ĐỀ HSG TOÁN 7(15 16)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (142.29 KB, 5 trang )
PHÒNG GD & ĐT HẬU LỘC
-----***----ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang có 05 bài
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP
HUYỆN MÔN TOÁN 7
Năm học 2015 - 2016
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1. (4,0 điểm) Thực hiện phép tính
212.35 − 46.92 255.73 − 6252.7 4
a) A =
−
126 + 84.35
8753 + 59.143
b) Chứng minh rằng đa thức P(x) = x2 + x - 2017 không thể có nghiệm nguyên.
Bài 2. (5,0 điểm)
1. Tìm x biết:
a) 7x+2 + 2.7x-1 =345
b)
3 4 5 2010
. . .....
= 1005.161− x
4 6 8
4018
2. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn: x2 + xy – 2y – 3x = 3
Bài 3. (4,0 điểm)
1. Cho hàm số y=f(x)= −
2
x (1)
3
a) Tính f(2016)
b) Cho điểm M(x0;y0) thuộc đồ thị hàm số (1) và thỏa mãn biểu thức
5y +2 x =8.
Xác định tọa độ của điểm M.
2. Tìm một số chính phương có ba chữ số biết rằng nó chia hết cho 56.
Bài 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA
lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB.
a) Chứng minh rằng: BM = CN
b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của góc BAC cắt nhau tại K.
Chứng minh rằng: KC ⊥ AC.
Bài 5. (1,0 điểm)
Tìm các số tự nhiên a; b sao cho (2008.a + 3.b + 1).(2008a + 2008.a + b) = 225
HẾT
Chú ý: - Giám thị không giải thích gì thêm.
- Học sinh không được dùng máy tính.
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN
TOÁN 7
Giám khảo chú ý:
1) Trước khi chấm nên đọc để chắc chắn rằng hướng dẫn này không có sai sót.
Hoặc nếu sai sót thì sẽ được điều chỉnh lại.
2) Tổ chấm nên hội ý để thống nhất một số phương án chấm.
3) Bài hình: thí sinh không vẽ hình thì không chấm điểm; vẽ sai hình ở ý nào thì
không chấm điểm ở ý đó và ý sau (có liên quan) nếu thí sinh không chứng
minh được ý nào đó ở trên nhưng lại sử dụng kết quả này ở ý sau thì trừ đi
50% số điểm ý đó (nếu đúng).
4) Thí sinh chứng minh hoặc làm ý nào đó khác đáp án mà đúng thì giám khảo
tự cho điểm thành phần với số điểm đạt được tương ứng với đáp án.
Bài
Nội dung đáp án
1
212.35 − 46.92 255.73 − 6252.7 4
a) A =
+
126 + 84.35
8753 + 59.143
212.35 − 212.34
510.73 − 58.7 4
= 12 6 12 5 + 9 3 9 3 3
2 .3 + 2 .3 5 .7 + 5 .2 .7
212.34 (3 − 1) 58.7 3 (52 − 7)
= 12 5
+
2 .3 (3 + 1) 59.73 (1 + 8)
1 18 1 2 17
= +
= + =
6 5.9 6 5 30
b) Giả sử đa thức có nghiệm nguyên là x = n. Khi đó :
n2 + n -2017 = 0
nên n2 + n = 2017 ⇔ n(n + 1) = 2017 (*)
do n và n + 1 là hai số nguyên liên tiếp nên n(n + 1) 2
Điểm
0,5
1
0,5
0,5
0,5
0,5
Do đó (*) không thể xảy ra, vì 2017 / 2
2
Chứng tỏ phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
1.
a)
7 x+2 + 2.7x-1 =345
7 x −1 (7 3 + 2) = 345
7 x −1.345 = 345
7 x −1 = 1
x −1 = 0
x =1
Vậy x=1
b)
3 4 5
2010
. . .....
= 1005.161− x
4 6 8
4018
0,5
0,5
0.5
0,5
3
4
5
2010
.
.
.....
=1005.161−x
2.2 2.3 2.4
2.2009
1
1 1
2010
. . .....
=1005.161−x
2.2 2 2
2
2010 1 1
1
( . ..... ) =1005.161−x
2
2 2
2
1
1005. 2008 =1005.161−x
2
4−
4x
2
.2 2008 =1
2 2012 −4 x =1
2012 −4 x =0
x =503
0,5
0,5
0,5
Vậy x=503
2) Ta có:
0,5
x + xy − 2 y − 3x = 3
2
⇒ xy − 2 y + x 2 − 3 x = 3
0,5
⇒ y ( x − 2) + x 2 − 2 x − x + 2 = 5
⇒ y ( x − 2) + x( x − 2) − ( x − 2) = 5
⇒ ( x − 2)( y + x − 1) = 5
0,5
Do đó : x – 2 và x + y - 1 là các ước của 5
Lập bảng:
x- 2
-5
-1
1
5
x + y -1
-1
-5
5
1
x
-3
1
3
7
y
3
-5
3
-5
Vậy các cặp số nguyên (x; y) là : ( -3; 3) , ( 1; -5), ( 3; 3), ( 7; -5)
3
0,5
0,5
2
3
a )f(2016)= − .2016 = −1344
b)
2
3
+) M(x0;y0) thuộc đồ thị hàm số (1) ta có y0= − x0
0,5
+) M(x0;y0) thỏa mãn biểu thức 5y+2 x =8 ta có 5y0+2 x0 =8
2
Suy ra 5( − x0 )+2 x0 =8 hay − 10 x0 + 6 x0 = 24
3
TH1: x0 ≥ 0 : Ta có
TH2: x0 < 0 :Ta có
-10x0+6x0=24
-4x0 = 24
x0 = -6(loại)
-10x0-6x0=24
-16x0 =24
3
2
x0=- (Thỏa mãn) suy ra y0=1
0,5
3
2
KL:vậy M( − ;1)
0,5
b) gọi số chính phương đó là : xyz với 1 ≤ x ≤ 9 ; 0 ≤ y ; z ≤ 9
xyz = k 2
( k ∈N ;l∈N )
ta có :
xyz = 56l
do đó : k2 = 56.l = 4. 14l suy ra : l = 14h2 (1) với h ∈ N
mặt khác 100 ≤ 56l ≤ 999 ⇒ 2 ≤ l ≤ 17 (2)
4
từ (1) và (2) suy ra: h = 1. do đó l = 14
nên số chính phương phải tìm là: 784
a. Chứng minh rằng: BM = CN
Theo giả thiết, ta có:
2AB = AB + AB = AB + AM + BM
AM + AN = AM + AC + CN
∆ ABC cân ở A ⇒ AB = AC
Do đó, từ AM + AN = 2AB
⇒ BM = CN
b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
MN x BC = I
Qua M kẻ ME // AC (E ∈ BC)
∆ ABC cân ở A ⇒ ∠ABC = ∠ACB (1)
Mà ME// AC nên ∠MEB = ∠ACB (2)
Từ (1) và (2) suy ra ∠MEB = ∠ABC ⇒ BME cân ở M ⇒ EM = BM = CN
⇒ ∆ MEI = ∆ NCI (g-c-g)
⇒ IM = IN
Vậy: BC đi qua trung điểm của MN.
c) Chứng minh rằng: KC ⊥ AN.
+ K thuộc đường trung trực của MN ⇒ KI ⊥ MN
⇒ ∆ IMK = ∆ INK( c.g.c)
⇒ KM = KN( hai cạnh tương ứng) (3)
ˆ (*)
ˆ = ACK
+ ∆ ABK = ∆ ACK (c-g-c) ⇒ KB = KC (4); ABK
+ Kết quả câu c/m câu a) BM = CN (5)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0.5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
ˆ (**)
ˆ = NCK
+ Từ (3), (4) và (5) ⇒ ∆ BMK = ∆ CNK (c-c-c) ⇒ ABK
ˆ = NCK
ˆ =
+ Từ (*) và (**) ⇒ ACK
5
1800
= 900 ⇒ KC ⊥ AN
2
Theo đề bài ⇒ 2008a + 3b + 1 và 2008 + 2008a + b là 2 số lẻ.
Nếu a ≠ 0 ⇒ 2008a + 2008a là số chẵn
để 2008a + 2008a + b lẻ ⇒ b lẻ
Nếu b lẻ ⇒ 3b + 1 chẵn do đó
2008a + 3b + 1 chẵn (không thoả mãn)
Vậy a = 0
Với a = 0 ⇒ (3b + 1)(b + 1) = 225
Vì b ∈ N ⇒ (3b + 1)(b + 1) = 3.75 = 5. 45 = 9.25
3b + 1 không chia hết cho 3 và 3b + 1 > b + 1
0,5
0,5
a
3b + 1 = 25
⇒
⇒b=8
b + 1 = 9
0,25
0,5
0,25
Vậy a = 0 ; b = 8.
Hết
