BDT BIEN DOI TUONG DUONG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (118.08 KB, 6 trang )
Dng 1: S dng cỏc phộp bin i, ỏnh giỏ thớch hp
Để chứng minh A B, ta sẽ chứng minh A-B 0 (nghĩa là ta sử dụng
định nghĩa, tính chất cơ bản,... để biến đổi bất đẳng thức cần
chứng minh đến bất đẳng thức đúng hay một tính chất đúng hoặc có
thể sử dụng bất đẳng thức đúng biến đổi dẫn đến bất đẳng thức
cần chứng minh).
Ví dụ 1: Cho ba số a, b, c bất kì. Chứng minh các bất đẳng thức:
a) a2 + b2 + c2 ab + bc + ca
(1)
2
b) (ab + bc + ca) 3abc(a + b + c)
(2)
(ĐHQG TP. HCM -1998)
Lời giải.
a) (1) 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca
(a b)2 (b c)2 (c a)2 0 lu
n lu
n
ng.
b) (2) a2b2 b2c2 c2a2 a2bc ab2c abc2 0
2a2b2 2b2c2 2c2a2 2a2bc 2ab2c 2abc2 0
(ab-bc)2 (bc ca)2 (ca ab)2 0 lu
n lu
n
ng.
2
2
2
2
Ví dụ 2: Chứng minh rằng a + b + c + d + e2 a(b + c + d + e)
(1)
với mọi a, b, c, d, e.
(ĐH Y dợc TP. HCM-1999)
Lời giải.
a2
a2
a2
a2
(1) ab b2 ac c2 ad d2 ae e2 0
4
4
4
4
2
2
2
2
a a a a
b c d e0 hi
n nhi
n
ng.
2 2 2 2
1 1 1
V
d3: Cho ba sth
c a, b, c th
a m
n abc=1 va+b+c>
a b c
a) Ch
ng minh r
ng: (a-1)(b-1)(c-1)>0.
(1)
b) Ch
ng minh r
ng trong ba sa, b, c c
ng m
t sl
n h
n 1.
(ĐHTH TP.HCM -1993)
Lời giải.
a) Ta c
: (1) abc-ab-ac-bc+a+b+c>0
1 1 1
ab+bc+ca
Va+b+c> a+b+c>
a b c
abc
a b c ab bc ca (vabc=1)
V
y (2)
ng. Suy ra (1)
ng.
b) Ta c
: (a-1)(b-1)(c-1)>0
Suy ra ho
c cba sa, b, c
u l
n h
n1
ho
c trong ba sa, b, c c
ng m
t sl
n h
n1
N
u a>1, b>1, c>1 abc>1, m
u thu
n v
i githi
t.
V
y trong ba sa, b, c c
ng m
t sl
n h
n 1.
a
b
c
V
d4: Ch
ng minh:
2.3 4
3 3
3
3 3
3
3 3
3
b c
c a
a b
(2)
trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 5/2004)
Lời giải.
1
Ta c
: b3 c3 (b c)3
4
Th
t v
y:
(1)
(1) 4(b3+c3) b3 c3 3b2c 3bc2
b3 c3 b2c bc2 0 b2(b c) c2(b c) 0
(b-c)(b
2-c2 ) 0 (b-c)2(b c) 0
(2)
ng (1)
ng.
1
T
ng t
: c3 a3 (c a)3
4
1
a3+b3 (a+b)3
4
Do
:
a
b
c
a
3 4
(3)
b+c c a a b
b c
c a
a b
a
b
c
2a
2b
2c
m
b+c c a a b 2(b c) 2(c a) 2(a b)
2a
2b
2c
<
=2
(4)
b c a c a b a b c
(Do a+b>c; b+c>a; c+a>b)
T(3) v(4) suy ra
pcm.
3
3
3
b
(2)
3
3
3
c
3
3
3
Bi tp t luyn:
x y
x2 y2
B
i 1: Cho x, y 0. Ch
ng minh: 2 2 4 3
y x
y x
Ví dụ 1 x, y, z chứng minh rằng :
a) x + y + z xy+ yz + zx
b) x + y + z 2xy 2xz + 2yz
c) x + y + z+3 2 (x + y + z)
Giải:
a) Ta xét hiệu
x + y + z- xy yz - zx
=.2 .( x + y + z- xy yz zx)
=đúng với mọi x;y;z R
2
Vì (x-y)
0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
2
(x-z)
0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
2
(y-z)
0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
Vậy x + y + z xy+ yz + zx
Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
b)Ta xét hiệu
x + y + z- ( 2xy 2xz +2yz )
= x + y + z- 2xy +2xz 2yz
=( x y + z) đúng với mọi x;y;z R
Vậy x + y + z 2xy 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z R
Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
c) Ta xét hiệu
x + y + z+3 2( x+ y +z )
= x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1
= (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0
Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Ví dụ 2: chứng minh rằng :
a) ;b)
c) Hãy tổng quát bài toán
giải
a) Ta xét hiệu
=
=
=
Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a=b
b)Ta xét hiệu
=
Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
c)Tổng quát
Tóm lại các bớc để chứng minh AB tho định nghĩa
Bớc 1: Ta xét hiệu H = A - B
Bớc 2:Biến đổi H=(C+D)hoặc H=(C+D)+.+(E+F)
Bớc 3:Kết luận A B
Ví dụ:(chuyên Nga- Pháp 98-99)
Chứng minh m,n,p,q ta đều có
m+ n+ p+ q+1 m(n+p+q+1)
Giải:
(luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi
phơng pháp 2 : Dùng phép biến đổi tơng đơng
Lu ý:
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất
đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng.
Chú ý các hằng đẳng thức sau:
Ví dụ 1:
Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng
a)
b)
c)
Giải:
a)
Vậy
b)
(bất đẳng thức này luôn đúng)
(dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
Bất đẳng thức cuối đúng.
Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
c)
Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2
Chứng minh rằng:
Giải:
a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0
a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0
Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 3: cho x.y =1 và x.y . Chứng minh
Giải:
vì :xy nên x- y 0 x2+y2 ( x-y)
x2+y2- x+y 0 x2+y2+2- x+y -2 0
2
x +y2+()2- x+y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
(x-y-)2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4:
1)CM:
P(x,y)=
2)CM:
(gợi ý :bình phơng 2 vế)
3)choba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:
Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
(đề thi Lam Sơn 96-97)
Giải:
Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
=(xyz-1)+(x+y+z)-xyz()=x+y+z - ( (vì< x+y+z theo gt)
2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dơng.
Nếủ trờng hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1
bắt buộc phải xảy ra trờng hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là
số lớn hơn 1
Ví dụ 1:
a, b 0 thì:
(ax by )(bx ay ) (a b) 2 xy
Chứng tỏ rằng với
(1)
Giải
(1) abx a xy b yx bay a 2 xy 2abxy b 2 xy
2
2
2
2
ab( x 2 y 2 2 xy ) 0
ab( x y ) 2 0
Bất đẳng thức luôn đúng vì
Ví dụ 2:
Cho
0 a b c
a, b 0 .
Chứng minh rằng:
a b c b c a
b c a a b c
Giải
a b c b c a
1
(a 2c b 2a c 2b b 2c c 2 a a 2b)
b c a a b c abc
1
(a 2c b 2c ) (b 2a a 2b) (c 2b c 2a )
abc
1
c(a 2 b 2 ) ab(b a ) c 2 (b a )
abc
1
(b a )(ca cb ab c 2 )
abc
1
(b a )(c b)(c a ) 0
abc
Vì
0 a b c .
a b c b c a
b
c a a b c
Vậy
Ví dụ 3:
Với a, b, c 0 chứng minh:
a
b
c
1 1 1
2( )
bc ca ab
a b c
Giải
a
b
c
1 1 1
2( )
bc ca ab
a b c
� a 2 b 2 c 2 �2(bc ac ba ) (do abc 0)
� a 2 b 2 c 2 2bc 2ac 2ab �0
� (a b c )2 �0 HiÓn nhiªn ®óng.
a
b
c
1 1 1
�2( )
a b c .
VËy bc ca ab
VÝ dô 4: Chøng minh r»ng mäi a,b,c,d th× :
a 2 b 2 c 2 d 2 1 �a b c d (1)
Gi¶i
(1)
� a b c d 1 ( a b c d ) �0
2
2
2
2
� a 2 a (b 2 b) (c 2 c) ( d 2 d ) 1 �0
1
1
1
1
� ( a ) 2 (b ) 2 (c ) 2 ( d ) 2 �0
2
2
2
2
a 2 b 2 c 2 d 2 1 �a b c d
3
3
4
4
VÝ dô 5: Chøng minh r»ng nÕu: a b �2 th× a b �a b (1)
VËy :
Gi¶i
(1)
� a b a b �0
4
4
3
3
� a 3 (a 1) b3 (b 1) �0
� a 3 (a 1) b3 (b 1) ( a 1) (b 1) ( a 1) (b 1) �0
� (a 1)( a 3 1) (b 1)(b3 1) a b 2 �0
� (a 1) 2 (a 2 a 1) (b 1)2 (b 2 b 1) a b 2 �0
Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.
V×:
(a 1) 2 �0
� (a 1) 2 ( a 2 a 1) 0
(b 1) 2 �0
a b �2
� (b 1) 2 (b 2 b 1)
� a b 2 �0
