MOBILISATION DE LA MATHÉMATISATION
DANS L’ENSEIGNEMENT DES
PROBABILITÉS À L’ÉCOLE GÉNÉRALE
Nguyen Thi Tan An
Doctorante 2009-2013


1. Probabilités dans les programmes
2. « Littératie propabiliste »
3. Processus de mathématisation
4. Recherche
5. Discussion et conclusion


Programme de mathématiques 11 - option avancée
(11 séances)
§ Événements et probabilité d’un événement
§ Règles de calcul des probabilités
§ Variables aléatoires discrètes
Notions de base: expérience, univers, événement lié à une expérience, ensemble
descriptif d’un événement, résultats favorables à un événement, réunion &
intersection de 2 événements, 2 événements incompatibles, 2 événements
indépendants
- Notion de variable aléatoire discrète & ses caractéristiques importantes telles que
espérance, variance & écart-type. Connaître la formule & comprendre la
signification
- Calculer la probabilité d’un événement selon la définition classique;
- Appliquer les règles de l’addition, de la multiplication pour résoudre quelques
problèmes simples;
- Établir le tableau de distribution de probabilité, calculer l’espérance, la variance,
l’écart-type d’une variable aléatoire discrète simple;

Exercices dans manuel: 28/38 ≈ 73.7%, ayant le contenu réel
Types de tâches principaux: 1 et 2
No
Types de tâches
Savoir
Nombre
d’or
mathématique
d’exercice
dre
attendu
1

Calculer la probabilité

Définition classique

18/38
(47.4%)

Règle de l’addition 10/38
et/ou règle de la (26.3%)
multiplication
2

3

Calculer

l’espérance,
la variance,
l’écart-type

Tableau de
distribution de
probabilité donné
Tableau de
distribution de
probabilité à établir

Formule(s) de
l’espérance, de la
variance, de l’écarttype

Calculer la valeur moyenne Formule de
d’une variable aléatoire discrète l’espérance

5/38
(13.2%)
3/38
(7.9%)
1/38
(2.6%)


2. « littératie probabiliste »
Réalité: prévision financière, météorologie, risque sanitaire, risque de
faillite des entreprises, politique d’assurance, chance de gagner dans
un jeu...

 Chaque individu doit établir une littératie des probabilités pour
répondre efficacement à chacune des situations mentionnées.
Iddo Gal (2005):
• Les probabilités sont un domaine important des mathématiques que
l’élève a le droit d’apprendre comme une partie de l’éducation
comtemporaine;
• Les probabilités fournissent aux élèves les connaissances
nécessaires à la vie  Élèves deviennent les citoyens ayant « la
littératie probabiliste »


littératies
mathématiques

littératie quantitative

littératie spatiale

littératie
numérique

littératie statistique

littératie
probabiliste
Schéma 1. Liens entre littératie probabiliste et littératies mathématiques


littératie probabiliste est la capacité de comprendre, d’interpréter,
de donner des jugements critiques devant les situations ayant des

éléments probabilistes rencontrés dans la vie quotidienne
littératie probabiliste
Connaissances

Tendance

- Connaissance probabiliste de - Croyance, attitude
base
- Position, point de vue
- Connaissance mathématique
- Connaissance de la situation
- Connaissance linguitique
- Esprit critique
Tableau 2. Composants de la littératie probabiliste


3. Processus de mathématisation

Mathématisation (ou Modélisation mathématique): processus de
transformation d’un problème réel en un problème mathématique
par la mise en place & la résolution des modèles mathématiques, la
représentation & l’évaluation de la solution dans la situation réelle,
l’amélioration du modèle si la solution est inacceptable (PISA, 2006).


Situation
réelle

(1)


(2)

(4)

Résultat
réel

Modèle
mathématiq
ue

(3)

Résultat
mathématiq
ue

Schéma 2. Processus de mathématisation

Étape 1 – Transformation du problème réel en problème mathématique
Étape 2 - Résolution
Étape 3 – Transformation du résultat mathématique en résultat réel
Étape 4 - Réflexion


4. Recherche
Comment les élèves résolvent-ils les situations probabilistes réelles?
Comment introduire le processus de mathématisation dans
l’enseignement pour aider les élèves à se développer la littératie
probabiliste?

Concevoir la recherche
• 2 groupes d’èlèves de classe 11, une situation à résoudre pour chaque
groupe

• Élèves ont appris le chapitre “Combinatoire & probabilités”
• Chaque groupe se divise en 3 sou-groupes: contact avec situation  travail
individuel  discussion en groupe  mise en commun de la résolution.
• 2 situations réelles: contenu mathématique appartenant au programme,
contexte: tombola.
• Chaque sous-groupe: observé par un enseignant qui note les avis d’élèves
et pose les questions concernant la mathématisation en cas nécessaire.
• Analyse: se concentre sur les étapes du processus de mathématisation
(implicite) lorsque les élèves résolvent une situation probabiliste réelle


Jeu dans un stand de la foire de printemps: une plaque
ronde à aiguille et un sac de billes (image ci-contre).
Chaque fois, le joueur tourne la plaque et saisit une bille. Il
gagne si l’aiguille s’arrête devant un nombre paire et si la
bille saisie est noire.
Thuy joue une fois. Quelle est la possibilité de gagner de Thuy?
A. Impossible
B. Peu de possibilité (<50%)
C. Moitié-moitié (50%)
D. Beaucoup de possibilité (>50%)

E. Certain

Reconnaître les informations importantes de la situation;
“Interpréter” l’exigence de la situation  Calculer la probabilité que Thuy gagne;

Choisir les outils pour résoudre:
- Définition classique: P = nombre de résultats favorables / nombre
d’éléments de l’univers;
- Probabilité de gagner: probabilité que 2 événements indépendants “nombre
paire” & “bille noire” se produisent simultanément  règle de la multiplication;
Répondre à la question posée par la situation.


A l'occasion du 26 mars, l‘Union des Jeunes de l’école organise une
foire caritative à laquelle le stand de chaque classe contribue l’argent
recueilli. La classe 11A décide d'organiser une tombola. Lam propose
comme suit: Le joueur paie 10.000 dong par jeu. Il choisit deux
naturels de 1 à 10 et tourne la roue numérotée. Si cette dernière
s’arrête à un de deux nombres choisis, le joueur reçoit 60.000 dong.
Es-tu d'accord avec Lam? Pourquoi?

- Comprendre la situation et son exigence
- Établir le modèle mathématique: comparer la probabilité de gagner à celle de perdre
 incorrect
Enseignant: “Comparer la somme moyenne à payer aux gagnants à la somme
recueillie moyenne”  4 élèves reconnaissent un calcul de l’espérance (en se basant
sur mot-clé “somme moyenne”) mais ne savent par où ils commencent.
Enseignant: “Soit X la somme à payer au gagnants. Établir le tableau de distribution de
probabilité de X et calculer E(X).”
- Effectuer bien les étapes de résolution

8
2
E ( X ) = 0. + 60000. = 12000 > 10000
10

10

- Répondre à la question posée par la situation

(1)


5. Discussion et conclusion

Les élèves ne connaissent pas le processus de mathématisation, mais en
face d’une situation réelle, ont la tendance d’effectuer 3 étapes du processus:
1. Transformer le problème réel en problème mathématique: comprendre
la demande de la situation, reconnaître les informations précieuses, les
grandeurs qui influence sur la situation. Essayer de construire le modèle
mathématique correspondant, mais parfois non convenable à cause des
erreurs dans la pensée, le raisonnement.
2. Résoudre le problème: assez bien effectué car la situation a été
reformulée sous forme mathématique et sa demande est similaire au types de
tâches appris bien qu’il existe des erreurs dans le calcul numérique,
l’application des formules, les règles du dénombrement


3. Transformer le résultat mathématique en résultat réel: Après avoir
obtenu le résultat mathématique, répondre seulement à la question de la
situation, pas étudier la signification du résultat.
4. Refléter: Les élèves presque n’ont pas l’habitude d'effectuer cette étape,
mais si l’enseignant leur pose des questions après chaque situation réelle
pour les aider à réfléchir sur la raisonnabilité de la solution, à connaître les
facteurs qui influencent sur le résultat, à étudier la validité du processus de
mathématisation  élèves se forment progressivement l'habitude de refléter

après chaque processus de résolution, l’enseignant obtient une vue globale
sur la compréhension de ses élèves


Pour aider les élèves à se développer la littératie probabiliste, l’enseignant
devrait:
- enseigner les notions, les formules, les règles, les tâches de calcul
- enseigner pour que les élèves soient capables de comprendre, d’interpréter,
de refléter en face d’une situation probabiliste réelle, de reconnaître le lien
bidirectionnel entre probabilités et réalité.
- faire attention aux composants de la littératie probabiliste
- enseigner implicitement le processus de mathématisation à travers des
exemples réels avec des types de tâches réelles, en mettant l’accent sur la
construction du modèle mathématique et la réflexion.


Références bibliographiques
1. MEF (2007), Guide pour l’enseignant dans la mise en oeuvre du programme, du
manuel de la classe 11 – Mathématiques. Maison d’édition de l’Éducation.
2. Gabriele Kaiser, Werner Blum, Rita Borromeo Ferri, Gloria Stillman (2011). Trends
in Teaching and Learning of Mathematical Modelling. Springer.
3. Gal, I. (2004). Statistical Literacy: Meaning, Components, Responsibilities. In
D.Ben-Zvi and J.Garfield (eds.), The challenge of developing statistical literacy,
reasoning, and thinking (pp. 47-78). Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic
Publishers.
4. Gal, I. (2005). Towards "Probability Literacy" for All Citizens: Building Blocks and
Instructional Dilemmas Reflections. In Graham A. Jones (Ed.), Exploring probability
in school: Challenges for teaching and learning (pp. 39-63). New York: Springer.
5. OECD (2006). A Framework for PISA 2006 – Assessing Scientific, Reading and
Mathematical Literacy. OECD, Paris, France.

6. Werner Blum, Peter L. Galbraith, Hans-Wolfgang Henn, Mogens Niss (2007).
Modelling and Applications in Mathematics Education. Springer.