Lý thuyết đàn hồi - Chương 8

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (167.56 KB, 11 trang )

z
x
o
y
h
dy
dx
z
x
b
a
x
b
a
mÆt trung gian
sau biÕn d¹ng
tríc biÕn d¹ng
CHƯƠNG 8 : TẤM MỎNG CHỊU UỐN
$8.1. KHÁI NIỆM CHUNG
Tấm là vật thể dạng hình trụ hay lăng trụ có chiều cao nhỏ hơn nhiều so
với các kích thước ở đáy (h << a, h << b). (Hình 8.1)
Hình 8.1
Tùy theo dạng của đáy mà người ta phân ra: tấm tròn, elip, vuông, đa
giác, tam giác, chữ nhật…
Mặt phẳng chia đôi chiều cao của tấm được gọi là mặt trung gian.
Giao tuyến của mặt xung quanh với mặt trung gian gọi là chu tuyến của
tấm.
Khi nghiên cứu tấm ta chọn mặt tọa độ Oxy trùng với mặt trung gian trục
z hướng xuống. Khi đó chuyển vị w theo phương trục z sẽ là độ võng của tấm.
Việc chọn gốc tọa độ tùy theo trường hợp cụ thể của dạng chu tuyến và đặc tính
liên kết biên.

(Hiện nay, người ta đã sử dụng nhiều các tấm trong xây dựng: Tấm lát,
tấm panen, các tấm bê tông và bê tông cốt thép để làm mái các nhà công nghiệp,
làm móng các nhà lớn…)
- Các tấm được dùng trong các kết cấu xây dựng là tấm mỏng. Tấm mỏng
là tấm có tỷ số chiều dày h và kích thước nhỏ nhất ở đáy là:
100
1
≤
b
h
≤
5
1
Hoặc
h
w
max
≤
5
1
- Trường hợp
b
h
>
5
1
: Được tính theo lý thuyết tấm dày
- Các tấm có
b
h

≤
100
1
được gọi là màng
h
wmax
>
5
1
Tấm mỏng được tính theo lý thuyết gần đúng, còn gọi là lý thuyết kỹ
thuật, dựa trên những giả thiết của (Kirchhoff).
1. Giả thiết pháp tuyến thẳng:
Hình 8.2
63
Một phân tố thẳng vuông góc với mặt phẳng trung gian của tấm vẫn thẳng
và vuông góc với mặt trung gian sau biến dạng, chiều dài của phân tố đó không
thay đổi.
Điều kiện pháp tuyến thẳng và vuông góc cho ta biết góc vuông giữa pháp
tuyến và các trục x,y vẫn vuông góc. Do đó:
γ
yz
= γ
xz
= 0 (8.1)
Điều kiện chiều dài của phân tố không đổi:
ε
z
= 0 (8.2)
2. Giả thiết về các lớp của tấm không chèn ép lên nhau:
Có nghĩa: σ

z
= 0 (8.3)
3. Giả thiết về sự không co giãn của mặt trung gian:
Tức mặt trung gian chỉ có chuyển vị theo phương vuông góc với nó,
chuyển vị theo các phương khác nhau rất nhỏ nên có thể bỏ qua:



≠
==
0w
0vu
00
(8.4)
Các kết quả tính toán dựa trên các giả thiết trên cho thấy chúng khá phù
hợp với thực nghiệm.
$8.2 CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG TRONG TẤM CHỊU UỐN
Giả sử tấm chịu tải trọng tác dụng vuông góc với mặt trung gian. Khi đó
trong tấm phát sinh các chuyển vị. Ta sử dụng các giả thuyết để xác định chúng.
Từ giả thuyết 1: ε
z
= 0 hay ε
z
=
z
w
∂
∂
= 0
⇒

Chuyển vị w là hàm không
phụ thuộc z
⇒
w = w(x,y). Nghĩa là với mọi điểm nằm trên 1 đường vuông góc
với mặt trung gian có chuyển vị như nhau. Vì vậy chỉ cần xác định độ võng của
mặt trung gian là đủ.
Từ (8.1) ta có:







=
∂
∂
+
∂
∂
=
=
∂
∂
+
∂
∂
=
0
0

z
u
x
w
y
w
z
v
zx
yz
γ
γ
⇔







∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂

x
w
z
u
y
w
z
v
(8.5)
Lấy tích phân (8.5) theo z ta có:
u = -z
x
w
∂
∂
+f
1
(x,y)
v = -z
y
w
∂
∂
+f
2
(x,y)
Trong đó f
1
, f
2

là các hàm của 2 biến (x,y). Để xác định f
1
(x,y), f
2
(x,y)
Tại z = 0 ta có: u(0) = f
1
(x,y) ; v(0) = f
2
(x,y).
Theo giả thiết 3 ta có u(0) = f
1
(x,y) = 0 ; v(0) = f
2
(x,y) = 0
64
x
σ
y
σ
yz
τ
yx
τ
y
-h/2h/2
x
dx
dy
z

o
xy
τ
xz
τ
⇒







∂
∂
∂
∂
y
w
z- = v
x
w
z- =u
(8.6)
Thay (8.6) vào phương trình biến dạng Cauchy ta có:
ε
x
=
x
u

∂
∂
=-z
2
2
x
w
∂
∂
ε
y
=
y
u
∂
∂
=-z
2
2
y
w
∂
∂
(8.7)
γ
xy
=
y
u
∂

∂
+
x
u
∂
∂
=-2z
yx
w
∂∂
∂
2
Từ (8.6) và (8.7) cho thấy các thành phần chuyển vị và biến dạng trong
tấm chỉ biểu diễn qua một hàm độ võng của mặt trung gian của tấm.
$8.3 CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC TRONG TẤM CHỊU UỐN
Xét một phân tố được tách ra từ 2 mặt phẳng vuông góc với trục x cách
nhau 1 đoạn dx và 2 mặt phẳng vuông góc với trục y cách nhau 1 đoạn dy.
Chiều cao của phân tố bằng bề dày của tấm.
Hình 8.3
+ Tại điểm có tọa độ z:
- Trên mặt vuông góc với trục x có các ứng suất: σ
x
, T
xy
, T
xz
.
- Trên mặt vuông góc với trục y có các ứng suất: σ
y
, T

yx
, T
yz
.
Theo giả thiết 1 => T
xz
= T
yz
= 0
Trong thực tể các ứng suất này khác 0 vì nếu không có nó, sẽ không thõa
mãn điều kiện cân bằng của phân tố được tách ra để khảo sát. Nhưng các ứng
suất này nhỏ so với các ứng suất σ
x
, σ
y
, T
xy
nên có thể bỏ qua.
+ Khi đã biết biến dạng theo (8.7), dựa vào địng luật Hooke ta nhận được
các ứng suất theo chuyển vị w:
65
y
x
z
o
dx
dy
h/2 -h/2
y
x

z
o
Mx
My
Mxy
Myx
o
z
x
y
σ
x
=
2
1
µ
−
E
(ε
x
+ με
y
) =
2
1
.
µ
−
− zE









∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
y
w
x
w
µ
;
σ
y
=
2
1
µ
−
E

(ε
y
+ με
x
) =
2
1
.
µ
−
− zE








∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
x
w

y
w
µ
; (8.8)
T
xy
=
)1(2
µ
−
E
γ
xy
=
µ
−
−
1
Ez
.
yx
w
∂∂
∂
2
Vì w không phụ thuộc vào z nên từ (8.8) ta thấy các ứng suất σ
x
, σ
y
, T

xy
là
hàm bậc nhất của z. Tức là ứng suất phân bố tỉ lệ bậc nhất với khoảng cách tính
từ mặt trung gian.(Góc tọa độ 0 nằm trên mặt trung gian)
Hình 8.4
- Đối với ứng suất qui luật phân bố này tương tự như dầm phẳng.
- Đối với ứng suất tiếp qui luật phân bố này tương tự như thanh bị xoắn có
mặt cắt hình chữ nhật. Những ứng suất này hợp thành những moment uốn và
những moment xoắn trên mặt cắt của bản.
* Gọi M
x
, M
y
là các moment uốn tác dụng trên 1 đoạn mặt cắt ngang dài
bằng 1 đơn vị và vuông góc với trục x, trục y.
* M
xy
và M
yx
là moment xoắn tác dụng trên 1 đoạn mặt cắt ngang dài bằng
1 đơn vị và vuông góc với trục x, trục y.
Qui ước dấu:
M
x
, M
y
> 0 : Khi căng thớ ở phía (+) của trục z
M
xy
, M

yx
> 0 : Khi ta nhìn theo chiều mặt cắt nó quay thuận chiều
kim đồng hồ.
Hình 8.5
66
* Để xét sự cân bằng của phân tố ta phải tính các nội lực của phân tố:
Moment uốn, moment xoắn và các lực cắt tác dụng lên phân tố.
1. Tính moment uốn:
a. Tính M
x
: (Hình 8.3)
Mx.dy =
∫
−
2
2
h
h
(σx.dy.dz)(z +
2
dz
) (*)
Bỏ qua thành phần VCB bậc cao σ
x
.dy.dz.dz/2:
(*)
⇔
M
x
=