Chương 4. Tính toán hệ thanh

4-1
Chương 4
TÍNH TOÁN HỆ THANH
Tích toán hệ thanh theo phương pháp PTHH với mô hình tương thích giống như các
bước trong chương trước. Vấn đề còn lại là tuỳ thuộc vào đặc tính của từng loại bài toán
mà áp dụng.
4.1
Hệ thanh giàn
Như đã biết giàn là một hệ gồm các thanh chỉ chịu lực kéo nén dọc trục (đúng tâm)
hay nói cách khác là chỉ chịu biến dạng dọc trục. Để đưa ra cách tính của giàn trước hết
ta xét thanh chỉ chịu biến dạng dọc trục.
4.1.1 Phần tử thanh chịu biến dạng dọc trục
P
1
P
2
u(x)
l, EF
y
u
1
=q
1
u
2
=q
2
q(x)
x

Hình 4-1. Phần tử chịu biến dạng dọc trục
Xét phần tử thanh có hai đầu mút, trên thanh có tải trọng phân bố q(x)dọc trục. Khi
đó thanh chỉ chịu biến dạng dọc trục và mỗi đầu mút có một chuyển vị, phần tử thanh có
2 bậc tự do đó là chuyển vị u
1
và u
2
của nút đầu và cuối.
Hàm chuyển vị xấp xỉ tại một vị trí bất kỳ của thanh u(x) có dạng:
xxu
21
)(
αα
+=
( 4-1)
Suy ra:
[]
{}
α
)()( xPxu =
;
[][ ]
xxP 1)( =

Nếu cho x = 0 và x= l ta có 2 chuyển vị tại nút:
211
.0
αα
+=u

;
212
.
αα
lu +=

{}
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
2
1
1
01
α
α
l
u
e
( 4-2)

Hay:
{}
[]
{}
α
Au
e
=

Trong đó:
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
l
A
1
01

Tính véc tơ
{}
[ ]
{}
e
uA
1−

=
α
với
[]
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
−
ll
A
11
01
1

Thay vào hàm chuyển vị được:
Chương 4. Tính toán hệ thanh

4-2
[][]
{}
e
uAxPxu
1

)()(
−
⋅=
=
[]
{ }
e
uN
=
[ ]
{ }
e
qN

Hay:
[][ ][]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=⋅=
−

l
x
l
x
AxPN 1)(
1
( 4-3)
Với thanh chịu biến dạng dọc trục ta có:
{} { }
x
εε
=
;
{} { }
x
σσ
=
;
[][ ]
ED =

Hay:
xx
E
εσ
.=
;
[]
⎥
⎦

⎤
⎢
⎣
⎡
=∂
dx
d

Khi đó ma trận
[]
B
sẽ là:
[] [][ ]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎥
⎦
⎤
⎢

⎣
⎡
=∂=
l
x
l
x
dx
d
NB
1
( 4-4)
Suy ra:
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
ll
B
11

Ma trận độ cứng được xác định như sau:
[] [][][]
==
∫
dvBDBK

T
V
e

[]
Fdl
l
E
l
l
11
1
1
1
1
0
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
∫
=
⎥
⎦
⎤
⎢

⎣
⎡
−
−
11
11
l
EF
( 4-5)
Trong đó:
F - là diện tích mặt cắt ngang;
E - là môđun đàn hồi.
Véc tơ tải trọng tại nút được xác định theo công thức:
{}
[]
{} {}
dxxp
l
x
l
x
dxxpNP
l
T
l
e
)(
1
)(
00

∫∫
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
==
( 4-6)
Trường hợp p(x) = p
0
= const, ta có:
{}
⎭
⎬
⎫
⎩

⎨
⎧
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
∫
1
1
2
1
0
0

0
lP
dx
l
x
l
x
pp
l
e
( 4-7)
Nếu có tải trọng nhiệt độ thì tải trọng nút được xác định như sau:
{}
[][]
{} {}
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−

==
∫∫
1
1
1
1
1
0
0
TEFFdxTE
l
dvDBp
l
T
Ve
i
e
ααε
( 4-8)
Trong đó:
Chương 4. Tính toán hệ thanh

4-3
T - Độ biến thiên nhiệt độ.
Sau khi xác định được chuyển vị của hệ ta xác định được chuyển vị nút của phần tử
trong hệ toạ độ cục bộ, nội lực trên phần tử được xác định như sau:
N
e
= N
p

+ N
cv
Trong đó:
N
e
-

Nội

lực của phần tử;
N
p
- Nội lực do lực trên phần tử;
N
cv
- Nội lực do chuyển vị nút.
Đối với thanh chịu kéo nén nội lực do chuyển vị được xác định là:
[]
{}
e
xxcv
uBFEFEFN ===
εσ
.

⎭
⎬
⎫
⎩
⎨

⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
2
1
11
u
u
ll
FEN
cv
( 4-9)
Nội lực N
p
xác định theo công thức của sức bền vật liệu.
4.1.2 Giàn phẳng:
l
u
1
v
1
v
2
u
2

x
y

Hình 4-2. Phần tử giàn phẳng.
Ma trận độ cứng của giàn phẳng được lập dựa trên ma trận độ cứng của thanh kéo
nén dọc trục. Với phần tử giàn phẳng, tại một nút ta có 2 chuyển vị. Khi đó phần tử sẽ có
4 bậc tự do:
{}
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
2
2
1
1
v
u
v

u
u
e

Chính vì vậy ma trận độ cứng của giàn là ma trận kích thước 4 x 4, các thành phần
của nó được lấy từ ma trận độ cứng của phần tử chịu biến dạng dọc trục.
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
11
11
l
EF
K
e

Ma trận của giàn phẳng như sau:
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
0000
0101
0000
0101
l
EF
K
( 4-10)
Chương 4. Tính toán hệ thanh

4-4
Mỗi phần tử giàn phẳng có một hệ toạ độ cục bộ riêng do đó cần có ma trận chuyển
hệ trục toạ độ từ cục bộ về tổng thể.
y
x
Y
X
Y
X
α


Hình 4-3. Phần tử giàn phẳng trong hệ toạ độ tổng thể.
Đặt giả thiết có một phần tử giàn nằm trong mặt phẳng nghiêng với trục x của hệ
toạ độ tổng thể một góc
α
.
Theo hình học giải tích thì toạ độ cục bộ được chuyển về tổng thể theo công thức
sau:
[]
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⋅
′
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
y
x
T
Y
X
( 4-11)

Trong đó:
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
′
yx
yx
mm
ll
T
( 4-12)
Các đại lượng l
x
, l
y
, m
x
, m
y
được xác định như sau:
l
x
= cos(x,X) ; l
y
= cos(y,X); m

x
= cos(x,Y); m
y
= cos(y,Y)
Nếu cho trước toạ độ nút đầu và nút cuối của phần tử giàn là (X
1
, Y
1
) và (X
2
, Y
2
) ta
sẽ tính được các giá trị l
x
, l
y
.
Ta có:
cos(x,X) =
l
XX
12
−
; cos(x,Y) =
l
YY
12
−
;

2
12
2
12
)()( YYXXl −+−=
( 4-13)
Hoặc có thể viết như sau: cos(x,X) = cos
α
; cos(x,Y) = sin
α

Tương tự có:
cos(y,X) = -sin
α
; cos(y,Y) = cos
α

Vậy ma trận chuyển hệ toạ độ có dạng:
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
′
αα
αα

cossin
sincos
T
( 4-14)
Ma trận
[]
′
T
hoàn toàn xác định. Dựa vào
[]
′
T
, ta có thể xác định ma trận
[]
T
như
sau:
[]
[]
[]
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
′
′

=
T
T
T
0
0
( 4-15)
Chương 4. Tính toán hệ thanh

4-5
4.1.3 Giàn không gian
Phần tử giàn không gian cũng chỉ chịu lực dọc trục, ma trận độ cứng của phần tử
giàn không gian dựa trên ma trận độ cứng của phần tử kéo nén dọc trục.
[]
=
e
K
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢

⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
000000
000000
001001
000000
000000
001001
l
EF
( 4-16)
w
1
v
1
u
1
w
2
v
2
u
2


Hình 4-4. Phần tử giàn không gian
Việc xác định ma trận chuyển hệ trục tọa độ phức tạp hơn so với giàn phẳng. Xét
một thanh nằm trong không gian có hệ tọa độ cục bộ xyz. Trong đó trục x luôn hướng
theo trục phần tử, trục y, z tạo với trục x thành một tam diện thuận.
y
x
z
l
A
B
x
z
y
P
A(X
1
, Y
1
, Z
1
)
B(X
2
, Y
2
, Z
2
)


Hình 4-5. Phần tử giàn không gian trong hệ toạ độ tổng thể.
Dựa vào tọa độ của nút đầu và nút cuối phương trục x luôn xác định. Người sử dụng
cần khai báo hướng của một trong hai trục còn lại thông thường là trục z, hướng của trục
y còn lại được xác định dựa vào 2 trục đã biết x, z. Trục z được xác định bằng cách khai
báo thêm điểm p là điểm nằm trong mặ
t xy, do z vuông góc với mặt xp nên:
pxz
rr
r
×=

Hướng của y được xác định theo x và z:
xzy
r
r
r
×=
.
Tích có hướng của 2 véctơ được định nghĩa như sau (
bac
r
rr
×=
):
Về mặt hình học véctơ
c
r
có phương vuông góc với mặt phẳng được tạo bởi hai
véctơ
a

r
và
b
r
, độ lớn của
c
r
bằng diện tích của hình bình hành do
a
r
và
b
r
tạo ra.
Về mặt giải tích: nếu
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
z
y
x
a

a
a
a
r
;
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
z
y
x
b
b
b
b
r
thì véctơ
c
r
được xác định như sau:
Chương 4. Tính toán hệ thanh


4-6
()
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
−−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎪
⎭
⎪

⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
xyyx
xzzx
yzzy
zyx
zyx
z
y
x
baba
baba
baba
bbb
aaa
kji
c
c
c
c
r
rr
r
det



Chiều dài phần tử được xác định theo công thức:
l=
()()()
2
12
2
12
2
12
ZZYYXX −+−+−
( 4-17)
Phương của một trục bất kỳ được xác định bởi các cosin chỉ phương:
{}
ZYX
vvvv
,,
=
r
;
222
ZYX
vvvv ++=
r

()
v
v
Xv

X
r
=
,cos
;
()
v
v
Yv
Y
r
=
,cos
;
()
v
v
Zv
Z
r
=
,cos

Dựa vào 3 véc tơ của hệ tọa độ cục bộ
zyx
r
rr
,,
ta có ma trận chuyển hệ trục tọa độ
như sau:

[]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
′
zyx
zyx
zyx
nnn
mmm
lll
T
( 4-18)
Trong đó:
l
x
= cos(x,X); m
x
= cos(x,Y): n
x
= cos(x,Z)
l

y
= cos(y,X); m
y
= cos(y,Y); n
y
= cos(y,Z)
l
z
= cos(z,X); m
z
= cos(z,Y); n
z
= cos(z,Z)
Ma trận chuyển hệ tọa độ
[]
T
có dạng:
[]
[]
[]
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
′
′

=
T
T
T
0
0
( 4-19)
4.2
Khung phẳng không có kéo nén dọc trục
4.2.1 Ma trận độ cứng
Xét một phần tử khung phẳng không bị kéo nén dọc trục. Khi đó phần tử khung có
4 bậc tự do, hàm chuyển vị theo phương thẳng đứng được chọn như sau:
3
4
2
321
)( xxxxv
αααα
+++=
( 4-20)
[]
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪

⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
4
3
2
1
32
1)(
α
α
α
α
xxxxv

()
[]
[ ]
32
1 xxxxP =
( 4-21)
Gọi l là chiều dài phần tử, ta xác định các giá trị chuyển vị tại nút.
Trong đó:
Chương 4. Tính toán hệ thanh

4-7
dx

dv
=
θ
, hoặc:
[]
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=++==
4
3
2
1
22
432
321032)(
α
α
α

α
αααθ
xxxx
dx
dv
x

Tại các nút chuyển vị có giá trị như sau:
1
0
11
)(
α
===
=
x
xvvq

2
0
22
αθ
===
=x
dx
dv
q

3
4

2
32123
)( lllxvvq
lx
αααα
+++===
=

3
43224
32
ll
dx
dv
q
lx
αααθ
++===
=

Viết dưới dạng ma trận:
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪

⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

⎨
⎧
4
3
2
1
2
32
4
3
2
1
3210
1
0010
0001
α
α
α
α
ll
lll
q
q
q
q

{}
[]
{}

e
qA
1−
=
α
, trong đó:
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−−
=
−
2323
22
1

1212
1323
0010
0001
llll
l
l
l
l
A
( 4-22)
Ma trận hàm dạng được xác định như sau:
[][]
{}
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣

⎡
−
−−−
⋅==
−
2323
22
32
1
1212
1323
0010
0001
1
llll
l
l
l
l
xxxAPN
=
[ ]
4321
NNNN

3
3
2
2
1

231
l
x
l
x
N +−=

2
32
2
2
l
x
l
x
xN +−=
( 4-23)
3
3
2
2
3
23
l
x
l
x
N −=

Chương 4. Tính toán hệ thanh


4-8
2
32
4
l
x
l
x
N +−=

Theo sức bền vật liệu, chuyển vị dọc trục u và độ võng v có quan hệ
dx
dv
yyu −=⋅−=
θ
, trong đó y là khoảng cách từ trục trung hòa đến một điểm nào đó trong
thanh. Biến dạng dọc trục được xác định theo công thức:
2
2
dx
vd
y
dx
du
x
−==
ε

⇒


[]
{}
e
x
uN
dx
d
y
2
2
−=
ε
=
[ ]
{ }
e
uB

Trong đó:
[]
B
=
[]
N
dx
d
y
2
2

−

Khai triển ta có:
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−−=
232232
62126
6
4
12
6
l
x
l
l
x
ll
x
l
l
x
l
yB
( 4-24)
Ứng suất tại một điểm của dầm chịu uốn:
xx
E

εσ
=
hay
[]
ED =

Sử dụng công thức của ma trận độ cứng ta có:
[] [][][ ][][ ]
∫∫∫
=⋅=
lF
T
V
T
e
dfdxBBEdvBDBK

Sau khi tích phân ta có:
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣

⎡
−
−−−
−
−
=
22
22
3
4626
612612
2646
612612
llll
ll
llll
ll
l
EJ
K
z
e
( 4-25)
Trong đó
∫
=
F
z
dfyJ
2

là mômen quán tính của mặt cắt ngang so với trục Z.
4.2.2 Quy tải trọng về nút:
Tải trọng trên phần tử được quy về nút theo công thức:
{}
[]
()
[]
()
i
m
i
T
Mii
l
n
i
T
Qi
T
e
Mx
dx
dN
QxNdxxqNF
∑
∫
∑
==
⎥
⎦

⎤
⎢
⎣
⎡
++=
11
)(
( 4-26)
Trong đó:
q(x)- lực phân bố trên chiều dài phần tử;
i
Q
và x
Qi
- giá trị lực tập trung và tọa độ các điểm đặt lực;
i
M
và x
Mi
- giá trị của mômen tập trung và tọa độ điểm đặt;
n và m - số lực tập trung và mômen tập trung.
4.2.2.1 Trường hợp lực phân bố đều:
Chương 4. Tính toán hệ thanh

4-9
y
x
p
1
p

3
p
2
p
4
l
q
0

Hình IV-6. Quy lực phân bố đều về tải trọng nút
Ta có:
{}
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+−
−

+−
+−
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
∫
12
2
12
2
23
2
23
1
2
0
0

2
0
0
0
2
32
3
3
2
2
2
32
3
3
2
2
0
4
3
2
1
lq
lq
lq
lq
dx
l
x
l
x

l
x
l
x
l
x
l
x
x
l
x
l
x
q
F
F
F
F
F
l
e
( 4-27)

4.2.2.2 Lực tập trung

p

2

a


p

4

x

p

1

p

3

P


Hình IV-7. Quy tải trọng tập trung về nút
{} ()
[]
PaN
F
F
F
F
F
T
e
=

⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
4
3
2
1
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+−
−
+−
+−
2
32
3
3
2
2
2
32
3
3
2
2
23
2

23
1
l
a
l
a
l
a
l
a
l
a
l
a
a
l
a
l
a
P
( 4-28)

4.2.2.3 Moment tập trung
x
a
p
2
p
1
p

4
p
3
M

Hình IV-8. Quy mômen tập trung về nút.
Chương 4. Tính toán hệ thanh

4-10
{}
M
dx
dN
F
F
F
F
F
T
ax
e
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎪

⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
4
3
2
1
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤

⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+−
−
+−
+−
2
2
3
2
2
2
2
3
2
2
32
66
34
1
66

l
a
l
a
l
a
l
a
l
a
l
a
l
a
l
a
M
( 4-29)
4.2.2.4 Phân bố dạng hình thang
Đặt giả thiết thanh chịu tác dụng của tải trọng phân bố hình thang trong khoảng a,b
(a<b) với giá trị lực phân bố tương ứng p
1
, p
2
. Khi đó giá trị tải trọng p tại tọa độ x bất kỳ
được biểu diển bằng hàm tải trọng:
() ()
ab
aqbq
x

ab
qq
ax
ab
qq
qxq
−
−
+
−
−
=−
−
−
+=
211212
1

Nếu đặt:
ab
qq
C
−
−
=
12
;
ab
aqbq
D

−
−
=
21

Ta có:
()
DCxxq +=

Véctơ tải trọng nút được xác định như sau:
()()
()()
()()
()()
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∫
∫
∫
∫
b

a
b
a
b
a
b
a
dxxqxN
dxxqxN
dxxqxN
dxxqxN
F
F
F
F
4
3
2
1
4
3
2
1

Sau khi thực hiện phép tích phân ta được kết quả:
() ()()()
()
() () ()()
() ()()
() ()()

⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+−

−+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+−−
−+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+−
−+−+−−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

+−+−
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
33
2
44
2
55
2
33
2
44
32
55
3
223344
2

55
2
2233
2
44
32
55
3
4
3
2
1
3
4
1
5
23
4
1
5
2
2
2
3
12
4
1
5
2
23

4
1
5
2
ab
l
D
ab
l
D
l
C
ab
l
C
ab
l
D
ab
l
D
l
C
ab
l
C
ab
D
ab
l

D
Cab
l
D
l
C
ab
l
C
abDab
C
ab
l
D
ab
l
D
l
C
ab
l
C
F
F
F
F

4.2.3 Nội lực trên phần tử
Nội lực của phần tử dầm chịu uốn xác định như sau:
qcv

MMM +=
( 4-30)
Chương 4. Tính toán hệ thanh

4-11
qcv
QQQ +=

M và Q - Mômen, lực cắt nội lực;
M
cv
và Q
cv
- Mômen, lực cắt do chuyển vị gây ra;
M
q
và Q
q
- Mômen, lực cắt do lực trên phần tử gây ra.
Trong đó:
[]
{}
[ ]
{}
e
e
cv
uNNNNEJqN
dx
d

EJ
dx
vd
EJM
''
4
''
3
''
2
''
1
2
2
2
2
===
( 4-31)
32
''
1
126
l
x
l
N +−=

2
''
2

64
l
x
l
N +−=

32
''
3
126
l
x
l
N −=

2
''
4
62
l
x
l
N +−=

{}
e
cv
u
l
x

l
l
x
ll
x
l
l
x
l
EJM
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
232232
6212664126
( 4-32)
dx
dM
Q
cv
cv
−=
( 4-33)
[ ]
{ }
e
cv
uNNNNEJQ
'''

4
'''
3
'''
2
'''
1
−=

3
'''
1
12
l
N =
;
2
'''
2
6
l
N =
;
3
'''
3
12
l
N −=
;

2
'''
4
6
l
N =

{}
e
cv
u
llll
EJQ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−=
2323
612612
( 4-34)
M
q
và Q
q
xác định theo sức bền vật liệu.
4.3
Phần tử khung có kéo nén dọc trục

q
3
q
2
y
q
5
q
6
x
q
1
q
4

Hình 4-6. Phần tử thanh chịu kéo nén dọc trục.
Phần tử thanh có kéo nén dọc trục là tổ hợp của 2 loại phân tử: Khung + Kéo nén
dọc trục.
Do đó ma trận độ cứng của phần tử này được tạo nên từ 2 ma trận độ cứng của phần
tử khung và phần tử kéo nén dọc trục
4.3.2 Kéo nén dọc trục
1 4
Chương 4. Tính toán hệ thanh

4-12
[]
4
1
11
11

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
l
EF
K
c

4.3.3 Phần tử khung
2 3 5 6
[]
6
5
3
2
4626
612612
2646
612612
22
22
3
⎥
⎥

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−−
−
−
=
llll
ll
llll
ll
l
EJ
K
c

Từ các chỉ số của các phân tử của 2 ma trận độ cứng trên ta thiết lập được ma trận
độ cứng của phần tử khung có kéo nén dọc trục:
1 2 3 4 5 6
[]
6
5

4
3
2
1
460260
61206120
0000
260460
61206120
0000
22
22
22
22
3
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢

⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−−
−
−
−
−
=
llll
ll
J
Fl
J
Fl
llll
ll
J
Fl
J
Fl
l
EJ
K
e

( 4-35)
Ma trận chuyển hệ trục tọa độ được xác định dựa vào ma trận chuyển hệ trục toạ độ
của giàn phẳng có dạng sau:
[]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
100
0
0
'
yx
yx
mm
ll
T
( 4-36)
[]
[]
[]
⎥
⎦

⎤
⎢
⎣
⎡
=
'
'
0
0
T
T
T

Góc xoay khi chuyển hệ trục tọa độ thì không đổi.
4.4
Khung phẳng có liên kết khớp
Để thành lập ma trận độ cứng của phần tử khung có liên kết hai đầu khác nhau ta
dựa vào hệ phương trình sau:
()
() ()
() ()
jijii
jijii
jii
l
EJ
vv
l
EJ
M

l
EJ
vv
l
EJ
Q
uu
l
EF
N
θθ
θθ
++−=
++−=
−=
2
26
612
2
23