CHUYÊN ĐỀ 5
TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
I.TRỤC TỌA ĐỘ:
1. Định nghĩa: Trục tọa độ (Trục , hay trục số ) là một đường thẳng trên đó ta đã xác định
r

r

r

i i ( tức là i = 1)
một điểm O và một vectơ đơn vị

Hình 1.30

r

Điểm O được gọi là gốc tọa độ , vec tơ i được gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ. Kí hiệu
r

(O ; i ) hay x 'Ox hoặc đơn giản là Ox
2. Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục:
ur
r
r
ur
+ Cho vec tơ u nằm trên trục (O ; i ) thì có số thực a sao cho u = a i với a �R . Số a như
uu
r
r

u
i
thế được gọi là tọa độ của vectơ đối với trục (O ; )
r

uuur

ur

+ Cho điểm M nằm trên (O ; i ) thì có số m sao cho OM = mi . Số m như thế được gọi là
r
tọa độ của điểm M đối với trục (O ; i )
uuur

Như vậy tọa độ điểm M là trọa độ vectơ OM
3. Độ dài đại số của vec tơ trên trục :

uuur

Cho hai điểm A, B nằm trên trục Ox thì tọa độ của vectơ AB kí hiệu là AB và gọi là độ
uuur

dài đại số của vectơ AB trên trục Ox
uuur

r

Như vậy AB = AB .i
Tính chất :
+ AB = - BA

uuur

uuu
r

+ AB = CD � AB = CD
ur
+ " A;B ;C �(O ; i ) : AB + BC = AC

Hình 1.31

Trang 1


II. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1. Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục vuông góc Ox và Oy với hai vectơ đơn vị lần
rr

lượt là i , j . Điểm O gọi là gốc tọa độ, Ox gọi là trục hoành và Oy gọi là trục tung.
rr

Kí hiệu Oxy hay ( O; i , j )
2. Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ .
rr

r

r

r


+ Trong hệ trục tọa độ ( O; i , j ) nếu u = xi + yj thì cặp số ( x; y ) được gọi là tọa độ của
r

r

r

vectơ u , kí hiệu là u = ( x; y ) hay u( x; y ) .
r

x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của vectơ u
rr

uuur

+ Trong hệ trục tọa độ ( O; i , j ) , tọa độ của vectơ OM gọi là tọa độ của điểm M, kí hiệu là
M = ( x;y ) hay M ( x; y ) . x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của điểm M.

Nhận xét: (hình 1.31) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox và Oy thì
uuur
r
r uuur uuur
M ( x; y ) � OM = xi + yj = OH +OK
uuur
r uuur
r
Như vậy OH = xi , OK = yj hay x = OH , y = OK

3. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác.

+ Cho A(xA ;yA ), B (xB ;yB ) và M là trung điểm AB. Tọa độ trung điểm M ( xM ; yM ) của
đoạn thẳng AB là xM =

xA + xB
y + yB
, yM = A
2
2

+ Cho tam giác ABC có A(xA ;yA ), B (xB ;yB ), C ( xC ;yC ) . Tọa độ trọng tâm G ( xG ; yG ) của
tam giác ABC là xG =

xA + xB + xC
3

và yG =

yA + yB + yC
2

4. Biểu thứ tọa độ của các phép toán vectơ.
r

ur

Cho u = (x;y) ; u ' = (x ';y ') và số thực k. Khi đó ta có :
r
ur
1) u = u ' �
r


x = x'
�
�
�
�
�y = y '

r

2) u �v = (x �x ';y �y ')
r

3) k.u = (kx;ky)

Trang 2


ur
r r
r
4) u' cùng phương u ( u � 0 ) khi và chỉ khi có số k sao cho

�x ' = kx
�
�
�
�y ' = ky

uuur


5) Cho A(xA ;yA ), B(xB ;yB ) thì AB = ( xB - xA ; yB - yA )

Câu 1:

Trong mặt phẳng Oxy , cho A  xA ; y A  và B  xB ; yB  . Tọa độ trung

điểm I của đoạn thẳng AB là:
x  xB y A  y B �
;
�.
2 �
�x  x y  y �
B. I � A B ; A B �.
2 �
� 2
�x  x y  y �
C. I � A B ; A B �.
3 �
� 3
�x  y x  y �
D. I � A A ; B B �.
2 �
� 2
�
A. I � A
� 2

Lời giải
Chọn B

Ta có: I là trung điểm của đoạn thẳng
� x A  xB
x 
uur uur
�
x

x

x

x
�I
�I
A
B
I
2
AB � AI  IB � �
��
�yI  y A  yB  yI
�y  y A  yB
�I
2
�x  x y  y �
Vậy I � A B ; A B �.
2 �
� 2
r
r

r r
Câu 2:
Cho các vectơ u   u1 ; u2  , v   v1; v2  . Điều kiện để vectơ u  v là
u1  u2
�

u1  v1
�

A. �
.
v1  v2
�

B. �
.
u2  v2
�

u1  v1
�

C. �
.
u2  v2
�
Lời giải

u1  v2
�


D. �
.
u2  v1
�

Chọn C
r r

u  v1
�
.
u2  v2
�

1
Ta có: u  v � �

Câu 3:

Trong mặt phẳng Oxy , cho A  xA ; y A  và B  xB ; yB  . Tọa độ của vectơ

uuu
r
là
AB u
uu
r
A. AB   y A  x A ; yB  xB  .
uuur

C. AB   xA  xB ; y A  yB  .

uuu
r

B. AB   x A  xB ; y A  yB  .
uuur
D. AB   xB  x A ; yB  y A  .
Lời giải

Chọn D
uuu
r
Theo công thức tọa độ vectơ AB   xB  xA ; yB  y A  .

Trang 3


Câu 4:

Trong mặt phẳng Oxy , cho A  xA ; y A  , B  xB ; yB  và C  xC ; yC  . Tọa độ

trọng tâm G của tam giác ABC là:
x  xB  xC y A  yB  yC �
;
�.
3
3
�
�

�x  x  x y  y  y �
C. G � A B C ; A B C �.
3
3
�
�
�
A. G � A

x  xB  xC y A  yB  yC �
;
�.
3
2
�
�
�x  x  x y  y  y �
D. G � A B C ; A B C �.
2
3
�
�
�
B. G � A

Lời giải
Chọn C
uuu
r uuu
r uuur

uuur
Ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC � OA  OB  OC  3OG với O là
điểm bất kì.
Chọn O chính là gốc tọa độ O . Khi đó, ta có:
x A  xB  xC
�
x

G
�
uuu
r uuu
r uuur
uuur
�x A  xB  xC  3 xG
�
3
OA  OB  OC  3OG � �
��
y

y

y

3
y
y

y

B
C
G
B  yC
�A
�y  A
G
�
3

�x  x  x y  y B  yC �
� G �A B C ; A
�.
3
3
�
�

Câu 5:
Mệnh đề nào
sau
r
A. Hai vectơ u   2; 1
r
B. Hai vectơ u   2; 1
r
C. Hai vectơ u   2; 1
r
D. Hai vectơ u   2; 1


đây
đúng?
r
và v   1; 2  đối nhau.
r
và v   2; 1 đối nhau.
r
và v   2;1 đối nhau.
r
và v   2;1 đối nhau.
Lời giải

Chọn C
r
r
r
r
Ta có: u   2; 1    2;1  v � u và v đối nhau.
Câu 6:

rr

r r

Trong hệ trục  O; i; j  , tọa độ của vec tơ i  j là:

A.  1;1 .

B.  1;0  .


C.  0;1 .
Lời giải

D.  1;1 .

Chọn D
r r
Ta có: i  j   1;0    0;1   1;1 .
Câu 7:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A  5; 2  , B  10;8  . Tọa độ của vec
uuu
r

tơ AB là:
A.  2; 4  .

B.  5;6  .

C.  15;10  .
Lời giải

D.  50;6  .

Chọn B
uuu
r
Ta có: AB   10  5;8  2    5;6  .
Câu 8:
Cho hai điểm A  1;0  và B  0; 2  . Tọa độ trung điểm của đoạn
thẳng AB là:

�1
�

�
�

A. � ; 1�.
2

� 1�
B. �1; �.
� 2�

�1
�

�
�

C. � ; 2 �.
2

D.  1; 1 .
Trang 4


Lời giải
Chọn A
Ta có: Trung điểm của đoạn thẳng AB là:
1  0 0  (2) � �1

�x  x y  yB � �
�
I  �A B ; A
� � ;
� � ; 1�.
2 � �2
2 � �2
� 2
�
Câu 9:
Cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O , hai đỉnh A và

B có tọa độ là A  2; 2  ; B  3;5  . Tọa độ của đỉnh C là:
A.  1; 7  .
B.  1; 7  .
C.  3; 5 .
D.  2; 2  .

Lời giải
Chọn B
x A  xB  xC
�
� 2  3  xC
x

0
O
�
�
�xC  1

�
�
3
3
��
��
Ta có: �
.
2  5  yC
yC  7
�
�y  y A  y B  yC
�
0
�O
�
3
3
r
Câu 10: Vectơ a   4;0  được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế

nào?
r
r r
A. a  4i  j .

r

r


r

r

r

B. a  i  4 j .
C. a  4 j .
Lời giải

r

r

D. a  4i .

Chọn D
r
r
r r
r
Ta có: a   4;0  � a  4i  0 j  4i .
Câu 11: Cho hai điểm A  1;0  và B  0; 2  .Tọa độ điểm D sao cho
uuur
uuu
r
AD  3 AB là:
A.  4; 6  .

B.  2;0  .


Chọn D

C.  0; 4  .
Lời giải

D.  4;6  .

�
�xD  4
�xD  1  3  0  1
��
��
.
�yD  6
�yD  y A  3  yB  y A 
�y D  0  3  2  0 
r
r
r
r
Cho a   5;0  , b   4; x  . Haivec tơ a và b cùng phương nếu số x
uuur

uuu
r

�x  x A  3  xB  x A 

�D

Ta có: AD  3 AB � �

Câu 12:

là:
A. 5 .

B. 4 .

C. 1 .
Lời giải

D. 0 .

Chọn D
r
r
r
r
Ta có: a rvà b cùng
phương
khi
a  k .b � x  0 .
r
r r
Câu 13: Cho a   1; 2  , b   5; 7  . Tọa độ của vec tơ a  b là:
A.  6; 9  .
B.  4; 5  .
C.  6;9  .
D.  5; 14  .

Lời giải
Chọn C
r r
Ta có: a  b   1  5; 2  7    6;9  .

Trang 5


uuur

Câu 14: Cho hình chữ nhật ABCD có AB  3, BC  4 . Độ dài của vec tơ AC
là:
A. 9.

B. 5.

C. 6.
Lời giải

D. 7.

Chọn B
uuur
Ta có: AC  AC  AB 2  BC 2  32  42  5 .

uuu
r

Câu 15: Cho hai điểm A  1;0  và B  0; 2  . Vec tơ đối của vectơ AB có tọa
độ là:

A.  1; 2  .

B.  1; 2  .

C.  1; 2  .
Lời giải

D.  1; 2  .

Chọn B
uuu
r
uuu
r
Ta có vectơ đối của AB là BA   0  1; 2  0    1; 2  .
r
r
r r
Câu 16: Cho a   3; 4  , b   1; 2  . Tọa độ của vec tơ a  b là:
A.  2; 2  .
B.  4; 6  .
C.  3; 8 .
D.  4;6  .
Lời giải
Chọn A
r r
Ta có: a  b   3  (1);(4)  2    2; 2  .
Câu 17: Khẳng địnhr nào trongr các khẳng định sau là đúng?
A. Hai vec tơ u   4; 2  và v   8;3 cùng phương.
r

r
B. Hai vec tơ a   5; 0  và b   4;0  cùng hướng.
r
r
C. Hai vec tơ a   6;3 và b   2;1 ngượchướng.
r
ur
D. Vec tơ c   7;3 là vec tơ đối của d   7;3 .
Lời giải
Chọn B
r

r
r
5r
r4
r
r
r
r r
Câu 18: Cho a   x; 2  , b   5;1 , c   x;7  . Vec tơ c  2a  3b nếu:
A. x  3 .
B. x  15 .
C. x  15 .
D. x  5 .

Ta có: a  b suy ra a cùng hướng với b .

Lời giải
Chọn C

r

r

r

�x  2 x  3.  5 

�
Ta có: c  2a  3b � �

� x  15 .
7  2.2  3.1
�
r
r
r
r
r
r r
Câu 19: Cho a  (0,1) , b  (1; 2) , c  (3; 2) .Tọa độ của u  3a  2b  4c :
A.  10; 15 .
B.  15;10  .
C.  10;15  .
D.  10;15 .

Lời giải
Chọn C
r
r

r r
Ta có: u  3a  2b  4c   3.0  2.(1)  4.(3);3.1  2.2  4.(2)    10;15  .
uuur uuur uuur r
Câu 20: Cho A  0;3 , B  4; 2  . Điểm D thỏa OD  2 DA  2 DB  0 , tọa độ D là:
A.  3;3 .

B.  8; 2  .

C.  8; 2  .

5

� �
D. �2; �.
2
�

�

Lời giải
Trang 6


Chọn B
uuur

uuur

uuur


r

�x  0  2  0  xD   2  4  xD   0

�xD  8
��
.
0
�yD  2

�D
Ta có: OD  2 DA  2 DB  0 � �

Câu 21:

�y D  0  2  3  y D   2  2  y D 
Tam giác ABC có C  2; 4  , trọng tâm G  0; 4  , trung điểm cạnh

BC là M  2;0  . Tọa độ A và B là:
A. A  4;12  , B  4;6  .

C. A  4;12  , B  6; 4  .

B. A  4; 12  , B  6; 4  .
D. A  4; 12  , B  6; 4  .
Lời giải

Chọn C
� xB  (2)
2

�
�xB  6
�
2
��
� B  6; 4 
Ta có: M  2; 0  là trung điểm BC nên �
yB  (4)
yB  4
�
�
0
�
2
G  0; 4  là trọng tâm tam giác ABC nên

� x A  6  (2)
0
�
�x A  4
�
3
��
� A  4;12  .
�
y A  4  (4)
y A  12
�
�
4

�
3
r r r
r r r
Câu 22: Cho a  3i  4 j và b  i  j . Tìm phát biểu sai:
uu
r
uu
r
r r
A. a  5 .
B. b  0 .
C. a  b   2; 3 .

r

D. b  2 .

Lời giải
Chọn B
r r r r
r
r r r
r
Ta có: a  3i  4 j � a  3; 4  , b  i  j � b  1; 1 � b  2 .
Câu 23: Cho A  1; 2  , B  2;6  . Điểm M trên trục Oy sao cho ba điểm A, B, M
thẳng hàng thì tọa độ điểm M là:
A.  0;10  .
B.  0; 10  .
C.  10;0  .

D.  10; 0  .
Lời giải
Chọn A
Ta có: M trên trục Oy � M  0; y 
uuu
r
uuuu
r
A, B, M thẳng hàng khi AB cùng phương với AM
Ba điểm
uuu
r
uuuu
r
uuu
r
Ta có AB   3; 4  , AM   1; y  2  . Do đó, AB cùng phương với
uuuu
r
1 y  2
AM �

� y  10 . Vậy M  0;10  .
3
4
Câu 24: Cho 4 điểm A  1; 2  , B  0;3 , C  3; 4  , D  1;8  . Ba điểm nào trong 4

điểm đã cho là thẳng hàng?
A. A, B, C .
B. B, C , D .


C. A, B, D .
Lời giải

D. A, C , D .

Chọn C
Trang 7


uuur

uuu
r

uuur

uuu
r

Ta có: AD  2;10  , AB  1;5  � AD  2 AB � 3 điểm A, B, D thẳng hàng.
Câu 25: Trong mặt phẳng Oxy , cho B  5; 4  , C  3;7  . Tọa độ của điểm E đối
xứng với C qua B là
A. E  1;18 .
B. E  7;15  .

C. E  7; 1 .
Lời giải

D. E  7; 15 .


Chọn D
Ta có: E đối xứng với C qua B � B là trung điểm đoạn thẳng EC
� xE  3
5
�
�xE  7
�
2
��
� E  7; 15 .
Do đó, ta có: �
yE  7
y E  15
�
�
4 
�
2
Câu 26: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A  1;3 , B  4;0  . Tọa độ điểm
uuuu
r uuu
r r
M thỏa 3 AM  AB  0 là
A. M  4; 0  .
B. M  5;3 .
C. M  0; 4  .
D. M  0; 4  .

Lời giải

Chọn C
uuuu
r uuu
r r

3  xM  1   4  1  0
�

�xM  0
��
� M  0; 4  .
3  yM  3   0  3   0
�yM  4
�
Câu 27: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A  3;3 , B  1; 4  , C  2; 5  . Tọa
uuur uuur
uuuu
r
độ điểm M thỏa mãn 2MA  BC  4CM là:
�1 5 �
� 1 5�
�1 5 �
�5 1 �
A. M � ; �.
B. M � ;  �.
C. M � ;  �.
D. M � ;  �.
�6 6 �
� 6 6�
�6 6 �

�6 6 �
�
Ta có: 3 AM  AB  0 � �

Lời giải
Chọn C
1
�
xM 
uuur uuur
uuuu
r
�
2

3

x

2

1

4
x

2
�







M
M
�
�
�1 5 �
6
��
� M � ; �
Ta có: 2MA  BC  4CM � �
2  3  yM    5  4   4  yM  5 
�6 6 �
�y   5
�
M
�
6

.
Câu 28: Trong

mặt

phẳng

tọa


độ

Oxy

cho

bốn

điểm

A  3; 2  , B  7;1 , C  0;1 , D  8; 5  . Khẳng định nào sau đây là đúng?
uuu
r uuur
uuu
r uuur
A. AB, CD đối nhau.
B. AB, CD cùng

phương
nhưng ngược hướng.
uuu
r uuur
C. AB, CD cùng phương cùng hướng.

D. A, B, C, D

thẳng hàng.
Lời giải
Chọn B
uuur

uuur
uuur
uuur
Ta có: AB   4;3 , CD   8; 6  � CD  2 AB .

Trang 8


Câu 29: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A  1;3 , B  4;0  , C  2; 5  . Tọa độ
uuur uuur

uuuu
r r

điểm M thỏa mãn MA  MB  3MC  0 là
A. M  1;18  .
B. M  1;18 .
C. M  18;1 .
Lời giải
Chọn D
uuur uuur

uuuu
r r

�
 1  xM    4  xM   3  2  xM   0

�xM  1
��

.
0
�yM  18

�
Ta có: MA  MB  3MC  0 � �

Câu 30:

D. M  1; 18  .

 3  y M    0  y M   3  5  y M 
�
Trong mặt phẳng Oxy , cho A  2;0  , B  5; 4  , C  5;1 . Tọa độ điểm

D để tứ giác BCAD là hình bình hành là:
A. D  8; 5  .
B. D  8;5 .
C. D  8;5  .

D. D  8; 5 .

Lời giải
Chọn D
Ta có: tứ giác BCAD là hình bình hành khi
uuur uuu
r
5  5  2  xD
�
�x  8

BC  DA � �
� �D
.
1  4  0  yD
�
�y D  5
Câu 31: Trong mặt phẳng Oxy , cho A  2; 4  , B  1; 4  , C  5;1 . Tọa độ điểm D

để tứ giác ABCD là hình bình hành là:
A. D  8;1 .
B. D  6; 7  .
C. D  2;1 .
Lời giải
Chọn C
Ta có: tứ giác ABCD là hình bình hành khi

D. D  8;1 .

uuu
r uuur
1  2  5  xD
�
�x  2
AB  DC � �
� �D
.
4  4  1  yD
�
�yD  1
Câu 32: Trong mặt phẳng Oxy , gọi B ', B '' và B ''' lần lượt là điểm đối xứng


của B  2;7  qua trục Ox , Oy và qua gốc tọa độ O . Tọa độ của các
điểm B ', B '' và B ''' là:
A. B '  2; 7  , B"  2;7  và B"'  2; 7  .
B. B '  7; 2  , B"  2;7  và B"'  2; 7  .
C. B '  2; 7  , B"  2;7  và B"'  7; 2  .
D. B '  2; 7  , B"  7; 2  và B"'  2; 7  .
Lời giải
Chọn A
Ta có: B ' đối xứng với B  2;7  qua trục Ox � B '  2; 7 
B '' đối xứng với B  2;7  qua trục Oy � B ''  2;7 
B ''' đối xứng với B  2; 7  qua gốc tọa độ O � B '''  2; 7  .
Câu 33: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A  0; 2  , B  1; 4  . Tìm tọa độ
uuuu
r

uuu
r

điểm M thỏa mãn AM  2 AB là:
A. M  2; 2  .
B. M  1; 4  .

C. M  3;5  .

D. M  0; 2  .

Trang 9



Lời giải
Chọn A
uuuu
r

uuu
r

�x  0  2  1  0 

�xM  2
��
� M  2; 2  .
�yM  2
�yM  2  2  4  2 
r
r
r r
r
Câu 34: Cho a   4, 1 và b   3,  2  . Tọa độ c  a  2b là:
r
r
r
r
A. c   1;  3 .
B. c   2;5  .
C. c   7; 1 .
D. c   10; 3 .
�M
Ta có: AM  2 AB � �


Lời giải
Chọn B
r r
r
Ta có: c  a  2b   4  2.(3);1  2.(2)    2;5  .
r
r
r r
Câu 35: Cho a  (2016 2015;0), b  (4; x) . Hai vectơ a, b cùng phương nếu
A. x  504 .
B. x  0 .
C. x  504 .
D. x  2017 .
Lời giải
Chọn B
r r
r
r
Ta có: a, b cùng phương � a  k .b � x  0 .
r

7

uuu
r

�
�
Câu 36: Trong mặt phẳng Oxy , Cho A � ; 3 �; B(2;5) . Khi đó a  4 AB  ?

2
r
A. a   22; 32  .

�

r
B. a   22;32  .

�
r
C. a   22;32  .

r

11

�
�
D. a  � ;8 �.
�2
�

Lời giải
Chọn A
r

uuu
r


7
2

�
�
Ta có: a  4 AB  4 �2  ;5  3 �  22; 32  .
�

�

r

r

r

r

Câu 37: Trong mặt phẳng Oxy , cho a  (m  2; 2n  1), b   3; 2  . Nếu a  b thì
A. m  5, n  3 .

3
2

B. m  5, n   .

C. m  5, n  2 .

D. m  5, n  2 .


Lời giải
Chọn B

m5
�
r r
m23
�
�
��
Ta có: a  b � �
3.
2n  1  2
n
�
�
�
2
Câu 38: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A(2; 1) . Điểm B là điểm đối

xứng của A qua trục hoành. Tọa độ điểm B là:
A. B (2;1) .
B. B(2; 1) .
C. B (1; 2) .

D. B(1; 2) .

Lời giải
Chọn A
Ta có: B là điểm đối xứng của A qua trục hoành � B  2;1 .


Trang 10


r

ur

r

Câu 39: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho a  (2;1), b  (3; 4), c  (7; 2) . Cho biết
r
r
r
c  m.a  n.b . Khi đó
22
3
1
3
A. m   ; n  . B. m  ; n  .
5
5
5
5

C. m 

22
3
;n 

.
5
5

D. m 

22
3
;n  .
5
5

Lời giải
Chọn C
� 22
m
r
r
r
�
7  2m  3n
�
�
5
c

m
.
a


n
.
b
�
�
Ta có:
.
�
�
�2  m  4n
�n   3
�
5
r
r
r
r
Câu 40: Cho các vectơ a   4; 2  , b   1; 1 , c   2;5  . Phân tích vectơ b theo
r
r
hai vectơ a và c , ta được:
r
r 1r 1r
r
r
1r 1r
1r r
1r 1r
A. b   a  c .
B. b  a  c .

C. b   a  4c . D. b   a  c .
8
4
8
4
2
8
4

Lời giải
Chọn A
1
�
m
r
r
r
�
r
1  4 m  2 n
�
1r 1r
�
8
��
Giả sử b  ma  nc � �
. Vậy b   a  c .
1   2 m  5 n
1
8

4
�
�
n
�
4
r
r � 1�r
r uur r
Câu 41: Cho a  ( x; 2), b  �5; �, c   x; 7  . Vectơ c  4a  3b nếu
� 3�
A. x  15 .
B. x  3 .
C. x  15 .
D. x  5 .

Lời giải
Chọn D
�x  4 x  3.(5)
r uur r
�
Ta có: c  4a  3b � �
1 � x  5 .
7  4.2  3.
�
3
�

Câu 42: Trong mặt phẳng Oxy , cho A  m  1; 1 , B  2; 2  2m  , C  m  3;3 . Tìm giá
trị m để A, B, C là ba điểm thẳng hàng?

A. m  2 .
B. m  0 .
C. m  3 .

D. m  1 .

Lời giải
Chọn B
uuur
uuur
Ta có: AB   3  m;3  2m  , AC   4; 4 
uuur
uuu
r
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB cùng phương với AC

3  m 3  2m

� m  0.
4
4
Cho hai điểm M  8; 1 , N  3; 2  . Nếu P là điểm đối xứng với điểm
�

Câu 43:

M qua điểm N thì P có tọa độ là:

Trang 11



A.  2;5 .

B.  13; 3 .

C.  11; 1 .

11 1 �
�

D. � ; �.
�2 2 �

Lời giải
Chọn A
Ta có: P là điểm đối xứng với điểm M qua điểm N nên N là
trung điểm đoạn thẳng PM
� 8  xP
3
�
�xP  2
�
2
��
� P  2;5  .
Do đó, ta có: �
(

1)


y
y

5
P
�
P
�
2
�
2
Câu 44: Cho tam giác ABC với A  3; 1 , B  4; 2  , C  4;3 . Tìm D để ABDC là

hình bình hành?
A. D  3;6  .
B. D  3;6  .

C. D  3; 6  .

D. D  3; 6  .

Lời giải
Chọn B
Ta có: ABDC là hình bình hành
uuu
r uuur
4  3  x D  4
�
�x  3
� AB  CD � �

� �D
� D  3; 6  .
2  1  yD  3
�
�yD  6

Câu 45: Cho K  1; 3 . Điểm A �Ox, B �Oy sao cho A là trung điểm KB . Tọa
độ điểm B là:
A.  0;3 .

�1
�

�
�

C.  0; 2  .

B. � ;0 �.
3

D.  4; 2  .

Lời giải
Chọn A
Ta có: A �Ox, B �Oy � A  x;0  , B  0; y 
� 1 0
x
� 1
�

�
�x 
2
� � 2 .Vậy B  0;3 .
A là trung điểm KB � �
3  y
�
�y  3
0
�
�
2
Câu 46: Cho tam giác ABC với A  3;1 , B  4; 2  , C  4; 3  . Tìm D để ABCD là

hình bình hành?
A. D  3; 4  .
B. D  3; 4  .

C. D  3; 4  .

D. D  3; 4  .

Lời giải
Chọn B
Ta có: ABCD là hình bình hành
uuu
r uuur
4  3  4  xD
�
�xD  3

� AB  DC � �
��
� D  3; 4  .
2  1  3  y D
�
�yD  4
Trang 12


Câu 47: Cho M  2;0  , N  2; 2  , P  1;3

lần lượt là trung điểm các cạnh

BC , CA, AB của ABC . Tọa độ B là:
A.  1;1 .
B.  1; 1 .
C.  1;1 .

D.  1; 1 .

Lời giải
Chọn C

Ta có: BPNM là hình bình hành nên
�xB  xN  xP  xM
�xB  2  2  (1)
�xB  1
��
��
.

�
�yB  2  0  3
�yB  1
�yB  yN  yP  yM
Câu 48: Các điểm M  2;3 , N  0; 4  , P  1;6  lần lượt là trung điểm các

cạnh BC , CA , AB của tam giác ABC . Tọa độ đỉnh A của tam giác
là:
A.  1; 10  .

B.  1;5  .

C.  3; 1 .
Lời giải

D.  2; 7  .

Chọn C

Ta có: APMN là hình bình hành nên
�x A  xM  xP  xN
�x  2  0  (1)
�x  3
� �A
� �A
.
�
�y A  3  (4)  6
�y A  1
�y A  yM  yP  yN

Câu 49: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,

cho tam giác

MNP

có

M  1; 1 , N  5; 3 và P thuộc trục Oy ,trọng tâm G của tam giác nằm

trên trục Ox .Toạ độ của điểm P là
A.  0; 4  .
B.  2;0  .
C.  2; 4  .
D.  0; 2  .
Lời giải
Chọn A
Ta có: P thuộc trục Oy � P  0; y  , G nằm trên trục Ox � G  x;0 

Trang 13


� 1 5  0
x
�
�x  2
�
3
��
G là trọng tâm tam giác MNP nên ta có: �

( 1)  (3)  y
�y  4
�
0
�
3
Vậy P  0; 4  .

Câu 50: Cho các điểm A  2;1 , B  4;0  , C  2;3 . Tìm điểm M
uuuu
r uuur
uuu
r
CM  3 AC  2 AB
A. M  2; 5  .

B. M  5; 2  .

C. M  5; 2  .

biết rằng

D. M  2;5  .

Lời giải
Chọn A
uuuu
r

uuur


uuu
r

�x  2  3  2  2   2  4  2 

�M
Ta có: CM  3 AC  2 AB � �

�yM  3  3  3  1  2  0  1

�xM  2
��
� M  2; 5 
y


5
�M

Trang 14