A. Chủ đề 1. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC ĐƯỜNG TRONG BÀI TOÁN TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM.
 Phương trình đường thẳng.
ur r
ur
• Véctơ n =/ 0 được gọi là véctơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu giá của véctơ n vuông góc với ∆.
u
r r
ur
• Véctơ u =/ 0 được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của véctơ u song song hoặc
•

trùng với ∆.
ur
Đường thẳng ∆ đi qua M ( x0 ; y0 ) nhận véctơ n ( A; B ) làm

•

véctơ pháp tuyến có phương trình ∆ : Ax + By = Ax0 + By0 gọi là
phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ .
u
r
Đường thẳng ∆ đi qua M ( x0 ; y0 ) nhận véctơ u ( a; b) làm véctơ

•

 x = x0 + at
( t ∈ R ) gọi là phương
chỉ phương có phương trình 
 y = y0 + bt
trình tham số của đường thẳng ∆ .

∆1 : a1 x + b1 y + c1 = 0
Cho
hai
đường
thẳng
và
∆2 : a2 + b2 y + c2 = 0 . Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng ∆1
 a1 x + b1 y + c1 = 0

( 1)
 a2 x + b2 y + c2 = 0.
Nếu hệ (1) có nghiệm duy nhất ( x0 ; y0 ) thì hai đường thẳng cắt nhau tại A ( x0 ; y0 ) .

và ∆ 2 là nghiệm của hệ phương trình 




Nếu hệ (1) vô số nghiệm thì hai đường thẳng trùng nhau.
Nếu hệ (1) vô nghiệm thì hai đường thẳng song song với nhau.

 Phương trình đường tròn.
• Đường tròn ( C ) tâm I ( a;b)
•

( x − a)

2

Cho


đường

bán kính R > 0 có phương trình

+ ( y − b) = R 2 .

( C ) : ( x − a)

2

2

∆ : Ax + By + C = 0

thẳng

và

( x − a) 2 + ( y − b) 2 = R 2


 Ax + B y + C = 0




tròn

+ ( y − b) = R 2. Tọa độ giao điểm của ∆ và ( C ) là


nghiệm của hệ phương trình 


đường

2

( 2)

Nếu hệ (2) có hai nghiệm phân biệt thì ∆ cắt (C) tại hai
điểm khác nhau.
Nếu hệ (2) có nghiệm kép thì ∆ tiếp xúc với (C).
Nếu hệ (2) vô nghiệm thì ∆ không cắt ( C ) .

1. Sự tương giao của hai đường thẳng trong bài toán tìm tọa độ điểm.


3 
 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có M  ;0÷ là trung điểm đoạn
2 
AC . Phương trình các đường cao AH , BK lần lượt là 2x − y + 2 = 0 và 3x − 4 y + 13 = 0 . Xác
định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC .

Định hướng:
Viết được phương trình đường thẳng AC
vuông góc với BK .

đi qua M


và

Suy ra { A} = AC ∩ AH ⇒ C .
Viết phương trình đường thẳng BC đi qua C và vuông góc
với AH ⇒ { B} = BC ∩ BK .
Lời giải.
Đường thẳng AC đi qua M và vuông góc với BK nên có phương trình 4x + 3 y = 6 .
4 x + 3 y = 6
⇒ A ( 0;2)
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình 
2x − y = −2
3 
Từ M  ;0÷ là trung điểm AC suy ra C ( 3; − 2) .
2 

Đường thẳng BC đi qua C và vuông góc với AH nên có phương trình x + 2y + 1 = 0 .
 x + 2y = −1
⇒ B ( −3;1)
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 
3x − 4 y = −13

Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC là A ( 0;2) , B ( -3;1) , C ( 3;-2)

 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A ( 4; − 1) phương trình
đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh B lần lượt là 2x − 3y + 12 = 0 và 2x + 3 y = 0 . Xác định tọa
độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC.

Định hướng:
-


Tọa độ điểm { B} = BH ∩ BM

-

Viết phương trình đường thẳng AC đi qua A và vuông góc
với BH .


Suy ra tọa độ { M } = AC ∩ BM ⇒ C
Lời giải.
Gọi BH , BM lần lượt là đường cao và trung tuyến kẻ từ B.
2x − 3y + 12 = 0
⇒ B ( −3;2)
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 
2x + 3y = 0

Đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với BH nên có phương trình 3x + 2y − 10 = 0.
2x + 3y = 0
⇒ M ( 6; −4)
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình 
3x + 2y − 10 = 0

Do M là trung điểm AC suy ra tọa độ điểm C ( 8; − 7)
Vậy B ( -3;2) , C ( 8;-7)
 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC . Điểm M ( 2;0) là trung điểm của
AB. Đường trung tuyến và đường cao kẻ từ A lần lượt có phương trình là 7x − 2y − 3 = 0 và
6x − y − 4 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AC.

Định hướng:
-Tìm tọa độ điểm { A} = AH ∩ AM ⇒ B .

-Viết phương trình đường thẳng BC đi qua B và vuông
góc với AH .
-Tìm tọa độ { N } = BC ∩ AN ⇒ C .
-Viết được phương trình đường thẳng AC đi qua A ,C .
Lời giải.
Gọi AN , AH lần lượt là đường cao và trung tuyến kẻ từ A.
7x − 2y − 3 = 0
⇒ A ( 1;2)
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trìn 
6x − y − 4 = 0

Từ M là trung điểm AB ⇒ B ( 3; −2)
Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với AH nên có phương trình x + 6 y + 9 = 0
7x − 2y − 3 = 0
3

⇒ N  0; − ÷
Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình 
2

 x + 6y + 9 = 0


Từ N là trung điểm BC suy ra tọa độ điểm C ( −3; − 1)
Khi đó phương trình ta có phương trình đường thẳng AC : 3x − 4 y + 5 = 0.

 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD, đường thẳng BC có phương
trình x + y − 4 = 0 , điểm M ( −1; − 1) là trung điểm của đoạn AD. Xác định tọa độ các đỉnh của
hình chữ nhật ABCD, biết đường thẳng AB đi qua điểm E ( −1;1) .


Định hướng:
- Viết phương trình AB đi qua E và vuông góc với BC .
- Suy ra { B} = AB ∩ BC .
- Viết phương trình AD đi qua M và vuông góc với AB .
- Suy ra { A} = AB ∩ AD ⇒ D ⇒ C .
Lời giải.
Đường thẳng AB đi qua E và vuông góc với BC nên có phương trình x − y + 2 = 0
 x − y = −2
⇒ B ( 1;3)
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 
x+ y = 4

Đường thẳng AD đi qua M và song song với BC nên có phương trình x + y + 2 = 0
 x + y = −2
⇒ A ( −2;0)
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình 
 x − y = −2

Do M là trung điểm của AD nên tọa độ điểm D là
Đường thẳng DC đi qua D và vuông góc với BC nên có phương trình x − y − 2 = 0
x+ y = 4
⇒ C ( 3;1)
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 
x− y = 2

Vậy A ( 0;2) , B ( 1;3) , C ( 3;1) ,D ( 0;-2)

 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh A ( −1;2) và tâm
1 
I  ;0÷ . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD, biết đường thẳng BC đi qua

2 
điểm M ( 4; −3) .


Định hướng:
-Tìm tọa độ điểm C đối xứng với A qua I .
-Viết phương trình BC đi qua C , M .
-Viết phương trình AB đi qua A và vuông góc BC .
-Suy ra

{ B}

= AB ∩ BC ⇒ D .

Lời giải.
Từ I là trung điểm AC ⇒ tọa độ điểm C ( 2; −2)
Phương trình đường thẳng BC : x + 2y + 2 = 0
Đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với BC nên AB : 2x − y + 4 = 0.
 x + 2y + 2 = 0
⇒ B ( −2;0)
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 
2x − y + 4 = 0

Từ I là trung điểm BD ⇒ Tọa độ điểm D ( 3;0)
Vậy B ( -2;0) , C ( 2;-2) , D ( 3;0) .

µ =C
µ = 900. Phương
 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vuông ABCD có B
trình các đường thẳng AC và DC lần lượt là x + 2y = 0 và x − y − 3 = 0 . Xác định tọa độ các đỉnh

 3 3
của hình thang ABCD, biết trung điểm cạnh AD là M  − ; − ÷ .
 2 2

Định hướng:
-Tìm tọa độ điểm { C} = AC ∩ CD .
-Gọi N là trung điểm của CD , viết phương trình đường thẳng MN .
-Tìm tọa độ điểm { N } = CD ∩ MN ⇒ D ⇒ A
-Viết phương trình đường thẳng AB, BC.
-Suy ra tọa độ điểm B .
Lời giải.


x − y− 3 = 0
⇒ C ( 2; − 1)
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 
 x + 2y = 0

Gọi N là trung điểm của DC, đường thẳng MN qua M song song với AC nên MN : 2x + 4 y + 9 = 0
x − y = 3
 1 5
⇒ N  ;− ÷
Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình 
 2 2
2x + 4 y = −9

Do N là trung điểm DC, suy ra D ( −1; −4)
M là trung điểm AD, suy ra A ( −2;1)
Đường thẳng AB qua A song song với DC nên có phương trình x − y = −3
Đường thẳng BC qua C vuông góc với DC nên có phương trình x + y = 1

 x − y = −3
⇒ B ( −1;2)
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 
x + y = 1

Vậy A ( -2;1) , B ( -1;2) , C ( 2;-1) ,D ( -1;-4)

 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Biết phương trình
đường thẳng AB : x − y + 5 = 0 và trung điểm M của cạnh BC thuộc đường thẳng x + 3y − 6 = 0 ,
xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
Định hướng:
-Viết phương trình đường thẳng MO .
-Tìm tọa độ { M } = OM ∩ BC .

-Viết phương trình BC ⇒ { B} = BC ∩ AB .
-Từ M là trung điểm BC ⇒ tọa độ điểm C ,từ O là trung điểm AC ⇒ A
Lời giải.
Đường thẳng MO đi qua O và song song với AB nên có
phương trình x − y = 0.
Tọa độ điểm M
là nghiệm của hệ phương trình
x − y = 0
 3 3
⇒ M ; ÷

 2 2
 x + 3y − 6 = 0
Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AB nên có
phương trình x + y − 3 = 0 .
Tọa độ điểm B

là nghiệm của hệ phương trình
x − y+ 5 = 0
⇒ B ( −1;4)

x + y− 3 = 0


Từ M là trung điểm BC ⇒ tọa độ điểm C ( 4; − 1)

Từ O là trung điểm BC ⇒ tọa độ các điểm A ( −4;1) , D ( 1;−4) .
Vậy A ( -4;1) ,B ( -1;4) ,C ( 4;-1) ,D ( 1;-4) .

 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vuông ABCD (vuông tại A và B). Gọi
M ( −3;3) , N lần lượt là trung điểm của AD và AB. Xác định tọa độ các đỉnh của hình thang vuông
ABCD, biết phương trình các đường thẳng BD : 7x + 3 y + 2 = 0, CN : x − 3 y = 0 và đường thẳng
AB đi qua điểm E ( −3;1) .

Định hướng:
-Viết phương trình đường thẳng MN . Suy ra { N } = CN ∩ MN .

-Viết phương trình đường thẳng AB ⇒ { B} = BD ∩ AB ⇒ A
-Viết phương trình đường thẳng BC . Suy ra tọa độ điểm

{ C}

= BC ∩ CN .

Lời giải.
Đường thẳng MN đi qua
MN : 7x + 3y + 12 = 0.


M

song song với

BD

nên

 x − 3y = 0
 3 1
⇒ N  − ;− ÷
Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình 
 2 2
7x + 3 y + 12 = 0
Phương trình đường thẳng AB : x + y + 2 = 0
7x + 3 y + 2 = 0
⇒ B ( 1; −3)
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 
x+ y+ 2 = 0

Từ N là trung AB ⇒ A ( −4;2) .
Phương trình đường thẳng BC : x − y − 4 = 0.

 x − 3y = 0
⇒ C ( 6;2)
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 
x− y− 4 = 0
Phương trình đường thẳng AD : x − y + 6 = 0
x− y+ 6 = 0

⇒ D ( −2;4)
Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình 
7x + 3 y + 2 = 0

Vậy A ( -4;2) , B ( 1;-3) ,C ( 6;2) ,D ( -2;4) .

 4 1
 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A , có trọng tâm G  ; ÷.
 3 3
x
−
2
y
−
4
=
0,
Phương trình đường thẳng BC là
phương trình đường thẳng BG
là
7x − 4 y − 8 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Định hướng:
-Tìm { B} = BC ∩ BG .

-Viết phương trình AG , tìm { M } = AG ∩ BC .
-Sử dụng tính chất trọng tâm suy ra A .


Lời giải.

Tọa

độ

điểm

B

là

nghiệm

của

hệ

phương

trình

 x − 2y − 4 = 0
⇒ B ( 0; −2)

7x − 4 y − 8 = 0

Đường thẳng AG đi qua G và vuông góc với BC nên có phương trình
2x + y = 3
Tọa độ trung điểm M của BC là nghiệm của hệ
2x + y = 3
⇒ M ( 2; −1)


 x − 2y − 4 = 0

Từ đó suy ra tọa độ điểm C ( 4;0)
3xG = xA + xB + xC
⇒ A ( 0;3)
Từ 
3 yG = yA + yB + yC

Vậy A ( 0;3) , B ( 0;-2) ,C ( 4;0) .

 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A. Đường thẳng BC và
đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình x + y + 1 = 0, x − 2y − 2 = 0; Điểm M ( 2;1) thuộc
đường cao kẻ từ C. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Định hướng:
-Tìm tọa độ điểm B . Nhận xét BM ⊥ BC .
-Viết phương trình MN , tìm { N } = BH ∩ MN .
-Suy ra C , viết phương trình BC . Tìm I
-Viết phương trình AI , AC , suy ra A .
Lời giải.
Tọa độ điểm

B

là nghiệm của hệ phương trình

x+ y+ 1 = 0
⇒ B ( 0; −1)

 x − 2y − 2 = 0

uuuur

uuuur uuuu
r
 BM ( 2;2)
⇒ BM .uBC = 0 ⇒ BM ⊥ BC
r
Lúc đó  uuuu

uBC ( 1; − 1)
Phương trình đường thẳng qua M và song song với BC có phương trình ∆ : x + y − 3 = 0.
 x+ y− 3 = 0
 8 1
⇒ N ; ÷
Tọa độ giao điểm N = BH ∩ ∆ là nghiệm của hệ 
x
−
2
y
−
2
=
0
 3 3


Đường thẳng đi qua N vuông góc với BC cắt BC tại C và có phương trình x − y =
7

 2 5

 x− y =
3 ⇒ C  ;− ÷
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 
 3 3
 x + y + 1 = 0
 1 4
5
Trung điểm của BC là I  ; − ÷ . Phương trình đường thẳng AI : x − y =
3
3 3

7
3


Đường thẳng AC đi qua C và vuông góc với BH nên AC : 2x + y = −

1
3

5

 x − y = 3
 4 11 
⇒ A  ;− ÷
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình 
9 9 
2x + y = − 1

3

 4 11
 2 5
Vậy A  ;- ÷, B ( 0;-1) ,C  ;- ÷.
9 9 
 3 3

 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A. Biết phương trình các
đường thẳng AB,BC lần lượt là x − 7 y + 14 = 0 và 2x + y − 2 = 0. Viết phương trình cạnh AC,
biết đường thẳng AC đi qua M ( 4;0) .
Định hướng:
-Tìm { B} = AB ∩ BC .
-Viết phương trình MN , AH .
-Tìm { N } = MN ∩ AB ⇒ I .

-Viết phương trình AI , tìm { H } = AI ∩ BC ⇒ C .
-Viết được phương trình AC .
Lời giải.
Tọa độ

điểm

B

là

nghiệm

của

hệ


phương

trình

 x − 7y + 14 = 0
⇒ B ( 0;2)

 2x + y − 2 = 0

Gọi H là trung điểm của BC. Đường thẳng ∆ đi qua M song song với BC cắt AB tại N và cắt AH
tại I. Ta có:
Phương trình đường thẳng ∆ : 2x + y = 8
 x − 7 y + 14 = 0
 14 12 
⇒ N ; ÷
Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ 
 5 5
2x + y − 8 = 0
 17 6 
Do tam giác ABC cân tại A, suy ra I là trung điểm của MN, nên I  ; ÷
 5 5
Đường thẳng AH đi qua I và vuông góc với BC nên có phương trình x − 2y − 1 = 0
 x − 2y − 1 = 0
⇒ H ( 1;0)
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình 
2x + y − 2 = 0
Từ đó suy ra tọa độ điểm C ( 2; − 2) và phương trình đường thẳng AC : x - y - 4=0

 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD ( AB / /CD ) . Biết tọa độ các

điểm A ( −8;2) , B ( −4;6) , D ( −6; −8) . Xác định tọa độ đỉnh C.

Định hướng:


-Tìm tọa độ điểm E , viết phương trình E F .
-Viết phương trình CD , suy ra { F } = CD ∩E F .
-Suy ra C .
Lời giải.
 EF ⊥ AB
Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Khi đó E ( −6;4) và 
 EF ⊥ CD
Đường thẳng CD đi qua D và song song với AB nên có phương trình x − y − 2 = 0.
Đường thẳng EF đi qua E và vuông góc với AB nên có phương trình x + y + 2 = 0.
x− y− 2 = 0
⇒ F ( 0; −2)
Tọa độ điểm F là nghiệm của hệ phương trình 
x + y+ 2 = 0

Từ F là trung điểm CD, suy ra tọa độ điểm C ( 6;4)

 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD. Điểm N ( 3;2) là trung điểm

cạnh BC, các điểm M ( −2;2) và P ( 2; −1) lần lượt nằm trên cạnh AB và DC sao cho AM = CP .
Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD

Định hướng:
-Chứng minh AMCP là hình bình hành nên { I } = MP ∩ AC là tâm của hình chữ nhật.
-Tìm tọa độ I ⇒ C .
-Viết phương trình AB , BC ,CD ⇒ B ,C .

-Từ đó suy ra D .
Lời giải.
 AM / /CP
⇒ tứ giác AMCP là hình bình hành. Gọi
Ta có 
 AM = CP
 1
I = MP ∩ AC suy ra I là trung điểm của MP ⇒ I  0; ÷
 2
Phương trình đường thẳng AB qua M và song song với NI nên
có phương trình x − 2y = −6
Phương trình đường thẳng BC qua N và vuông góc với BC nên
có phương trình 2x + y = 8
 x − 2y = −6
⇒ B ( 2;4)
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 
2x + y = 8
Phương trình đường thẳng DC qua P và song song với AB nên
có phương trình x − 2y = 4
 x − 2y = 4
⇒ C ( 4;0)
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ 
2x + y = 8

Từ I là giao điểm của hai đường chéo, suy ra A ( −4;1) , D ( −2; − 3)
Vậy A ( -4;1) , B ( 2;4) ,C ( 4;0) ,D ( -2;-3) .


Bài 24. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A thuộc đường thẳng d: x – 4y – 2 = 0. Đường thẳng BC
song song với d, phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0. Trung điểm AC là M(1; 1). Viết phương trình các

cạnh của tam giác ABC.
Định hướng:
Biết đường cao BH và trung điểm M của AC ta viết ngay được đường thẳng AC. Xác định được tọa độ của A
là giao của AC và d. Từ đó sử dụng tính chất trung điểm ta xác định được tọa độ của C. Vận dung quan hệ
song song giữa d và BC ta viết được phương trình của BC. Từ đó xác định được tọa độ đỉnh B là giao của BH
và BC. Tiếp theo ta dễ dàng viết được phương trình của AB đi qua hai điểm đã biết tọa độ.
Lời giải.
uuuur
+ AC đi qua M và vuông góc với BH nên nhận vectơ chỉ phương uBH (1; −1) của BH làm vectơ pháp tuyến nên

có phương trình 1(x − 1) − 1( y − 1) = 0 ⇔ x − y = 0 .
2

x= −

x − y = 0

3 ⇒ A  − 2;− 2 
⇔
A là giao của AC và d nên tọa độ của A là nghiệm của hệ 
 3 3 ÷.


 x − 4y − 2 = 0
y= − 2

3

 8 8
 xC = 2xM − xA

⇒ C  ; ÷.
M là trung điểm của AC nên 
 yC = 2yM − yA
 3 3
8
8


+ BC đi qua C song song với d nên BC: 1 x − ÷− 4 y − ÷ = 0 ⇔ x − 4 y + 8 = 0 .
3
3





x+ y+ 3 = 0
 x = −4
⇔
⇒ B(−4;1) .
B là giao của BH và BC nên tọa độ của B là nghiệm của hệ 
 x − 4y + 8 = 0
y = 1
x+ 4
y−1
=
⇔ x + 2y + 2 = 0
2
+ AB đi qua các điểm A và B 2
.

− + 4 − −1
3
3

2. Sự tương giao của đường thẳng và đường tròn trong bài toán tìm tọa độ điểm.

 Bài 2.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tọa độ các đỉnh
A ( −3;2) và C ( 3;0) . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD.
Định hướng:
-Tìm tọa độ trung điểm I của AC .


1
AC .
2
-Viết phương trình đường thẳng BD . Suy ra tọa độ B , D là giao điểm của BD và đường tròn.

-Viết phương trình đường tròn tâm I , bán kính R =

Lời giải.
Trung điểm I

của đường chéo AC

uuuu
r
BD đi qua I và nhận véc-tơ AC ( 6; −2)

là I ( 0;1) . Đường thẳng
làm véc-tơ pháp tuyến


nên có phương trình 3x − y + 1 = 0.
Phương trình đường tròn tâm I , bán kính R =

AC
= 10
2

là

x2 + ( y− 1) = 10.
2

Tọa độ các điểm B, D

là nghiệm của hệ phương trình


 B ( −1; −2) , D ( 1;4)
 3x − y + 1 = 0
⇒
 2
2

 x + ( y − 1) = 10  B ( 1;4) , D ( −1; −2)

Vậy B ( -1;-2) ,D ( 1;4)

hoặc B ( 1;4) ,D ( -1;-2)


 Bài 2.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A ( −5;2) , chân đường cao
 1 1
kẻ từ A là điểm H ( −2; −1) , tâm đường tròn ngoại tiếp I  − ; ÷. Tìm tọa độ các đỉnh B và C.
 3 3

Định hướng:
-Viết phương trình đường thẳng BC .
-Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
-Suy ra tọa độ điểm B ,C là giao của BC và đường tròn.

Lời giải.
Đường thẳng BC
x − y + 1 = 0.

đi qua H

uuuur

và nhận véc-tơ AH ( 3; −3)

làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình


Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
2

và bán kính R = I A =

có tâm I


221
3

nên có phương trình

2

1 
1
221

 x+ 3÷ +  y− 3÷ = 9 .

 


x− y+1 = 0

 B ( −4; −3) ,C ( 3;4)

2
2
Tọa độ các điểm B,C là nghiệm của hệ 
1 
1
221 ⇒ 
 x + ÷ +  y − ÷ =
 B ( 3;4) , C ( −4;3)
3 
3

9


Vậy B ( -4;-3) ,C ( 3;4)

hoặc B ( 3;4) ,C ( -4;-3)

 Bài 2.3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tọa độ các đỉnh A ( −3;0) và
B ( −1; −3) . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD, biết đỉnh D có tung độ dương.

Định hướng:
-Viết phương trình đường thẳng AD .
-Viết phương trình đường tròn tâm A ,bán kính R = AB .
-Tìm tọa độ điểm D là giao của AD và đường tròn.
-Viết phương trình BC ,CD . Suy ra { C} = BC ∩ CD .
Lời giải.
uuur

Đường thẳng AD đi qua A và nhận véc-tơ AB ( 2; −3) làm véc-tơ
pháp tuyến nên có phương trình 2x − 3y + 6 = 0 .
Đường tròn tâm A

( x + 3)

2

Tọa

độ


bán kính R = AB = 13

có phương trình

+ y2 = 13 .

điểm

D

là

nghiệm

của

hệ

phương

trình


 D ( 0;2)
 2x − 3 y + 6 = 0
⇒
, vì yD > 0 ⇒ D ( 0;2) .

2
2

( x + 3) + y = 13  D ( −6; −2)


Lúc đó:
Phương trình đường thẳng DC : 3x + 2y − 4 = 0 và phương trình đường thẳng BC : 2x − 3 y − 7 = 0
3x + 2y − 4 = 0
⇒ C ( 2; −1)
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 
2x − 3y − 7 = 0


Vậy C ( 2;-1) ,D ( 0;2)
 Bài 2.4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trung điểm của đoạn BC là
3

M  ; − 2÷, chân đường cao kẻ từ đỉnh C
là H ( −2;1) ; phương trình đường cao
2


BK : 7x − 6 y + 15 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC, biết B có tung độ âm.
Định hướng:
-Viết phương trình đường tròn tâm M , bán kính MH
BCKH .

ngoại tiếp tứ giác

-Tìm tọa độ giao điểm BK và đường tròn. Suy ra C .
-Viết phương trình AB , AC ⇒ A


Lời giải.
Đường tròn tâm M

bán kính R = MH =

85
ngoại tiếp tứ giác BCKH
2

và có phương trình

2

3
85
2

 x − 2 ÷ + ( y + 2) = 4 .



7x − 6 y + 15 = 0
B ( −3; −1)


2
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 
3
85 ⇒   3 39 
2

 B  − ; ÷, lo¹ i
 x − ÷ + ( y + 2) =
2
4

  17 17 

Do M là trung điểm BC , suy ra tọa độ điểm C ( 6; −3) .
Đường thẳng AB đi qua B,H nên có phương trình 2x − y + 5 = 0.
Đường thẳng AC đi qua C vuông góc với BK nên có phương trình 6x + 7 y − 15 = 0
2x − y + 5 = 0
⇒ A ( −1;3)
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 
6x + 7 y − 15 = 0

Vậy A ( -1;3) ,B ( -3;-1) ,C ( 6;-3)

 Bài 2.5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A ( −1;3) , trung điểm của
3

đoạn BC là M  ; − 2÷, phương trình đường thẳng đi qua chân các đường cao kẻ từ đỉnh B, C là
2




22x − 31y + 75 = 0. Xác định tọa độ đỉnh C, biết B có hoành độ âm và BC = 85 .

Định hướng:
-Viết phương trình đường tròn tâm M , bán kính R =


1
BC .
2

-Tìm tọa độ điểm H là giao của HK và đường tròn.
-Viết phương trình AB ⇒ B là giao của AB và đường tròn. Suy ra
C.

Lời giải.
Đường tròn tâm M bán kính R =

BC
85
ngoại tiếp tứ giác BCKH (Với K , H lần lượt là hình chiếu
=
2
2
2

3
85
2

của B trên AC và của C trên AB ) có phương trình  x − ÷ + ( y + 2) = .
2
4

2


 H ( −2;1)
3
85
2
 x − ÷ + ( y + 2) =

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình: 
2
4 ⇒   3 39 
H − ;

  17 17 ÷

22x − 31y + 75 = 0

+) Với H ( −2;1) phương trình đường thẳng AB : 2x − y + 5 = 0 .
2

3
85
2
 x − ÷ + ( y + 2) =
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 
2
4 ⇒ B ( −3; −1) . Suy ra C ( 6; −3)

2x − y + 5 = 0

 3 39 
+) Với H  − ; ÷ ⇒ phương trình đường thẳng AB : 6x + 7y − 15 = 0

 17 17 
2

3
85
2
 x − ÷ + ( y + 2) =
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 
2
4 ⇒ B ( 6; −3) , loại.

6x + 7 y − 15 = 0

Vậy C ( 6;-3)


 Bài 2.6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn tâm
I . Gọi H là hình chiếu của A trên BC , K là hình chiếu vuông góc của B trên AI . Giả sử
A ( 2;5) , I ( 1;2) , điểm B có hoành độ âm và đường thẳng HK có phương trình x − 2y = 0 . Tìm toạ độ
các điểm B, C .
Định hướng:
-Viết phương trình AI .
-Tìm tọa độ điểm K là giao của AI và HK .
-Viết phương trình BK , phương trình ngoại tiếp tam giác ABC .
Suy ra B .
-Viết phương trình đường tròn đường kính AB , suy ra H là giao của
HK và đường tròn .
-Viết phương trình BC . Suy ra tọa độ B ,C là giao của BC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Lời giải.
 x − 2y = 0

 2 1
⇒ K  ; ÷.
Phương trình đường thẳng AI : 3x − y − 1 = 0 . Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ 
 5 5
3x − y = 1

Phương trình đường thẳng BK : x + 3y = 1

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC : ( x − 1) + ( y − 2) = 10.
2

2


B ( −2;1 )


 x + 3y = 1
⇒   14 3 
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 
2
2

( x − 1) + ( y − 2) = 10  B  ; − ÷ ( lo¹ i )
  5 5 

Phương trình đường tròn đường kính AB : x2 + ( y − 3) = 8
2



H ( 2;1)
 x − 2y = 0

⇒   2 1
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình  2
2
 x + ( y − 3) = 8  H  5 ; 5 ÷ ≡ K ( lo¹ i )

 

Phương trình đường thẳng BC : y − 1 = 0.


C ( 4;1)
 y−1 = 0
⇒
2
2

( x − 1) + ( y − 2) = 10  C ( −2;1) ≡ B ( lo¹ i )

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 
Vậy B ( -2;1) ;C ( 4;1)


 Bài 2.7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hàng ABCD . Phương trình đường tròn
2

2


5 
1
5

đường kính AB là ( C ) :  x + ÷ +  x − ÷ = ; đường thẳng đi qua B vuông góc với AC có
2 
2
2

x
−
y
+
2
=
0
phương trình
. Xác định tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD , biết điểm B có tung
độ âm và đường thẳng CD đi qua điểm M ( 0; −4) .

Định hướng:
- Tìm tọa độ điểm B , H là giao của BH và đường tròn ( C ) .
- Tâm I là trung điểm của AB ⇒ A .
-Viết phương trình AC ,CD ⇒ C .
uuur uuuu
r
-Từ AB = DC ⇒ D .
Lời giải.
AC.


Gọi H

là hình chiếu vuông góc của B

trên

Tọa độ các điểm B, H là nghiệm của hệ phương trình
2
2

5 
1
5

 x + ÷ +  x − ÷ =
 B ( −3; −1)
⇒
2 
2
2 


 H ( −1;1)
x− y+ 2 = 0

, do điểm B

có

tung độ âm.

 5 1
Tâm I  − ; ÷ là trung điểm của BC . Suy ra A ( −2;2)
 2 2

Đường thẳng AC đi qua H và vuông góc với BH nên có phương trình x + y = 0.
Đường thẳng CD đi qua M và song song với AB nên có phương trình 3x − y − 4 = 0.
x + y = 0
⇒ C ( 1; −1) .
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ 
3x − y − 4 = 0
uuur

uuur

Từ đẳng thức CD = AB ⇒ D ( 2;2)
Vậy A ( -2;2) ;B ( -3;-1) ;C ( 1;-1) ;D ( 2;2)
 Bài 2.8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC . Phương trình các đường thẳng chứa
đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt là x − 2y − 13 = 0 và 13x − 6 y − 9 = 0. Tìm tọa độ
các đỉnh B, C biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I ( −5;1) .

Định hướng:
-Tìm tọa độ điểm A là giao của AH , AM .


-Gọi M là trung điểm của BC , viết phương trình I M , tìm tọa độ điểm M .
-Viết phương trình BC , viết phương trình ngoại tiếp tam giác ABC .
Suy ra tọa độ điểm B ,C là giao của BC và đường tròn.
Lời giải.
Tọa


độ

điểm

là

A

nghiệm

của

hệ

phương

trình

 x − 2y − 13 = 0
⇒ A ( −3; −8)

13x − 6 y − 9 = 0

Gọi M là trung điểm BC. Đường thẳng IM đi qua I và song song với AH
nên có phương trình x − 2y = −7
Tọa

độ

điểm


M

là

nghiệm

của

hệ

phương

trình

13x − 6y − 9 = 0
⇒ M ( 3;5)

 x − 2y = −7

Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AH nên có phương trình 2x + y = 11
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I và bán kính R = I A = 85

( x + 5)

2

nên có phương trình

+ ( y − 1) = 85.

2

 B ( 2;7) , C ( 4;3)
⇒
( x + 5) + ( y − 1) = 85  B ( 4;3) , C ( 2;7)




Tọa độ các điểm B,C là nghiệm của hệ phương trình 
Vậy B ( 2;7) ,C ( 4;3)

2x + y = 11
2

2

hoặc B ( 4;3) ,C ( 2;7) .

 Bài 2.9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm
 9 3
I  ; ÷ . Điểm M ( 3;0) là trung điểm của cạnh AD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
 2 2

Định hướng :
-Viết phương trình AD .
-Từ diện tích hình chữ nhật suy ra độ dài AD .
-Viết phương trình đường tròn đường kính AD .
-Tìm tọa độ điểm A , D là giao của đường thẳng AD và đường tròn. Suy ra B ,C .


Lời giải.


uuur  3 3 
Đường thẳng AD đi qua M, nhận véc tơ I M  − ; − ÷ làm véc-tơ
 2 2
pháp tuyến nên có phương trình x + y = 3

Lại có S ABCD = 4.SIAD = 2.MI .AD ⇒ AD =

24
6. 2

=2 2

Phương trình đường tròn tâm M, bán kính R =

( x − 3)

2

AD
= 2
2

là

+ y2 = 2.

Tọa độ các đỉnh A, D là nghiệm của hệ phương trình

x+ y = 3

 x= 4
x = 2

⇒
và 

2
2
 y = −1

( x − 3) + y = 2  y = 1

Từ đó suy ra tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD là

{ ( 2;1) ,( 5;4) ,( 7;2) ,( 4; −1) } .

 Bài 2.10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A ( −1;4) , phương trình
đường thẳng BC : x − y − 4 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh B, C biết tam giác ABC có diện tích bằng
18.

Định hướng :
-

Viết phương trình AH . Suy ra { H } = AH ∩ BC .

-

Từ diện tích tam giác ABC ⇒ BC .


-

Viết phương trình đường tròn tâm H , bán kính R =

-

Tìm tọa độ điểm B ,C là giao của BC và đường tròn.

1
BC .
2

Lời giải.
Gọi H là trung điểm của BC. Đường thẳng AH đi qua A và vuông góc với BC nên có phương trình x + y = 3
x − y− 4 = 0
 7 1
⇒ H  ;− ÷
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình 
 2 2
 x+ y = 3

Lại có SABC =

1
AH .BC ⇒ BC = 4 2
2

Đường tròn tâm H, bán kính R =


BC
= 2 2 có phương trình
2

2

2

7 
1

 x− 2÷ +  y+ 2÷ = 8

 



3
11


x− y− 4 = 0

x=
x=






2
2
2
2
⇒
Tọa độ các điểm B,C là nghiệm của hệ phương trình 
và 
7 
1
5
x
−
+
y
+
=
8

y = −
 y= 3

2÷
2÷
 




2
2


 3 5   11 3  
Vậy tọa độ các điểm B,C là  ; − ÷, ; ÷
 2 2   2 2  

 Bài 2.11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường
chéo là ∆ : 3x + y− 7 = 0 và điểm B ( 0; −3) . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi, biết diện tích hình thoi
bằng 20.

Định hướng :
-Nhận xét rằng B ∈ ∆ , suy ra AC ≡ ∆ .
-Viết phương trình BD , tìm { I } = AC ∩ BD .Suy ra D .
-Từ diện tích hình thoi, suy ra độ dài AC .
-Viết phương trình đường tròn tâm I , bán kính R = I A .
-Tìm tọa độ giao điểm A ,C

Lời giải.
Dễ thấy B ∉ ∆ ⇒ AC : 3x + y − 7 = 0. Gọi { I } = AC ∩ BD
Đường thẳng BD đi qua B và vuông góc với AC nên có phương trình x − 3y = 9
 x − 3y = 9
⇒ I ( 3; −2)
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình 
3x + y − 7 = 0

Từ đó suy ra D ( 6; −1)
Lại có S ABCD = AC.BD ⇒ AC = 2 10
Đường tròn tâm I bán kính R = I A = 10 có phương trình ( x − 3) + ( y + 2) = 10.
2





Tọa độ các điểm A,C là nghiệm của hệ phương trình 

3x + y − 7 = 0


( x − 3) + ( y + 2)

Vậy A ( 4;-5) ,C ( 2;1) ,D ( 6;-1)

2

2

hoặc A ( 2;1) ,C ( 4;-5) ,D ( 6;-1)

2

 A ( 4; −5) , C ( 2;1)
⇒
= 10  A ( 2;1) , C ( 4; −5)


 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có tâm I ( 2;1) và AC = 2BD. Xác
định tọa độ đỉnh B, biết phương trình đường thẳng AB : 4x + 3 y − 1 = 0 và điểm A có hoành độ âm.

Định hướng:
-Dựa vào tính chất tam giác vuông I AB và AC = 2BD , tính IA , I B .
-Viết phương trình đường tròn tâm I , đường kính AC .

-Tìm tọa độ điểm A là giao của AB và đường tròn đường kính AC .
-Viết phương trình BD , tìm { B} = BD ∩ AB .
Lời giải.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên AB. Ta có:
I H = d ( I ; AB ) = 2 . Lại có
 IB = 5
1
1
1
1
1
1

=
+ 2⇒ =
+ 2 ⇒
2
2
2
4 4I B
IH
IA
IB
IB
 IA = 2 5


Đường tròn tâm I bán kính R = I A = 2 5 có phương trình

( x − 2)


2

+ ( y − 1) = 20
2




Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình 

4x + 3 y − 1 = 0


( x − 2) + ( y − 1) = 20
2

2

⇒ A ( −2;3) , do A có hoành độ âm.

Khi đó phương trình đường thẳng BD là 2x − y − 3 = 0
 2x − y − 3 = 0
⇒ B ( 1; −1)
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 
4x + 3y − 1 = 0

Vậy B ( 1;-1)
 Bài 2.12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân ở A. Điểm M ( 1; −1) là
trung điểm của cạnh BC. Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC, biết trọng tâm tam giác ABC là

2 
G  ;0÷
3 
Định hướng :
-Từ tính chất trọng tâm tam giác , suy ra A .
-Viết phương trình đường thẳng BC .


-Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
-Tìm tọa độ điểm B ,C là giao của BC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

Lời giải.
uuuu
r

uuuur

Từ tính chất G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra AG = 2GM ⇒ A ( 0;2)
uuuur

Đường thẳng BC đi qua M, nhận véc-tơ AM ( 1; − 3)

làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình

x − 3y − 4 = 0.

Do tam giác ABC vuông cân ở A, nên MB = MC = MA = 10.
Đường tròn tâm M bán kính R = MA = 10 có phương trình ( x − 1) + ( y + 1) = 10.
2


2

 B ( 4;0) , C ( −2; −2)
⇒
( x − 1) + ( y + 1) = 10  B ( −2; −2) , C ( 4;0)




Tọa độ các điểm B,C là nghiệm của hệ phương trình 

x − 3y − 4 = 0
2

2

Vậy A ( 0;2) ,B ( 4;0) ,C ( -2;-2) hoặc A ( 0;2) ,B ( -2;-2) ,C ( 4;0)

 Bài 2.13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân ở A nội tiếp đường tròn
( C ) : x2 + y2 + 2x − 4 y + 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ∆ABC , biết điểm M ( 0;1) là trung
điểm cạnh AB và A có hoành độ dương.

Định hướng :
-Viết phương trình AB. Tìm tọa độ A, B là giao của AB và đường tròn (C).
-Viết phương trình BC. Tìm tọa độ điểm C là giao của BC và đường tròn (C).

Lời giải.
Đường tròn ( C ) có tâm I ( −1;2) bán kính R = 2.
uuur
Đường thẳng AB đi qua M nhận véc-tơ MI làm véc-tơ pháp tuyến nên có

phương trình x − y + 1 = 0.




Tọa độ các điểm A,B là nghiệm của hệ phương trình 

x− y+1 = 0

( x + 1) + ( y − 2) = 4
2

2

⇒ A ( 1;2) , B ( −1;0) , do A có

hoành độ dương.
uur
Đường thẳng BC đi qua B và nhận véc-tơ I A làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x + 1 = 0.



Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 

x+1 = 0


( x + 1) + ( y − 2) = 4
2


2

⇒ C ( −1;4)

Vậy A ( 1;2) ,B ( -1;0) ,C ( -1;4)

 1
 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có chu vi bằng 5 5 , tâm I  0; ÷
 2
3

, trung điểm của đoạn AD là E  −1; − ÷ . Xác định toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết A
2

có hoành độ âm.

Định hướng :
-Viết phương trình AD .
-Từ chu vi hình chữ nhật tính AD , I A .
-Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD .
-Viết phương trình AD . Suy ra tọa độ A , D giao điểm của AD và đường tròn.
-Suy ra B ,C .

Lời giải.
uuu
r

Đường thẳng AD đi qua E và nhận véc-tơ I E ( −1; − 2) làm véc-tơ pháp
tuyến nên có phương trình x + 2y + 4 = 0.
Ta lại có

CVABCD = 5 5 ⇒ AB + AD = 5 5 ⇒ 2I E + AD = 5 5 ⇒ AD = 3 5

Lúc đó I A = I E 2 + AE 2 =

65
2


2

Phương trình đường tròn tâm I bán kính R = I A =

1
65
65

có phương trình x2 +  y − ÷ =
2
4
2



 x + 2y + 4 = 0

 A ( −4;0)
2
Tọa độ các điểm A, D là nghiệm của hệ phương trình  2 
(Do A có hoành độ
1

65 ⇒ 
 D ( 2; −3)
x +  y− ÷ =
2
4


âm).

Từ I là tâm của hình chữ nhật suy ra các điểm B ( −2;4) ,C ( 4;1)
Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là A ( -4;0) ,B ( -2;4) ,C ( 4;1) ,D ( 2;-3)
 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ C xuống AB là
H ( 4;2) , trung điểm của BC là M ( 3;4) , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I ( 5;3) . Tìm
tọa độ điểm A .

Định hướng :
-Viết phương trình BC .
-Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC .
-Tìm tọa độ B ,C là giao điểm của BC và đường tròn.
-Viết phương trình AB ⇒ A .

Lời giải.
uuur
Đường thẳng BC đi qua M và nhận véc-tơ MI làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình 2x − y − 2 = 0

Đường tròn tâm M bán kính R = MH = 5 ngoại tiếp tam giác BCH có phương trình ( x − 3) + ( y − 4) = 5
2

2x − y − 2 = 0





Tọa độ các điểm B,C là nghiệm của hệ 


( x − 3) + ( y − 4)
2

2

2

 B ( 4;6) , C ( 2;2)
⇒
= 5  B ( 2;2) , C ( 4;6)

Lúc đó : Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I, bán kính R = I B = I C = 10 nên có phương trình

( x − 5)

2

+ ( y − 3) = 10
2

uuuu
r

+) Với B ( 4;6) , C ( 2;2) ⇒ Đường thẳng AB đi qua H và nhận véc-tơ CH

phương trình x = 4.



Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 

x= 4


( x − 5) + ( y − 3)
2

2

⇒ A ( 4;0)

làm véc-tơ pháp tuyến nên có