Chương I
SƠ GIẢN VỀ LÍ THUYẾT TẬP HỢP
A. TẬP HỢP
§1. CÁC KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP
I- Khái niệm tập hợp.
Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa. Để làm sáng tỏ nội
dung của khái niệm này, ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ: 1) Tập hợp trẻ em trong một lớp mẫu giáo
2) Tập hợp các đồ chơi xếp trong tủ.
3) Tập hợp các tranh ảnh treo trên tường.
4) Tập hợp các lớp trong một trường mầm non.
5) Tập hợp N các số tự nhiên.
6) Tập hợp Z các số nguyên.
II- Phần tử của tập hợp, kí hiệu.
Một tập hợp thường được kí hiệu bằng những chữ cái in hoa A, B,C, X, Y, … Khi
nói đến một tập hợp nào đó, ta hiểu rằng điều đó có liên quan đến nhiều đối tượng
(người, vật, số, hình, .v.v..) nhất định. Các đối tượng trong tập hợp A được gọi là các
phần tử của A. Phần tử của một tập hợp thường được kí hiệu bằng các chữ cái in
thường: a, b, …
Để chỉ a là một phần tử của tập hợp A ta viết a
∈
A, đọc là “a thuộc A” hay A chứa a.
Ví dụ: 3
∈
N, -2
∈
Z.
Để chỉ a không phải là một phần tử của tập hợp A ta viết a
∉
A, đọc là “a không thuộc
A” hay A không chứa a. Ví dụ: -5

∉
N,
∉
3
2
Z.
III- Các cách xác định một tập hợp.
Xác định một tập hợp là xác định các phần tử của nó. Nói cách khác, một tập hợp X là
xác định nếu ta có thể nói: với một vật x bất kì đã cho có thuộc X hay không ?
Một tập hợp có thể xác định bởi các cách sau:
a) Liệt kê các phần tử của tập hợp.
Ví dụ 1: X =
{
An, Bình, Cúc
}
Y =
{
a, b, c, d
}
Ví dụ 2: Gọi N là tập hợp các số tự nhiên
N =
{
0, 1, 2, 3, 4, 5, …, n, …
}
Ví dụ 3: Tập hợp Z các số nguyên có thể biểu diễn như sau:
Z =
{
…, -n, … -2, -1, 0, 1, 2, …, n, …
}
b) Chỉ ra tính chất đặc trưng xác định các phần tử của tập hợp.

Ví dụ 1. Tập hợp các số nguyên chẵn:
A =
{
x
∈
Z│x là số chẵn
}
1
Ví dụ 2. Tập hợp các số tự nhiên là bội của số 3:
B =
{
n
∈
N│n chia hết cho 3
}
Ví dụ 3. Tập hợp các nghiệm thực của phương trình x
2
+ 2x – 3 = 0
C =
{
x
∈
R│x
2
+ 2x – 3 = 0
}
Một cách tổng quát: Các phần tử của X được xác định bằng một tính chất chung T, ta
viết:
X =
{

x│x có tính chất T
}
c) Xác định bằng hình vẽ.
Người ta thường biểu diễn một tập hợp bằng một miền phẳng, giới hạn bằng một
đường cong kín, gọi là biểu đồ Ven.
IV- Tập hợp rỗng, tập hợp con, tập hợp bằng nhau, quan hệ bao hàm
1. Tập hợp rỗng, tập hợp đơn tử.
a) Có những tập hợp không chứa phần tử nào. Ví dụ: Tập hợ các số nguyên tố chẵn lớn
hơn 3, tập hợp các nghiệm thực của phương trình x
2
+ 2 = 0. Tập hợp không chứa
phần tử nào gọi là tập hợp rỗng và được kí hiệu là ∅.
b) Tập hợp có duy nhất một phàn tử gọi là tập hợp đơn tử. Nếu tập hợp đơn tử X chứa
phần tử duy nhất x, ta viết X =
{
x
}
2. Hai tập hợp bằng nhau.
Định nghĩa: Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau, kí hiệu A = B, nếu mỗi phần
tử của tập hợp A cũng là phần tử của tập hợp B và ngược lại.
Ta có thể diễn đạt định nghĩa trên bằng các kí hiệu:
A = B khi và chỉ khi x
∈
A kéo theo x
∈
B và y
∈
B kéo theo y
∈
A

Ví dụ: Cho X =
{
3, 4, 5, 12
}
A là tập hợp các số chẵn trong X
B là tập hợp các số trong X chia hết cho 4
Ta thấy A = B bởi vì: A =
{
4, 12
}
và B =
{
4, 12
}

3. Tập hợp con, quan hệ bao hàm
Định nghĩa: Tập hợp A được gọi là tập hợp con của tập hợp B, kí hiệu A
⊂
B, nếu mọi
phần tử của A đều thuộc B.
A
⊂
B khi và chỉ khi x
∈
A kéo theo x
∈
B.
Khi A
⊂
B ta còn nói A là bộ phận của B hay A bao hàm trong B. Ta cũng viết B

⊃
A.
Nếu A là bộ phận của B và A, B là hai tập hợp không bằng nhau thì ta nói A là bộ phận
thực sự của B.
Ví dụ:
2
a
*
*
x
A
B
1/ Tập hợp các búp bê ở trong đồ chơi là tập hợp con của tập hợp đồ chơi xếp trong tủ.
2/ Tập hợp các chữ
{
S, I, Đ, A
}
là tập hợp con của tập hợp các chữ cái trong bẳng
chữ cái tiếng Việt.
3/ Tập hợp các số tự nhiên chẵn là tập hợp con của tập hợp N các số tự nhiên.
4/ Tập hợp các hình vuông là tập hợp con của tập hợp các hình chữ nhật.
Ta coi tập rỗng là tập hợp con của mọi tập hợp. Φ
⊂
A với mọi tập hợp A.
Chú ý về các tính chất của quan hệ bao hàm:
a) Mọi tập hợp A đều là tập hợp con của chính nó. A
⊂
A với mọi tập hợp A.
b) Nếu A là một tập hợp con của B và B lại là một tập hợp con của C thì A là tập hợp
con của C.

A
⊂
B và B
⊂
C thì A
⊂
C
c) Nếu A là một tập hợp con của B và B lại là một tập hợp con của A thì A = B.
§2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC TẬP HỢP
I- Hợp của hai tập hợp.
Định nghĩa: Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu A
∪
B, là tập hợp gồm các phần tử
hoặc thuộc A hoặc thuộc B.
A
∪
B =
{
x│x
∈
A hoặc x
∈
B
}
Ví dụ:
1/ A =
{
2, 3, 4, 5
}
B =

{
4, 5, 6, 8
}
A
∪
B =
{
2, 3, 4, 5, 6, 8
}
2/ X =
{
x
∈
Z│x có tận cùng là 0
}
Y =
{
x
∈
Z│x có tận cùng là 5
}
X
∪
Y =
{
x
∈
Z│x chia hết cho 5
}
3/ A =

{
x
∈
N│x lẻ
}
B =
{
x
∈
N│x chẵn
}
A
∪
B = N
3
II- Giao của hai tập hợp.
Định nghĩa: Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∩ B, là tập hợp gồm các phần tử
vừa thuộc A vừa thuộc B.
A ∩ B =
{
x│x
∈
A và x
∈
B
}
Ví dụ:
1/ A =
{
2, 3, 5, 7

}
B =
{
3, 1, 7, 4, 9
}
A ∩ B =
{
3, 7
}
2/ A =
{
x
∈
N│x  3
}
B =
{
x
∈
N│x  5
}
A ∩ B =
{
x
∈
N│x  15
}
Nếu A ∩ B = ∅ thì ta nói A và B rời nhau.
Ví dụ: A là tập hợp các số tự nhiên chẵn
A là tập hợp các số tự nhiên lẻ

A ∩ B = ∅
III – Các tính chất của phép hợp và phép giao
Đối với các tập hợp tuỳ ý A, B, C ta luôn có:
1. Tính chất giao hoán
A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A
2. Tính chất kết hợp
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
3. Tính chất phân phối
a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Phép giao phân phối đối với phép hợp
b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Phép hợp phân phối đối với phép giao
Chứng minh: Các tính chất 1 và 2 suy được ngay từ định nghĩa. Ta chứng minh tính
chất 3a:
Giả sử x
∈
A ∩ (B ∪ C), tức là x
∈
A và x
∈
(B ∪ C). Điều này nghĩa là x
∈
A và x thuộc ít nhất một trong hai tập hợp B, C.
Nếu x
∈
A và x
∈
B thì x
∈
A ∩ B .

Nếu x
∈
A và x
∈
C thì x
∈
A ∩ C.
Do đó x thuộc A ∩ B hoặc A ∩ C.
Vậy x
∈
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Đảo lại, giả sử x
∈
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) tức là x
∈
A ∩ B hoặc x
∈
A ∩ C.
Nếu x
∈
A ∩ B thì x
∈
A và x
∈
B
Nếu x
∈
A ∩ C thì x
∈
A và x

∈
C
4
Như vậy luôn có x
∈
A và x thuộc B hoặc C, tức là x
∈
A và x
∈
B ∪ C. Do
đó x
∈
A ∩ (B ∪ C).
Vậy A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Tính chất 3b chứng minh tương tự.
IV- Hiệu của hai tập hợp.
Định nghĩa: Hiệu của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A nhưng
không thuộc B. Kí hiệu A \ B (hoặc A – B)
A \ B =
{
x│x
∈
A và x
∉
B
}
Ví dụ:
1/ A =
{
1, 2, 3, 4

}
B =
{
3, 4, 5, 6
}
A \ B =
{
1, 2
}
2/ B là tập hợp các số nguyên dương, thế thì Z \ B là tập hợp các số nguyên bé hơn
hoặc bằng 0 hay Z \ B =
{
x
∈
Z│x
≤
0
}
Nếu A và B là hai tập hợp rời nhau thì A \ B = A
Ví dụ: A =
{
a, b, c
}
B =
{
d, e
}
A \ B =
{
a, b, c

}
Nếu A
⊂
B thì A \ B = ∅
Phần bù: A
⊂
B thì hiệu A \ B gọi là phần bù của B đối với A và kí hiệu C
A
(B)
Ví dụ:
1/ A =
{
1, 2, 3, 4, 5
}
B =
{
2, 4
}
C
A
(B) =
{
1, 3, 5
}
2/ A là tập hợp các số tự nhiên chẵn thì C
N
(A) là tập hợp các số tự nhiên lẽ.
V- Tích Đề các
1. Cặp thứ tự.
Cho hai tập hợp A và B, với a là một phần tử tuỳ ý của A, b là một phần tử tuỳ ý

của B. Ta xét một phần tử mới, kí hiệu là (a, b) và gọi là cặp (a, b). Hai cặp (a, b) =
(a’, b’) nếu và chỉ nếu a = a’ và b = b’.
Đặc biệt ta có (a, b) = (b, a) nếu và chỉ nếu a = b. Điều này lưu ý đến thứ tự của
2 phần tử trong một cặp.
2. Định nghĩa:
Tích Đề - các của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm các cặp (a , b) với a
∈
A
và b
∈
B. Kí hiệu A
×
B.
A
×
B =
{
(a, b)│ a
∈
A, b
∈
B
}
3. Ví dụ: A =
{
a, b, c
}
B =
{
1, 2

}
A
×
B =
{
(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)
}
B
×
A =
{
(1, a), (2, a), (1, b), (2, b), (1, c), (2, c)
}
5