BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

ĐOÀN LÊ QUANG BẢO

MỘT ĐỒ ÁN DIDACTIC VỀ DẠY HỌC
GIẢI TOÁN HAI ĐẠI LƯỢNG
TỈ LỆ THUẬN, TỈ LỆ NGHỊCH Ở LỚP 7

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh –2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

ĐOÀN LÊ QUANG BẢO

MỘT ĐỒ ÁN DIDACTIC VỀ DẠY HỌC
GIẢI TOÁN HAI ĐẠI LƯỢNG
TỈ LỆ THUẬN, TỈ LỆ NGHỊCH Ở LỚP 7
Chuyên nghành

: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn toán

Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS.TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH
Thành phố Hồ Chí Minh –2017


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của cá nhân, các trích dẫn
được trình bày trong luận văn hoàn toàn chính xác và đáng tin cậy.
Tác giả
Đoàn Lê Quang Bảo


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin dành những lời đầu tiên của luận văn này để gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến:
TS.Trần Lương Công Khanh, người Thầy hướng dẫn đã dành thời gian và tận tình
giúp đỡ, hướng dẫn tôi hoàn thành cuốn luận văn này. Nhờ có những góp ý của Thầy
mà tôi thực sự đã có những trang bị về kiến thức tốt hơn, quyết định hướng đi tốt nhất
cho luận văn, tôi xin chân thành cảm ơn Thầy!
Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến:
- Quý thầy, cô giảng viên chuyên ngành Didactic Toán, những người đã tận tâm giảng
dạy và truyền đạt kiến thức, giúp tôi có những tri thức về chuyên ngành để thực hiện
luận văn này.
- Các anh, các chị, các bạn học viên lớp Cao học chuyên ngành LL&PPDH bộ môn
Toán K26 trường Đại học sư phạm TP.HCM đã góp ý cũng như chia sẻ những nguồn
tài liệu bổ ích.
- Ban giám hiệu trường THCS Lương Thế Vinh, tỉnh Kon Tum cùng các giáo viên bộ
môn toán đã nhiệt tình hợp tác, giúp đỡ tôi hoàn thành quá trình thực nghiệm 1. Cô Đỗ
Thị Huyền cùng tập thể lớp 8A14 trường THCS Bình Chuẩn, Thuận An, tỉnh Bình
Dương đã hỗ trợ hết sức cho tôi trong quá trình thực nghiệm 2 của nghiên cứu.

Tôi xin chân thành cảm ơn!
Đoàn Lê Quang Bảo


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cám ơn
Mục lục
Dạnh mục các bảng
Danh mục các hình
Danh mục các từ viết tắt
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1
Chương 1. NHỮNG NGHIÊN CỨU VỀ SỰ TỈ LỆ ................................................... 7
1.1. Lý thuyết về sự tỉ lệ của Eudoxus(390 – 337 TCN) ............................................. 7
1.2. Những bài toán về sự tỉ lệ qua cách nhìn của một số nhà Toán học .................. 10
1.2.1. Al-Khwarizmi (khoảng 810) ........................................................................ 10
1.2.2. Fibonaci (1202) ............................................................................................ 10
1.2.3. Dilworth (1740) ............................................................................................ 11
1.2.4. Klapper (1921) ............................................................................................. 12
1.3. Những kỹ thuật giải bài toán về sự tỉ lệ được nghiên cứu .................................. 13
1.3.1. Kỹ thuật “tích lũy” (scalar or build-up strategy).......................................... 13
1.3.2. Kỹ thuật rút về đơn vị (unit rate strategy) .................................................... 15
1.3.3. Kỹ thuật lập tỉ số .......................................................................................... 15
1.4. Kết luận ............................................................................................................... 17
Chương 2. MỐI QUAN HỆ GIỮA THỂ CHẾ DẠY TOÁN Ở VIỆT NAM
ĐỐI VỚI KHÁI NIỆM HAI ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN, HAI
ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH ............................................................... 18
2.1. Ở bậc tiểu học .................................................................................................... 18
2.1.1. Lớp 3 ............................................................................................................ 18
2.1.2. Lớp 4 ............................................................................................................ 19

2.1.3. Lớp 5 ............................................................................................................ 20
2.2. Ở bậc trung học cơ sở ......................................................................................... 22
2.2.1. Phân tích phần bài học ................................................................................ 23
2.2.2. Phân tích phần bài tập .................................................................................. 30


2.3. Hai đại lượng tỉ lệ thuận, hai đại lượng tỉ lệ nghịch trong thể chế dạy học ở
các môn khác và trong giáo trình nước ngoài .................................................... 42
2.3.1. Trong chương trình dạy học Vật lí lớp 11 ở Việt Nam ................................ 42
2.3.2. Trong giáo trình Exploring Math ................................................................. 44
2.4. Kết luận ............................................................................................................... 48
Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ........................................................... 51
A. THỰC NGHIỆM 1 ................................................................................................. 52
3.1. Giới thiệu thực nghiệm 1 .................................................................................... 52
3.2. Phân tích tiên nghiệm thực nghiệm 1 ................................................................. 52
3.2.1. Các bài toán .................................................................................................. 52
3.2.2. Tiến trình thực nghiệm ................................................................................. 61
3.3. Phân tích hậu nghiệm thực nghiệm 1 ................................................................. 63
3.3.1. Bài toán 1. .................................................................................................... 63
3.3.2. Bài toán 2. .................................................................................................... 65
3.3.3. Bài toán 3. .................................................................................................... 67
3.3.4. Bài toán 4 ..................................................................................................... 70
3.4. Kết luận thực nghiệm 1 ....................................................................................... 73
B. THỰC NGHIỆM 2.................................................................................................. 74
3.5. Giới thiệu thực nghiệm 2 .................................................................................... 74
3.6. Phân tích tiên nghiệm thực nghiệm 2 ................................................................. 74
3.6.1. Các bài toán .................................................................................................. 74
3.6.2. Tiến trình thực nghiệm ................................................................................. 82
3.7. Phân tích hậu nghiệm thực nghiệm 2 ................................................................. 84
3.7.1. Pha 1 ............................................................................................................. 84

3.7.2. Pha 2 ............................................................................................................. 86
3.7.3. Pha 3 ............................................................................................................. 88
3.7.4. Pha 4 ............................................................................................................. 91
3.8. Kết luận thực nghiệm 2 ....................................................................................... 93
KẾT LUẬN .................................................................................................................. 95
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 99
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1.

Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ và kỹ thuật giải quyết các kiểu
nhiệm vụ .................................................................................................. 41

Bảng 3.2.

Dự kiến quá trình tiến hành thực nghiệm 1 .............................................62

Bảng 3.3.

Bảng thống kê câu trả lời của bài toán 1 .................................................63

Bảng 3.4.

Bảng thống kê câu trả lời của bài toán 2 .................................................65

Bảng 3.5.

Bảng thống kê câu trả lời của bài toán 3 .................................................67


Bảng 3.6.

Bảng thống kế các câu trả lời bài toán 4. .................................................71

Bảng 3.7.

Trình bày các bài toán trong các phiếu điều tra .......................................82

Bảng 3.8.

Dự kiến quá trình tiến hành thực nghiệm 2 .............................................82

Bảng 3.9.

Bảng thống kê câu trả lời của bài toán 1, câu a) ......................................84

Bảng 3.10.

Bảng thống kê câu trả lời của bài toán 1, câu b)......................................85

Bảng 3.11.

Bảng thống kê câu trả lời của bài toán 2, câu a) ......................................88

Bảng 3.12.

Bảng thống kê câu trả lời của bài toán 2, câu b)......................................89

Bảng 3.13.


Bảng thống kê câu trả lời của bài toán 3 .................................................89


DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 3.1. Câu trả lời của một học sinh theo chiến lược S1............................................64
Hình 3.2. Câu trả lời của một học sinh khác theo chiến lược S1 ...................................64
Hình 3.3. Bài giải theo chiến lược S4 sử dụng kỹ thuật rút về đơn vị ...........................66
Hình 3.4. Bài giải theo chiến lược S5 sử dụng kỹ thuật lập tỉ số ...................................66
Hình 3.5. Bài giải theo chiến lược S3 sử dụng kỹ thuật cộng ........................................66
Hình 3.6. Bài giải của một học sinh theo chiến lược S6.1 ..............................................68
Hình 3.7. Bài giải của một học sinh theo chiến lược S6.2 ..............................................68
Hình 3.8. Bài giải của một học sinh theo chiến lược S9.2 ..............................................69
Hình 3.9. Bài giải của một học sinh cho kết quả đúng bằng phép thế ngẫu nhiên ........70
Hình 3.10. Lời giải bài toán 4 của nhóm học sinh lớp 8A1 ...........................................72
Hình 3.11. Lời giải bài toán 4 của một nhóm học sinh lớp 8A3 ....................................72
Hình 3.12. Lời giải của một nhóm học sinh lớp 8A2 .....................................................73
Hình 3.13. Đồ thị hàm số y = -2x ..................................................................................76
Hình 3.14. Bài làm của nhóm 1 câu 1a) ........................................................................85
Hình 3.15. Câu trả lời của nhóm 1 câu 1a) ....................................................................85
Hình 3.16. Câu trả lời của nhóm 2 câu 1a) ....................................................................85
Hình 3.17. Câu trả lời của nhóm 4 sử dụng chiến lược S12 ...........................................86
Hình 3.18. Câu trả lời của nhóm 3 sử dụng chiến lược S1 ............................................86
Hình 3.19. Câu trả lời của nhóm 6 sử dụng chiến lược S2 ............................................86
Hình 3.20. Câu trả lời của nhóm 5 cho câu 2a) .............................................................88
Hình 3.21. Câu trả lời của nhóm 6 cho câu 2a) .............................................................88
Hình 3.22. Câu trả lời của nhóm 4 cho câu 2b) sử dụng chiến lược S17 .......................89
Hình 3.23. Câu trả lời của nhóm 2 cho câu 2b) sử dụng chiến lược S17 .......................89
Hình 3.24. Câu trả lời của nhóm 1 sử dụng chiến lược S19 ...........................................90
Hình 3.25. Câu trả lời của nhóm 4 sử dụng chiến lược S18 ...........................................90

Hình 3.26. Câu trả lời của nhóm 8 sử dụng chiến lược S20 ...........................................91


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
BT:

Bài tập

SBT:

Sách bài tập

SGK:

Sách giáo khoa

SGV:

Sách giáo viên

Q:

Question (câu hỏi)

A:

Answer (Câu trả lời)

OML:


Organisation math locate (tổ chức toán học
địa phương)

VD:

Ví dụ

GT:

Giả thuyết

THCS:

Trung học cơ sở


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.2. Những ghi nhận ban đầu
Trong chương trình giảng dạy bộ môn toán hiện nay, bộ giáo dục rất khuyến khích
việc đưa vào giảng dạy những bài toán liên hệ với thực tiễn. Đặc biệt chúng tôi nhận
thấy dạng toán tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch ở lớp 7 có nội dung liên hệ với thực tế rất nhiều,
ngay cả trong sách giáo khoa và sách bài tập cũng xuất hiện rất nhiều các ví dụ cũng
như bài toán xuất phát từ thực tế. Tuy nhiên, đối với những bài toán thực tế đòi hỏi học
sinh cần vận dụng thành thạo các thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so
sánh, khái quát hóa,… Do đó, rất nhiều học sinh gặp khó khăn hay cảm thấy lúng túng
trong việc:
- Tìm ra mối liên hệ giữa hai đại lượng.

- Xác định hai đại lượng là tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch hay không tỉ lệ thuận, không tỉ lệ
nghịch.
- Định hình phương pháp giải toán về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch.
Chính vì vậy, chúng tôi thực hiện đề tài này với mục đích tìm hiểu lí do gặp khó khăn
của học sinh khi giải những bài toán liên quan đến hai đại lượng tỉ lệ thuận, hai đại
lượng tỉ lệ nghịch, giúp học sinh khắc phục bằng cách xây dựng một tiểu đồ án dạy
học giải toán về hai đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch.
Để dễ dàng thực hiện nghiên cứu, chúng tôi nhận thấy cần thiết đặt ra những câu hỏi
xuất phát như sau:
1. Hai đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch xuất hiện trong chương trình giảng dạy từ khi
nào? Có những ràng buộc nào? Những ràng buộc này có ảnh hưởng như thế nào đối
với sự tiếp thu kiến thức của học sinh?
2. Có sự khác nhau nào không giữa đặc trưng của hai đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch
trong toán học và trong thực tế?
3. Có thể xây dựng một phương pháp, đường lối giải toán về đại lượng tỉ lệ thuận, đại
lượng tỉ lệ nghịch hay không?


2

1.2. Tổng quan một số công trình nghiên cứu liên quan
Luận văn thạc sĩ “Tỉ lệ và tỉ lệ thức trong dạy học toán” của tác giả Lưu Quốc Anh
(2016), ĐH Sư phạm TP.Hồ Chí Minh.
Trong luận văn, tác giả đã tiến hành nghiên cứu tri thức luận khái niệm tỉ lệ. Tỉ lệ là
một khái niệm toán học quan trọng và có thể nói nó là tiền thân của khái niệm số thực.
Khái niệm số vô tỉ xuất hiện ở Hy Lạp cổ đại và sự ra đời của nó gắn liền với một bài
toán (nói theo ngôn ngữ của chúng ta ngày nay) là bài toán tỉ lệ. Ngoài ra, tác giả cũng
đã chỉ ra tỉ lệ có ứng dụng trong các môn khoa học tự nhiên khác như hóa học hay sinh
học, là công cụ để giải quyết nhiều bài Toán hóa học, đặc biệt là các bài Toán liên
quan đến công thức hóa học và phương trình phản ứng hóa học.

Đồng thời luận văn đã phân tích tỉ lệ và tỉ lệ thức trong các thể chế dạy học Toán –
Hóa – Sinh ở Việt Nam. Tác giả đã chỉ ra mối lien hệ giữa tỉ số, tỉ lệ và tỉ lệ thức. Tỉ lệ
thức là biểu thức thể hiện sự bằng nhau giữa hai tỉ số. Rõ ràng là nó được thể hiện
ngầm ẩn trong khái niệm hai phân số bằng nhau ở bậc tiểu học. Sang đến thể chế dạy
học Toán bậc trung học cơ sở thì tỉ số, khái niệm chuẩn bị cho tỉ lệ thức, được định
nghĩa một cách tường minh trong sách Toán 6. Trước đó thì khái niệm phân số cũng
được mở rộng trong sách Toán 6, không chỉ có các phân số dương trong thế giới hiện
thực mà còn bao gồm các phân số âm trừu tượng. Khái niệm tỉ lệ thức chính thức được
giới thiệu trong sách Toán 7. Nó là một biểu thức đại số biểu diễn cho sự tỉ lệ. Sau khi
xuất hiện chính thức, tỉ lệ thức thể hiện vai trò công cụ để biểu diễn mối quan hệ giữa
hai giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ thuận bất kì cũng như mối quan hệ giữa tỉ
số hai giá trị bất kì của đại lượng này và tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng kia. Tỉ lệ
thức cũng đóng vai trò công cụ trong việc định nghĩa một số khái niệm hình học như
cặp đoạn thẳng tỉ lệ, hai tam giác đồng dạng. Ở thể chế dạy học hình học trung học
phổ thông, khái niệm hai hình đồng dạng lại được định nghĩa thông qua khái niệm
phép đồng dạng.
Tác giả đã tổng hợp được các chiến lược giải thường gặp ở học sinh khi giải quyết các
bài toán về sự tỉ lệ cũng như các yếu tố có thể ảnh hưởng lên việc lựa chọn chiến lược
giải của họ (chẳng hạn như cấu trúc số hoặc cấu trúc ngữ cảnh). Ngoài ra, thực nghiệm
của tác giả cũng đã cho thấy các bài toán quan hệ tỉ lệ có cấu trúc số phức tạp hơn so


3

với thông thường quả thật có tác động lên việc lựa chọn chiến lược giải của học sinh
lớp 4, một số học sinh còn cho rằng tất cả những bài toán có đề bài bao gồm 4 yếu tố
mà 3 trong số đó đã được cung cấp đều là các bài toán về quan hệ tỉ lệ (thuận).
Tuy nhiên, những nghiên cứu của tác giả chỉ dừng ở mối quan hệ tỉ lệ là tỉ lệ thuận.
Luận văn chưa thể hiện được mối quan hệ tương quan qua lại giữa mối quan hệ tỉ lệ
thuận và tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng. Những phân tích chưa cho thấy được những

kỹ thuật giải được nghiên cứu có thể giải quyết hoàn toàn những bài toán về tỉ lệ hay
không. Thực nghiệm của luận văn chỉ tiến hành ở bậc tiểu học, là bậc học mà những
khái niệm, thuật ngữ về tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch chưa được trình bày; kỹ thuật giải
cũng chưa được giới thiệu rõ ràng. Do đó, những yếu tố ảnh hưởng đến sự lựa chọn
chiến lược giải của học sinh cũng như khả năng nhận diện dạng toán chưa làm nổi bật
những khó khăn mà học sinh gặp phải. Từ đó, chúng tôi nhận thấy cần thiết phải thực
hiện nghiên cứu này để làm rõ những yếu tố trên, đồng thời định hướng cho học sinh
phương pháp giải những bài toán về sự tỉ lệ.
2. Phạm vi lí thuyết tham chiếu (cơ sở lí luận)
Tìm hiểu một đối tượng tri thức cần phải xem xét nó trong một thể chế nhất định và
trong các mối liên hệ với các đối tượng khác. Vì thế, chúng tôi tiến hành phân tích
chương trình giảng dạy hai đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch đối với thể chế dạy học
toán ở Việt Nam.
Ngoài ra, để tìm hiểu khó khăn của học sinh khi giải những bài toán về đại lượng tỉ lệ
thuận, tỉ lệ nghịch liên quan đến thực tiễn chúng tôi dựa trên lý thuyết về trường quan
niệm. Từ đó xây dựng một tính huống thực nghiệm giúp học sinh loại bỏ những
chướng ngại và khó khăn trên, và để làm được điều này chúng tôi sử dụng kiến thức
vềlý thuyết tình huống.
Như vậy, nội dung nghiên cứu đề tài này được đặt vào phạm vi của Didactic Toán. Cụ
thể là các kiến thức về:
-

Thuyết nhân học trong didactic.

-

Lý thuyết tình huống.


4


3. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu
- Mục tiêu nghiên cứu: Nghiên cứu khái niệm hai đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch ở
lớp 7 và xây dựng tiểu đồ án dạy học giúp học sinh khắc phục những quan niệm sai
lầm, đồng thời định hướng phương pháp giải khi giải những bài toán về hai đại lượng
tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch.
- Câu hỏi nghiên cứu:
Từ những câu hỏi xuất phát và mục tiêu đặt ra khi thực hiện nghiên cứu, chúng tôi xin
trình bày hệ thống lại các câu hỏi nghiên cứu như sau:
CH1: Những kỹ thuật nào có thể sử dụng để giải những bài toán về hai đại lượng tỉ lệ
thuận, hai đại lượng tỉ lệ nghịch?
CH2: Trong chương trình dạy học Toán lớp 7 ở Việt Nam, có những kiểu nhiệm vụ
nào liên quan đến tri thức hai đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch? Những kĩ thuật giải
nào được trình bày, những kĩ thuật giải nào được ưu tiên?
CH3: Cần quan tâm đến những vấn đề gì để xây dựng một tiểu đồ án dạy học giúp học
sinh định hình phương pháp giải những bài toán về hai đại lượng tỉ lệ thuận – hai đại
lượng tỉ lệ nghịch có liên hệ với thực tế?
4. Phương pháp nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu
4.1. Phương pháp nghiên cứu
Để trả lời những câu hỏi nêu trên, chúng tôi xác định phương pháp nghiên cứu như
sau:
-

Phương pháp nghiên cứu lí luận: Phân tích, tổng hợp các công trình nghiên cứu đã

có để làm cơ sở cho lý thuyết tham chiếu của đề tài, phân tích chương trình dạy học.
-

Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Xây dựng tiểu đồ án dạy học và tiến hành thực


nghiệm.
4.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Sử dụng những phương pháp nghiên cứu trên để thực hiện các nhiệm vụ nghiên cứu
sau:
- Nghiên cứu, phân tích thể chế dạy học toán ở Việt Nam liên quan đến khái niệm hai
đại lượng tỉ lệ thuận, hai đại lượng tỉ lệ nghịch.


5

- Từ những nghiên cứu và phân tích trên, đề ra những câu hỏi mới và những giả
thuyết nghiên cứu sẽ được kiểm chứng khi thực nghiệm.
- Xây dựng các bài toán thực nghiệm để nghiên cứu quan hệ cá nhân của học sinh đối
với khái niệm hai đại lượng tỉ lệ thuận, hai đại lượng tỉ lệ nghịch, kiểm chứng giả
thuyết nghiên cứu đã được đặt ra.
- Từ đó xây dựng một tiểu đồ án didactic giúp học sinh định hướng phương pháp
giảicác bài toán liên hệ thực tế về hai đại lượng tỉ lệ thuận, hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
5. Hạn chế của luận văn
Vì khó khăn trong việc tìm kiếm nguồn tư liệu nên việc phân tích tri thức luận lịch sử
còn chưa thực sự thể hiện được đặc trưng của đối tượng tri thức được nhắm đến. Ngoài
ra, vì giới hạn về mặt thời gian cũng như khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ, chúng
tôi chưa thực hiện được việc phân tích đối chiếu mối quan hệ thể chế của Việt Nam và
của nước ngoài.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần Mở đầu và phần Kết luận, luận văn của chúng tôi gồm có 3 phần là 3
chương:
Mở đầu
Trong phần này, chúng tôi trình bày lí do chọn đề tài, phạm vi lý thuyết tham chiếu,
mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu, phương pháp và nhiệm vụ nghiên cứu, cấu trúc của
luận văn.

Chương I. Những nghiên cứu về sự tỉ lệ
Tại đây, chúng tôi tiến hành giới thiệu sơ lược về lịch sử của lý thuyết về sự tỉ lệ,
những bài toán về sự tỉ lệ thông qua cách nhìn nhận của các nhà Toán học, tổng quan
những nghiên cứu về kỹ thuật giải dạng toán tỉ lệ.
Chương II. Mối quan hệ giữa thể chế dạy học toán ở Việt Nam đối với khái niệm
hai đại lượng tỉ lệ thuận, hai đại lượng tỉ lệ nghịch
Ở chương II, chúng tôi tiến hành phân tích việc dạy học tri thức hai đại lượng tỉ lệ
thuận, hai đại lượng tỉ lệ nghịch trong SGK toán ở Việt Nam, tìm hiểu những kỹ thuật
giải nào được trình bày, kỹ thuật nào được ưu tiên.
Chương III. Nghiên cứu thực nghiệm


6

Từ những phân tích ở chương II, chúng tôi trình bày nghiên cứu thực nghiệm ở
chương III để kiểm chứng những giả thuyết đã đặt ra cũng như xây dựng một đồ án
dạy học giúp học sinh thực hành giải toán về hai đại lượng tỉ lệ thuận, hai đại lượng tỉ
lệ nghịch.
Kết luận
Chúng tôi tóm tắt những kết quả đã đạt được của luận văn, đề xuất những hướng
nghiên cứu mới có thể thực hiện từ luận văn này.
Tài liệu tham khảo
Phụ lục


7

Chương 1.
NHỮNG NGHIÊN CỨU VỀ SỰ TỈ LỆ
Tỉ lệ cho chúng ta biết mối liên hệ giữa hai hay nhiều giá trị, được sử dụng nhiều trong

học thuật và cuộc sống để so sánh nhiều đại lượng hoặc số lượng với nhau. Tỉ lệ có thể
được tính và viết dưới nhiều dạng khác nhau, trong Toán học thì tỉ lệ thức chính là một
dạng biểu diễn mối quan hệ tỉ lệ giữa những số hay những giá trị của những đại lượng
với nhau. Hai đại lượng tỉ lệ thuận, hai đại lượng tỉ lệ nghịch biểu diễn mối quan hệ tỉ
lệ giữa hai đại lượng. Chính những lý thuyết về tỉ lệ đã giúp chúng ta định nghĩa hai
đại lượng thế nào là tỉ lệ thuận, thế nào là tỉ lệ nghịch; cũng như xây dựng những kỹ
thuật để giải những bài toán về chúng. Để có thể trả lời cho CH1: “Những kỹ thuật
nào có thể sử dụng để giải những bài toán về hai đại lượng tỉ lệ thuận, hai đại lượng tỉ
lệ nghịch?”; và có một cái nhìn sâu sắc hơn, chúng tôi tiến hành tìm hiểu trong lịch sử
sự xuất hiện cũng như những mối quan tâm của các nhà Toán học về tri thức này.
1.1. Lý thuyết về sự tỉ lệ của Eudoxus(390 – 337 TCN)
Eudoxus (390 – 337 TCN)là một nhà toán học vùng Tiểu Á. Những kết quả nghiên
cứu toán học của Eudoxus được Euclide tiếp thu để làm cơ sở cho ba quyển V, VI, VII
trong bộ "Cơ bản" của mình. Thành tựu xuất sắc nhất của Eudoxus là tổng quát hóa lý
thuyết của Pythagoras về tỉ lệ.
Trong phần này, chúng tôi trình bày tổng quan những phân tích về lý thuyết về sự tỉ lệ
của Eudoxus trong một số công trình nghiên cứu và tài liệu nước ngoài sau:
- John Stillwell (March, 2010), Mathematics and it’s history (third edition), Monash
University and the University of San Francisco.
- Uta C.Merzbach và Carl B.Boyer (2010), A history of Mathematics (third edition).
- James J. Madden (2016), An Historical Perspective of Proportion, Ratio and
Measurement, Louisiana State University.
Có lẽ sự thú vị và ấn tượng nhất của toán học Hy Lạp là sự quan tâm của nó về vô cực.
Người Hy Lạp sợ sự vô cùng và cố gắng tránh nó, nhưng khi làm như vậy, họ đã đặt
nền móng để nghiên cứu kĩ càng các quá trình vô hạn trong tính toán thế kỷ 19. Những
đóng góp ban đầu nhất cho lý thuyết về vô cực trong thời cổ đại là lý thuyết về tỷ lệ và


8


phương pháp vét kiệt. Cả hai đều do Eudoxus sáng tạo và được giải thích trong Sách
cơ bản V của Euclid..
Trong “Tuổi trẻ của Plato”, việc khám phá ra tính không thể so sánh được đã gây ra
nhiều sự tranh cãi, dẫn đến sự mâu thuẫn đối với các định lý liên quan đến tỉ lệ. Khi
đọc “cải cách Platonic” trong toán học, có thể cách dùng từ có khuynh hướng phóng
đại những điều diễn ra, tuy nhiên việc Eudoxus làm là rất cần thiết và quan trọng đến
nỗi từ “cải cách” không phải là không phù hợp. Mục đích của lý thuyết về tỉ lệ là để
cho phép tính và so sánh độ dài (và các khối hình học khác) được xử lý chính xác như
các con số, trong khi ở Hy lạp lúc bấy giờ chỉ chấp nhận việc sử dụng các con số hợp
lý (là những số nguyên, số hữu tỉ). Người Hy Lạp không thể chấp nhận số không hợp
lý (là những số vô tỉ), nhưng họ lại phải chấp nhận số không hợp lý trong hình học như
đường chéo của hình vuông đơn vị. Để đơn giản hóa sự trình bày của lý thuyết, chúng
ta hãy gọi một chiều dài là hợp lý nếu chúng là bội số của một chiều dài cố định. Ý
tưởng của Eudoxus là để nói rằng một chiều dài λ được xác định bởi những chiều dài
hợp lý nhỏ hơn nó và những chiều dài hợp lý lớn hơn nó. Chính xác, ông nói rằng
λ1 = λ2 nếu có chiều dài hợp lý <λ1 cũng <λ2, và ngược lại. Tương tự như vậy λ1<λ2
nếu có độ dài hợp lý >λ1 nhưng <λ2. Định nghĩa này sử dụng các nguyên lý để đưa ra
khái niệm về chiều dài vô hạn, đồng thời tránh sử dụng bất kỳ định nghĩa nào về sự vô
hạn. Tất nhiên, tập hợp vô hạn của độ dài hợp lý <λ có mặt trong tinh thần, nhưng
Eudoxus tránh đề cập đến nó bằng cách nói về một chiều dài hợp lý tùy ý <λ. Lý
thuyết tỷ lệ thành công đến nỗi nó trì hoãn sự phát triển của lý thuyết về số thực trong
2000 năm. Điều này thực sự mỉa mai, bởi vì lý thuyết tỷ lệ có thể được sử dụng để xác
định số không hợp lý cũng như độ dài không hợp lý. Tuy nhiên, điều này có thể hiểu
được bởi vì những chiều dài không hợp lý phổ biến như đường chéo của ô đơn vị phát
sinh từ các công trình trực quan rõ ràng và hữu hạn từ quan điểm hình học. Bất kỳ
cách tiếp cận số học nào đối với

2 , dù theo trình tự thập phân, hoặc các phân số đều

là vô hạn và do đó ít trực quan hơn. Cho đến thế kỷ 19, điều này dường như là một lý

do chính đáng để xem hình học là một nền tảng tốt hơn cho toán học hơn là số học.
Sau đó, các vấn đề của hình học đã bắt đầu khó giải quyết hơn, và các nhà toán học bắt
đầu sợ trực giác hình học nhiều như trước đây họ đã sợ vô cực. Đã có một sự tẩy lọc lý


9

luận hình học từ sách giáo khoa và xây dựng lại các lý thuyết toán học trên cơ sở số và
bộ số. Vẻ đẹp của lý thuyết tỷ lệ là khả năng thích nghi với điều kiện mới này.
Sau những nhận xét sơ bộ về tỷ số, Euclid đưa ra trong sách cơ bản V công thức nổi
tiếng của Eudoxus:
Magnitudes are said to be in the same ratio, the first to the second and the third
to the fourth, when, if any equimultiples whatever be taken of the first and the
third, and any equimultiples whatever of the second and fourth, the former
equimultiples alike exceed, are alike equal to, or are alike less than, the latter
equimultiples taken in corresponding order.
(A history of Mathematics; tr.80)
Nghĩa là,

a c
 khi và chỉ khi cho hai số nguyên m và n bất kỳ thì:
b d

ma < nb thì mc < nd,
hoặc nếu ma = nb thì mc = nd,
hoặc nếu ma > nb thì mc > nd.
Định nghĩa của Eudoxian về sự bằng nhau về tỷ số không khác với quá trình nhân
chéo được sử dụng hiện nay cho các phân số

a c

  ad  bc - một quá trình tương
b d

đương với việc quy đồng rồi giảm xuống một mẫu số chung.Ví dụ, để cho thấy
bằng

3
6

4
, chúng ta nhân 3 và 6 cho 4, để có được 12 và 24, và chúng ta nhân 4 và 8
8

cho 3, được cùng một cặp số 12 và 24. Chúng ta có thể sử dụng 7 và 13 là hai nhân tố
bất kì, khi đó ta cócặp 21 và 42 đối với phân số đầu tiên; 52 và 104 đối với phân số thứ
hai, vì 21 là nhỏ hơn 52, do đó 42 nhỏ hơn 104. Vì ví dụ số học của chúng ta không
làm nổi bật sự tinh tế và hiệu quả của tư tưởng của Eudoxus, do đó ứng dụng ở đây
nhìn có vẻ có vẻ tầm thường. Để đạt được sự đánh giá cao hơn về định nghĩa của
Eudoxus, sẽ là tốt hơn nếu thay thế a, b, c, d bằng vô cực hoặc, tốt hơn, để cho a và b
là hình cầu và c và d khối trong quả cầu. Ở đây phép nhân chéo trở nên vô nghĩa, và
tính khả thi của định nghĩa của Eudoxus là không rõ ràng. Trong thực tế, định nghĩa
này không xa cách các định nghĩa của thế giới năm 1912 về số thực, vì nó tách lớp của


10

các số hợp lý

m
thành hai loại, theo ma  nb hoặc ma  nb . Bởi vì có vô số con số hợp

n

lý, những người Hy Lạp đã phải đối mặt với khái niệm mà họ muốn tránh - đó là một
tập hợp vô hạn - nhưng ít nhất nó đã có thể đưa ra các bằng chứng thỏa đáng về các
định lý về tỷ lệ.
1.2. Những bài toán về sự tỉ lệ qua cách nhìn của một số nhà Toán học
Lý thuyết về tỉ lệ không chỉ đóng vai trò quan trọng trong quá trình nghiên cứu toán
học mà còn có ứng dụng rất thiết thực trong thực tế, nó giúp giải quyết những vấn đề
đề phát sinh trong mua bán, trao đổi giữa người với người. Nhiều nhà toán học đã chỉ
ra những vấn đề xuất phát từ thực tế liên quan đến sự tỉ lệ và cách thức giải quyết
những bài toán được đặt ra.
1.2.1. Al-Khwarizmi (khoảng 810)
“Biết rằng tất cả các giao dịch giữa người với nhau là bán hàng, mua hàng, trao
đổi, thuê mướn, …, được thực hiện theo hai chế độ và bao gồm bốn con số được
người yêu cầu giải thích: số lượng đại lượng, tỷ lệ, giá cả và số lượng….trong số
bốn yếu tố này, ba yếu tố luôn rõ ràng và được biết đến, và một trong số đó là
không rõ ràng. Bạn kiểm tra ba yếu tố rõ ràng, cần phải có hai trong số đó không
tương ứng với liên kết của nó. Bạn nhân nó và phân chia sản phẩm bằng một con
số rõ ràng khác…; Những gì bạn nhận được là số không xác định cần tìm … "
(An Historical Perspective of Proportion, Ratio and Measurement; tr.8)
Al-Khwarizmi cho rằng mục đích của ông là giải thích các phương pháp để dễ tính
toán trong thương mại, phân chia tài sản thừa kế và đo đạc địa hình… Phương pháp
trên dựa trên lý thuyết về sự tỉ lệ.
1.2.2. Fibonaci (1202)
“Bốn giá trị được sẽ được nhắc đến trong các cuộc mua bán trao đổi, trong đó
ba giá trị được biết đến và một là không rõ. Thứ nhất là số lượng mặt hàng được
bán, hoặc trọng lượng hoặc thước đo của việc bán: ví dụ một trăm tấm da dê,
hoặc một trăm ký, hoặc một trăm pound, hoặc một đơn vị thể tích dầu, hoặc bột
ngô hoặc bó vải. Thứ hai là giá bán của chúng. . . Thứ ba là một lượng khác của



11

cùng một hàng hóa, và thứ tư là giá không xác định [cần được xác định].”
(An Historical Perspective of Proportion, Ratio and Measurement; tr.9)
Bài toán cụ thể mà Fibonaci đưa ra là: “Nếu 12 tấm da dê có giá 30 denari, thì giá của
42 tấm da dê là bao nhiêu?”. Cách giải quyết theo phương pháp của Fibonaci là tạo
một hình vuông như sau:

Nhân hai số trong đường chéo lên, sau đó chia cho số còn lại. Kết quả là giá phải trả
cho 42 tấm da dê.
1.2.3. Dilworth (1740)
“…Q. Theo luật tam suất (rule of three) giá trị được biết đến là gì?
A. Theo luật tam suất, luôn có ba giá trị được xác định và đưa ra yêu cầu tìm
kiếmgiá trị thứ tư.
…
Q. Bạn quan sát những gì liên quan đến giá trị thứ nhất và giá trị thứ ba?
A. Chúng phải cùng tên và cùng loại.
Q. Bạn quan sát điều gì liên quan đến giá trị thứ tư?
A. Nó phải có cùng tên và loại với giá trị thứ 2.
…
Q. Giá trị thứ tư được tìm thấy như thế nào?
A. Bằng cách nhân các giá trị thứ hai và thứ ba lại với nhau và phân chia kết quả
đó cho giá trị đầu tiên. "
(An Historical Perspective of Proportion, Ratio and Measurement; tr.12)
Khi Dilworth nhắc đến mối liên quan của giá trị thứ nhất và giá trị thứ ba, giá trị thứ
hai và giá trị thứ tư là phải cùng tên và cùng loại thì ta có thể xem xét bài toán mà
Dilworth quan tâm là sự tỉ lệ của hai đại lượng chứ không đơn giản chỉ là việc xem xét
sự tỉ lệ của các giá trị bất kì.



12

Luật tam suất (rule of three) là một trường hợp thú vị, nó được biết đến ở Trung Quốc
trong “Cửu chương thuật toán” của Trần Sanh (được viết khoảng 152 TCN). Quy tắc
tam suất được nhắc đến trong các chương II và III là phương pháp giải những bài toán
chia tỉ lệ mô tả cách thu thuế thời cổ; các văn bản của Ấn Độ viết về nó từ thế kỉ thứ
năm trở đi; thời phục hưng châu Âu đã gọi luật tam suất là “quy tắc Vàng”. Tầm quan
trọng của quy tắc này là không nhiều, tuy nhiên nó là cơ sở đơn giản nhất để giải quyết
một số vấn đề được quan tâm. Về cơ bản, quy tắc này hoạt động dựa vào lý thuyết của
sự tỉ lệ.
1.2.4. Klapper (1921)
“Một tỉ lệ chỉ đơn thuần là một phương pháp viết một phương trình đơn giản, và
với việc được phép sử dụng các chữ cái x, hình thức phương trình có thể sẽ thay
thế tỉ lệ…
Ví dụ, hãy xem xét vấn đề này: Nếu một bụi cây cao 4 feet có bóng dài 6 feet thì
tại cùng một thời gian một cây có bóng dài 54 feet sẽ cao bao nhiêu? Ở đây
chúng ta có thể viết một tỷ lệ ở dạng 6 feet: 4 feet = 54 feet: (?), ta phải cố gắng
để giải thích nó, nhưng chỉ áp dụng một quy tắc tùy ý. Đây là phương pháp cũ.
Hay chúng ta có thể đưa công việc vào phương trình,
x 4
 ,
54 6

Từ việc giải phương trình này ta có thể suy ra nguyên tắc phân chia trong một
bài toán tỉ lệ…”
(An Historical Perspective of Proportion, Ratio and Measurement; tr.13)
Như vậy, các nhà toán học đều quan tâm đến dạng toán về sự tỉ lệ và đặc biệt là bài
toán giá trị thiếu (missing value problems); là bài toán mà trong đó 3 giá trị đã được
biết trước và yêu cầu đi tìm một giá trị còn lại biết rằng 4 giá trị đó thuộc về hai đại

lượng có mối quan hệ tỉ lệ với nhau.
Sau đây chúng tôi sẽ tìm hiểu có những phương pháp giải nào đối với những dạng toán
về sự tỉ lệ, những kỹ thuật này liệu có thích hợp với việc giải những bài toán về hai đại
lượng tỉ lệ thuận, hai đại lượng tỉ lệ nghịch hay không?


13

1.3. Những kỹ thuật giải bài toán về sự tỉ lệ được nghiên cứu
Chúng tôi sẽ tổng hợp lại những kỹ thuật được những nhà nghiên cứu quan tâm trước
đây và xem xét việc sử dụng những kỹ thuật đó để giải những bài toán về hai đại lượng
tỉ lệ thuận, hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
1.3.1. Kỹ thuật “tích lũy” (scalar or build-up strategy)
Đây là kỹ thuật được giới thiệu trong nghiên cứu “Proportional Reasoning: Student
Misconceptions and Strategies for teaching”. Khi giải quyết những bài toán giá trị
thiếu, người sử dụng sẽ so sánh hai giá trị cùng loại, sau đó quy mô nó lên, hoặc xuống
bằng cách bổ sung hoặc trừ đi lặp lại cho đến khi hai giá trị đó trùng khớp thì ta sẽ tìm
được giá trị tương ứng của nó trong tỉ lệ với loại khác.
Bài toán được nghiên cứu sử dụng làm ví dụ như sau:
Jane phải trả 9 cents khi mua 2 thanh kẹo gum, hỏi Jane phải trả bao nhiêu để mua 8
thanh kẹo gum?
(Proportional Reasoning: Student Misconceptions and Strategies for teaching; tr.5)
Đây là một bài toán về hai đại lượng tỉ lệ thuận, lời giải theo phương pháp này là: 9
cents cho 2 thanh kẹo, nghĩa là 18 cents cho 4 thanh kẹo, nghĩa là 27 cents cho 6 thanh
kẹo, nghĩa là 38 cents cho 8 thanh kẹo. Như vậy hai giá trị tương ứng ban đầu được
quy mô lên bằng cách cộng lặp đi lặp lại hai giá trị đó cho đến khi bằng giá trị yêu cầu.
Tuy nhiên, trong nghiên cứu ““Ratio”:Raising Teachers’Awareness Of Children’s
Thinking” đã đưa ra một ví dụ khác cho thấy việc áp dụng kỹ thuật này là không khả
thi với mọi bài toán tỉ lệ thuận. Ví dụ như sau:
Sue và Jenny muốn cùng sơn với nhau. Họ muốn sơn y hệ bất phương trình bậc

nhất hai ẩnt như nhau về mặt màu sắc. Sue dùng 3 lon sơn vàng và 6 lon sơn
đỏ. Jenny dùng 7 lon sơn vàng. Hỏi Jenny cần sử dụng bao nhiêu lon sơn
đỏ?

(1)
(“Ratio”:Raising Teachers’Awareness Of Children’s Thinking; tr.3-4)

Một lời giải của học sinh sử dụng phương pháp tích lũy như sau:


14

3 lon sơn vàng

6 lon sơn đỏ

6 lon sơn vàng

12 lon sơn đỏ

6 + 1 = 7 lon sơn vàng

12 + 1 = 13 lon sơn đỏ

Với việc cộng lặp đi lặp lại theo kỹ thuật tích lũy thì học sinh đã không thể làm cho hai
giá trị cùng loại trùng khớp (6 + 3 = 9  7). Do đó, học sinh lại tiếp tục sử dụng chiến
lược cộng để cho hai giá trị trùng khớp (6 + 1 = 7) nhưng lại khiến cho kết quả của bài
toán là sai. Như vậy, đối với những bài toán tỉ lệ thuận mà hai giá trị cùng loại đã biết
không hơn kém nhau một số nguyên lần sẽ khiến cho kỹ thuật tích lũy không thể sử
dụng được.

Còn đối với bài toán về hai đại lượng tỉ lệ nghịch thì việc áp dụng kỹ thuật này dường
như là bất khả thi. Chúng tôi có thể đưa ra một bài toán hai đại lượng tỉ lệ nghịch để
làm minh chứng:
Cho biết 3 người làm cỏ một cánh đồng hết 6 giờ. Hỏi 12 người (với cùng năng
suất như thế) làm cỏ cánh đồng đó hết bao nhiêu thời gian?

(2)
(SGK Toán 7; tr.66)

Nếu sử dụng kỹ thuật tích lũy cho bài toán này, ta sẽ có lời giải như sau:
3 người

6 giờ

6 người

12 giờ

9 người

18 giờ

12 người

24 giờ

Lời giải này hoàn toàn là sai, vì hai đại lượng này là tỉ lệ nghịch nên nếu càng nhiều
người làm cỏ thì thời gian hoàn thành công việc sẽ càng ít hơn. Ngược lại, nếu khi ta
cộng lặp đi lặp lại số người còn thời gian sẽ trừ đi thì ta cũng sẽ không biết sẽ phải trừ
đi bao nhiêu cho đúng do không biết hai đại lượng tỉ lệ theo hệ số là bao nhiêu.

Như vậy, kỹ thuật tích lũy không thể dùng để giải quyết toàn bộ những bài toán về hai
đại lượng tỉ lệ thuận hay hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Do đó, đây không phải là một kỹ
thuật tối ưu cho dạng toán này. Nhà tâm lý học Piaget đã gọi chiến lược tích lũy là một
chiến lược tiền tỉ lệ (preproportional strategy). Ngoài chiến lược tích lũy, chiến lược
“tổng – hiệu cố định” (còn gọi là chiến lược cộng: additive strategy) cũng được xếp


15

vào nhóm chiến lược tiền tỉ lệ. Tuy nhiên chiến lược cộng không thể giải quyết những
bài toán về sự tỉ lệ.
1.3.2. Kỹ thuật rút về đơn vị (unit rate strategy)
Đối với một bài toán giá trị thiếu, đây là kỹ thuật yêu cầu người sử dụng đi tìm sự
tương ứng của một đơn vị loại này so với loại kia, sau đó tìm sự tương ứng của nhiều
đơn vị loại này so với loại kia.Tùy thuộc vào bài toán là tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch mà
cách tìm sự tương ứng của một đơn vị loại này so với loại kia là sử dụng phép nhân
hay phép chia, tương tự đó là sự tương ứng của nhiều đơn vị.
Đây là kỹ thuật cơ bản của những bài toán về sự tỉ lệ, mục đích chính là đi tìm hệ số tỉ
lệ. Do đó, kỹ thuật này được SGK Toán 3 của Việt Nam hướng dẫn cho học sinh giải
quyết những bài toán tỉ lệ. Cách sử dụng kỹ thuật này sẽ được chúng tôi trình bày kỹ
hơn trong chương sau khi thực hiện phân tích chương trình dạy học Toán ở Việt Nam.
1.3.3. Kỹ thuật lập tỉ số
Chiến lược giải dựa vào kỹ thuật lập tỉ số này có hai loại được Lamon (1994) gọi tên
là: Chiến lược nội tỉ số (within strategy) và chiến lược ngoại tỉ số (between strategy).
Cách đặt tên của Lamon dựa theo cách lập tỉ số là cùng loại hay khác loại (nội tỉ số là
tỉ số giữa hai giá trị cùng một đại lượng, ngoại tỉ số là tỉ số giữa hai giá trị khác đại
lượng).
Nếu theo như cách định nghĩa của Lamon, việc áp dụng chiến lược lập nội tỉ số ta có
 x1 y1 
x y 

;  hoặc  2 ; 2  ) vì việc so sánh các tỉ số ở
 x2 y2 
 x1 y1 

thể chỉ cần lập một cặp nội tỉ số ( 

một trong hai cặp nội tỉ số trên là như nhau. Trong khi đó, việc áp dụng chiến lược lập
ngoại tỉ số ta cần phải cân nhắc việc lập các cặp tỉ số tùy thuộc vào sự tỉ lệ có trong bài
 x1 x2 
x x 
;  và  1 ; 2  . Nếu sự tỉ lệ giữa hai đại
 y2 y1 
 y1 y2 

toán. Các cặp tỉ số ta có thể lập là 

 x1 x2 
;  vì các tỉ số trong cặp
y
 1 y2 

lượng trong bài toán là tỉ lệ thuận thì ta cần lập cặp tỉ số 

 x1 x2 
;  thì không. Ngược lại, nếu tỉ lệ giữa
 y2 y1 

này mới bằng nhau, còn trong cặp tỉ số 



16

 x1 x2 
;  vì các tỉ số
 y2 y1 

hai đại lượng trong bài toán là tỉ lệ nghịch thì cặp tỉ số cần lập là 

 x1 x2 
;  thì hai tỉ số là hoàn toàn
y
 1 y2 

trong cặp này bằng nhau ( x1. y1  x2 . y2 ) , còn trong cặp 
khác nhau ( x1. y2  x2 . y1 ) .

Để ví dụ, chúng tôi thực hiện sử dụng kỹ thuật này để giải một bài toán về hai đại
lượng tỉ lệ thuận, một bài toán về hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Đối với bài toán (1) ở trên, nếu chúng ta xem số lon sơn và số lon sơn đỏ là hai đại
lượng khác nhau thì có thể nhận thấy đây là một bài toán về hai đại lượng tỉ lệ thuận.
Gọi số lon sơn đỏ cần tìm là x, thực hiện chiến lược nội tỉ số ta sẽ có cặp tỉ số giữa số
lon sơn cùng loại là

3
6
đối với màu vàng và đối với màu đỏ; thực hiện chiến lược
7
x

ngoại tỉ số ta sẽ có cặp tỉ số giữa các lon sơn của Sue và của Jenny lần lượt là


7
3
và
6
x

.Vì hai đại lượng này là tỉ lệ thuận, do đó các cặp tỉ số theo từng chiến lược là bằng
nhau, khi đó ta có thể giải tỉ lệ thức và cho ra được đáp án là x bằng 14 lon sơn đỏ.
Đối với bài toán (2) là một bài toán về hai đại lượng tỉ lệ nghịch, chúng ta phân tích
hai đại lượng xuất hiện trong bài toán là số lượng người làm cỏ và thời gian hoàn
thành xong công việc. Như vậy, nếu gọi thời gian 12 người hoàn thành xong công việc
 3 6

 3 12 

là x thì ta có cặp nội tỉ số là  ;  ; cặp ngoại tỉ số cần lập là  ;  . Vì hai đại
 12 x 
x 6 
lượng này là tỉ lệ nghịch nên với cặp nội tỉ số, tỉ số này sẽ bằng nghịch đảo của tỉ số
kia, nghĩa là:

3
x
 ; còn với cặp ngoại tỉ số thì hai tỉ số này sẽ bằng nhau, nghĩa là:
12 6

3 12
. Từ đó, ta sẽ tìm được x trong cả hai chiến lược là x = 1,5 giờ.


x 6

Như vậy, cùng là kỹ thuật lập tỉ số nhưng theo hai chiến lược khác nhau thì việc xác
định tỉ số cần lập cũng như so sánh hai tỉ số như thế nào là cần phải chú ý, nhất là tùy
thuộc vào dạng tỉ lệ của bài toán là tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch.