Gv. Trần Mạnh Tùng - THPT Liễu Giai, THPT Lơng Thế Vinh HN 091 3366 543 tungtoan.sky.vn
Chơng Vi. Công thức lợng giác
----- -----
1. Trên đờng tròn lợng giác, xác định các điểm M khác nhau, biết rằng cung AM có số đo:
a)
2
k

b)
6 3
k

+
c) k
3
4 4
k

+
d) -
4

+ k
2

.
2. Tìm số đo của các cung tạo bởi họ các điểm M (M
1
, M
2
, ...)

a) b) c)
3. Rút gọn:
a) sin
3
13

b) cos
4
11


c) tan
4
21

d) cot
3
20



e) sin(

+
2

) f) cos (

+
2


) g) sin(

+k

) h) tan(

+k

)
i) A = tan10
0
.tan20
0
...tan80
0
B = sin1170
0
cos180
0
+ tan315
0
cot585
0
- cos(-675
0
)sin765
0
C = sin(
2


- x) + cos(

- x) - tan(

+ x) - cot(
2
3

- x).
4. Tìm góc

thoả mãn đoạn chỉ ra
a)
3
2 ;
6 3 2 2
k



= +


b)
;
4 2 2
k




= +


.
5. Chứng minh rằng:
a) sin
4
x + cos
4
x = 1 - 2sin
2
xcos
2
x. b) sin
6
x + cos
6
x = 1 - 3sin
2
xcos
2
x.
c) tanx + cotx = sin
2
xtanx + cos
2
xcotx + 2sinxcosx.
d) (tanx - sinx)
2

+ (1 - cosx)
2
=
2
1
cos
1







x
.
6. Biết sinx + cosx =

. Tính:
a) sinxcosx b) sin
3
x + cos
3
x c) |sinx - cosx| d) sin
6
x + cos
6
x.
7. Cho sin


=
5
4
,
2

<

<

. Tìm các giá trị lợng giác của góc

.
(cos , tan ,cot ).

8. Tìm max, min của mỗi hàm số sau:
a) y = 4sin2x + 5 b) y = 2cos(x -
3

) - 1 c) y =
xsin2
+
+ 3.
d) y = sin
2
x - 2sinx + 4 e) y = cos
2
x + 4cosx - 1
9. Chọn phơng án đúng:


TMT
M
1
M
2
M
2
M
1
M
4
M
3
M
1
M
2
M
3
3

3

Gv. Trần Mạnh Tùng - THPT Liễu Giai, THPT Lơng Thế Vinh HN 091 3366 543 tungtoan.sky.vn
a)
0 0 0
tan20 tan 40 tan 80 ( 3, 2, 3, 2)= - -
b)
0 0
1 1 1

cos72 cos 36 (3 2 3, , , )
2 2 4
- = - - -
d) Cho
2 1 1 3 2 7
. cos cos . cos( ) ( , , , )
3 3 2 5 3 9
p
a b a b a b
- = + = + = - - -ị
.
10. Tính: sin15
0
, cos75
0
, cot105
0
, sin
12
5

, cos
12
5

, tan
8

.
11. Chứng minh rằng:

a) cot

- tan

= 2cot2

b) sin3

= 3sin

- 4sin
3

c) cos3

= 4cos
3

- 3cos

d)
2 2
2 2
tan tan
tan( ) tan( )
1 tan tan
a b
a b a b
a b
-

= + -
-
e)
cos( ) 2cos( ) 3 cot tan
sin( ) sin( ) 2
a b a b b a
a b a b
+ + - +
=
+ - -
f)
1
2 cot 2 cot tan
sin2 2 2
a a
a
a
ổ ử
ữ
ỗ
+ = -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
g)
sin sin3 sin5
tan3
cos cos 3 cos 5

a a a
a
a a a
- +
=
- +
h)





2cos
2
)
4
cos()
4
cos(
1
=
+
i) sin

+ sin(

+
3
2


) + sin(

+
3
4

) = 0.
12. Biến đổi thành tích:
a)
xcos
2
1
+
b) cosx + sin2x - cos3x c) 3sinx + 4cosx
d) sin
2
x + sin
2
2x - sin
2
3x e) 1 - sinx + cosx
f) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x
g)
cos 4x cos3x; cos3x cos 6x; sin 5x sin x+ - +
h)
( ) ( ) ( )
sin a b sin a b ; t an a b tan a; t an 2a tan a+ - - + + -
i)
( ) ( )
( )

sin a + b
sin a + b + c - sina - sinb - sinc; cos a + b + c + cosa + cosb + cosc;
sina + sinb
j)
sina - sinb sina + sin3a + sin5a sina + sin4a + sin7a
; ;
tana - tanb cosa + cos3a + cos5a cosa + cos4a + cos7a
13. Biến đổi thành tổng:
( ) ( )
o o
2
a / sin .sin b / cos5x.cos 3x c / sin x 30 cos x 30
5 5
p p
+ -
( ) ( ) ( )
d) 2sin x.sin 2x.sin 3x; e) 8cos x.sin 2x.sin 3x;
f) sin x .sin x .cos 2x; g) 4 cos a b .cos b c .cos c a
6 6
p p
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
+ - - - -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ


14. Rút gọn:

x x x x x x
A 4sin .sin .sin ; B 4cos .cos .cos
3 3 3 3 3 3
p p p p
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
+ - + -
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
= =
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ

2 4 6 8
C cos x cos x cos x cos x cos x
5 5 5 5
p p p p
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
= + + + + + + + +
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ

Gv. Trần Mạnh Tùng - THPT Liễu Giai, THPT Lơng Thế Vinh HN 091 3366 543 tungtoan.sky.vn

2 2
1 3
cos x sin x
cos a cos b sin 2x 2 sin x
2 2
D E F G
1
sin(a b)
3 sin 2x 2 sin x
cos x
sin x
2
2
+ +
- +
= = = =
-
-
-
-
.
15. Chứng minh

o o o o o o o o o
o o o o o o o o o
1 3 3
a / sin10 .sin 50 .sin 70 b / cos10 .cos 50 .cos 70 c / tan10 .tan 50 .tan 70
8 8 3

3 1
d / sin 20 .sin 40 .sin 80 e / cos 20 .cos 40 .cos 80 f / tan 20 .tan 40 .tan 80 3.
8 8
= = =
= = =
16. Chứng minh

o o o o o o
o
1 8
a / 2sin 70 1 b / tan 30 tan 40 tan 50 tan 60 cos 20
2sin10
3
2 5 8 7
c / tan tan tan tan sin
6 9 18 3 18
3
p p p p p
- = + + + =
+ + + =

( )
o 2
sin x sin y x y cos x sin x 1 sin 2x
d / tan e / tan 45 x f / tan x
cos x cos y 2 cos x sin x 1 sin 2x 4
p
ổ ử
+ + + -
ữ

ỗ
= = + = -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+ - +
.
17. Chứng minh

( )
2
o o o
1 cos x cos 2x cos3x
a / 2cos x; b / 4cos x.cos x .cos x cos3x
2cos x cos x 1 3 3
c / 4sin x.sin x .sin x sin 3x. AD :Tớnh A= sin20 .sin 40 .sin 80
3 3
d / tan x.tan x .
3
p p
p p
p
ổ ử ổ ử
+ + +
ữ ữ
ỗ ỗ
= + - =
ữ ữ

ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
+ -
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
+ - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
ổ ử
ữ
ỗ
+
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
( )
o o o
tan x tan 3x AD :Tớnh A= tan20 .tan 40 .tan 80
3
p
ổ ử
ữ

ỗ
- =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
18. Cho sin

=
13
7
,
2

<

<

. Tính: cos2

, sin2

, cot2

.
19. Cho sin

=
5

4

, -90
0
<

< 0
0
. Tính cot(

+ 60
0
).
20. Chứng minh rằng:
a) cos
5

cos
4
1
5
2
=

b) cos
7

cos
7
2


cos
8
1
7
4
=

c) cos
5

- cos
5
2

=
2
1
d) cos
7

- cos
7
2

+ cos
2
1
7
3

=

e) sin18
0
cos36
0
=
4
1
f) cos20
0
cos40
0
cos80
0
=
8
1
g) 16sin10
0
sin20
0
sin50
0
sin70
0
= 1 i) 8cos10
0
cos20
0

cos40
0
= cotg10
0
h) tan9
0
- tan27
0
- tan63
0
+ tan81
0
= 4 k)
4
10cos
3
10sin
1
00
=
21. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sinA + sinB + sinC = 4
2
cos
2
cos
2
cos
CBA
b) cosA + cosB + cosC = 4

sin sin sin 1
2 2 2
A B C
+
c) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC d) tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC
e)
tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
+ + =
f) sin
2
A+sin
2
B+sin
2
C = 2 + 2cosAcosBcosC
g) cos
2
A+cos
2
B+cos
2
C=1-2cosAcosBcosC h)
cot cot cot cot cot cot
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
+ + =
Gv. Trần Mạnh Tùng - THPT Liễu Giai, THPT Lơng Thế Vinh HN 091 3366 543 tungtoan.sky.vn
22. Cho


ABC. Chứng minh rằng:
a) asin(B - C) + bsin(C - A) + csin(A - B) = 0 b)
2
sin
2
sin
2
sin4
CBA
Rr
=
c) bccosA + cacosB + abcosC =
2
222
cba
++

d)
p
C
ba
B
ac
A
cb 3
2
cos)(
2
cos)(

2
cos)(
222
=+++++
e)
1
tan tan 2
2 2 3
A B
a b c= + =ị
f)
==
cba
m
c
m
b
m
a
ABC đều
g)
222
21 cba
m
m
b
c
c
b
+==

và 2cotA = cotB + cotC h) a + c = 2b

ac = 6Rr.
23. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a)
CB
CB
A
coscos
sinsin
sin
+
+
=




ABC vuông ở A b) sinA + sinC = 2cos
2
B




ABC cân ở B
c)








=
+=
acb
abc
a
bccba
333
2
222




ABC đều.
24. Nhận dạng

ABC biết:
a) cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C = 1 b) acosB - bcosA = asinA - bsinB
c) sinA + sinB + sinC = 1 - cosA + cosB + cosC d) tanA + tanB = 2cot
2

C
e)
22
4
2
sin
cos1
ca
ca
B
B

+
=
+
f) cosAcosBcosC =
8
1

g) sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C =
4
9
h) 3S = 2R
2

(sin
3
A + sin
3
B + sin
3
C).
25. Tính các góc của

ABC biết:
a)
0
2
5
)2cos2(cos32cos
=+++
CBA
b)
2
3
sinsincos
+=
CBA
26
*
. Chứng minh rằng,


ABC ta luôn có:
a)

8
1
coscoscos

CBA
b)
2
cos
2
cos
2
cossinsinsin
CBA
CBA
++++
c)
tan tan tan 3 3A B C+ +
(câu c thêm giả thiết: tam giác ABC nhọn).
Gv. TrÇn M¹nh Tïng - THPT LiÔu Giai, THPT L¬ng ThÕ Vinh – HN 091 3366 543 tungtoan.sky.vn
------------------------------------------------- tungtoan.sky.vn --------------------------------------------------