghĩa 1.8.15. Vành R là đơn nếu R có đúng hai iđêan
là 0 và R.
Định nghĩa 1.8.16. Vành R là đơn và là tích hữu hạn trực tiếp
các vành (Artin) đơn thì R được gọi là vành (Artin) nửa đơn.
Định nghĩa 1.8.17. Nếu R là Artin phải thì N (R) là lũy linh
và là iđêan lũy linh lớn nhất của R.
Định nghĩa 1.8.18. Căn N (R) của vành Artin phải R là giao
của các iđêan cực đại của nó.


14


Mệnh đề 1.8.19. Nếu R là vành nguyên tố và e = 0 là lũy
đẳng trong R thì eRe là vành nguyên tố.
Định nghĩa 1.8.20. Vành Goldie phải là vành thỏa mãn điều
kiện dây chuyền tăng (ACC) trên các linh hóa tử phải và có chiều đều
hữu hạn.
Định nghĩa 1.8.21. Cho vành R. Vành R được gọi là vành SC
phải nếu mọi R-môđun phải suy biến là liên tục.
Định nghĩa 1.8.22. Vành R được gọi là vành SI phải nếu mọi
R-môđun phải suy biến là nội xạ.
Vành SI có các tính chất sau:
(1) Mọi R-môđun xoắn Goldie là nội xạ.
(2) Z(RR ) = 0 và mọi R-môđun suy biến là nửa đơn.
(3) Mọi R-môđun xoắn Goldie hữu hạn sinh là tựa liên tục.
(4) Mọi R-môđun suy biến xyclic là nội xạ.
(5) Mọi môđun suy biến liên tục là nội xạ.
Định nghĩa 1.8.23. Vành R được gọi là vành QI phải nếu mọi
R-môđun tựa nội xạ là nội xạ.
Định nghĩa 1.8.24. Vành ma trận là tập bất kỳ các ma trận
trên vành R nào đó theo phép cộng và phép nhân ma trận.


15

CHƯƠNG 2
MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU

Chương này chúng tôi sẽ trình bày và chứng minh các tính chất
quan trọng của môđun bất biến đẳng cấu. Chẳng hạn các kết quả sau:
Môđun M là bất biến đẳng cấu nếu và chỉ nếu mọi đẳng cấu giữa hai
môđun con cốt yếu của M mở rộng đến tự đẳng cấu (tự đồng cấu)

của M . Nếu tổng trực tiếp M1 ⊕ M2 là bất biến đẳng cấu thì M1 và
M2 là nội xạ lẫn nhau. Mọi môđun bất biến đẳng cấu thỏa mãn (C3).
Môđun M là giả nội xạ nếu và chỉ nếu M bất biến đẳng cấu.
2.1. Một số định nghĩa
Định nghĩa 2.1.1. Môđun con N của môđun M được gọi là
bất biến đẳng cấu nếu σ(N ) ≤ N với mọi tự đẳng cấu σ của M .
Một môđun được gọi là môđun bất biến đẳng cấu nếu nó là môđun
con bất biến đẳng cấu của bao nội xạ của nó.
Định nghĩa 2.1.2. Môđun con N của môđun M được gọi là
bất biến đầy đủ nếu f (N ) ≤ N với mọi tự đồng cấu f của M .
2.2. Tính chất
Định lý 2.2.1. Cho môđun M . Các điều kiện sau tương đương:
(1) M là môđun bất biến đẳng cấu.
(2) Mỗi đẳng cấu giữa hai môđun con cốt yếu của M mở rộng
đến tự đồng cấu của M .
(3) Mỗi đẳng cấu giữa hai môđun con cốt yếu của M mở rộng
đến tự đẳng cấu của M .


16

Bổ đề 2.2.3. Hạng tử trực tiếp của môđun bất biến đẳng cấu
M là bất biến đẳng cấu.
Định lý 2.2.4. Nếu tổng trực tiếp M1 ⊕ M2 là bất biến đẳng
cấu thì M1 và M2 là nội xạ lẫn nhau.
Hệ quả 2.2.5. Một môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu
M ⊕ M là bất biến đẳng cấu.
Định lý 2.2.11. Mọi môđun bất biến đẳng cấu thỏa mãn (C3).
Hệ quả 2.2.12. Một môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu
M là CS bất biến đẳng cấu.

Định lý 2.2.17. Nếu R là vành Goldie phải nửa nguyên tố
thì mọi R-môđun bất biến đẳng cấu không suy biến là nội xạ.
2.3. Định lý về sự phân tích môđun bất biến đẳng cấu
Trước khi chứng minh kết quả chính chúng tôi sử dụng một số bổ
đề sau.
Bổ đề 2.3.1. Nếu M là môđun bất biến đẳng cấu với bao nội
xạ E(M ) = E1 ⊕ E2 ⊕ E3 với E1 ∼
= E2 thì M = (M ∩ E1) ⊕ (M ∩
E2) ⊕ (M ∩ E3).
Lee và Zhou đã chứng tỏ bất cứ một môđun M bất biến đẳng cấu
có thể phân tích thành M = A ⊕ B, A, B nội xạ lẫn nhau.
Điều này có thể được mở rộng bằng bổ đề sau.
Bổ đề 2.3.2. Nếu M là môđun bất biến đẳng cấu và A, B là
hai môđun con đóng của M sao cho A∩B = 0 thì A và B là nội xạ
lẫn nhau. Hơn nữa, đơn cấu h : A −→ M với A ∩ h(A) = 0, h(A)
đóng trong M .
Định lý 2.3.3. Cho M là môđun bất biến đẳng cấu. Khi đó,


17

(1) M = X ⊕ Y với X là tựa nội xạ, Y là môđun không chính
phương, trực giao với X. Trong trường hợp này X và Y nội xạ lẫn
nhau.
(2) Nếu M là suy biến thì Hom(D1, D2) = 0 với D1, D2 là hai
môđun con của D.
(3) Nếu M không suy biến thì Hom(X, Y ) = 0 = Hom(Y, X).
Hệ quả 2.3.4. Mọi môđun bất biến đẳng cấu chính phương
đầy đủ là tựa nội xạ.
Định lý 2.3.5. Cho M là môđun không chính phương không

suy biến. Khi đó,
(1) Mọi môđun con đóng của M là môđun con bất biến đầy đủ
của M .
(2) Nếu M là bất biến đầy đủ thì họ bất kỳ {Ki : i ∈ I} các
môđun con đóng của M (không nhất thiết độc lập), môđun con
Ki là bất biến đẳng cấu.
i∈I

2.4. Vành bất biến đẳng cấu không suy biến
Trong phần này chúng ta sẽ chứng minh định lý mô tả vành bất
biến đẳng cấu không suy biến phải.
Định lý 2.4.1. Nếu R là vành bất biến đẳng cấu phải không
suy biến phải thì R ∼
= S × T với S và T là các vành có các tính
chất sau:
(1) S là vành tự nội xạ phải,
(2) TT không chính phương,
(3) Tổng của các iđêan phải đóng của T là iđêan hai phía mà
bất biến đẳng cấu như T -môđun phải,


18

(4) Iđêan nguyên tố bất kỳ P của T mà không cốt yếu trong
TT , T /P là thể.
Định lý 2.4.2. Nếu R là vành bất biến đẳng cấu phải, không
suy biến phải nguyên tố thì R là tự nội xạ phải.
Sau đây ta xét ví dụ chứng tỏ rằng kết luận của Định lý 2.4.2 là
sai nếu ta lấy vành nửa nguyên tố thay cho nguyên tố.
Ví dụ 2.4.3. Cho S =

n∈N

Z2 và R = {(xn )n∈N : tất cả xn ngoại

trừ hữu hạn xn bằng một số a nào đó thuộc Z2}. Khi đó, R là vành
giao hoán bất biến đẳng cấu và không tự nội xạ.
2.5. Vành mà môđun xyclic là bất biến đẳng cấu
Các đặc trưng của vành thông qua tính chất đồng đều của môđun
xyclic là vấn đề đã được nghiên cứu mở rộng trong 50 năm qua. Nội
dung sau sẽ mô tả các cấu trúc của các vành mà môđun phải xyclic
là bất biến đẳng cấu.
Định lý 2.5.1. Cho R là một vành mà mọi R-môđun phải
xyclic là bất biến đẳng cấu. Khi đó, R ∼
= S × T với S là vành Artin
nửa đơn và T là vành không chính phương phải sao cho hai iđêan
phải đóng bất kỳ X và Y của T với X ∩ Y = 0, Hom(X, Y ) = 0.
Đặc biệt, tất cả lũy đẳng của T là tâm.
2.6. Môđun bất biến đẳng cấu là giả nội xạ
Ta đã biết môđun giả nội xạ thì bất biến đẳng cấu. Lee và Zhou
đã đặt ra câu hỏi: "Môđun bất biến đẳng cấu có là môđun giả nội xạ
hay không?"
Bổ đề 2.6.1. [Cho M = A ⊕ B. Khi đó, A là B-nội xạ nếu
và chỉ nếu môđun con bất kỳ C của M với A ∩ C = 0 thì tồn tại


19

môđun con D của M sao cho C ≤ D và A ⊕ D = M .
Bổ đề 2.6.2. Giả sử M = A ⊕ B với A, B là trực giao lẫn
nhau. Đơn cấu f : C −→ M , với C là môđun con bất kỳ của M .

Khi đó,
(1) f (C ∩ B) ∩ B là cốt yếu trong f (C ∩ B).
(2) Nếu B là không chính phương thì f (C ∩ B) ∩ (C ∩ B) là
cốt yếu trong cả f (C ∩ B) và C ∩B.
Định lý 2.6.3. Môđun M là bất biến đẳng cấu nếu và chỉ nếu
M là giả nội xạ.


20

CHƯƠNG 3
VÀNH MÀ CÁC IĐÊAN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU

Chương này chúng tôi sẽ trình bày các vành mà mọi iđêan phải
là bất biến đẳng cấu. Các vành như vậy gọi là a-vành phải. Một số
kết quả chính của chương này là: Một a-vành phải là tổng trực tiếp
của vành Artin nửa đơn chính phương đầy đủ và vành không chính
phương phải. Vành R là Artin nếu và chỉ nếu vành ma trận Mn(R) là
a-vành phải với n > 1 nào đó. Mọi a-vành phải là ổn định hữu hạn.
a-vành phải là vành chính quy Von Neumann nếu và chỉ nếu nó là nửa
nguyên tố. a-vành phải nguyên tố là vành Artin đơn.
3.1. Một số định nghĩa
Định nghĩa 3.1.1. (1) Vành R được gọi là a-vành phải nếu
mọi iđêan phải của nó là bất biến đẳng cấu.
(2) Vành R được gọi là q-vành phải nếu mọi iđêan phải cốt yếu
là iđêan hai phía.
(3) Vành R được gọi là hữu hạn trực tiếp nếu với mọi x, y ∈
R, xy = 1 suy ra yx = 1.
(4) Vành R được gọi là vành ổn định hữu hạn nếu mọi vành ma
trận Mn(R) là hữu hạn trực tiếp.

(5) Vành R được gọi là tựa duo (quasi-duo) phải (trái) nếu mọi
iđêan phải (trái) cực đại là iđêan hai phía.
3.2. Ví dụ
Các vành mà mọi iđêan phải là bất biến đẳng cấu được gọi là
a-vành phải. Vì mọi môđun tựa nội xạ là bất biến đẳng cấu nên họ


21

các a-vành phải chứa các q-vành phải.
Ta xét ví dụ sau để thấy rằng một vành là a-vành nhưng không
là q-vành.
Ví dụ 3.2.2. Cho vành R = {(xn)n∈N : tất cả xn bằng a nào
đó thuộc F2 trừ một số hữu hạn}. Khi đó, R là vành giao hoán bất
biến đẳng cấu và không tự nội xạ. Do đó, R là a-vành nhưng không
là q-vành.
3.3. Các tính chất của a-vành
Trong phần này chúng ta sẽ chứng minh một vài tính chất của
a-vành phải.
Mệnh đề 3.3.1. Cho vành R. Các điều kiện sau tương đương:
(1) R là a-vành phải.
(2) Mọi iđêan phải cốt yếu của R là bất biến đẳng cấu.
(3) R là bất biến đẳng cấu phải và mọi iđêan phải cốt yếu của
R là T -môđun trái, với T là vành con của R sinh bởi phần tử đơn
vị của nó.
Bổ đề 3.3.3. Cho R là a-vành phải và A là iđêan phải của R.
Nếu tồn tại iđêan phải B của R với A ∩ B = 0 và A ∼
= B thì:
(1) A là nửa đơn và nội xạ.
(2) A là không suy biến.

Ta sử dụng bổ đề đã đề cập ở trên để chứng minh định lý về sự
phân tích của a-vành phải bất kỳ.
Định lý 3.3.4. Một a-vành phải là tổng trực tiếp của vành
Artin nửa đơn chính phương đầy đủ và vành không chính phương
phải.


22

Trong định lý sau ta xem xét khi nào vành ma trận là a-vành
phải.
Định lý 3.3.6. Cho n > 1 là số nguyên, R là vành. Các điều
kiện sau tương đương:
(1) Mn(R) là q-vành phải.
(2) Mn(R) là a-vành phải.
(3) R là vành Artin nửa đơn.
3.4. Các lớp đặc biệt của a-vành phải
Trong phần này chúng ta sẽ xem xét các lớp vành đặc biệt chẳng
hạn như vành đơn, nửa nguyên tố, nguyên tố và CS. Đồng thời mô
tả khi nào các vành đó là a-vành phải. Trước hết ta xét bổ đề sau.
Định lý 3.4.3. a-vành phải là vành chính quy Von Neumann
nếu và chỉ nếu nó là nửa nguyên tố.
Định lý 3.4.5. Mọi a-vành phải là ổn định hữu hạn, tức là,
mọi vành ma trận trên trường R là hữu hạn trực tiếp.
Hệ quả 3.4.6. Mọi a-vành phải chính quy Von Neumann là
đơn vị chính quy.
Định lý 3.4.9. Cho R là vành nguyên tố. Khi đó, R là a-vành
phải nếu và chỉ nếu R là vành Artin đơn.
Định lý 3.4.12. Cho n ≥ 1 là số nguyên, D1, D2, ..., Dn là các
thể và ∆ là a-vành phải với mọi lũy đẳng tâm và iđêan cốt yếu

P sao cho ∆/P là thể và ∆-môđun phải ∆/P không được nhúng
trong ∆∆. Cho Vi là (Di − Di+1)-song môđun sao cho
dim(Di {Vi}) = dim({Vi}Di+1 ) = 1


23

với mọi i = 1, 2, ..., n − 1, và Vn là (Dn − ∆)-song môđun sao cho
VnP = 0 và dim(Dn {Vn}) = dim({Vn}A/P ) = 1.
Khi đó,
D1 V1
D2 V2




D3 V3




. . .
R := Gn(D1, ..., Dn, ∆, V1, ..., Vn) = 



. .

. Dn Vn
∆

là a-vành phải.




Định lý 3.4.13. Mỗi a-vành phải CS yếu, không suy biến
phải, Artin phải, không phân tích được R là đẳng cấu với
Mn1 (e1 Re1 ) Mn1 ×n2 (e1 Re2 ) Mn1 ×n3 (e1 Re3 )

0
Mn2 (e2 Re2 ) Mn2 ×n3 (e1 Re2 )

0
0
.

.
.
.

..
..
..

...
...
...
...
0
0

0
...
Trong đó eiRei là thể, eiRei ∼
= ej Rej với mỗi



Mn1 ×n2 (e1 Rek )
Mn2 ×nk (e2 Rek )

.

...

Mnk (ek Rek )

1 ≤ i, j ≤ k và

n1, ..., nk là các số nguyên dương. Hơn nữa, nếu eiRej = 0 thì
dim(eiRei (eiRej )) = 1 = dim((eiRej )ej Rej ).