ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA VẬT LÝ
------

TIỂU LUẬN
HỌC PHẦN “PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ
NÂNG CAO”
ĐỀ TÀI
DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HỆ SỐ
HẰNG
Giảng viên hướng dẫn: PGS. TS. Trương Minh Đức
Học viên thực hiện: Ngô Thị Trúc Giang
Nguyễn Mạnh Trường

1


Lớp: Cao học Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Vật
lý
Khóa: K26

Thừa Thiên Huế, tháng 1 năm 2018
LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành tiểu luận này, chúng tôi xin chân thành cảm ơn
Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Vật lí trường Đại
học Sư phạm – Đại học Huế và quý thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy,
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Đặc biệt, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu
sắc nhất đến Thầy PGS. TS. Trương Minh Đức – người đã tận tình

hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện tiểu luận
này.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn tập thể lớp Cao học Lý luận và
phương pháp dạy học bộ môn Vật lý khóa K26 đã có những chia sẻ,
góp ý trong suốt quá trình chúng tôi làm tiểu luận này.
Xin được cảm ơn toàn thể đồng nghiệp, bạn bè và gia đình đã
quan tâm, động viên giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình h ọc t ập
và thực hiện đề tài.
Xin chân thành cảm ơn!
Huế, tháng 1 năm 2018
Tác giả tiểu luận
Ngô Thị Trúc Giang
2


Nguyễn Mạnh Trường

3


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU........................................................................................................4
NỘI DUNG.....................................................................................................5
PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE........5
1. ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE................................................5
1.1. Hàm gốc...................................................................................................... 5
1.2. Phép biến đổi Laplace..........................................................................5
1.3. Một số tính chất của biến đổi Lapace...........................................5
2. PHÉP BIẾN ĐỔI NGƯỢC LAPLACE.........................................................6
PHẦN 2: ỨNG DỤNG LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

TUYẾN TÍNH CÓ HỆ SỐ HẰNG................................................................9
1. PHƯƠNG PHÁP CHUNG...............................................................................9
2. BÀI TẬP VẬN DỤNG....................................................................................... 9
KẾT LUẬN..................................................................................................18
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................19

4


MỞ ĐẦU
Trong phần tiểu luận này chúng tôi dùng phép biến đổi Laplace
làm một kỹ thuật khác để giải phương trình vi phân tuy ến tính h ệ
số hằng. Nó cũng là một kỹ thuật đặc biệt để giải ph ương trình vi
phân có vế phải là hàm bậc thang Heaviside. Nh ững hàm này
thường xuất hiện trong cơ học và trong mạch điện từ.
Ý tưởng của phương pháp này là: Biến đổi ph ương trình vi
phân thành phương trình đại số, giải phương trình đại số v ừa bi ến
đổi đó, từ nghiệm của phương trình đại số vừa tìm ta dùng biến đ ổi
ngược Laplace để cho ra nghiệm phương trình vi phân cần tìm.

5


NỘI DUNG
PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
1. ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

1.1. Hàm gốc
Ta gọi hàm phức tùy ý f (t) là hàm gốc thỏa mãn ba điều kiện
sau:

1) Hữu hạn điểm  a, b � 0, �
S
2) Tăng không quá nhanh M  0, S0 �0 , f (t) �M .e , t �t0 , S0 được
0

gọi là mũ tăng của hàm f (t)
3) f (t)  0 khi t < 0
1.2. Phép biến đổi Laplace
�

F (p)  �
e  pt f (t) dt
0

, p �C

F(p) là ảnh Laplace của biến f (t)
Kí hiệu L  f (t)  F (p)
f (t) B F(p); F(p) B f (t)

1.3. Một số tính chất của biến đổi Lapace
1) Cho 2 Laplace f (t) , g(t); f (t) B F(p);g(t) B G (p)
f (t)  g(t) B F(p)  G(p)

2) f (t) , k là hằng số
k . f (t) B k .F(p)

3) Đạo hàm gốc

6



f (t) B F(p)
f '(t) B pF(p)  f (0), f (0)  f ( 0)  lim f (t)
t �0

f ''(t) B p F (p)  p f (0)  f '(0)
.........
2

f (n) (t) B p n F (p)  p n 1 f (0)  p n  2 f '(0)  ...  f ( n 1) (0)

Chứng minh:
Ta có:
�

f '(t)  �
e f '(t) dt  e
 pt

 pt

0

�

f (t)  p �
e  pt f (t) dt
�
0


0

 0  f (0)  pF(p)
f ''(t)  p  pF (p)  f (0)  f '(0)

 p 2 F (p)  p f (0)  f '(0)
(n)
Tương tự: f (t)

4) Tịnh tiến ảnh
L  f (t)  F (p)

�L�
e at f (t) �
�
� F (p  a)

Với a  constant

,

�

Chứng minh:

L�
e at f (t) �
e  pt .e at f (t) dt  �
e  (p a) t f (t) dt  F (p  a )

�
� �
0

0

Ví dụ: Biến đổi Laplace
�

a)

1 �
e

 pt

0

�

 pt  at

0

�

c)

�
0




1
p

�

e �
e e dt  �
e  (a  p) t dt 
at

b)

e pt
.1dt 
( p)

0

te  pt
t�
e tdt  
p
0
 pt

�
0


e  (a  p) t
(a  p)

�
0

�  pt

e
e pt
 � dt   2
p
p
0

2. PHÉP BIẾN ĐỔI NGƯỢC LAPLACE

Định nghĩa:
7


�
0

1
a p




1
p2


Cho ảnh F(p) tìm gốc f (t)
L1  F (p)   f (t)

BẢNG ĐỔI CHIỀU CÁC BIẾN ĐỔI LAPLACE THÔNG DỤNG
Hàm gốc f (t)
1

Hàm ảnh F ( p)
1
,
p0
p
1
p2 , p  0

t
tn

t



t
t

1

2

n!
p n 1 , p  0 , n là số tự nhiên

p , p0

1
2

�1 �
n � �
�2 �

e at


2 p 3/2
1.3.5....(2 n  1) 
2n p n
p , p  0 , n là số tự nhiên
1
pa , p  a

e  at

1
p  a , p  a
1
(p a )2 , p  a


te at
te  at
t n e at
t n e  at

cos at

1
(p  a ) 2 ,

p  a

n!
(p a)n 1 , p  a , n là số tự nhiên
n!
(p a)n 1 , p  a , n là số tự nhiên
p
2
p  a2 , p  0

sin at

a
p  a2 , p  0
p2  a2
(p 2  a 2 ) 2 , p  0
2

tcos at


8


tsin at

2ap
(p  a 2 ) 2 , p  0
b
(p a)2  b 2 , p  a
2

e at sin bt

pa
(p a)2  b 2 , p  a

eat cos bt
t n .cos at

t n .sin at

cosh at

n!

Re  p  ia 

n!


Im  p  ia 

p

p

2

2

 a2 

 a2 

p
,
p  a2
a
,
2
p  a2
2

sinh at

9

n 1
2
n 1

2

p a
p a


PHẦN 2: ỨNG DỤNG LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN TUYẾN TÍNH CÓ HỆ SỐ HẰNG
1. PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Cho phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng có dạng:
a n x (n) (t)  a n 1 x (n) (t)  ...  a 1 x '(t)  a 0 x(t)  f (t)

Trong đó: a0 ,a1 ,..., an �R
x(0)  b0 , x '(0)  b1 ,......x (n 1)  bn 1

là những điều kiện đầu.

Phép biến đổi trực tiếp Laplace không có nghiệm tổng quát.
Các bước giải là:
1) Đánh giá Laplace dựa vào hai mặt của phương trình.
2) Sử dụng bảng biến đổi Laplace cơ bản.
(n)
n
n 1
(n 1)
L�
(0)
�f (t) �
� p .F (p)  p . f (0)  ....  f


3) Sau quá trình biến đổi đại số ta được:
X (p)  L( x(t))

4) Làm phép biến đổi ngược Laplace L-1, tìm x(t).
2. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi
phân: x ' 3x  e

2t

thỏa mãn điều kiện đầu x(0)  0
Bài giải

Ta có:
x(t) B X (p)
x '(t) B p. X (p)  x (0)  p.X(p)
e 2t B

1
p2

Phương trình ảnh:

p. X (p)  3. X (p) 

10

1

p2


1
p2
1
� X (p) 
 p  2   p  3
� X (p)  p  3 

Vì hàm X(P) có hai cực điểm đơn: p = -2; p = -3
Theo định lí cơ bản thặng dư, ta có:
x(t)  res �
X (p).e pt �
�
�

p 2

 res �
X (p).e pt �
�
�

p 3

�
�
�
�

e pt
e pt
 lim �
.( p  2) � lim �
.( p  3) �
p �2  p  2   p  3
p �3  p  2   p  3 
�
�
�
�
pt
pt
2 t
3 t
�e �
�e �
e
e
�

� �
� 
1
1
�p  3 �p 2 �p  2 �
p 3
 e 2t  e 3t
2 t
3t

x
(t)

e

e
Vậy

Bài 2: Ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi
phân: x ' x  cost  sin t thỏa mãn điều kiện đầu x(0)  0
Bài giải
Ta có:
x (t) B X (p)
x '(t) B p. X (p)  x (0)  p.X(p)
p
p 1
1
sint B 2
p 1
cost B

2

Phương trình ảnh:

p. X (p)  X (p) 

� X (p) 

p

1
 2
p 1 p 1
2

p 1
1
 2
(p  1)(p 1) p  1
2

2
2
2
Xét: p  1  0 � p  1 � p  � 1  � i  �i

Hàm X(p) có hai cực điểm: p  i và p  i
11


Theo định lí cơ bản thặng dư, ta có:
x(t)  res �
X (p).e Pt �
X (p).e Pt �
�
�  res �
�
�
p i


p  i

�e pt � �e pt �
eit e it
�
� �
�  
p

1
2i 2i
�p  1 �
�
�
p i
p  i
eit  e  it

 sin t
2i

Vậy x(t)  sint
Bài 3: Ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi

 0  0
�
 5 x  6 x  12 thỏa mãn điều kiện đầu x  0   2; x�
phân: x�
Bài giải
Ta có:

x  t  B X  p

x�
 t  B pX  p   x  0   pX  p   2

�
x�
 t  B p 2 X  p   x� 0   px  0   p 2 X  p   2 p
12 B

12
p

Phương trình ảnh:
12
p2 X  p   2 p  5 �
�pX  p   2 �
� 6 X  p   p
12
� p 2 X  p    6  5 p  . X  p   10  2 p 
p
12
2
� X  p �
�p  5 p  6 �
� p  10  2 p
12  10 p  2 p 2
12  10 p  2 p 2
� X  p 


p  p 2  5 p  6  p  p  2  ( p  3)

Hàm X(p) có 3 cực điểm: p = 0; p = 2; p = 3
Theo định lý thăng dư cơ bản, ta có:
12


pt
pt
pt
x  t   res �
�X ( p).e �
�  res �
�X ( p).e �
�  res �
�X ( p).e �
�
p 0

p2

p 3

�
�
�
�
12  10 p  2 p 2  .e pt
12  10 p  2 p 2  .e pt



 lim �
.  p  0  � lim �
. p  2  �
p �0
p �2
p p  2   p  3
p p  2   p  3
�
�
�
�
� 
�
� 
�
�
�
12  10 p  2 p 2  .e pt

 lim �
.  p  3 �
p �3
p p  2   p  3
�
�
� 
�
�
12  10 p  2 p 2  .e pt � �

12  10 p  2 p 2  .e pt � �
12  10 p  2 p 2  .e pt �



� �
� �
�
�
p  2   p  3 � �
p  p  3
p  p  2

�
�
�
�p 3
�
�p 0 �
�p 2 �
�

 12  30  18  .e
12  12  20  8  .e
 

6
2
3
2

2t

3t

Vậy: x  t   2
Bài 4: Ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải ph ương trình vi

�
 x  2e thỏa mãn điều kiện đầu
phân: x�
t

x  0   1; x�
 0  2

Bài giải
Ta có:
x  t  B X  p

x�
 t  B pX  p   x  0   pX  p   1
�
x�
 t  B p 2 X  p   x� 0   px  0   p 2 X  p   2  p
et B

1
p 1

Phương trình ảnh:


13


p2 X  p   2  p  X  p  

2
p 1

2
2
� X  p �
�p  1�
� p  1  p  2
2   p  2   p  1
 p  1

2
� X  p �
�p  1�
�

� X  p 



p2  p
A
B


 2
2
p  1  p  1 p  1 p  1


A  p 2  1  B  p  1

 p  1  p 2  1



Ap 2  Bp  A  B
 p  1  p 2  1

�A  1
1
1
��
� X  p 
 2
p 1 p 1
�B  1

Ta có:
1
B et
p 1
1
B sin t
p 1

2

t
Vậy: x  t   e  sin t

Bài 5: Ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi
phân:

�
�
�
x�
 3 x�
 3 x�
 x 1

thỏa

mãn

�
x  0   x�
 0   x�
 0  0
Bài giải
Ta có:
x  t  B X  p
x�
 t  B pX  p   x  0   pX  p 
�

x�
 t  B p 2 X  p   x�
 0   px  0  p 2 X  p 
�
�
x�
 t  B p3 X  p 
1B

1
p

14

điều

kiện

đầu


Phương trình ảnh:
p 3 X  p   3 p 2 X  p   3 pX  p   X  p  

1
p

1
3
2

�
� X  p �
p

3
p

3
p

1

�
� p
1
A
B
C
D
� X  p 
 


3
3
2
p  p  1
( p  1)  p  1
p  p  1


A  p  1  B. p  Cp  p  1  Dp  p  1
3




p  p  1

3

 A  D  p3   3 A  C  2D  p 2  (3 A  B  C  D) p  A
3
p  p  1

�A  D  0
�A  1
�
�D  1
3 A  C  2D  0
�
�
��
��
3A  B  C  D  0 �
C  1
�
�
�
�A  1
�B  1


� X  p 

1
1
1
1



B x t
3
2
p  p  1  p  1
p 1

Ta có:
1
B1
p
1
1
B e  at �
B et
pa
p 1
1
t n 1
1
t n 1

 at
B
�
B
e
.
n
p n  n  1 !
 n  1 !
 p  a
1



p  1

2

1



p  1

B e t .

t
 t .e  t
1!


t 31
1
Be .
 t 2 .e  t
(3  1)! 2
t

3

2

1 2 t
t .e  t.e  t  e  t
2
1 �
�
Hay x  t   1  e  t �
1 t  t 2 �
2 �
�

� x  t   1

15


Bài 6: Ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải ph ương trình vi

 0   2
�

 x�
 cos t thỏa mãn điều kiện đầu x  0   0; x�
phân: x�
Bài giải
Ta có:
x  t  B X  p

x�
 t  B pX  p   x  0   pX  p 

�
x�
 t  B p 2 X  p   x� 0   px  0   p 2 X  p   2
cos t B

p
p 1
2

Phương trình ảnh:
p2 X  p   2  X  p  
�  p 2  1 X  p  

p
p 1
2

p  2 p2  2

p


2

 1

2

Bài 7: Ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi
phân:

x '' 4 x' 4 x  t 3 e2t thỏa mãn các điều kiện ban đầu

x(0)  1; x'(0)  2
Bài giải
Ta có:
x  t  B X  p
x�
 t  B pX  p   x  0   pX  p   1

�
x�
 t  B p 2 X  p   x� 0   px  0  p 2 X  p   p  2
t 3 e 2 t B

3!
6

4
(p 2)
(p  2) 4


16


Thay vào phương trình trên ta được:
p 2 X ( p )  p  2  4 pX ( p )  4  4 X ( p) 
� X ( p) �
p2  4 p  4�
�
� p  6 

6
(p  2) 4

6
(p  2) 4

6
 p6
(p 2) 4
6
p6
6
p24
� X  p 



6
2

6
(p 2)
(p  2)
(p  2)
(p  2) 2
6
4
1
� X  p 


B x(t )
6
2
(p 2)
(p  2)
(p  2)
� X  p   p  2 
2

Ta có:
1
B e 2t
(p  2)
4
B 4t.e2t
2
(p  2)
6
1 5 2t

B
t e
(p  2) 6 20

�
1 5 2 t
t5 �
t e  e 2 t �
1  4t  �
20
20 �
�

x(t)  e 2t  4te2t 

Vậy

Bài 8: Ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi
phân:

x (4)  2 x'' x  sint

thỏa mãn các điều kiện ban đầu

x(0)  x'(0)  x ''(0)  x (3) (0)  0
Bài giải
2
(4)
4
Đặt x(t) � X (p) thì x''(t) B p X  p  ; x (t) B p X  p  .


Mặt khác

sin t B

1
p 1
2

Thay vào phương trình trên ta được:
(p 4  2 p 2  1) X  p  

1
p 1
2

17


X  p 

1
1
1
 2

2
3
3
(p  1)(p  2 p  1) (p  1)

(p j) (p  j)3
2

4

pt
Hàm X (p) e có hai điểm cực cấp 3 là j và –j. Ta tính thặng dư tại các

cực điểm đó:
''

� e pt � 1
�12e pt
1
6te pt
t 2e pt �
�
Res �
X
(p)
e
,
j

lim

lim


�

�
�
�
� 2 p� j �
(p  j)3 � 2 p� j �
(p j)5 (p  j) 4 (p j)3 �
�
pt



e jt
�
3t  j (t 2  3) �
�
�
16
''

� e pt � 1
�12e pt
1
6te pt
t 2e pt �
Res �


�
� 2 plim
�

�X (p) e ,  j �
� 2 plim
� j (p  j)3
� j (p  j)5
(p j) 4 (p  j)3 �
�
�
�
�
pt



e jt
�
3t  j (t 2  3) �
�
�
16

Theo công thức tìm gốc của phân thức hữu tỉ ta có:
pt
pt
x(t)  Res �
�X (p) e , j �
� Re s �
�X (p) e ,  j �
�

e jt

e  jt
2
�
 �
3t  j (t  3) �

3t  j (t 2  3) �
�
�
�
�
16
16

e jt
e jt
2
�
�
 �
3t  j (t  3)� �
3t  j (t 2  3) �
�
�
16
16
�e jt
� 3
3  t2
2

 2 Re � �
3t  j (t  3) �
sin t
�  t cos t 
�
�
16
8
8
�

18


KẾT LUẬN
So với phương pháp cổ điển giải phương trình vi phân hệ s ố
hằng ta thấy phương pháp sử dụng toán tử Laplace có những ưu
điểm sau:
- Dù n lớn bao nhiêu ta chỉ cần giải một phương trình đ ại s ố
bậc nhất đối với X(p).
- Khối lượng tính toán nói chung ít hơn so với ph ương pháp
biến thiên hằng số Lagrange.
- Cho ngay nghiệm riêng không cần thông qua nghiệm tổng
quát. Trong trường hợp muốn có nghiệm tổng quát ta ch ỉ c ần đặt
x0  C0 , y0� C1 ,..., x0( n 1)  Cn 1

. Với Ck là những hằng số tùy ý.

19



TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] TS. Đào Bá Đông, Giáo trình Cơ sở hàm số biến số phức và
ứng dụng, NXB Học viện khoa học kỹ thuật quân sự, Hà Nội năm
2000.

20