Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Tài liệu bài giảng (Khóa Toán 10)

BG12. BÀI TOÁN VỀ ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG TRÒN (P1)
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1: [ĐVH]. (Khối A – 2011)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y + 2 = 0 và đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 0 . Gọi I
là tâm của đường tròn (C), M là một điểm thuộc d. Qua điểm M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (với A
và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ của điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.
Đ/s: M ( −3;1)
Ví dụ 2: [ĐVH]. (Khối B – 2006)
Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 6 = 0, M (−3;1). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B
là các tiếp điểm). Viết phương trình đường thẳng AB.

Đ/s: AB : 2 x + y − 3 = 0
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho đường tròn (C ) : ( x − 4)2 + y 2 = 4, N (4;1). Tìm điểm M trên Oy sao cho qua M kẻ hai
tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B là các tiếp điểm) đồng thời AB đi qua N.

Đ/s: M (0; 4)
Ví dụ 4: [Tham khảo]. Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 0, d : x + 2 y − 12 = 0 . Tìm điểm M thuộc d
sao cho qua M có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn (C) và góc giữa hai tiếp tuyến bằng 600
Lời giải:
2
2
Ta có ( C ) = ( x − 2 ) + ( y − 1) = 5 ⇒ ( C ) có tâm I ( 2;1) và bán kính R = 5.
Gọi M ∈ d : x + 2 y − 12 = 0 ⇒ M ( 2t + 12; −t ) ⇒ IM = ( 2t + 10; −t − 1)

⇒ IM 2 = ( 2t + 10 ) + ( −t − 1) = 5t 2 + 42t + 101
2

2

 AMB = 600
Gọi A, B là hai tiếp điểm. Bài ra có 
0
 AMB = 120
•

TH1. AMB = 600 ⇒ AMI = 300. Do đó sin AMI =

t = −3 ⇒ M ( 6;3)

⇒ 5t + 42t + 101 = 20 ⇔ 
27
 6 27 
t=− ⇒M ; 

5
5 5 

IA
5
1
=
= sin 300 = ⇒ IM 2 = 20
IM IM

2

2

•

TH1. AMB = 1200 ⇒ AMI = 600. Do đó sin AMI =

IA
5
3
20
=
= sin 600 =
⇒ IM 2 =
IM IM
2
3

20
⇔ 15t 2 + 126t + 283 = 0.
3
Phương trình vô nghiệm vì ∆ ' = 632 − 15.283 = −276 < 0.
 6 27 
Đ/s: M ( 6;3) hoặc M  ;  .
5 5 
⇒ 5t 2 + 42t + 101 =

Ví dụ 5: [Tham khảo]. Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 + 2 x − 4 y = 0, d : x − y + 1 = 0 . Tìm điểm M thuộc d
sao cho qua M có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn (C), với các tiếp điểm là A, B đồng thời

AMB = 600.
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Từ giả thiết ( C ) : ( x + 1) + ( y − 2 )
2

−1 − 2 + 1

Ta có d ( I ; d ) =

2

2

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Lời giải:
= 5 ⇒ ( C ) có tâm I ( −1; 2 ) và bán kính R = 5.

= 2 < R ⇒ d cắt ( C ) .

IA
5
1
=
= sin 300 = ⇒ IM = 2 5.
IM IM

2
2
2
2
Do M ∈ d : x − y + 1 = 0 ⇒ M ( t ; t + 1) ⇒ IM = ( t + 1; t − 1) ⇒ IM = ( t + 1) + ( t − 1) = 2t 2 + 2

Góc AMB = 600 ⇒ AMI = 300 ⇒ sin AMI =

t = 3 ⇒ M ( 3; 4 )
⇔ 2t 2 = 18 ⇔ 
t = −3 ⇒ M ( −3; −2 )
Đ/s: M ( 3; 4 ) hoặc M ( −3; −2 ) .

(

⇒ 2t 2 + 2 = 2 5

)

2

Ví dụ 6: [Tham khảo]. Cho đường tròn (C ) : ( x − 1)2 + ( y − 2) 2 = 4, N (2;1). Tìm điểm M trên
d : x + y + 2 = 0 sao cho qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B là các tiếp điểm) đồng thời AB đi
qua N.
Lời giải:
( C ) có tâm I (1; 2 ) và bán kính R = 2. Do M ∈ d : x + y + 2 = 0 ⇒ M ( t; −t − 2 ) ⇒ IM = ( t − 1; −t − 4 )
⇒ IM 2 = ( t − 1) + ( −t − 4 ) = 2t 2 + 6t + 17 = R 2 + MA2 = 22 + MA2 ⇒ MA2 = 2t 2 + 6t + 13.
2

2


Ta có MA = MB. Gọi (T ) là đường tròn tâm M bán kính R ' = MA = MB

⇒ (T ) : ( x − t ) + ( y + t + 2 ) = MA2 = 2t 2 + 6t + 13 ⇔ x 2 + y 2 − 2tx + 2 ( t + 2 ) y = 2t + 9.
2

2

( x − 1)2 + ( y − 2 )2 = 4
Tọa độ của A, B là nghiệm của hệ 
2
2
 x + y − 2tx + 2 ( t + 2 ) y = 2t + 9
⇒ x 2 + y 2 − 2tx + 2 ( t + 2 ) y − ( x − 1) − ( y − 2 ) = 2t + 9 − 4 ⇔ ( 2 − 2t ) x + ( 2t + 8 ) y − 2t − 10 = 0 (1)
2

2

Tọa độ của A, B thỏa mãn (1) ⇒ AB : ( 2 − 2t ) x + ( 2t + 8 ) y − 2t − 9 = 0.

AB qua N ( 2;1) ⇒ ( 2 − 2t ) .2 + ( 2t + 8 ) .1 − 2t − 10 = 0 ⇔ 4 − 4t + 2t + 8 − 2t − 10 = 0 ⇔ t =

1
1 5
⇒ M  ; − .
2
2 2

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + 2y – 3 = 0 và đường tròn

(C ) : ( x − 2)2 + ( y − 3)2 = 4 . Gọi I là tâm của đường tròn (C), M là một điểm thuộc d. Qua điểm M kẻ các tiếp
tuyến MA và MB đến (C) (với A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ của điểm M biết tứ giác MAIB có diện
tích bằng 2 6.
Lời giải
2
2
Ta có: (C ) : ( x − 2) + ( y − 3) = 4 ⇒ I ( 2, 3) , R = 2
Gọi M ( 3 − 2m, m )

Ta có: 2 6 = S MABI = 2S AIM = IA. AM = R IM 2 − R 2 = 2 IM 2 − 4 ⇔ IM 2 − 4 = 6 ⇔ IM 2 = 10
 M ( −1, 2 )
m = 2
2
2
⇔
⇔ (1 − 2m ) + ( m − 3) = 10 ⇔ 
m = 0
 M ( 3, 0 )

Bài 2: [ĐVH]. Cho đường thẳng d: x – y + 2 = 0 và đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 4 = 0 . Gọi I là tâm
của đường tròn (C), M là một điểm thuộc d. Qua điểm M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (với A và B là
các tiếp điểm). Tìm tọa độ của điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 6 2.
Lời giải
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình


(C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 4 = 0 ⇒ ( C ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) = 9 ⇒ I (1, −2 ) , R = 3
2

2

Gọi M ( m, 2 − m )

Ta có: 6 2 = S MABI = 2 S AIM = IA. AM = R IM 2 − R 2 = 3 IM 2 − 9 ⇔ IM 2 = 17
 M ( 0, 2 )
m = 0
2
2
⇔ ( m − 1) + ( 4 − m ) = 17 ⇔ 
⇔
m = 5
 M ( 5, 7 )

(C ) : ( x − 1)2 + ( y + 2)2 = 9
.
Bài 3: [ĐVH]. Cho đường tròn và đường thẳng 
d : x + y + m = 0
Tìm m để trên d có duy nhất một điểm M mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B là
các tiếp điểm) sao cho tam giác MAB vuông.
Lời giải
2
2
(C ) : ( x − 1) + ( y + 2) = 9 ⇒ I (1, −2 ) , R = 3
Gọi M ( a, −m − a )

R 2 = S MABI = 2 S AIM = IA. AM = R IM 2 − R 2 ⇔ IM 2 = 2 R 2 = 18 ⇔ ( a − 1) + ( a + m − 2 ) = 18

2

2

⇔ 2a 2 + 2 ( m − 3) a + m2 − 4m − 13 = 0
Trên có duy nhất một điểm M mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB tới (C)
m = 7
2
⇔ ( m − 3) = 2 m 2 − 4m − 13 ⇔ m 2 − 2m − 35 = 0 ⇔ 
 m = −5

(

)

Bài 4: [ĐVH]. Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 6 x + 5 = 0 . Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua có thể kẻ
được hai tiếp tuyến đến đường tròn (C) và góc giữa hai tiếp tuyến bằng 600
Lời giải
2
2
Ta có: (C ) : x + y − 6 x + 5 = 0 ⇒ I ( 3, 0 ) , R = 2 . Gọi M ( 0, m )
Do AMB = 600 ⇒ AMI = 300 ⇒ IM = 2 R = 4 ⇔ 9 + m 2 = 16 ⇔ m = ± 7 suy ra M (0; 7 ), M (0; − 7 )

Bài 5: [ĐVH]. Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 = 4,
giác MAB có diện tíc bằng

8

A 1; −  , B (3;0). Tìm điểm M trên đường tròn sao tam
3



20
.
3

Lời giải
Ta có:
 8 2
AB =  2,  = ( 3, 4 ) ⇒ n AB = ( −4,3) ⇒ ( AB ) : −4 ( x − 3) + 3 y = 0 hay −4 x + 3 y + 12 = 0
 3 3
2S
• d ( M , AB ) = MAB = 4
AB
Suy ra M thuộc đường thẳng song song với đường thẳng AB và cách đường thẳng AB 4 đơn vị dài. Giả
 ( d ) : −4 x + 3 y − 8 = 0
sử đường thẳng đó là ( d ) . ⇒ 
( d ) : −4 x + 3 y + 32 = 0
 14 48 
• ( d ) : −4 x + 3 y − 8 = 0 ⇒ M = ( d ) ∩ ( C ) ⇒ M ( −2; 0), M  − ; 
 25 25 
• ( d ) : −4 x + 3 y + 32 = 0 ⇒ vô nghiệm

•

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG


MOON.VN – Học để khẳng định mình

Bài 6: [ĐVH]. Cho đường tròn (C ) : ( x − 2)2 + ( y − 3) 2 = 10
Hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn đã cho. Tìm tọa độ các đỉnh A, C biết rằng cạnh AB đi qua
M (−3; −2) và điểm A có hoành độ dương.
Lời giải
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, CD. Dễ thấy E,F lần lượt là tiếp điểm
của AB,CD với đường tròn (C ) : ( x − 2) 2 + ( y − 3) 2 = 10 ⇒ I ( 2, 3) , R = 10
Giả sử n AB = ( m, n ) ⇒ ( AB ) : m ( x + 3) + n ( y + 2 ) = 0
nAC = ( a, b ) ⇒ ( AC ) : a ( x − 2 ) + b ( y − 3) = 0

5 ( m + n)

Ta có: 10 = R = d ( I , ( AB ) ) =

m2 + n 2

(

)

⇒ 2 m2 + n 2 = 5 ( m + n )

2

 m = −3n
 n AB = ( −3,1)

⇔
⇔

1
m = − n
 n AB = (1, −3)
3

+) Với n AB = ( −3,1) ⇒ ( AB ) : −3 x + y − 7 = 0 ⇒ E ( −1, 4 ) ⇒ F ( 5, 2 ) ⇒ ( CD ) : −3 x + y + 13 = 0
Ta có
 a = 2b
 n AC = ( 2,1)
−3a + b
1
2
= cos 450 = cos ( AC , AB ) =
⇔ 5 a 2 + b 2 = ( −3a + b ) ⇔ 
⇔
1
a = − b
2
 n AC = ( 2, −1)
a 2 + b 2 10

2
n AC = ( 2,1) ⇒ ( AC ) : 2 x + y − 7 = 0 ⇒ A ( 0, 7 ) (loại)

(

+) Với nAB
Ta có:
1
2


)

 6 17 
n AC = ( 2, −1) ⇒ ( AC ) : 2 x − y − 1 = 0 ⇒ A  − ,  (loại)
 5 5
= (1, −3) ⇒ ( AB ) : x − 3 y − 3 = 0 ⇒ E ( 3, 0 ) ⇒ F (1, 6 ) ⇒ ( CD ) : x − 3 y + 17 = 0

= cos 45 = cos ( AC , AB ) =
0

a − 3b
a 2 + b 2 10

(

⇔ 5 a +b
2

2

) = ( −3b + a )

n AC = (1, 2 ) ⇒ ( AC ) : x + 2 y − 8 = 0 ⇒ A ( 6,1) ; C ( −2, 5 )

2

b = 2a
 n AC = (1, 2 )


⇔
⇔
b = − 1 a
 n AC = ( −1, 2 )

2

n AC = ( −1, 2 ) ⇒ ( AC ) : − x + 2 y − 4 = 0 ⇒ A ( −18, −7 ) (loại)

(C ) : ( x − 1)2 + ( y + 2)2 = 9
Bài 7: [ĐVH]. (Khối D – 2007). Cho đường tròn và đường thẳng 
. Tìm m để
d : 3x − 4 y + m = 0
trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (với A, B là các tiếp
điểm) sao cho tam giác PAB đều.
Lời giải:
Đường tròn (C) có tâm I (1; −2 ) và bán kính R = 3 . Ta có tam giác PAB đều nên IP = 2 IA = 2 R = 6 ⇔ P

thuộc đường tròn ( C ') tâm I bán kính R ' = 6 .

Trên d có duy nhất 1 điểm P thoã mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi d tiếp xúc với ( C ') tại P
⇔ d ( I;d ) = 6 = R ' ⇔

11 + m
5

 m = 19
=6⇔
 m = −41


Bài 8: [ĐVH]. Cho đường tròn (C ) : ( x − 2)2 + ( y − 4) 2 = 8, d : x − y − 2 = 0 . Tìm điểm M trên d để qua M có
thể kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác IAB có diện tích
max.
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Lời giải:
Gọi M ( t ; t − 2 ) và H = MI ∩ AB ta có: I ( 2; 4 ) ; R = 8
1
1
R2
IA.IB.sin AIB = R 2 sin AIB ≤
=4
2
2
2
Dấu bằng xảy ra khi AIB = 900 ⇒ MIA = 450 khi đó tam
giác AMI vuông cân tại A ta có: MI = AI 2 = R 2 = 4
t = 6  M ( 2;0 )
2
2
⇔ ( t − 2 ) + ( t − 6 ) = 16 ⇔ 
⇒
t = 2  M ( 6; 4 )

Khi đó S IAB =


Bài 9: [ĐVH]. Cho đường tròn (C ) : ( x − 1)2 + ( y + 1) 2 = 1, M (2;0). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C)
(với A, B là các tiếp điểm). Viết phương trình đường thẳng AB.
Lời giải:
Dễ thấy tứ giác MAIB là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm K
là trung điểm của MI vì A và B cùng nhìn MI một góc 900
Ta có: I (1; −1) ; R = 1 . Phương trình đường tròn ngoại tiếp
2

2

3 
1 1

tứ giác MAIB là:  x −  +  y +  = .
2 
2
2

Khi đó tọa độ 2 điểm A,B thoã mãn hệ phương trình sau:

2
2

3 
1 1
x
−
+
y

+

 
 =
2 
2
2 ⇒ x + y − 1 = 0 . Vậy AB : x + y − 1 = 0 .
Hệ PT: 
2
2

( x − 1) + ( y + 1) = 1

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!