Lý thuyết đàn hồi - Chương 3
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (148.3 KB, 8 trang )
y
z
x
M N
QP
α
β
dy
y
v
v
∂
∂
+
y
x
M1
P(x,y+dy)
M(x,y) N(x+dx,y)
U
V
dx
dy
N2
N1
P1
O
dx
x
v
v
∂
∂
+
dy
y
u
u
∂
∂
+
dx
x
u
u
∂
∂
+
CHƯƠNG 3
LÝ THUYẾT TRẠNG THÁI CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
§3.1. PHƯƠNG TRÌNH QUAN HỆ GIỮA CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Xét biến dạng của phần tử vật chất lấy tại điểm M(x,y,z). Với các biến
dạng là bé, ta có thể quan sát biến dạng của phần tử qua biến dạng các hình
chiếu của nó trên các mặt phẳng tọa độ.
(Hình 3.1)
+ Xét biến dạng trong mặt phẳng xoy (H.3.2). Phân tố chữ nhật MNQP với các
cạnh ban đầu dx, dy sau biến dạng trở thành phân tố M
1
N
1
Q
1
P
1
.
(Hình 3.2)
- Điểm M(x,y) có chuyển vị theo phương x,y là : u; v.
- Điểm N(x+dx,y) có các chuyển vị theo phương x,y, khai triển Taylor bỏ qua
các vô cùng bé bậc cao là : u +
dx.
x
u
∂
∂
; v+
dx.
x
v
∂
∂
15
- Điểm P(x,y+dy) có các chuyển vị theo phương x,y là : u +
dy.
y
u
∂
∂
; v+
dy.
y
v
∂
∂
- Biến dạng dài tương đối của các cạnh theo phương x,y là ε
x
, ε
y
.
- Biến dạng góc trong mặt phẳng đang xét xoy là γ
xy
= α+β.
Theo giả thiết biến dạng bé, ta có : /ε
x
/<< 1; /ε
y
/<< 1; /α/ << 1; /β/ << 1
Sử dụng các công thức gần đúng :
1cos;1cos
tgsin;sintg
≈β≈α
β≈β≈βα≈α≈α
3.1.1.Tính biến dạng dài tương đối :
Ta có :
MN
MNNM
11
x
−
=ε (a)
Trong đó : MN = dx
M
1
N
1
=
21
21
11
NM
cos
NM
NM ≈
α
=
Từ hình vẽ ta có :
dx)
x
u
1(udx.
x
u
udxNM
21
∂
∂
+=−
∂
∂
++=
x
u
dx
dxdxdx)
x
u
1(
MN
MNNM
)a(
11
x
∂
∂
=
−+
∂
∂
+
=
−
=ε⇔
Tương tự ta có :
y
v
y
∂
∂
=ε
(b)
3.1.2.Tính biến dạng góc: γ
xy
= α+β
Góc quay của cạnh MN sẽ là :
α ≈ tgα =
21
21
NM
NN
=
x)
x
u
1(
v)dx
x
u
v(
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
+
=
x
u
1
x
v
∂
∂
+
∂
∂
=
x
1
x
v
ε+
∂
∂
Theo giả thiết biến dạng bé ta có ε
x
<< 1 có thể bỏ qua ε
x
so với 1
α =
x
v
∂
∂
16
z
y
n
K
x
dy
dx
dz
M
y
z
x
M1
K1
Tương tự β =
y
u
∂
∂
=> γ
xy
= α+β=
x
v
∂
∂
+
y
u
∂
∂
(c)
Các kết quả (b) và (c) cho trong mặt phẳng xoy được sử dụng cho hai mặt phẳng
còn lại yoz và zox. Bằng cách hoá vị vòng các chỏ số theo thứ tự của tam diện
thuận x,y,z ta nhận được quan hệ chuyển vị và các biến dạng như sau :
x(u)
y(v) z(w)
∂
∂
+
∂
∂
=γ
∂
∂
=ε
∂
∂
+
∂
∂
=γ
∂
∂
=ε
∂
∂
+
∂
∂
=γ
∂
∂
=ε
x
w
z
u
;
z
w
)1.3(
z
v
y
w
;
y
v
y
u
x
v
;
x
u
zxz
yzy
xyx
Công thức (3.1) thiết lập mối quan hệ tuyến tính giữa các thành phần biến
dạng và các chuyển vị xét ở thời điểm t, được gọi là phương trình quan hệ hình
học CAUCHY
Từ (3.1) có thể kết luận các biến dạng là bé khi đạo hàm bậc nhất các
chuyển vị theo phương toạ độ là bé.
§3.2 TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG - TENXƠ BIẾN DẠNG
3.2.1.Biến dạng dài tương đối theo phương bất kỳ :
Hệ (3.1) cho phép ta tính biến dạng dài tương đối theo các phương x,y,z.
Đặt vấn đề làm sao tính biến dạng dài tương đối theo phương bất kỳ ?
(Hình 3.3)
Trong hệ trục toạ độ Descartes.Xét vi phân chiều dài MK= ds theo phương
n với các cosin chỉ phương là l,m,n.
17
Hình chiếu của ds lên các trục x,y,z là dx, dy, dz.
l = cos (
x,n
) =
ds
dx
cóntoVéc
m = cos (
y,n
) =
ds
dy
(a)
n = cos (
z,n
) =
ds
dz
+Ở trạng thái ban đầu, toạ độ điểm đầu và điểm cuối của vi phân MK là
M(x,y,z) và K(x+dx, y+dy, z+dz)
+Điểm M(x,y,z) chuyển vị theo ba phương x,y,z là u,v, w.
+Điểm K(x+dx, y+dy, z+dz) chuyển vị theo ba phương là : u+du; v+dv;
w+dw.
Với du, dv, dw là các vi phân toàn phần của thành phần chuyển vị u,v,w.
du =
x
u
∂
∂
.dx +
y
u
∂
∂
.dy +
z
u
∂
∂
.dz
dv =
x
v
∂
∂
.dx +
y
v
∂
∂
.dy +
z
v
∂
∂
.dz
dw =
x
w
∂
∂
.dx +
y
w
∂
∂
.dy +
z
w
∂
∂
.dz
+ Sau biến dạng MK trở thành M
1
K
1
= ds
1
trong đó :
M(x,y,z) trở thành M
1
( x+u, y+v, z+w).
K(x+dx, y+dy, z+dz) trở thành K
1
(x+dx+u+du, y+dy+v+dv, z+dz+w+dw).
+ Chiều dài vi phân trước biến dạng: ds
2
= dx
2
+ dy
2
+ dz
2
(b)
+ Chiều dài vi phân ds
1
sau biến dạng:
ds
1
2
= (dx+du)
2
+ (dy+dv)
2
+ (dz+dw)
2
(c)
Biến dạng dài tương đối theo phương n của ds. Ký hiệu ε
n
là :
ε
n
=
ds
dsds
1
−
=
ds
ds
1
- 1
(ε
n
+ 1)
2
=
2
2
1
ds
ds
1+2ε
n
+ ε
n
2
=
2
2
1
ds
ds
ε
n
=
2
2
2
1
ds2
dsds −
(d)
(Với giả thiết biến dạng bé có thể bỏ qua ε
n
2
so với ε
n
)
Tính ds
1
2
= [dx + (
x
u
∂
∂
.dx +
y
u
∂
∂
.dy +
z
u
∂
∂
.dz)]
2
+
+ [dy + (
x
v
∂
∂
.dx +
y
v
∂
∂
.dy +
z
v
∂
∂
.dz)]
2
+
18
+ [dz + (
x
w
∂
∂
.dx +
y
w
∂
∂
.dy +
z
w
∂
∂
.dz)]
2
. (e)
Khai triển (e) và bỏ qua các thành phần vô cùng bé bậc cao
(
x
u
∂
∂
.dx+
y
u
∂
∂
.dy+
z
u
∂
∂
.dz)
2
;(
x
v
∂
∂
.dx+
y
v
∂
∂
.dy+
z
v
∂
∂
.dz)
2
;(
x
w
∂
∂
.dx+
y
w
∂
∂
.dy+
z
w
∂
∂
.dz)
2
so với
x
u
∂
∂
;
y
v
∂
∂
;
z
w
∂
∂
...(vì theo giả thiết biến dạng bé
x
u
∂
∂
;
y
v
∂
∂
;
z
w
∂
∂
... << 1) và rút gọn :
(e) ds
1
2
= (dx
2
+ dy
2
+ dz
2
) + 2 [(
x
u
∂
∂
.dx
2
+
y
u
∂
∂
.dxdy +
z
u
∂
∂
.dxdz) +
+ (
x
v
∂
∂
.dxdy +
y
v
∂
∂
.dy
2
+
z
v
∂
∂
.dydz) +
+ (
x
w
∂
∂
.dxdz +
y
w
∂
∂
.dydz +
z
w
∂
∂
.dz
2
)].
ds
1
2
- ds
2
= 2 [(
x
u
∂
∂
.dx
2
+
y
u
∂
∂
.dxdy +
z
u
∂
∂
.dxdz) +
+(
x
v
∂
∂
.dxdy +
y
v
∂
∂
.dy
2
+
z
v
∂
∂
.dydz) +
+ (
x
w
∂
∂
.dxdz +
y
w
∂
∂
.dydz +
z
w
∂
∂
.dz
2
)].
Theo (d)
2
2
2
1
n
ds2
dsds −
=ε
=>
.
ds
dz
.
z
w
ds
dydz
.
y
w
ds
dxdz
.
x
w
ds
dydz
.
z
v
ds
dy
.
y
v
ds
dxdy
.
x
v
ds
dxdz
.
z
u
ds
dxdy
.
y
u
ds
dx
.
x
u
2
2
22
22
2
2
222
2
n
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=ε⇔
Thay
ds
dz
n;
ds
dy
m;
ds
dx
l ===
và biểu thức (3.1) vào ε
n
:
⇒ ε
n
= ε
x
.l
2
+ ε
y
.m
2
+ ε
z
.n
2
+ γ
xy
.lm + γ
yz
.mn + γ
zx
.nl (3.4).
ε
n
= ε
x
.l
2
+ ε
y
.m
2
+ ε
z
.n
2
+ 2
++
nl
zx
mn
yz
lm
xy
222
γγγ
Đặt
xy
xy
γ
γ
=
2
;
yz
yz
γ
γ
=
2
;
zx
zx
γ
γ
=
2
ta có :
19
