Trang 1
MỤC LỤC
MỤC LỤC____________________________________________________________________1
I. ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace: _____________________________________2
A. HÀM GỐC:__________________________________________________________________ 2
B. PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace ______________________________________________________ 2
C. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI Laplace: __________________________________ 3
Ví dụ: _________________________________________________________________________________3
D. PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace NGƯỢC: _____________________________________________ 4
Định nghĩa:_____________________________________________________________________________4
II. ỨNG DỤNG Laplace GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG:______________5
A. PHƯƠNG PHÁP CHUNG:_____________________________________________________ 5
B. CÁC VÍ DỤ: _________________________________________________________________ 6
Ví dụ 1: ________________________________________________________________________________6
Ví dụ 2: ________________________________________________________________________________7
Ví dụ 3: ________________________________________________________________________________8
III. ỨNG DỤNG Laplace GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ VẾ PHẢI LÀ HÀM BẬC
THANG: _____________________________________________________________________9
1) Định nghĩa: __________________________________________________________________ 9
2) Biến đổi Laplace: ____________________________________________________________ 10
Ví dụ: ________________________________________________________________________________ 11
3) Biến đổi Laplace ngược: ______________________________________________________ 12
Ví dụ 1: _______________________________________________________________________________12
Ví dụ 2: _______________________________________________________________________________14
IV. ỨNG DỤNG Laplace GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HỆ SỐ HẰNG ______15
A. PHƯƠNG PHÁP CHUNG: ____________________________________________________ 15
B. CÁC VÍ DỤ: ________________________________________________________________ 15
Ví dụ 1: _______________________________________________________________________________15
Ví dụ 2: _______________________________________________________________________________16
Ví dụ 3: _______________________________________________________________________________17
V. KẾT LUẬN: _______________________________________________________________20

Trang 2
DÙNG BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH-
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HỆ SỐ HẰNG
Trong phần tiểu luận này chúng ta dùng phép biến đổi Laplace làm một kỹ thuật
khác để giải phương trình-hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng. Nó cũng là một
kỹ thuật đặc biệt để giải phhương trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang Heaviside
1
.
Những hàm này thường xuất hiện trong cơhọc và trong mạch điện tử.
Ý tưởng của phương pháp này là: Biến đổi phương trình vi phân thành phương trình
đại số, giải phương trình đại số vừa biến đổi đó, từ nghiệm của phương trình đại số vừa
tìm được ta dùng biến đổi ngược Laplace để cho ra nghiệm phương trình vi phân cần tìm.
I. ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace:
A. HÀM GỐC:
Ta gọi hàm phức tùy ý )(tf là hàm gốc thoả mãn 3 điều kiện sau:
1) Hữu hạn điểm




 ,0,ba
2) Tăng không quá nhanh
0
S
0
,.)(0,0
0
tteMtfSM
t
 , S

0
được gọi là mũ
tăng của hàm )(tf
3) )(tf =0 khi t<0
B. PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace
CpdttfepF
pt




;)()(
0
F(p) là ảnh Laplace của biến )(tf
Kí hiệu: L[ )(tf ] = F(p)
)(tf = F(p); F(p) = )(tf
1
/>Trang 3
C. MỘT SỐTÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI Laplace:
1) Cho 2 Laplace )(tf , g(t); )(tf = F(p); g(t) = G(p)
)(tf +g(t) = F(p) + G(p)
2) )(tf , k là hằng số
k. )(tf = k.F(p)
3) Đạo hàm gốc:
)0( )0(')0()()(
)0(')0()()(''
)()0()0(),0()()('
)()(
)1(21)(
2

0
lim







nnnnn
t
ffpfppFptf
fpfpFptf
tffffppFtf
pFtf

Chứng Minh:
Ta có:
)()0(0
)()(')('
0
0
0
)(
ppFf
dttfep
pt
dttfetf
ptpt
tfe













)0(')0()(
)0(')0()()(''
2
fpfpFp
ffppFptf




Tương tựcho )(
)(
tf
n
4) Tịnh tiến ảnh


 
tconsaapFtfeL

pFtfL
at
tan)()(
)()(


Chứng minh:
 





0
)(
0
)()()(.)( apFdttfedttfeetfeL
tapatptat
Ví dụ:
Biến đổi Laplace:
a)
pp
e
dte
pt
pt
1
)(
1.1
0

0








Trang 4
b)
papa
e
dtedteee
tpa
tpaatptat





 




1
)(
0
0

)(
)(
0
c)
2
0
2
0
0
0
1
pp
e
dt
p
e
p
te
tdtet
ptptpt
pt


 




D. PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace NGƯỢC:
Định nghĩa:

Cho ảnh )(pF tìm gốc )(tf


)()(
1
tfpFL 

BẢNG ĐỐI CHIẾU CÁC BIẾN ĐỔI Laplace THÔNG DỤNG
)(tf )( pF
1
0,
1
p
p
t
0,
1
2
p
p
n
t
np
p
n
n
,0,
!
1



là sốtựnhiên
2
1

t
p

, p>0
2
1
t
2/3
2 p

)
2
1
(n
t
p
p
n
nn

2
)12 (5.3.1 
,p>0, n là sốtựnhiên
at
e

ap
ap


,
1
at
e

ap
ap


,
1
at
te
ap
ap


,
)(
1
2
Trang 5
at
te

ap

ap


,
)(
1
2
atn
et
nap
ap
n
n
,,
)(
!
1



là sốtựnhiên
atn
et

nap
ap
n
n
,,
)(

!
1



là sốtựnhiên
at
cos
0,
22


p
ap
p
atsin
0,
22


p
ap
a
at
t
cos
0,
)(
222
22




p
ap
ap
attsin
0,
)(
2
222


p
ap
ap
bte
at
sin
ap
bap
b


,
)(
22
bte
at
cos

ap
bap
ap



,
)(
22
atcosh
ap
ap
p


,
22
atsinh
ap
ap
a


,
22
II. ỨNG DỤNG Laplace GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG:
A. PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Cho Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng có dạng:
)()()(' )()(
01

)(
1
)(
tftyatyatyatya
n
n
n
n


Trong đó Raaa
n
 ,,,
10
1
)1(
10
, ,)0(',)0(



n
n
bybyby là những điều kiện đầu
Phép biến đổi trực tiếp Laplace không cho nghiệm tổng quát. Các bước giải là:
Trang 6
1) Đánh giá Laplace dựa vào 2 mặt của phương trình.
2) Sử dụng bảng biến đổi Laplace cơbản.
)0( )0(.)(.))((
)1(1)( 


nnnn
ffppFptfL
3) Sau quá trình biến đổi đại số ta được:
Y(p) = L(y(t))
4) Làm phép biến đổi ngược Laplace L
-1
, tìm y(t).
B. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1:
Tìm nghiệm phương trình vi phân
1)0(',1)0(
2'3''
3



yy
eyyy
t
Giải
Sửdụng tính chất đạo hàm gốc và biến đổi Laplace:
 
)3)(2)(1(
1
1
1
)(
3
1

2)()2)(1(
3
1
2)()23(
3
1
)(23)(31)(
3
1
)(2)0()(3)0(')0()(
2
2
2












pppp
pY
p
ppYpp
p

ppYpp
p
pYppYppYp
p
pYyppYypypYp
Dùng phương pháp đại sốphân tích:
)3)(2)(1(
)236()345()(
)3)(2)(1(
)2)(1()3)(1()3)(2(
)3()2()1()3)(2)(1(
1
2













ppp
CBApCBApCBA
ppp
ppCppBppA

p
C
p
B
p
A
ppp
Cân bằng hệsố2 vế: cho
2
1
,1,
2
1
 CBA
Trang 7
)3(
2/1
)2(
1
)1(
2/1
)3)(2)(1(
1









pppppp
3
1
2
1
2
1
1
1
2
3
)(






ppp
pY
Sửdụng biến đổi ngược Laplace
Vậy nghiệm phương trình là:
ttt
eeety
32
2
1
2
3

)(


Ví dụ 2:
Tìm nghiệm của phương trình vi phân:
0)0('',0)0(',0)0(
''''


yyy
eyy
t
Giải
Sử dụng tính chất đạo hàm gốc và biến đổi Laplace:
))(1(
1
)(
1
1
)(.)(
1
1
)0()(.)0('')0(.)0(''.)(.
3
3
23
ppp
pY
p
pYpp

p
ypYpyypyppYp






Dùng phương pháp đại số phân tích vếphải
)1)(1(
)()()(
)1)(1(
)1()()1()1)(1(
11))(1(
1
2
23
2
22
23













ppp
ApDBApDCApCBA
ppp
ppDCppBpppA
p
DCp
p
B
p
A
ppp
Cân bằng trên tử2 vếta được:
2
1
,
2
1
,
2
1
,1  DCBA
)1(
2/1
)1(
)2/1(
)1(
2/11
)1(

2/1)2/1(
)1(
2/11
)(
22
2











pp
p
pp
p
p
pp
pY
Trang 8
Sửdụng biến đổi ngược Laplace
Vậy nghiệm của phương trình là: ttety
t
sin
2

1
cos
2
1
2
1
1)( 
Ví dụ 3:
Tìm nghiệm của phương trình vi phân:
0)0(''',0)0('',1)0(',0)0(
0
)4(


yyyy
yy
Giải
Dùng biến đổi Laplace cả2 vế, ta được:
1
)(
)()1(
0)()(.
0)()0(''')0(''.)0('.)0(.)(.
4
2
24
24
234






p
p
pY
ppYp
pYppYp
pYyypypyppYp
Dùng phương pháp đại sốphân tích vếphải.
)1)(1)(1(
)()()()(
)1)(1)(1(
)1)(()1)(1()1)(1(
1
11
)1)(1)(1(1
2
23
2
222
22
2
4
2

















ppp
DBApCBApDBApCBA
ppp
pDCpppBppA
p
DCp
p
B
p
A
ppp
p
p
p
Cân bằng tử2 vếta được:
2
1
,0,
4

1
,
4
1
 DCBA
1
2/1
1
4/1
1
4/1
)(
2






ppp
pY
Sửdụng biến đổi ngược Laplace:
Vậy nghiệm phương trình là: teety
tt
sin
2
1
4
1
4

1
)( 

Trang 9
III. ỨNG DỤNG Laplace GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ VẾ PHẢI LÀ
HÀM BẬC THANG:
Hàm bậc thang Heaviside:
1) Định nghĩa:
a)






01
00
)(
t
t
tH
Hàm bậc thang Heaviside, cũng được gọi là hàm bậc thang đơn vị, hàm không liên tục
này nhận giá trị0 khi đối số(t) âm và nhận giá trị1 khi đối số(t) dương. Hàm này được
sửdụng trong lý thuyết toán học điều khiển hay trong xửlý tín hiệu.
b) Và ta có hàm tịnh tiến bậc thang Heaviside
, cho sốthực c. Ta có:







ct
ct
ctHtH
c
1
0
)()(
Nếu c>0 (c<0) thì đồthịcủa H
c
sẽđược tịnh tiến qua phải (qua trái) 1 đơn vịc, so với đồ
thịcủa H.
c) Hàm khoảng H
ab
với a<b được định nghĩa bằng hàm tịnh tiến bậc thang Heaviside
)()()()()( btHatHtHtHtH
baab

Thật vậy:
1) t<a thì H
a
(t) và H
b
(t) bằng 0 0)(  tH
ab
2) bta


thì H

a
(t) =1 và H
b
(t) = 0 1)(  tH
ab
3) tb

thì H
a
(t) =1 và H
b
(t) = 1 0)(  tH
ab
Hàm Heaviside H, hàm tịnh tiến H
a
, và hàm khoảng H
ab
thường được dùng đểmô tảhàm
liên tục từng khúc.
Vậy:









tb

bta
at
btHatHtHtHtH
baab
0
1
0
)()()()()(
Trang 10
Ví dụ: Mô tảhàm:






t
tt
tf
12
102
)(
sửdụng hàm bậc thang Heaviside.
Giải
Từ )(tf là hàm khảvi từng khúc trên khoảng 10


t và 1

t , chúng ta sửdụng hàm

khoảng H
01
(t) trên khoảng 10


t , và dùng hàm tịnh tiến H
1
(t) trên 1

t .
Vậy:


)1()1(2)(.2
)1(2)1()(2)(2)(.2)(
101


tHttHt
tHtHtHttHtHttf
2) Biến đổi Laplace:
 







c

cp
ptpt
cc
p
e
dtedtetHpHL
0
)()(
Chứng minh:
 
 
p
e
ee
pp
e
dtedtetHpHL
cp
pcpb
b
b
c
pt
b
c
ptpt
cc

















 
1
limlim)()(
0
( 1)(


ctH khi
c
t

và 0)(


ctH khi t<c).
Ta đã có: H
ab

=H
a
-H
b
. Nên:
     
p
ee
pHLpHLpHL
bpap
baab


 )()()(
Biến đổi Laplace cho hàm tịnh tiến:


)()()()( pFepctfctHL
cp

Chứng minh:
 









c
pt
pt
dtectf
dtectfctHpctfctHL
).(
).()()()()(
0
Vì 1)(


ctH khi
c
t

và 0)(


ctH khi t<c.
Đổi biến
c
t



thì
c
t




và

ddt

. Ta được:
Trang 11






0
)(
)()(


defdtectf
cp
c
pt
 
)(
)(
)()()()(
0
0
)(
pFe

defe
defpctfctHL
cp
pcp
cp














Ví dụ:
Biến đổi Laplace các hàm sau:
a)











te
t
t
tf
t
6
645
403
)(
7
Giải
Ta có:
   
)6(.)6(5)4(8)(3
)6()6(5)4(8)(3
)6()6()4(5)4()(3
)()(5)(3)(
)6(
7
7
6
7
4604









tHeetHtHtH
tHetHtHtH
tHetHtHtHtH
tHetHtHtf
t
t
t
t
Dựa vào công thức biến đổi Laplace của hàm bậc thang Heaviside và bảng biến đổi
Laplace ta được:

1
5.83
)(
664



p
e
e
p
e
p
e
p
pfL

ppp
b)









20
21sin
10
)(
t
tt
t
tf

Trang 12
Giải
Ta có:
 
)2()2(sin)1()1(sin
)2(sin)1(sin
)2()1(sin
)(.0)(sin)(.0)(
2121





tHttHt
ttHttH
tHtHt
tHttHtHtf




Dựa vào công thức biến đổi Laplace của hàm bậc thang Heaviside và bảng biến đổi
Laplace ta được:

)()(
22
2
22
2
22















p
ee
p
e
p
e
pfL
pppp
3) Biến đổi Laplace ngược:
Cho hàm )(tf là hàm liên tục từng đoạn và


)()( pfLpF  thì:


)()()()(
1
ctfctHtpFeL
cp


Các ví dụ: ỨNG DỤNG Laplace GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ VẾ PHẢI
LÀ HÀM BẬC THANG
Ví dụ 1:
Tìm nghiệm của phương trình vi phân:
5)0(

)('



y
tfyy
Khi đó:








tt
t
tf
cos3
00
)(
Giải
Ta có:

1
3)(
)()cos(3)(cos3cos3)(.0)(
2
0












p
pe
pfL
tHtttHtHtHtf
p





Trang 13
Sửdụng tính chất đạo hàm gốc và biến đổi Laplace ta được:
)1)(1(
3
)1(
5
)(
1
35)()1(
1

3)()0()(
2
2
2











pp
pe
p
pY
p
pe
pYp
p
pe
pYyppY
p
p
p




Mà
p
ppp
p
e
pp
CApCBpBA
e
pp
pCBppA
e
p
CBp
e
p
A
pp
pe



















)1)(1(
)()(
)1)(1(
)1)(()1(
11)1)(1(
2
2
2
2
22
Cân bằng 2 vế: Cho
2
1
,
2
1
2
1
 CBA




































ppp
ppp
ppp
p
e
p
e
p
p
e
pp
e
p
e
p
p
e
pp
pY
e
p
e
p
p
e
ppp
pe





1
1
1
1
1
2
3
)1(
5
1
)2/3(
1
)2/3(
1
2/3
)1(
5
)(
1
)2/1(
1
)2/1(
1
2/1
)1)(1(
22
22
222
Dùng biến đổi Laplace ngược ta được:



 
)(cossin
2
3
5
)()cos()()sin()(
2
3
5)(
)(
)(








tHttee
tHttHttHeety
tt
tt
Vậy nghiệm phương trình là:
 














tttee
te
ty
tt
t
cossin
2
3
5
05
)(
)(
Trang 14
Ví dụ 2:
Tìm nghiệm của phương trình vi phân:
1)0(',0)0(
)(''




yy
tfyy
khi đó






t
tt
tf
12
102
)(
Giải



22
1
11101
2
1
2)(
)1()1(2)(2
)(2)()(2)(2)(2)(
p
e
p

pfL
tHtttH
tHtHtHttHttHtf
p







Sử dụng tính chất đạo hàm gốc và điều kiện đầu, biến đổi Laplace bên vế trái là:
 
2
22
22
1)()1()())0(')0(.)(.(''
p
e
pYppYyyppYpyyL
p


1
1
)1(
22
)(
.22
1)()1(

222
2
2









ppp
e
pY
p
e
pYp
p
p
Mà )
1
2222
(
)1(
22
2222









p
e
p
e
pp
e
ppp
1
1
1
222
1
1
)
1
2222
(
)1(
22
)(
2222
22222

















pp
e
p
e
p
pp
e
p
e
pp
e
pY
pp
ppp
Dùng biến đổi Laplace ngược ta được:
 
)1()1sin()1(2sin2

sin)1sin()1(2)1()1(22)(









tHtttt
tttHtHttty
Vậy nghiệm phương trình là:






ttt
ttt
ty
1sin)1sin(22
10sin2
)(
Trang 15
IV. ỨNG DỤNG Laplace GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HỆ SỐ HẰNG
A. PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Cũng nhưphương trình vi phân tuyến tính hệsốhằng, đểgiải hệphương trình vi phân
tuyến tính hệsốhằng ta thay các hàm phải tìm, các đạo hàm của chúng và các hàm ởvế

phải (nếu là hệkhông thuần nhất) bằng ảnh của chúng (bằng cách áp dụng đạo hàm gốc).
Khi đó ta sẽthu được một hệphương trình đại sốtuyến tính đối với ảnh của các hàm phải
tìm. Giải hệđó và dùng phép biến đổi ngược đểtìm gốc, ta được nghiệm riêng của hệ
thoảmãn điều kiện đã cho.
B. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1:
Tìm nghiệm hệ phương trình vi phân:
1)0(,1)0(
0'
03'






yx
yxy
yxx
Giải
Sửdụng tính chất đạo hàm gốc biến đổi ta được:


















1)()1()(
1)()()3(
0)()(1)(
0)()(31)(
0)()()0()(
0)()(3)0()(
pYppX
pYpXp
pYpXppY
pYpXppX
pYpXyppY
pYpXxppX
Giải hệphương trình đại số, tìm nghiệm )(),( pYpX














2
2
)2(
4
)(
)2(
)(
p
p
pY
p
p
pX
Phân tích: 2,1
)2(
)2(
)2(
)2(
)2(
222











 BA
p
BpA
p
B
p
A
p
p
2D,1
)2(
D)2(
)2()2()2(
4
222












 C
p
pC
p
D
p
C
p
p
Trang 16
















2
2
)2(
2

)2(
1
)(
)2(
2
)2(
1
)(
p
p
pY
pp
pX
Sửdụng biến đổi Laplace ngược.
Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân là:









teety
teetx
tt
tt
2)(
2)(

22
22
Ví dụ 2:
TÌm nghiệm hệphương trình vi phân:
1)0(',0)0(,1)0(',0)0(
044''
0410''






yyxx
yxy
yxx
Giải
Sửdụng tính chất đạo hàm gốc biến đổi ta được
















1)()4()(4
1)(4)()10(
0)(4)(4)0(')0()(
0)(4)(10)0(')0()(
2
2
2
2
pYppX
pYpXp
pYpXypypYp
pYpXxpxpXp
Giải hệphương trình theo phương pháp đại sốta được:












)12)(2(
6

)(
)12)(2(
)(
22
2
22
2
pp
p
pY
pp
p
pX
Trang 17
Phân tích:
5
3
',0',
5
2
',0'
)12)(2(
'2'12)'2'12()''()''(
)12)(2(
)2)(''()12)(''(
)12(
''
)2(
''
)12)(2(

6
5
6
,0,
5
1
,0
)12)(2(
212)212()()(
)12)(2(
)2)(()12)((
)12()2()12)(2(
22
23
22
22
2222
2
22
23
22
22
2222
2
































DCBA
pp
DBCApDBpCAp
pp
pDpCpBpA

p
DpC
p
BpA
pp
p
DCBA
pp
DBCApDBpCAp
pp
pDCppBAp
p
DCp
p
BAp
pp
p

























)
12
12
(
125
3
)
2
2
(
25
2
12
5/3
2
5/2
)(
)
12

12
(
125
6
)
2
2
(
25
1
12
5/6
2
5/1
)(
2222
2222
pppp
pY
pppp
pX
Sửdụng biến đổi Laplace ngược.
Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân là:










ttty
tttx
32sin
310
3
2sin
25
2
)(
32sin
35
3
2sin
25
1
)(
Ví dụ 3:
Tìm nghiệm hệ phương trình vi phân:
1)0(,2)0(
2'
14''
2







yx
tyxx
xyx
Trang 18
Giải
Sửdụng tính chất đạo hàm gốc ta được:






























)2(2
2
)()()2(
)1(1
1
)()()4(
2
)(2)()2(
1
1)(2)()4(
2
)()(2)0()(
1
)(4)0()()0()(
3
3
3
p
pYpXp
p
ppYpXp
p
pYpXp
p
ppYpXp

p
pYpXxppX
p
pXyppYxppX
Nhân phương trình (2) cho –p, cộng 2 phương trình lại ta được:
)4(
)232(
)1)(4(
)232)(1(
)43(
22
)(
2
2
1
1
)()2()()4(
2
2
2
2
22
23
2
2











pp
pp
ppp
ppp
ppp
ppp
pX
p
pp
pXpppXp
Thay )(pX vào phương trình (1), ta được:
)4(
868
)4(
)232)(4()1)(4(
)(
)4(
)232)(4()1(
)(
)4(
)232)(4()1(
)(
1
1
)(

)4(
)232(
)4(
3
23
3
22
3
2
2
2
2
2
2





















pp
ppp
pp
pppppp
pY
pp
ppp
p
p
pY
pp
ppp
p
p
ppY
p
ppY
pp
pp
p
Trang 19















)4(
868
)(
)4(
)232(
)(
3
23
2
2
pp
ppp
pY
pp
pp
pX
Phân tích:
)4(
4)4()(
)4(
)4()4(

4
)4(
)232(
2
2
2
2
22
2











pp
BpBApCA
pp
CppBpAp
p
C
p
B
p
A

pp
pp
Cân bằng hệ số, ta được:
8
11
,
2
1
,
8
5
 CBA
)4(
4)4()4()(
)4(
)4()4()4(
)4()4(
868
3
23
3
32
323
23












pp
CpCBpBApDA
pp
DppCpBppAp
p
D
p
C
p
B
p
A
pp
ppp
Cân bằng hệ số, ta được:
4
11
,2,1,
4
7
 DCBA













)4(4
1121
4
7
)(
)4(8
11
2
1
8
5
)(
32
2
pppp
pY
ppp
pX
Sử dụng biến đổi Laplace ngược
Vậy nghiệm của hệ phương trình:










t
t
ettty
ettx
42
4
4
11
4
7
)(
8
11
2
1
8
5
)(
Trang 20
V. KẾT LUẬN:
So với phương pháp cổ điển giải phương trình vi phân hệsố hằng ta thấy phương
pháp sửdụng toán tửLaplace có những ưu điểm sau:
-Dù n lớn bao nhiêu ta chỉ cần giải một phương trình đại số bậc nhất đối với Y(p).

-Khối lượng tính toán nói chung ít hơn so với phương pháp biến thiên hằng số Lagrange.
-Cho ngay nghiệm riêng không cần thông qua nghiệm tổng quát. Trong trường hợp muốn
có nghiệm tổng quát chỉ cần đặt y
0
= C
0
, y’
0
= C
1
,…, y
0
(n-1)
= C
n-1
. Với C
k
là những hằng
số tuỳ ý.