TEACHER: NGUYEN
MATH 9: SCHOOL YEAR 2018-2019
NGOC SON

CHUYÊN ĐỀ : SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL
TS LỚP 10 Bình Định 2017 - 2018
Cho Parabol
và đường thẳng

Bài 1.

( P ) : y = x2

a)

Chứng minh rằng với mọi

b)

Tìm các giá trị của

A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 )

m

m

đường thẳng

thỏa mãn

x1 y1 + x2 y2 = 0

( P ) : y = x2

a)

Vẽ đồ thị

b)

Viết phương trình đường thẳng

( d1 )

( d) : y =

Bài 4.

tiếp xúc

( P)

luôn cắt

tại hai điểm phân biệt.

( P)

tại hai điểm phân biệt


.

( d ) : y = 4x + 9

.

( d1 )

biết

( d1 )

song song với đường thẳng (d) và

( P) .

Oxy

, cho parabol

1
( P ) : y = x2
2

và đường thẳng

1
3
x+
4

2

a)

Vẽ đồ thị của

b)

Gọi
thức

d

luôn cắt

là tham số)

( P) .

TS LỚP 10 Cần Thơ 2017 - 2018
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Bài 3.

d

để đường thẳng

TS LỚP 10 Bình Dương 2017 - 2018
Cho Parabol

và đường thẳng

Bài 2.

(

d : y = ( 2m − 1) x − m + 2 m

A ( x1 ; y1 )

( P) .

và

x +x
T= 1 2
y1 + y2

B ( x2 ; y2 )

lần lượt là các giao điểm của

.

TS LỚP 10 Chuyên ĐHSP Hà Nội 2017 - 2018

( P)

với


( d)

. Tính giá trị biểu


TEACHER: NGUYEN
MATH 9: SCHOOL YEAR 2018-2019
NGOC SON

Cho parabol

( P ) : y = x2

a)

Tìm tọa độ giao điểm của

b)

Tìm tất cả các giá trị của
hoành độ

x1; x2

( d)

thỏa mãn

và


y = x2

x1 + x2 = 3

y = mx + 4

Khi

b)

Chứng minh rằng với mọi giá trị

( y ) +( y )
1

2

2

A1 ( x1; y1 )

và

m

.

( d)

cắt


( P)

taị hai điểm phân biệt có

m

là tham số.

, đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại

A2 ( x2; y2 ) .

thuộc

Tìm tất cả các giá trị của

m

sao cho

.
=7

2

Oxy

( P)


có hoành độ lần lượt là

a) Tìm tọa độ của hai điểm

A, B

c) Tính khoảng cách từ điểm

O

( P)

có phương trình

1
y = x2
2

x A = −1, xB = 2.

.

b) Viết phương trình đường thẳng

Bài 7.

là tham số )

.


TS LỚP 10 Phú Thọ 2017 - 2018
Trong mặt phẳng tọa độ
cho parabol

A, B

1
a=−
2

a

, tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số trên.

hai điểm phân biệt

2

(với

y = −2ax − 4a

để đường thẳng

a

a)

m=3


( d) :
khi

( P)

TS LỚP 10 Đà Nẵng 2017 - 2018
Cho hai hàm số
và
, với

Bài 5.

Bài 6.

và đường thẳng

( d)

đi qua hai điểm

A, B

.

(gốc tọa độ) tới đường thẳng

TS LỚP 10 Quãng Ngãi 2017 – 2018

( d)


.

và hai điểm


TEACHER: NGUYEN
MATH 9: SCHOOL YEAR 2018-2019
NGOC SON

Cho hàm số

có đồ thị là

y = x2

( P)

và hàm số

a)

Vẽ .. và

b)

Bằng phép tính, tìm tọa độ các giao điểm

( d)

trên cùng một mặt phẳng tọa độ


hơn hoành độ của

B

). Gọi

C

và

D

a)

Vẽ đồ thị

b)

Cho đường thẳng

( P)

đường thẳng

A, B

của

và


( P)

( d)

; (hoành độ của

A

và

A

B

nhỏ
trên

ABDC.

( P)

của hàm số.

y = mx + n ( ∆ )

y = −2 x + 5 ( d )

. Tìm


2

Vẽ đồ thị của

b)

Bằng phép tính, xác định tọa độ giao điểm
đoạn thẳng

( d)

( ∆)

song song với

( P)

.

.

trên cùng hệ trục tọa độ.

AB.

TS LỚP 10 HCM 2017 – 2018
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy.

để đường thẳng


( d ) : y = x +1

a)

( P)

và

m, n

và có duy nhất một điểm chung với đồ thị

TS LỚP 10 Tiền Giang 2017 – 2018
Cho parabol
và đường thẳng

( P) : y = 2x

Bài 10.

Oxy.

TS LỚP 10 Thừa Thiên Huế 2017 – 2018
Cho hàm số
có đồ thị
.
1
y = − x2
2


Bài 9.

( d).

lần lượt là hình chiếu vuông góc của

trục hoành, tính diện tích của tứ giác
Bài 8.

có đồ thị là

y = −x + 2

A

và

B

của

( P)

và

( d).

Tính độ dài



TEACHER: NGUYEN
MATH 9: SCHOOL YEAR 2018-2019
NGOC SON
a)

b)

Vẽ đồ thị

của hàm số:

( P)

y=

Cho đường thẳng

1 2
x
4

( D) : y = 3 x + m

đi qua điểm

C ( 6;7 ) .

Tìm tọa độ giao điểm của


2

( D)
Bài 11.

và

( P) .

TS LỚP 10 Yên Bái 2016 – 2017
Cho đường thẳng
có phương trình

( d)

và parabol

y = x+2

có phương trình

( P)

y = x2.
a)

Vẽ đường thẳng

b)


Đường thẳng

( d)

( d)

và parabol

cắt

( P)

( P)

trên cùng hệ trục tọa độ

tại hai điểm

và

A

B

(với

A

hoành độ dương). Bằng tính toán hãy tìm tọa độ các điểm
Bài 12.


TS LỚP 10 Đà Nẵng 2016 – 2017
Cho hai hàm số
và đồ thị hàm số
1
y = x2
2

a)

Vẽ đồ thị

b)

Gọi

A, B

( P)

y = x+4

.

có hoành độ âm,

A

và


có đồ thị

B

B

có

.

( d)

( P) .
là các giao điểm của hai đồ thị

( P)

trục tọa độ là xentimét, tìm tất cả các điểm
giác

và

Oxy

MAB

bằng

30


cm2.

và

M

( d).

Biết rằng đơn vị đo trên các

trên tia

Ox

sao cho diện tích tam


TEACHER: NGUYEN
MATH 9: SCHOOL YEAR 2018-2019
NGOC SON
a)

Vẽ đồ thị

( P ) : y = 1 x2
2

Bảng giá trị

b)


x

−2

−1

0

1

2

y

2

1
2

0

1
2

2

Xét phương trình hoành độ giao điểm của

( P)


và

( d)

là:

1 2
x = x + 4 ⇔ x2 − 2x − 8 = 0
2
∆′ = (−1) 2 − (−8) = 9 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
Với
Với
Gọi

x = −2

x=4

ta có

ta có

M ( m;0 )

x = 4; x = −2

y = 2 ⇒ A ( −2; 2 )

y = 8 ⇒ B ( 4;8 )

thuộc tia

Xét hai trường hợp:

Ox ( m > 0 ) .

Gọi

C ( –2;0 ) , D ( 4;0 ) .


TEACHER: NGUYEN
MATH 9: SCHOOL YEAR 2018-2019
NGOC SON

Trường hợp 1:
Có

ABDC

⇒
S ABDC =

Suy ra

Có

thuộc đoạn


là hình thang,

OD

: Ta có

S AMB = S ABDC − S ACM − S BDM

AC = 2cm, BD = 8cm, CD = 6cm

(2 + 8).6
= 30(cm 2 )
2

S AMB

< 30cm2 (loại)

Trường hợp 2:
Ta có :

M

M

thuộc tia

Dx ( M ≠ D ) ⇒ m > 4


S AMB = S ABDC − S ACM + S BDM

S ABCD = 30cm 2 , MC = m + 2 ( cm ) , MD = m – 4 ( cm )

1
1
SACM = AC .CM = .2.(m + 2) = m + 2(cm2)
2
2
1
1
SBDM = BD.DM = .8.(m- 4) = 4(m- 4)(cm2)
2
2
Þ SAMB = 30cm2 Û SACM = SBDM Û m + 2 = 4(m - 4) Û m = 6

Suy ra

(thỏa mãn)
Vậy
Bài 13.

M ( 6;0 )

là điểm cần tìm.

TS LỚP 10 Hà Nội 2016 – 2017
Trong mặt phẳng tọa độ
cho đường thẳng
Oxy


a)

Chứng minh

( d)

luôn cắt

( P)

( d ) : y = 3x + m –1

tại hai điểm phân biệt với mọi

và parabol

m

.

( P ) : y = x2


TEACHER: NGUYEN
MATH 9: SCHOOL YEAR 2018-2019
NGOC SON
b)

Gọi


x1 , x2

là hoành độ các giao điểm của

( d)

và

( P) .

Tìm

m

để

a )     ( x1 + 1) ( x2 + 1) = 1

Lời giải:
a)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của

( d)

và

( P) :


x 2 = 3 x + m 2 − 1 ⇔ x 2 − 3 x − m 2 + 1 = 0 ( *)

∆ = 9 + m 2 − 1 = 8 + m 2 > 0 ∀m

Suy ra phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi

( P)
b)

tại hai điểm phân biệt với mọi

Ta có:

m

m

hay

( d)

luôn cắt

.

( x1 + 1)( x2 + 1) = 1 ⇔ x1 x2 + ( x1 + x1 ) = 0

Áp dụng hệ thức Vi-et cho (*):

 x1 + x2 = 3


2
 x1 x2 = −m + 1

(**) ⇔ − m 2 + 1 + 3 = 0 ⇔ m 2 = 4 ⇔ m = ±2

Vậy
Bài 14.

m = ±2

.

TS LỚP 10 HCM 2016 – 2017
a) Vẽ đồ thị
của hàm số

( P)

y=−

2

x
4

và đường thẳng

( D) : y = x − 2
2


trên cùng một

hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.
Lời giải:
a) Vẽ đồ thị hai hàm số.
Bảng giá trị
x

−2

−1

0

1

2


TEACHER: NGUYEN
MATH 9: SCHOOL YEAR 2018-2019
NGOC SON

y=

− x2
4


y=

x
−2
2

−4

−1

−1

0
−2

0

Đồ thị

b)

Tìm tọa độ giao điểm của

( d)

và

( P)

bằng phép tính


Xét phương trình hoành độ giao điểm của

( d)

và

( P)

− x2 x
= − 2 ⇔ x2 + 2x − 8 = 0
4
2
′
∆ =9

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt:
Với
Với
Vậy
Bài 15.

x1 = 2

ta có

x2 = −4

( d)


cắt

( P)

x1 = 2; x2 = −4

y1 = −1, A ( 2; −1)

ta có

y2 = −4, A ( −4; −4 )

tại hai điểm phân biệt

TS LỚP 10 Bến Tre 2015 – 2016

−4

A ( 2; −1) ; B ( −4; −4 )

.


TEACHER: NGUYEN
MATH 9: SCHOOL YEAR 2018-2019
NGOC SON

Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy


cho parabol

( P ) : y = − x2

và đường thẳng

a)

Vẽ đồ thị Parabol

b)

Bằng phương pháp đại số, hãy tìm tọa độ giao điểm của

c)

Viết phương trình đường thẳng
chung với parabol

( d ) : y = 2x – 3

( P) .

( P)

( d1 )

( P)


và

song song với đường thẳng

tại điểm có hoành độ bằng

−1

( d).
( d)

và có điểm

.

Lời giải:
a)

Bảng một số giá trị của

( P) :

x

−2

−1

0


1

y = − x2

−4

−1

0

−1

b)

Phương trình hoành độ giao điểm của

( P)

2

và

−4

( d) :

− x2 = 2 x – 3 ⇔ x2 + 2 x – 3 = 0


TEACHER: NGUYEN

MATH 9: SCHOOL YEAR 2018-2019
NGOC SON

 x = 1 ⇒ y = −1
⇔
 y = −3 ⇒ y = −9

Vậy giao điểm của
c)

( P)

và

( d ) : ( 1; −1)

Phương trình đường thẳng

và

( −3; −9 )

có dạng:

( d1 )

y = ax + b

( d1 ) // ( d ) ⇒ a = 2 ⇒ y = 2 x + b ( b ≠ −3)
Gọi


( d1 )

A

có chung với

Vậy
Bài 16.

là điểm thuộc

( d1 )

( P)

có

( P)

điểm

có phương trình:

x A = −1 ⇒ y A = −1 ⇒ A ( −1; −1)

A ( −1; −1)

nên:


−1 = 2. ( −1) + b ⇔ b = 1

y = 2x +1

TS LỚP 10 Bình Dương 2015 – 2016
a) Vẽ đồ thị
hàm số

( P)

b)

Xác định

A

a, b

y=

x2
4

để đường thẳng

có hoành độ bằng

–3

y = ax + b


đi qua gốc tọa độ và cắt

.
Lời giải:

a)

Vẽ đồ thị (P) hàm số
y=

x2
4

( P)

tại điểm


TEACHER: NGUYEN
MATH 9: SCHOOL YEAR 2018-2019
NGOC SON

b)

Gọi
Vì

( d)


( d)

là đường thẳng có phương trình
đi qua gốc tọa độ

nên

O ( 0;0 )

b = 0.

Phương trình hoành độ giao điểm của

Vì

( d)

Vậy:

Bài 17.

cắt

tại điểm

( P)

A

y = ax + b.


( P)

có hoành độ là

và

−3

( d)

:

nên:

x2
=ax
4
9
−3
= a( −3) ⇔ a =
4
4

;

−3 b = 0
a=
4


TS LỚP 10 Bình Thuận 2015 – 2016
a) Vẽ đồ thị
của hàm số
.

( P)

y = x2

b) Chứng minh rằng đường thẳng

biệt với mọi

( d ) y = kx + 1

luôn cắt đồ thị

k.

Lời giải:
a) Vẽ đồ thị

( P)

của hàm số

y = x2

.


( P)

tại hai điểm phân


TEACHER: NGUYEN
MATH 9: SCHOOL YEAR 2018-2019
NGOC SON

b) PT hoành độ giao điểm của

( P)

và

( d)

x 2 = kx + 1 ⇔ x 2 − kx − 1 = 0
∆ = k2 + 4

Vì

k2 ≥ 0

Nên

với mọi giá trị

k +4>0
2


⇒∆>0

với mọi giá trị

với mọi giá trị

Vậy đường thẳng

Bài 18.

k
k

k

( d ) y = kx + 1

luôn cắt đồ thị

( P)

tại hai điểm phân biệt với mọi .
k

TS LỚP 10 Đà Nẵng 2015 – 2016
Cho hàm số
có đồ thị

( P)


y = x2

Vẽ đồ thị

a)

( P)

.

Cho các hàm số

b)

( d)

và

thị của

( dm ) .

y = x+2

và

y = −x + m

Tìm tất cả các giá trị của


( P) ,( d )

và

( dm )

(với

m

cùng đi qua một điểm.

Lập bảng giá trị và vẽ đồ thị:
x

0

1

2

y

0

1

4


y = x2

là tham số) lần lượt có đồ thị là

để trên một mặt phẳng tọa độ các đồ

Lời giải:
a)

m


TEACHER: NGUYEN
MATH 9: SCHOOL YEAR 2018-2019
NGOC SON

Phương trình hoành độ giao điểm của

b)

( P)

và

( d)

:

x2 = x + 2 ⇔ x2 − x − 2 = 0( * )


Phương trình (*) có dạng :

Ta có
Để

( d)

( P ) ,( d)

+ Với
+ Với

( P)

và

tại hai điểm

B( 2;4) ∈ ( dm )

m= 0

A( −1;1)

nên có 2 nghiệm :

và

, ta có :


, ta có :

hoặc

m= 6

thì

( P ) ,( d)

a)

Vẽ parabol

b)

Xác định toạ độ các giao điểm

và

( dm)

cùng đi qua một điểm.

( P ) : y = − x2

( P) .

trên


( P)

A, B

của đường thẳng

sao cho tam giác

MAB

Lời giải:
a)

Vẽ đồ thị

TXĐ:

D= ¡

B ∈ ( dm )

4 = −2 + m⇔ m= 6

Oxy

M

hoặc

A ∈ ( dm )


1= − ( −1) + m⇔ m= 0

TS LỚP 10 Khánh Hòa 2015 – 2016
Trong mặt phẳng toạ độ
, cho parabol

toạ điểm

 x1 = −1


−c
 x2 = a = 2

B( 2;4) .

cùng đi qua một điểm thì hoặc

( dm)

A( −1;1) ∈ ( dm )

Vậy khi
Bài 19.

cắt

a − b+ c = 0


( P ) : y = − x2

cân tại

( d) : y = − x − 2

M

.

và

( P) .

Tìm


TEACHER: NGUYEN
MATH 9: SCHOOL YEAR 2018-2019
NGOC SON

Tọa độ đỉnh:

I ( 0;0)

Trục đối xứng:

x= 0

Tính biến thiên:

Hàm số đồng biến trên

( −∞;0)

và nghịch biến trên

( 0;+∞ ) .

BBT:

Bảng giá trị

b)

x

−1

0

1

y

−1

0

−1


Viết phương trình đường trung trực
tìm được hai điểm

M.

( d′)

của

AB

, tìm giao điểm của

( d′ )

và

( P) ,

ta


TEACHER: NGUYEN
MATH 9: SCHOOL YEAR 2018-2019
NGOC SON

Hoành độ các giao điểm
phương trình:
+ Với


x = −1

+ Với

x= 2

, thay vào

Suy ra trung điểm của

Vì

( d′ )

Vậy

đi qua

( d′ )
I

( P) ,

( P) ,
AB

ta có:

ta có:
là:


y= − ( 2) = −4
2

, ta có:

, ta có:

và

( P)

là nghiệm của

x= 2
A( −1;−1)

B( 2;−4)

( d)

có dạng:

y = x + b;

.

( d′ )

và


x=

−1 − 13
−7 − 13
⇒y=
2
2

x=

−1 + 13
−7 + 13
⇒y=
2
2

Vậy có hai điểm

y= − ( −1) = −1
2

hoặc

2

−5 1
= + b ⇔ b = −3
2 2


Phương trình hoành độ của

+Với

( d) : y = − x –

 1 −5 
I ; ÷
2 2 

vuông góc với

nên:

( d′ ) : y = x − 3

+ Với

của đường thẳng

− x2 = − x − 2 ⇔ x2 − x − 2 = 0 ⇔ x = −1

, thay vào

Đường thẳng

A, B

M


cần tìm là:

( P)

là:

x2 + x − 3 = 0

 −1 − 13 −7 − 13 
;

÷
÷
2
2



và

⇔x=

−1 ± 13
2

.

 −1 + 13 −7 + 13 
;


÷
÷
2
2




TEACHER: NGUYEN
MATH 9: SCHOOL YEAR 2018-2019
NGOC SON

Bài 20.

TS LỚP 10 Kiên Giang 2015 – 2016
Cho parabol
:
và đường thẳng

( P)

1 2
x
2

c)

Vẽ

d)


Xác định đường thẳng

( P)

và

y=

trên cùng một hệ trục toạ độ.

a

và cắt parabol

a)

b)

( P)

Vì

Gọi

( d)

biết đường thẳng

( d)


tại điểm có hoành độ bằng

Parabol có đỉnh gốc
điểm

( a) : y = −2x + 1

O

song song với đường thẳng

−2

.

Lời giải:
đi qua hai điểm

A( −2;2) , B( 2;2) ,

C ( 1;−1) , D ( 0;1)

( d) // ( a)

N ( x0; y0 )

( khác )

⇒ ( d) : y = −2x + b b


là giao điểm của

( d)

1

và

( P)

N ∈ ( P ) => y0 = 2
N ∈ ( d ) ⇒ 2 = −2(−2) + b ⇒ b = −2(TM )

0,25

ta có

( a)

x0 = −2

đường thẳng đi qua hai


TEACHER: NGUYEN
MATH 9: SCHOOL YEAR 2018-2019
NGOC SON

Vậy

Bài 21.

( d) : y = −2x − 2

.

TS LỚP 10 Lạng Sơn 2015 – 2016
a) Vẽ đồ thị của các hàm số
và
y = x2

b)
a)

y = 3x − 2

trên cùng một hệ trục tọa độ

Xác định tọa độ các giao điểm của hai đồ thị trên.
Lời giải:
Vẽ đồ thị trên cùng một hệ trục

Vẽ

y = x2

x

−2


−1

0

1

2

y = x2

4

1

0

1

4

Vẽ

y = 3x − 2

Cho

x = 0 ⇒ y = −2

; cho


x = 1⇒ y = 1

Tính tọa độ giao điểm
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
b)

có

a + b + c = 1− 3+ 2 = 0

Tại

x=1

ta có

nên phương trình có nghiệm

, tọa độ thứ nhất là

y= 1

x2 = 3x − 2 ⇔ x2 − 3x + 2 = 0

( 1;1)

x1 = 1; x2 = 2


TEACHER: NGUYEN

MATH 9: SCHOOL YEAR 2018-2019
NGOC SON

Tại
Bài 22.

x= 2

ta có

y= 4

, tọa độ thứ 2 là

( 2;4)

TS LỚP 10 Long An 2015 – 2016
Cho các hàm số
và

( P ) : y = − x2

( d) : y = 2x − 3.

a)

Vẽ đồ thị của hai hàm số đã cho trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b)


Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị trên bằng phép tính .
Viết phương trình đường thẳng
, biết rằng

c)

( d1 ) : y = ax + b

( d1 )
a)

cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

−4

( d1 )

song song với

.

Lời giải:
Vẽ đồ thị của hai hàm số đã cho trên cùng một mặt phẳng tọa độ

Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị bằng phép tính.
Phương trình hoành độ giao điểm của
và
là:
b)


( P)

( d)

Oxy.

Oxy.

( d)

và


TEACHER: NGUYEN
MATH 9: SCHOOL YEAR 2018-2019
NGOC SON

− x2 = 2 x − 3 ⇔ x2 + 2 x − 3 = 0
⇔ x1 = 1; x2 = −3

* Với
* Với
c)

giao diểm thứ nhất là

x = 1⇒ y = −1⇒

x = −3⇒ y = −9 ⇒


giao diểm thứ hai là

Viết phương trình đường thẳng

( d1 )

( 1;−1)
( −3;−9)

( d1 ) : y = ax + b

cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

Đường thẳng

( d1 ) : y = ax + b

, biết rằng

−4

( d1 )

song song với

( d)

và

.


song song đường thẳng

( d) : y = 2x − 3

a = 3
⇔
b ≠ −3

⇒ Phương trình đường thẳng
Vì đường thẳng

⇒ b = −4

( d1 ) : y = 2x + b

( d1 ) : y = 2x + b
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

(thỏa mãn)

Suy ra phương trình đường thẳng
Bài 23.

( d1 )

là

y = 2x − 4.


TS LỚP 10 Thái Bình 2015 – 2016
Cho parabol
và điểm
thuộc

( P) : y = x

A, B

2

thẳng
e)

( d)

−4

có phương trình

Tìm toạ độ điểm

A, B

( P)

có hoành độ lần lượt là

y = mx + n.


. Tìm

m, n

biết

(d)

đi qua điểm

A

và

B

.

−1;2.

Đường


TEACHER: NGUYEN
MATH 9: SCHOOL YEAR 2018-2019
NGOC SON
f)

Tính độ dài đường cao


OH

của tam giác

OAB

(điểm

O

là gốc tọa độ).

Lời giải:
a)

Ta có:

A( x A ; y A ) ∈ ( P )

B ( xB ; y B ) ∈ ( P )

có hoành độ

có hoành độ

Vì đường thẳng

y = mx + n

1

1
1

x A = −1 ⇒ y A = .(−1) 2 = ⇒ A  −1; ÷
2
2
2


1
xB = 2 ⇒ yB = .22 = 2 => B ( 2; 2 )
2

đi qua 2 điểm

A

và

B

nên ta có hệ:

1

1
3
1
m=





−m + n =
3m =

m =
2
⇔
⇔
2⇔
2
2

 2m + n = 2
2m + n = 2
 2. 1 + n = 2
n = 1
 2

Vậy với

b)

Vẽ

1
m= , n = 1
2


( P)

Dễ thấy

và

( d)

( d)

cắt

thì

( d)

đi qua 2 điểm

1

A  −1; ÷; B ( 2; 2 )
2


trên cùng 1 hệ trục tạo độ như hình vẽ

Ox

tại


C ( −2;0)

và cắt

Oy

tại

D ( 0;1) ⇒ OC = 2;OD = 1


TEACHER: NGUYEN
MATH 9: SCHOOL YEAR 2018-2019
NGOC SON

Độ dài đường cao

OH

của tam giác

OAB

chính là độ dài đường cao

OH

của tam giác

OCD


Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

OCD

ta có:

1
1
1
1 1 5
=
+
= + =
2
2
2
OH
OC
OD
4 1 4
⇒ OH 2 =

4
2 5
⇒ OH =
(dvdt )
5
5


Vậy
OH =
Bài 24.

2 5
(dvdt )
5

TS LỚP 10 Thanh Hóa 2015 – 2016
Trong mặt phẳng tọa độ
cho đường thẳng
Oxy

a)

Tìm

b)

Tìm

m

m

để

( d)

đi qua điểm


để đường thẳng

lần lượt là

x1, x2

( d)

thỏa mãn:

cắt parabol

Lời giải:
vào phương trình đường thẳng

b)

Phương trình hoành độ giao điểm của

( d)

cắt parabol

( P)

tại hai điểm phân biệt có hoành độ

1 1
4  + ÷− x1 x2 + 3 = 0

 x1 x2 

Thay

Để

( P)

( P ) : y = x2

A( 0;1)

a)

x = 0; y = 1

( d) : y = x + m− 1

và parabol

( d)

và

.

( d)

( P)


ta được:

là:

m= 2

x2 − x − ( m− 1) = 0( * )

tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm

phân biệt
⇔ ∆ = 4m − 3 > 0 ⇔ m >

3
4


TEACHER: NGUYEN
MATH 9: SCHOOL YEAR 2018-2019
NGOC SON

Khi đó theo định lý Vi-ét ta có:

 x1 + x2 = 1

 x1 x2 = −( m − 1)

Theo đề bài:
1 1
x +x 

4  + ÷− x1 x2 + 3 = 0 ⇔ 4  1 2 ÷− x1 x2 + 3 = 0
 x1 x2 
 x1 x2 
4
⇔
+m+2 =0
−m + 1
⇔ m 2 + m − 6 = 0 ( DK : m ≠ 1)
 m = −3( L)
⇔
 m = 2(TM )

Vậy
Bài 25.

m= 2

là giá trị cần tìm.

TS LỚP 10 Tiền Giang 2015 – 2016
Cho parabol
và đường thẳng
(P): y = x2

g)

Vẽ đồ thị của

h)


Bằng phép tính, xác định tọa độ các giao điểm

i)

Tìm tọa độ điểm

( P)

và

(d): y = − x + 2

M

( d)

trên cùng mặt phẳng tọa độ.

trên cung

AB

của đồ thị

tích lớn nhất.
Lời giải:
a)

Vẽ đồ thị


( P)

và

( d)

như hình vẽ

A, B

( P)

của

( P)

và

( d) .

sao cho tam giác

AMB

có diện


TEACHER: NGUYEN
MATH 9: SCHOOL YEAR 2018-2019
NGOC SON


b)

Phương trình hoành độ giao điểm của

x2 = − x + 2 ⇔ x2 + x − 2 = 0 ⇔ x = 1

Nếu

x = −2

Nếu
c)

x=1

Gọi

thì

x = −2.

y = 1⇒ B( 1;1)

là điểm thuộc parabol

, kẻ

−2 < xM < 1
MH ⊥ AB


và

( P) ,

cung

AB

sao cho diện tích tam giác

tại

0 ≤ yM < 4

H

, ta có:

+ Phương trình đường thẳng
+ Phương trình đường thẳng
với

:

lớn nhất.

Điều kiện:

M


( d)

y= 4 ⇒ A( −2;4)

M ( xM ; yM )

AMB

Từ

thì

hoặc

và

( P)

AB : y = – x + 2.

MH

có dạng:

y = ax + b

. Đường thẳng này vuông góc

AB


Suy ra

a.( −1) = −1

. Suy ra:

, đường thẳng

a=1

MH

có phương trình

y = x+ b


TEACHER: NGUYEN
MATH 9: SCHOOL YEAR 2018-2019
NGOC SON

+ Phương trình hoành độ giao điểm giữa

( P)

và

MH : x2 = x + b ⇔ x2 − x − b = 0.


∆ = (−1) 2 − 4.1.(−b) = 1 + 4b
−1
∆ = 0 ⇔ 1 + 4b = 0 ⇔ b =
4

Do đó:

MH

có phương trình:
y = x−

1
4

+ phương trình hoành độ giao điểm giữa

Khi đó:

9 1 7
y= − =
8 4 8

và

AB

và

MH


:
x−

1
9
= −x + 2 ⇔ x =
4
8

9 7
H ; ÷
8 8

+ Phương trình hoành độ giao điểm giữa (P) và MH:
x2 = x −

phương trình có nghiệm kép:

Khi đó:

Vậy:

1 1 1 1
y = x− = − =
4 2 4 4

1
x=
2


1
1
<=> x 2 − x + = 0
4
4

(thỏa điều kiện)

(thỏa điều kiện)

1 1
M ; ÷
2 4

Khi đó:
2

2

25 5
1 9 1 7
MH = ( xM − xH ) 2 + ( yM − yH ) 2 =  − ÷ +  − ÷ =
=
2
32 8
2 8 4 8

AB = 32 + 32 = 3 2


Diện tích tam giác

Bài 26.

AMB

là

1
1
5
15
S AMB = . AB.MH = .3 2.
2 = (dvdt )
2
2
8
8

TS LỚP 10 Hà Nam 2015 – 2016


TEACHER: NGUYEN
MATH 9: SCHOOL YEAR 2018-2019
NGOC SON

Trong mặt phẳng tọa độ
(với

m


Oxy

cho Parabol

( P ) : y = − x2

và đường thẳng

( d) : y = 3mx − 3

là tham số).

a

Tìm

b

Xác định các giá trị của

m

để đường thẳng

( d)
m

đi qua điểm
để


cắt

( d)

tung độ của hai giao điểm đó bằng

( P)

A( 1;3) .

tại hai điểm phân biệt sao cho tổng 2

−10.

Lời giải:
a)

Đường thẳng

b)

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng

( d)

đi qua

A( 1;3)


nên

3 = 3m.1− 3 ⇔ m= 2.

( d)

và Parabol

( P)

là:

− x2 = 3mx − 3 ⇔ x2 + 3mx − 3 = 0( * )

Ta có

∆ = 9m2 + 12 > 0

Do đó, đường thẳng

, với mọi

( d)

m

nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

và Parabol


Theo định lý Vi-ét ta có:

( P)

cắt nhau tại hai điểm

( x1; y1 )

x1 + x2 = −3m; x1.x2 = −3.

Theo bài ra ta có:
y1 + y2 = −10 ⇔ − x12 − x2 2 = −10
⇔ ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 = 10
⇔ 9m 2 + 6 = 10
2
⇔m=±
3
Bài 27.

TS LỚP 10 Trà Vinh 2015 – 2016
Cho hai hàm số
và
có đồ thị lần lượt là
y = 2x + 3

y = x2

( d)

và


( P)

và

( x2; y2 ) .