BÀI tập TRẮC NGHIỆM dấu của TAM THỨC bậc HAI
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (183.12 KB, 19 trang )
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
1. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình x 2 − 8 x + 7 ≥ 0 . Trong các tập hợp
sau, tập nào không là tập con của S ?
A. ( −∞; 0] .
B. [ 8; +∞ ) .
C. ( −∞; −1] .
D. [ 6; +∞ ) .
Hướng dẫn giải
Chọn D
x ≥ 7
2
Ta có x − 8 x + 7 ≥ 0 ⇔
.
x ≤1
2
Câu 1: Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức f ( x ) = − x − x + 6 ?
A.
x
−∞
−2
−
f ( x)
+∞
3
+
0
0
−
B.
x
−∞
f ( x)
−2
+
+∞
3
−
0
0
+
C.
x
−3
−∞
f ( x)
−
+∞
2
+
0
0
−
D.
x
−∞
f ( x)
−3
+
+∞
2
−
0
0
+
Hướng dẫn giải
Chọn C
x = −3
2
Ta có − x − x + 6 = 0 ⇔
x = 2
Hệ số a = −1 < 0
Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai ta có đáp án C là đáp án cần
tìm.
2
Câu 2: Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức f ( x ) = − x + 6 x − 9 ?
A.
x
f ( x)
−∞
+∞
3
+
0
.
−
B.
Trang
1/18
−∞
x
−
f ( x)
0
−∞
x
0
−∞
x
f ( x)
+
0
.
−
D.
.
+∞
3
+
.
C.
+∞
3
−
f ( x)
+∞
3
+
Hướng dẫn giải
Chọn C
Tam thức có 1 nghiệm x = 3 và hệ số a = −1 < 0
Vậy đáp án cần tìm là C
2
Câu 3: Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức f ( x ) = x + 12 x + 36 ?
A.
x
f ( x)
−
0
−∞
x
f ( x)
0
−∞
x
f ( x)
0
−∞
0
.
−
C.
+∞
+
+∞
−6
−
f ( x)
B.
+∞
−6
+
x
+
−6
+
.
+∞
−6
−∞
.
D.
.
−
Hướng dẫn giải
Chọn C
Tam thức có một nghiệm x = −6, a = 1 > 0 đáp án cần tìm là C
2
Câu 4: Cho tam thức bậc hai f ( x ) = x − bx + 3 . Với giá trị nào của b thì tam thức
f ( x) có hai nghiệm?
A. b ∈ −2 3; 2 3 .
(
(
)
D. b ∈ ( −∞; −2 3 ) ∪ ( 2
B. b ∈ −2 3; 2 3 .
)
C. b ∈ −∞; −2 3 ∪ 2 3; +∞ .
)
3; +∞ .
Hướng dẫn giải
Trang
2/18
Chọn A
b < −2 3
2
2
Ta có f ( x ) = x − bx + 3 có nghiệm khi b − 12 > 0 ⇔
.
b > 2 3
Câu 5: Giá trị nào của m thì phương trình
nghiệm phân biệt?
3
A. m ∈ −∞; − ÷∪ ( 1; +∞ ) \ { 3} .
5
( m − 3) x 2 + ( m + 3) x − ( m + 1) = 0
(1) có hai
3
B. m ∈ − ;1÷ .
5
3
C. m ∈ − ; +∞ ÷.
5
D. m ∈ ¡ \ { 3} .
Hướng dẫn giải
Chọn A
m ≠ 3
m ≠ 3
a ≠ 0
5
⇔ 2
⇔ m < − .
Ta có ( 1) có hai nghiệm phân biệt khi
3
∆ ' > 0
5m − 2m − 3 > 0
m > 1
Câu 6: Tìm tập xác định của hàm số y = 2 x 2 − 5 x + 2 .
1
A. −∞; .
2
1
1
C. −∞; ∪ [ 2; +∞ ) . D. ; 2 .
2
2
Hướng dẫn giải
B. [ 2; +∞ ) .
Chọn C
x ≥ 2
Điều kiện 2 x − 5 x + 2 ≥ 0 ⇔
.
x ≤ 1
2
2
1
Vậy tập xác định của hàm số là −∞; ∪ [ 2; +∞ ) .
2
Câu 7: Các giá trị m để tam thức f ( x) = x 2 − ( m + 2) x + 8m + 1 đổi dấu 2 lần là
A. m ≤ 0 hoặc m ≥ 28 .
D. m > 0 .
B. m < 0 hoặc m > 28 .
C. 0 < m < 28 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
để tam thức f ( x) = x 2 − (m + 2) x + 8m + 1 đổi dấu 2 lần khi và chỉ khi
m > 28 .
2
∆ > 0 ⇔ ( m + 2 ) − 4 ( 8m + 1) > 0 ⇔ m 2 − 28m > 0 ⇔
m < 0
Câu 8: Tập xác định của hàm số f ( x) = 2 x 2 − 7 x − 15 là
3
A. −∞; − ÷∪ ( 5; +∞ ) .
2
3
−∞; − ∪ [ 5; +∞ ) .
2
3
C. −∞; − ÷∪ [ 5; +∞ ) .
2
B.
3
D. −∞; ∪ [ 5; +∞ ) .
2
Trang
3/18
Hướng dẫn giải
Chọn B
x ≥ 5
Điều kiện 2 x − 7 x − 15 ≥ 0 ⇔
.
x ≤ − 3
2
2
3
Vậy tập xác định của hàm số là −∞; − ∪ [ 5; +∞ ) .
2
Câu 9: Dấu của tam thức bậc 2: f ( x) = − x 2 + 5 x − 6 được xác định như sau
A. f ( x ) < 0 với 2 < x < 3 và f ( x ) > 0 với x < 2 hoặc x > 3 .
B. f ( x ) < 0 với −3 < x < −2 và f ( x ) > 0 với x < −3 hoặc x > −2 .
C. f ( x ) > 0 với 2 < x < 3 và f ( x ) < 0 với x < 2 hoặc x > 3 .
D. f ( x ) > 0 với −3 < x < −2 và f ( x ) < 0 với x < −3 hoặc x > −2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có bảng xét dấu
x
−∞
−
f ( x)
2
0
+
3
0
−
+∞
Vậy f ( x ) > 0 với 2 < x < 3 và f ( x ) < 0 với x < 2 hoặc x > 3 .
Câu 10:
x 2 − 4 x + 3 > 0
Tập nghiệm của hệ bất phương trình 2
là
x − 6 x + 8 > 0
A. ( −∞;1) ∪ ( 3; +∞ ) .
B. ( −∞;1) ∪ ( 4; +∞ ) . C. ( −∞; 2 ) ∪ ( 3; +∞ ) . D. ( 1; 4 ) .
Hướng dẫn giải
Chọn B
x < 1
x 2 − 4 x + 3 > 0
x < 1
x > 3
⇔
⇔
Ta có: 2
.
x − 6 x + 8 > 0
x > 4
x < 2
x > 4
x2 + 4x + 3 ≥ 0
Câu 11:
Hệ bất phương trình 2 x 2 − x − 10 ≤ 0 có nghiệm là
2
2 x − 5 x + 3 > 0
3
5
A. −1 ≤ x < 1 hoặc < x ≤ .
B. −2 ≤ x < 1 .
2
2
C. −4 ≤ x < −3 hoặc −1 ≤ x < 3 .
D. −1 ≤ x ≤ 1 hoặc
3
5
2
Hướng dẫn giải
Chọn A
Trang
4/18
x ≤ −3
2
x ≥ 1
x + 4x + 3 ≥ 0
−1 ≤ x < 1
2
5
Ta có: 2 x − x − 10 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ ⇔ 3
.
2
2
2
2 x − 5 x + 3 > 0
x < 1
x > 3
2
x2 + 5x + m
m
x
Xác định
để với mọi ta có −1 ≤ 2
< 7.
2 x − 3x + 2
Câu 12:
5
A. − ≤ m < 1 .
3
5
5
B. 1 < m ≤ .
C. m ≤ − .
3
3
Hướng dẫn giải
D. m < 1 .
Chọn A
Ta có: −1 ≤
x2 + 5x + m
< 7 có tập nghiệm là ¡ khi hệ sau có tập nghiệm là ¡
2 x 2 − 3x + 2
(do 2 x 2 − 3 x + 2 > 0 ∀x ∈ ¡ )
−1( 2 x 2 − 3x + 2 ) ≤ x 2 + 5 x + m
13x 2 − 26 x + 14 − m > 0 ( 1)
⇔
có tập nghiệm là ¡
2
2
2
3x + 2 x + m + 2 ≥ 0
2)
(
x
+
5
x
+
m
<
7
2
x
−
3
x
+
2
(
)
Ta có ( 1) có tập nghiệm là ¡ khi ∆ ' < 0 ⇔ −13 + 13m < 0 ⇔ m < 1 (3)
( 2)
có tập nghiệm là ¡ khi ∆ ' ≤ 0 ⇔ −5 − 3m ≤ 0 ⇔ m ≥ −
5
(4)
3
5
Từ (2) và (4), ta có − ≤ m < 1 .
3
x 2 + 4 x − 21
Câu 13:
Khi xét dấu biểu thức f ( x ) =
ta có
x2 − 1
A. f ( x ) > 0 khi −7 < x < −1 hoặc 1 < x < 3 .
B. f ( x ) > 0 khi x < −7 hoặc −1 < x < 1 hoặc x > 3 .
C. f ( x ) > 0 khi −1 < x < 0 hoặc x > 1 .
D. f ( x ) > 0 khi x > −1 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: x 2 + 4 x − 21 = 0 ⇔ x = −7; x = 3 và x 2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1 . Lập bảng xét dấu ta có
f ( x ) > 0 khi x < −7 hoặc −1 < x < 1 hoặc x > 3 .
Câu 14:
Tìm m để ( m + 1) x 2 + mx + m < 0, ∀x ∈ ¡ ?
A. m < −1 .
B. m > −1 .
4
C. m < − .
3
Hướng dẫn giải
D. m >
4
.
3
Chọn C
Với m = −1 không thỏa mãn.
Trang
5/18
a < 0
2
Với m ≠ −1 , ( m + 1) x + mx + m < 0, ∀x ∈ ¡ ⇔
∆ < 0
m < −1
m + 1 < 0
4
4
⇔
⇔
m < − ⇔ m < − .
2
3
3
−3m − 4m < 0
m > 0
2
Tìm m để f ( x ) = x − 2 ( 2m − 3) x + 4m − 3 > 0, ∀x ∈ ¡ ?
Câu 15:
A. m >
3
.
2
B. m >
3
.
4
3
3
2
Hướng dẫn giải
C.
D. 1 < m < 3 .
Chọn D
f ( x ) = x 2 − 2 ( 2m − 3) x + 4m − 3 > 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ < 0 ⇔ 4m 2 − 16m + 12 < 0 ⇔ 1 < m < 3 .
Với giá trị nào của a thì bất phương trình ax 2 − x + a ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ?
Câu 16:
A. a = 0 .
B. a < 0 .
C. 0 < a ≤
1
.
2
D. a ≥
1
.
2
Hướng dẫn giải
Chọn D
Để
bất
phương
trình
1
a ≥ 2
1 − 4a 2 ≤ 0
∆ ≤ 0
2
⇔
⇔
1
ax − x + a ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔
a > 0
a > 0
a ≤ − 2
a > 0
1
.
2
Câu 17:
Với giá trị nào của m thì bất phương trình x 2 − x + m ≤ 0 vô nghiệm?
1
1
A. m < 1 .
B. m > 1 .
C. m < .
D. m > .
4
4
Hướng dẫn giải
Chọn D
⇔a≥
Bất phương trình x 2 − x + m ≤ 0 vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình
∆ < 0
1
x 2 − x + m > 0, ∀x ∈ ¡ ⇔
⇔ 1 − 4m < 0 ⇔ m > .
4
1 > 0
2
Câu 18:
Cho f ( x) = −2 x + (m + 2) x + m − 4 . Tìm m để f ( x) âm với mọi x .
A. −14 < m < 2 .
C. −2 < m < 14 .
B. −14 ≤ m ≤ 2 .
D. m < −14 hoặc m > 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
∆ < 0
2
⇔ ( m + 2 ) + 8 ( m − 4 ) < 0 ⇔ m 2 + 12m − 28 < 0
Ta có f ( x ) < 0, ∀x ∈ ¡ ⇔
a < 0
⇔ −14 < m < 2 .
Trang
6/18
Câu 19:
Bất phương trình
1
1
2
− ≤
có nghiệm là
x−2 x x+2
3 + 17
3 − 17
∪
0,
2
∪
,
+∞
(
)
A. −2,
B. x ∉ { −2, 0, 2} .
÷
÷
2
÷.
2 ÷
C. −2 < x < 0 .
D. 0 < x < 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
x ≠ 0
Điều kiện
.
x ≠ ±2
x ( x + 2) − ( x − 2) ( x + 2) − 2 x ( x − 2)
1
1
2
− ≤
⇔
≤ 0.
Với điều kiện trên ta có
x−2 x x+2
( x − 2) x ( x + 2)
−2 x 2 + 6 x + 4
≤ 0.
( x − 2) x ( x + 2)
Ta có bảng xét dấu
⇔
x
−∞
f ( x)
3 − 17
2
−2
+
−
0
0
+
3 + 17
2
2
0
−
0
+
0
+∞
−
0
3 + 17
3 − 17
∪ ( 0, 2 ) ∪
, +∞ ÷
Vậy nghiệm của bất phương trình là −2,
÷
÷
÷.
2
2
Câu 20:
Tập nghiệm của bất phương trình
A. S = ( −∞, −4 ) ∪ ( −1,1) ∪ ( 4, +∞ ) .
C. S = ( −1,1) .
3x
< 1 là
x −4
2
B. S = ( −∞, −4 ) .
D. S = ( 4, +∞ ) .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Điều kiện x ≠ ±2
x 2 + 3x − 4
3x
3x
>
−
1
+
1
>
0
x 2 − 4 > 0
x 2 − 4
x 2 − 4
3x
3x
< 1 ⇔ −1 < 2
⇔
⇔ 2
<1 ⇔
x2 − 4
x −4
3x < 1
3x − 1 < 0
− x + 3x + 4 < 0
x 2 − 4
x 2 − 4
x 2 − 4
x < −4
Lập bảng xét dấu ta được nghiệm của bất phương trình là −1 < x < 1
x > 4
Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = ( −∞, −4 ) ∪ ( −1,1) ∪ ( 4, +∞ ) .
Câu 21:
Tìm
giá
trị
nguyên
của
k
để
bất
phương
trình
x − 2 ( 4k − 1) x + 15k − 2k − 7 > 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ¡ là
2
A. k = 2 .
2
B. k = 3 .
C. k = 4 .
Hướng dẫn giải
D. k = 5 .
Chọn B
Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ ¡ thì:
Trang
7/18
a = 1 > 0
2
⇔ ∆′ < 0 ⇔ ( 4k − 1) − 15k 2 + 2k + 7 < 0 ⇔ 2 < k < 4
′
∆ < 0
Vì k ∈ ¢ nên k = 3 .
Câu 22:
Có bao nhiêu giá trị m nguyên âm để mọi x > 0 đều thoả bất phương
(
trình x 2 + x + m
) ≥(x
2
− 3x − m ) ?
2
2
A. 0 .
B. 1 .
Chọn B
(
Ta có x 2 + x + m
) ≥(x
2
2
⇔ 4 x ( 2 x + m ) ( x − 1) ≥ 0
C. 2 .
Hướng dẫn giải
D. 3 .
− 3 x − m ) ⇔ ( x 2 + x + m ) − ( x 2 − 3x − m ) ≥ 0
2
2
2
Với m < 0 ta có bảng xét dấu
m
TH1: − ≥ 1
2
m
2
x
−∞
0
4x
-
0
+
||
+
||
+
-
||
-
0
+
||
+
-
||
-
||
-
0
+
-
0
+
0
-
0
+
x −1
2x + m
f ( x)
−
1
Từ Bảng xét dấu ta thấy để BPT nghiệm đúng với x > 0 thì −
TH 2: −
+∞
m
= 1 ⇔ m = −2
2
m
<1
2
m
2
x
−∞
0
4x
-
0
+
||
+
||
+
-
||
-
0
+
||
+
-
||
-
||
-
0
+
-
0
+
0
-
0
+
2x + m
x −1
f ( x)
−
+∞
1
Từ Bảng xét dấu ta thấy để BPT nghiệm đúng với x > 0 thì −
m
= 1 ⇔ m = −2
2
Vậy có 1 giá trị
Câu 23:
Bất phương trình
−7 < x < −2
A.
.
3 < x < 4
Lời giải
Chọn A
( x − 1 − 3) ( x + 2 − 5 ) < 0
−2 ≤ x < 1
B.
.
1 < x < 2
có nghiệm là
0 < x < 3
C.
.
4 < x < 5
−3 < x ≤ −2
D.
.
−1 < x < 1
Trang
8/18
Lập bảng phá dấu giá trị tuyệt đối giải BPT trong từng khoảng ta được
nghiệm là A.
Cách khác:
x − 1 > 3
x > 4
x −1 − 3 > 0
⇔ x − 1 < −3
⇔ x < −2 ⇔ −7 < x < −2
Trường hợp 1:
−5 < x + 2 < 5
−7 < x < 3
x + 2 −5 < 0
−3 < x − 1 < 3
−2 < x < 4
x −1 − 3 < 0
⇔ x + 2 > 5
⇔ x > 3
⇔ 3< x < 4
Trường hợp 2:
x + 2 < −5
x < −7
x + 2 −5 > 0
Câu 24:
Bất phương trình: − x 2 + 6 x − 5 > 8 − 2 x có nghiệm là:
Câu 25:
A. 3 < x ≤ 5 .
B. 2 < x ≤ 3 .
C. −5 < x ≤ −3 .
Hướng dẫn giải
D. −3 < x ≤ −2 .
Chọn A
Ta có − x 2 + 6 x − 5 > 8 − 2 x
1 ≤ x ≤ 5
− x 2 + 6 x − 5 ≥ 0
1 ≤ x ≤ 5
x>4
8
−
2
x
<
0
x
>
4
⇔
⇔
⇔ x ≤ 4
8
−
2
x
≥
0
x
≤
4
2
3 < x < 25
2
− x 2 + 6 x − 5 > ( 8 − 2 x )
−5 x + 38 x − 69 > 0
3
⇔ 3 < x ≤ 5.
Câu 26:
Bất phương trình:
2 x + 1 < 3 − x có nghiệm là:
(
1
A. − ; 4 − 2 2 ÷.
2
)
B. 3; 4 + 2 2 .
(
)
C. 4 − 2 2;3 .
(
)
D. 4 + 2 2; +∞ .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có: 2 x + 1 < 3 − x
2x + 1 ≥ 0
⇔ 3− x > 0
2
2 x + 1 < ( 3 − x )
1
x≥−1
x≥−
2
2
1
⇔
x<3
⇔
x<3
⇔ − ≤ x < 4 − 2 2.
2
− x 2 + 8x − 8 < 0
x
>
4
+
2
2
x < 4 − 2 2
2x2 − x − 6 ≤ 0
Câu 27:
Nghiệm của hệ bất phương trình: 3
là:
2
x + x − x −1 ≥ 0
A. –2 ≤ x ≤ 3 .
B. –1 ≤ x ≤ 3 .
C. 1 ≤ x ≤ 2 hoặc x = –1 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có 2 x 2 − x − 6 ≤ 0 ⇔ −
D. 1 ≤ x ≤ 2 .
3
≤ x ≤ 2, ( I ) .
2
Trang
9/18
x = −1
2
2
. ( II )
x3 + x 2 − x − 1 ≥ 0 ⇔ ( x + 1) ( x − 1) ≥ 0 ⇔ ( x − 1) ( x + 1) ≥ 0 ⇔
x ≥1
Từ ( I ) và ( II ) suy ra nghiệm của hệ là S = [ 1; 2] ∪ { −1} .
Câu 28:
Bất phương trình:
nguyên?
A. 0.
C. 2.
x4 − 2 x2 − 3 ≤ x2 − 5
có bao nhiêu nghiệm nghiệm
B. 1.
D. Nhiều hơn 2 nhưng hữu hạn.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt t = x 2 ≥ 0
2
Ta có t − 2t − 3 ≤ t − 5 .
t ≤ −1
2
Nếu t − 2t − 3 ≥ 0 ⇔
thì ta có t 2 − 3t + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ t ≤ 2 loại
t
≥
3
1 − 33
t ≤
2
2
2
Nếu t − 2t − 3 < 0 ⇔ −1 < t < 3 thì ta có −t + t + 8 ≤ 0 ⇔
loại.
1 + 33
t ≥
2
Câu 29:
2
Cho bất phương trình: x − 2 x ≤ x − 2 + ax − 6 . Giá trị dương nhỏ nhất của a
để bất phương trình có nghiệm gần nhất với số nào sau đây:
A. 0,5.
B. 1,6.
C. 2,2.
D. 2,6.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Trường hợp 1: x ∈ [ 2; +∞ ) . Khi đó bất phương trình đã cho trở thành
x 2 − ( a + 3) x + 8 ≤ 0 ⇔ a ≥ x +
8
− 3 ≥ 4 2 − 3 ≈ 2,65 ∀x ∈ [ 2; +∞ ) , dấu " = " xảy ra khi
x
x=2 2.
Trường hợp 2: x ∈ ( −∞; 2 ) . Khi đó bất phương trình đã cho trở thành
4
a ≥ x + − 1 khi x ∈ ( 0; 2 )
x
x 2 − ( a + 1) x + 4 ≤ 0 ⇔
a ≤ x + 4 − 1 khi x ∈ ( −∞;0 )
x
bất đẳng thức cauchy).
( 1)
( 2)
. Giải ( 1) ta được a > 3 (theo
4
4
− 1 ⇔ a ≤ −2 x. − 1 = −5 .
x
x
Vậy giá trị dương nhỏ nhất của a gần với số 2, 6 .
Giải ( 2 ) : a ≤ x +
Câu 30:
Số nghiệm của phương trình:
A. 0.
B. 1.
x + 8 − 2 x + 7 = 2 − x + 1 − x + 7 là:
C. 2.
Hướng dẫn giải
D. 3.
Chọn B
Điều kiện x ≥ −7 .
Trang
10/18
Đặt t = x + 7 , điều kiện t ≥ 0 .
2
t 2 + 1 − 2t = 2 − t 2 − 6 − t ⇔ t − 1 = 2 − t − t − 6
Ta có
Nếu
t ≥1
thì ta có
t 2 − t − 6 = 9 − 6t + t 2
⇔t =3⇔
3−t = t −t −6 ⇔
t ≤ 3
x+7 =3
2
⇔ x=2
t 2 − t − 6 = 1 + 2t + t 2
7
⇔ t = − ( l) .
Nếu t < 1 thì ta có 1 + t = t − t − 6 ⇔
3
t ≥ −1
2
(
Nghiệm của bất phương trình: x 2 + x − 2
Câu 31:
)
2 x 2 − 1 < 0 là:
5 − 13
A. 1;
÷∪ ( 2; +∞ ) .
2 ÷
9
B. −4; −5; − .
2
2 2
C. −2; −
÷
÷∪ 2 ;1÷
÷.
2
17
D. ( −∞; −5] ∪ 5; ∪ { 3} .
5
Hướng dẫn giải
Chọn C
(x
Câu 32:
2
+ x − 2)
2
x < −
2
2
2 2 .
2 x − 1 > 0
2
⇔
;1÷
2x −1 < 0 ⇔ 2
÷∪
2 ⇔ x ∈ −2; −
÷
2 ÷
x + x − 2 < 0
2
x >
2
−2 < x < 1
2 x2 − x − 1
≤ −2 x 2 + x + 1 có bao nhiêu nghiệm nguyên?
Bất phương trình
x +1 − 2x
A. 1.
C. 3.
B. 2.
D. Nhiều hơn 3 nhưng hữu hạn.
Hướng dẫn giải
Chọn B
• Nếu x ≥ −1 thì
⇔
⇔
2
2 x2 − x − 1
≤ −2 x 2 + x + 1 ⇔ 2 x − x − 1 ≤ −2 x 2 + x + 1
x + 1 − 2x
1− x
2 x 2 − x − 1 − ( 1 − x ) ( −2 x 2 + x + 1)
1− x
≤0⇔
2 x 2 − x − 1 − ( −2 x 2 + x + 1 + 2 x3 − x 2 − x )
1− x
≤0
x ( −2 x 2 + 5 x − 1)
−2 x3 + 5 x 2 − x
≤0 ⇔
≤0
1− x
1− x
5 + 17
x =
4
Cho x = 0 ; −2 x 2 + 5 x − 1 = 0 ⇔
; x −1 = 0 ⇔ x = 1
5 − 17
x =
4
5 − 17
5 + 17
Lập bảng xét dấu ta có: 0 ≤ x ≤
.
∨1 < x ≤
4
4
Vì là nghiệm nguyên nên có nghiệm là 0; 2
Trang
11/18
•
2
2 x2 − x − 1
≤ −2 x 2 + x + 1 ⇔ 2 x − x − 1 ≤ −2 x 2 + x + 1
Nếu x < −1 thì
x +1 − 2x
−1 − 3 x
⇔
⇔
2 x 2 − x − 1 − ( −1 − 3 x ) ( −2 x 2 + x + 1)
−1 − 3 x
≤0 ⇔
2 x 2 − x − 1 − ( 2 x 2 − x − 1 + 6 x3 − 3 x 2 − 3x )
−1 − 3 x
≤0
x ( −6 x 2 + x + 3)
−6 x3 + x 2 + 3x
≤0 ⇔
≤0
−1 − 3 x
−1 − 3x
1 + 73
x =
1
12
Cho x = 0 ; −6 x 2 + x + 3 = 0 ⇔
; −3 x − 1 = 0 ⇔ x = −
3
1 − 73
x =
12
1 − 73
1
1 + 73
Lập bảng xét dấu ta có:
.
≤ x < − ∨0≤ x ≤
12
3
12
Vì là nghiệm nguyên nên có nghiệm là 0 (loại)
Vậy bất phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên.
x2 − 1 ≤ 0
Câu 33:
Hệ bất phương trình
có nghiệm khi
x − m > 0
A. m > 1 .
B. m = 1 .
C. m < 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
D. m ≠ 1 .
x2 − 1 ≤ 0
−1 ≤ x ≤ 1
⇔
Ta có:
.
x > m
x − m > 0
Do đó hệ có nghiệm khi m < 1 .
Câu 34:
2
Xác định m để phương trình ( x − 1) x + 2 ( m + 3) x + 4m + 12 = 0 có ba nghiệm
phân biệt lớn hơn –1.
7
A. m < − .
2
7
16
C. − < m < −1 và m ≠ − .
2
9
16
.
9
7
19
D. − < m < −3 và m ≠ − .
2
6
Hướng dẫn giải
B. −2 < m < 1 và m ≠ −
Chọn D
x = 1
2
Ta có ( x − 1) x + 2 ( m + 3) x + 4m + 12 = 0 ⇔ 2
.
x + 2 ( m + 3) x + 4m + 12 = 0 ( *)
Giải sử phương trình ( *) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , theo Vi-et ta có
x1 + x2 = −2 ( m + 3)
.
x1.x2 = 4m + 12
2
Để phương trình ( x − 1) x + 2 ( m + 3) x + 4m + 12 = 0 có ba nghiệm phân biệt lớn
hơn –1 . thì phương trình ( *) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 1 và đều lớn
hơn −1 .
Trang
12/18
m 2 + 2m − 3 > 0
( m + 3) 2 − ( 4m + 12 ) > 0
∆′ > 0
m ≠ − 19
6m + 19 ≠ 0
6
⇔ 1 + 2 ( m + 3 ) + 4m + 12 ≠ 0 ⇔
⇔
x
+
1
+
x
+
1
>
0
(
)
(
)
2
x > x > −1
1
−2 ( m + 3) + 2 > 0
2
1
x +1 x +1 > 0
( 1 ) ( 2 )
4m + 12 − 2 ( m + 3) + 1 > 0
m > 1
m < −3
7
19
− 2 < m < −3
m ≠ −
⇔
.
6 ⇔
m < −2
m ≠ − 19
6
7
m > −
2
Câu 35:
Phương trình
( m + 1) x 2 − 2 ( m − 1) x + m2 + 4m − 5 = 0
có đúng hai nghiệm x1 , x2
thoả 2 < x1 < x2 . Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau
A. −2 < m < −1 .
B. m > 1 .
C. −5 < m < −3 .
Hướng dẫn giải
D. −2 < m < 1 .
Chọn A
2
2
Để phương trình ( m + 1) x − 2 ( m − 1) x + m + 4m − 5 = 0 có có đúng hai nghiệm x1 , x2
thoả 2 < x1 < x2 .
( m − 1) 2 − ( m + 1) ( m 2 + 4m − 5 ) > 0
∆′ > 0
m ≠ −1
.Theo Vi-et ta có
⇔ m + 1 ≠ 0 ⇔
x
−
2
+
x
−
2
>
0
(
)
(
)
x > x > 2
1
2
1
2
( x1 − 2 ) ( x2 − 2 ) > 0
2 ( m − 1)
x1 + x2 =
m +1
.
2
x .x = m + 4 m − 5
1 2
m +1
( m − 1) ( − m 2 − 5m − 6 ) > 0
−2 < m < 1
m ≠ −1
m < −3
⇒ 2 ( m − 1) − 4 > 0
⇔ m ≠ −1
⇔ −2 < m < − 1 .
−3 < m < −1
m +1
2
m > −3
m + 4m − 5 − 2. 2 ( m − 1) + 4 > 0
m +1
m + 1
Câu 36:
Nghiệm
dương
nhỏ
nhất
của
bất
phương
trình
x 2 - 4 x - 5 + 2 x + 9 £ x 2 - x + 5 gần nhất với số nào sau đây
A. 2,8 .
B. 3 .
C. 3, 5 .
Hướng dẫn giải
D. 4, 5 .
Chọn D
Trang
13/18
Lập bảng phá dấu giá trị tuyệt đối giải BPT trên ta được tập nghiệm là
x = −1
vậy nghiệm dương nhỏ nhất là x = 4,5 , đáp án D
x ≥ 9
2
1
1
2
Câu 37:
Tìm m để 4 x − 2m − > − x + 2 x + − m với mọi x ?
2
2
B. m <
A. m > 3 .
C. m >
3
.
2
3
.
2
D. −2 < m < 3
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta
thấy
4 x − 2m −
để
1
1
> − x2 + 2 x + − m
2
2
đúng
với
x
mọi
thì
1
− x 2 + 2 x + − m < 0, ∀x ∈ ¡
2
1
1
3
Hay − x 2 + 2 x + < m, ∀x ∈ ¡ ⇔ 1 + − m < 0 ⇔ m > .
2
2
2
Câu 38:
2
2
Cho bất phương trình: x + x + a + x − x + a ≤ 2 x ( 1). Khi đókhẳng định nào
sau đây đúng nhất?
A. (1) có nghiệm khi a ≤
1
.
4
B. Mọi nghiệm của( 1) đều không
âm.
C. ( 1) có nghiệm lớn hơn 1 khi a < 0 . D. Tất cả A, B, C đều đúng.
Hướng dẫn giải
Chọn D
2
1
1
Ta có x + x + a + x − x + a ≤ 2 x ⇔ x + ÷ + a − ÷ +
2
4
2
2
2
1
1
x − ÷ + a − ÷ ≤ 2x
2
4
Do vế trái luôn lớn hơn hoặc bằng 0 nên để BPT có nghiệm thì 2 x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0
nên B đúng.
1
1
Với a > BPT ⇔ 2 x 2 − 2 x + 2a ≤ 0 vô nghiệm hay BPT có nghiệm khi a ≤
nên
4
4
A đúng.
Khi a < 0 ta có x 2 + x + a = 0, x 2 − x + a = 0 có 4 nghiệm xếp thứ tự x1 < x2 < x3 < x4
Với x > x4 hoặc x < x1 ta có BPT: 2 x 2 − 2 x + 2a ≤ 0
Có nghiệm x1 < x < x2 và x1 + x2 = 1; x1 x2 < 0
Nên tồn tại nghiệm lớn hơn 1 vậy C đúng
2
2
Câu 39:
Cho bất phương trình: x + 2 x + m + 2mx + 3m − 3m + 1 < 0 . Để bất phương
trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:
Câu 40:
.
1
1
1
A. −1 < m < − .
B. −1 < m < .
C. − < m < 1 .
2
2
2
D.
1
< m < 1.
2
Trang
14/18
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: x 2 + 2 x + m + 2mx + 3m 2 − 3m + 1 < 0 ⇔ ( x + m ) + 2 x + m + 2m 2 − 3m + 1 < 0
2
⇔ ( x + m + 1) < −2m2 + 3m có nghiệm khi và chỉ khi −2m 2 + 3m > 1 ⇔
2
Câu 41:
2
Tìm a để bất phương trình x + 4 x ≤ a ( x + 2 + 1) có nghiệm?
A. Với mọi a .
B. Không có a .
C. a ≥ −4 .
Hướng dẫn giải
1
< m <1
2
D. a ≤ −4 .
Chọn A
Ta có: a + 1
2
x 2 + 4 x ≤ a ( x + 2 + 1) ⇔ ( x + 2 ) − a x + 2 − a − 4 ≤ 0
2
a2 a2
a a2
⇔ ( x + 2) − a x + 2 +
≤
+a+4 ⇔ x+2 − ÷ ≤
+a+4
4
4
2
4
a2
Bất phương trình đã cho có nghiệm khi + a + 4 ≥ 0 luôn đúng với ∀a .
4
Câu 42:
Để bất phương trình ( x + 5)(3 − x ) ≤ x 2 + 2 x + a nghiệm đúng ∀x ∈ [ −5;3] ,
2
tham số a phải thỏa điều kiện:
A. a ≥ 3 .
B. a ≥ 4 .
C. a ≥ 5 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
( x + 5) ( 3 − x )
D. a ≥ 6 .
≤ x 2 + 2 x + a ⇔ − x 2 − 2 x + 15 − x 2 − 2 x ≤ a
Đặt t = − x 2 − 2 x + 15 , ta có bảng biến thiên
x
−5
3
−1
16
2
− x − 2 x + 15
0
0
Suy ra t ∈ [ 0; 4] .Bất phương trình đã cho thành t 2 + t − 15 ≤ a .
2
Xét hàm f ( t ) = t + t − 15 với t ∈ [ 0; 4] .
Ta có bảng biến thiên
t
0
f ( t)
4
5
−15
Bất phương trình t 2 + t − 15 ≤ a nghiệm đúng ∀t ∈ [ 0; 4] khi và chỉ khi a ≥ 5.
Câu 43:
Với giá trị nào của m thìphương trình
A. m ≤
2
.
3
B. m < 0 hoặc m >
x 2 − 2m + 2 x 2 − 1 = x vô nghiệm?
2
.
3
C.
0≤m≤
D. m = 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Trang
15/18
2
.
3
Điều
kiện
2
2
x − 2m ≥ 0
x − 2m ≥ 0
⇔
.
2
x − 1 ≥ 0
x ∈ ( −∞; −1] ∪ [ 1; +∞ )
Phương
trình
trở
thành
2
2
2
x 2 − 2m = x − 2 x 2 − 1 ⇔ x − 2m = −3 x + 4 ⇔ 2 ( x − 1) = m ( 1)
với
2 3
2 3
x ∈ −
; −1 ∪ 1;
. Phương trình đã cho vô nghiệm khi phương trình ( 1)
3
3
vô nghiệm khi m < 0 hoặc m >
2
.
3
x 2 − 3x − 4 ≤ 0
Câu 44:
Cho hệ bất phương trình 3
2
x − 3 x x − m + 6m ≥ 0
Để hệ có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:
A. 2 ≤ m ≤ 8 .
B. –8 ≤ m ≤ 2 .
C. –2 ≤ m ≤ 8 .
D. –8 ≤ m ≤ –2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có x 2 − 3 x − 4 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 4 .
Trường hợp 1: x ∈ [ 0; 4] , bất phương trình hai trở thành x 3 − 3x 2 − m 2 + 6m ≥ 0
3
2
⇔ m 2 − 6m ≤ x3 − 3x 2 , mà x − 3 x ≤ 16 ∀x ∈ [ 0; 4] suy ra ⇔ m 2 − 6m ≤ 16 ⇔ −2 ≤ m ≤ 8 .
Trường hợp 2: x ∈ [ −1;0 ) , bất phương trình hai trở thành x3 + 3x 2 − m 2 + 6m ≥ 0
⇔ m 2 − 6m ≤ x 3 + 3 x 2 ,
mà
x 3 − 3x 2 ≤ 2 ∀x ∈ [ −1;0 )
suy
⇔ m 2 − 6m ≤ 2
ra
⇔ 3 − 11 ≤ m ≤ 3 + 11 .
Vậy –2 ≤ m ≤ 8 thì hệ bất phương trình đã cho có nghiệm.
x 2 − 5 x + 4 ≤ 0
Câu 45:
Hệ bất phương trình: 2
có tập nghiệm biểu diễn
2
2
x − (m + 3) x + 2(m + 1) ≤ 0
trên trục số có độ dài bằng 1, với giá trị của m là:
A. m = 0 .
B. m = 2 .
C. m = − 2 .
D. Cả A, B, C đều đúng.
Hướng dẫn giải
Chọn D
2
1 ≤ x ≤ 4
x − 5x + 4 ≤ 0
⇔
⇔ 1 ≤ x ≤ 2 . A đúng
Thay m = 0 vào ta có 2
1
≤
x
≤
2
x
−
3
x
+
2
≤
0
2
1 ≤ x ≤ 4
x − 5x + 4 ≤ 0
⇔
⇔ 2 ≤ x ≤ 4 . B đúng
Thay m = 2 vào ta có 2
2 ≤ x ≤ 3
x − 5x + 6 ≤ 0
Tương tự C đúng.
Để phương trình: x + 3 ( x − 2) + m − 1 = 0 có đúng một nghiệm, các giá trị của
tham số m là:
Câu 46:
A. m < 1 hoặc m >
29
.
4
B.
21
m < –
4
hoặc
m > 1.
Trang
16/18
C. m < –1 hoặc m >
21
.
4
D.
29
m < –
4
hoăc
m > 1.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có x + 3 ( x − 2 ) + m − 1 = 0 ⇔ m = 1 − x + 3 ( x − 2 )
Xét hàm số y = 1 − x + 3 ( x − 2)
− x 2 − x + 7 khi x ≥ −3
y
=
Ta có
2
x + x − 5 khi x < −3
Bảng biến thiên của y = 1 − x + 3 ( x − 2)
−∞
x
−
−3
+∞
1
2
+∞
29
4
y
1
−∞
m < 1
Dựa vào bảng trên phương trình có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi
m > 29
4
Phương trình x − 2 ( x + 1) + m = 0 có ba nghiệm phân biệt, giá trị thích hợp
của tham số m là:
9
9
A. 0 < m < .
B. 1 < m < 2 .
C. – < m < 0 .
D. –2 < m < 1 .
4
4
Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu 47:
Xét x − 2 ( x + 1) + m = 0
Với x ≥ 2 , ta có:
Với x < 2 , ta có:
( 1)
( 1) ⇔ ( x − 2 ) ( x + 1) + m = 0 ⇔ m = − x 2 + x + 2
( 1) ⇔ − ( x − 2 ) ( x + 1) + m = 0 ⇔ m = x 2 − x − 2
2
−
x + x + 2 khi x ≥ 2
Đặt f ( x ) = 2
x − x − 2 khi x < 2
Bảng biến thiên:
x
−∞
+∞
f ( x)
Dựa vào bảng biến thiên ta có −
1
2
2
+∞
0
9
−
4
−∞
9
< m < 0.
4
Trang
17/18
Câu 48:
2
2
Để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 10 x − 2 x − 8 = x − 5 x + a . Giá
trị của tham số a là:
45
C. a ∈ 4; .
4
Hướng dẫn giải
B. a ∈ ( 1; 10 ) .
A. a = 1 .
D. 4 < a <
43
.
4
Chọn D
2
2
Xét phương trình: 10 x − 2 x − 8 = x − 5 x + a
(1)
⇔ a = 10 x − 2 x 2 − 8 − x 2 + 5 x
2
2
Xét f ( x ) = 10 x − 2 x − 8 − x + 5 x
( 10 x − 2 x 2 − 8 ) − x 2 + 5 x
khi 10 x − 2 x 2 − 8 ≥ 0
=
2
2
2
− ( 10 x − 2 x − 8 ) − x + 5 x khi 10 x − 2 x − 8 < 0
−3x 2 + 15 x − 8 khi 1 ≤ x ≤ 4
= 2
khi x ≤ 1 ∨ x ≥ 4
x − 5x + 8
Bảng biến thiên:
x
−∞
5
2
1
+∞
+∞
4
+∞
43
4
f ( x)
4
4
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt
⇔ 4
43
.
4
2
2
Để phương trình sau cónghiệm duy nhất: 2 x − 3x − 2 = 5a − 8 x − x , Giá trị
của tham số a là:
A. a = 15 .
56
.
79
Hướng dẫn giải
C. a = −
B. a = –12 .
D. a = −
49
.
60
Chọn A
2
2
Xét phương trình: 2 x − 3x − 2 = 5a − 8 x − x
⇔ 5a = f ( x )
( 1)
( 2 x 2 − 3 x − 2 ) + 8 x + x 2 khi 2 x 2 − 3x − 2 ≥ 0
=
2
2
2
−2 x + 3 x + 2 + 8 x + x khi 2 x − 3x − 2 < 0
2
2
3x + 5 x − 2 khi 2 x − 3 x − 2 ≥ 0
= 2
2
− x + 11x + 2 khi 2 x − 3 x − 2 < 0
Bảng biến thiên:
5
x
−∞
−
6
f ( x ) +∞
−
1
2
2
+∞
+∞
Trang
18/18
49
12
Dựa vào bảng biến thiên ta có: phương trình (1) có nghiệp duy nhất
−
5a = −
49
−49
⇔a=
.
12
60
Trang
19/18
