Các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi tuyến tính
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (271.64 KB, 11 trang )
Chương 1. Các phương trình cơ bản của lý thuyết Đàn hồi tuyến tính
1-1
Chương 1
CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA LÝ
THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH.
1.1
Khái niệm.
Lý thuyết đàn hồi tuyến tính được xây dựng trên cơ sở giả thiết biến dạng nhỏ, còn
lý thuyết đàn hồi phi tuyến dựa trên giả thiết các biến dạng lớn. Trong lý thuyết đàn hồi
tuyến tính nguyên lý cộng tác dụng hoàn toàn đúng. Với một vật thể đàn hồi ta cần xét
mối quan hệ giữa các đại lượng: chuyển vị - biến dạng, biến d
ạng - ứng suất, ứng suất -
tải trọng. Các quan hệ này được mô tả bởi 15 phương trình vi phân đạo hàm riêng với bài
toán không gian và 8 phương trình với bài toán phẳng, cụ thể như sau :
1.1.1 Bài toán không gian:
-Sáu phương trình biểu thị sự liên hệ biến dạng- chuyển vị;
-Sáu phương trình biểu thị liên hệ ứng suất- biến dạng;
-Ba phương trình cân bằng biểu thị quan hệ ứng suất- tải trọng.
1.1.2 Bài toán phẳng.
-Ba phương trình biểu thị sự liên hệ biến dạng -chuyển vị;
-Ba phương trình biểu thị sự liên hệ ứng suất- biến dạng;
-Hai phương trình cân bằng biểu thị quan hệ ứng suất- tải trọng.
1.2
Các phương trình biến dạng - chuyển vị.
Biến dạng của kết cấu hoặc môi trường liên tục dưới tác động của một hệ tải trọng
cho trước, hoàn toàn có thể xác định nếu biết được chuyển vị của một điểm bất kỳ thuộc
kết cấu hay môi trường liên tục đó, dưới dạng hàm số liên tục tại điểm đang xét.
1.2.1 Bài toán không gian.
Trong hệ toạ độ x, y, z chuyển vị tại một điểm được xác định bằng ba thành phần và
thường được ký hiệu như sau:
),,();,,();,,( zyxuuzyxuuzyxuu
zzyyxx
===
(1-1)
Biến dạng dọc trục được xác định theo các công thức:
z
u
y
u
x
u
z
zz
y
yy
x
xx
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
εεε
;;
(1-2)
Biểu diễn dưới dạng ma trận ta có:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
z
y
x
zz
yy
xx
u
u
u
z
y
x
.
00
00
00
ε
ε
ε
(1-3)
Các biến dạng trượt được xác định theo các công thức sau:
Chương 1. Các phương trình cơ bản của lý thuyết Đàn hồi tuyến tính
1-2
x
u
y
u
y
x
xy
∂
∂
+
∂
∂
=
ε
y
u
z
u
z
y
yz
∂
∂
+
∂
∂
=
ε
(1-4)
z
u
x
u
x
z
zx
∂
∂
+
∂
∂
=
ε
Trong đó:
ε
xy
= ε
yx
ε
yz
= ε
zy
ε
zx
= ε
xz
Biểu diễn dưới dạng ma trận ta có:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
z
y
x
zx
yz
xy
u
u
u
xz
yz
xy
.
0
0
0
ε
ε
ε
(1-5)
Nếu gộp thành một phương trình dưới dạng ma trận ta có:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
z
y
x
zx
yz
xy
zz
yy
xx
u
u
u
xz
yz
xy
z
y
x
.
0
0
0
00
00
00
ε
ε
ε
ε
ε
ε
(1-6)
Hay:
{}
[]
{}
u.∇=
ε
(1-7)
Trong đó:
[]
∇
là ma trận các toán tử vi phân.
1.2.2 Bài toán phẳng:
Chuyển vị của một điểm bất kỳ gồm hai thành phần và được ký hiệu như sau:
u
x
= u
x
(x,y); u
y
= u
y
(x,y)
Biến dạng được xác định theo chuyển vị như sau:
x
u
x
xx
∂
∂
=
ε
Chương 1. Các phương trình cơ bản của lý thuyết Đàn hồi tuyến tính
1-3
y
u
y
yy
∂
∂
=
ε
(1-8)
x
u
y
u
y
x
xy
∂
∂
+
∂
∂
=
ε
Viết dưới dạng ma trận:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
y
x
xy
yy
xx
u
u
xy
y
x
.0
0
ε
ε
ε
(1-9)
Hay:
{}
[]
{}
u.∇=
ε
(1-10)
1.3
Phương trình ứng suất - biến dạng.
Khi thừa nhận giả thuyết đàn hồi tuyến tính, đồng nhất và đẳng hướng, sự liên hệ
giữa ứng suất và biến dạng được biểu thi bằng định luật Hooke tổng quát.
Nếu kể đến ảnh hưởng của sự thay đổi nhiệt độ với giả thiết chỉ xét đến ảnh hưởng
biến dạng d
ọc trục vì nhiệt độ mà bỏ qua ảnh hưởng đến biến dạng trượt vì nhiệt thì các
phương trình ứng suất- biến dạng được thiết lập như sau:
1.3.1 Bài toán không gian.
[]
T
E
zzyyxxxx
ασσμσε
++−= )(.
1
[]
T
E
zzxxyyyy
ασσμσε
++−=
)(.
1
[]
T
E
yyxxzzzz
ασσμσε
++−=
)(.
1
(1-11)
xyxyxy
GE
σσ
μ
ε
.
1
.
)1.(2
=
+
=
yzyzyz
GE
σσ
μ
ε
.
1
.
)1.(2
=
+
=
zxzxzx
GE
σσ
μ
ε
.
1
.
)1.(2
=
+
=
Trong đó:
E - modul đàn hồi dọc trục;
G - modul đàn hồi trượt;
μ - hệ số Poisson;
α - hệ số giãn nở vì nhiệt;
Chương 1. Các phương trình cơ bản của lý thuyết Đàn hồi tuyến tính
1-4
T - độ biến thiên nhiệt độ.
Nếu biểu diễn dưới dạng ma trận ta có:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
−−
−−
−−
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
0
0
0
1
1
1
..
)1(200000
0)1(20000
00)1(2000
0001
0001
0001
.
1
T
E
zx
yz
xy
zz
yy
xx
zx
yz
xy
zz
yy
xx
α
σ
σ
σ
σ
σ
σ
μ
μ
μ
μμ
μμ
μμ
ε
ε
ε
ε
ε
ε
(1-12)
Trong trường hợp T=0 thì phương trình trên có dạng:
{}
[]
{}
σε
.
1−
= D
(1-13)
Trong đó:
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
−−
−−
−−
=
−
)1(200000
0)1(20000
00)1(2000
0001
0001
0001
.
1
1
μ
μ
μ
μμ
μμ
μμ
E
D
(1-14)
Từ quan hệ của biến dạng - ứng suất ta có thể xác định được ứng suất theo biến
dạng, thường được gọi là định luật Hooke tổng quát:
[]
T
EE
zzyyxxxx
α
μ
εεμεμ
μμ
σ
.
21
)().1(.
)21)(1( −
−++−
−+
=
[]
T
EE
zzxxyyyy
α
μ
εεμεμ
μμ
σ
.
21
)().1(.
)21)(1( −
−++−
−+
=
[]
T
EE
yyxxzzzz
α
μ
εεμεμ
μμ
σ
.
21
)().1(.
)21)(1( −
−++−
−+
=
(1-15)
xyxyxy
G
E
εε
μ
σ
..
)1(2
=
+
=
yzyzyz
G
E
εε
μ
σ
..
)1(2
=
+
=
zxzxzx
G
E
εε
μ
σ
..
)1(2
=
+
=
Viết dưới dạng ma trận:
Chương 1. Các phương trình cơ bản của lý thuyết Đàn hồi tuyến tính
1-5
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−
−
−
−
+
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
−+
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
0
0
0
1
1
1
.
21
.
)1(200000
0)1(20000
00)1(2000
000)1(222
0002)1(22
00022)1(2
.
)21)(1(2
μ
α
ε
ε
ε
ε
ε
ε
μ
μ
μ
μμμ
μμμ
μμμ
μμ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
TE
E
zx
yz
xy
zz
yy
xx
zx
yz
xy
zz
yy
xx
Trong trường hợp T = 0 ta có phương trình:
{}
[]
{}
εσ
.D=
(1-16)
Biểu thức này biểu thị định luật Hooke.
Ma trận vuông
[]
D
được gọi là ma trận đàn hồi. Ma trận này chứa tất cả các đặc
trưng đàn hồi của kết cấu hoặc môi trường liên tục mà ta đang nghiên cứu.
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
−+
=
)21(00000
0)21(0000
00)21(000
000)1(222
0002)1(22
00022)1(2
.
)21)(1(2
μ
μ
μ
μμμ
μμμ
μμμ
μμ
E
D
Khi chấp nhận giả thiết vật liệu đàn hồi tuyến tính, đồng nhất và đẳng hướng thì ma
trận
[]
D
có tính đối xứng và không suy biến.
1.3.2 Bài toán phẳng.
Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi được chia thành hai loại:
-Trạng thái phẳng về ứng suất;
-Trạng thái phẳng về biến dạng.
Hai trạng thái này được phân biệt theo các tính chất đặc biệt của hình dạng và cách
chịu tải của vật thể đàn hồi nghiên cứu:
1.3.2.1 Trạng thái phẳng về ứng suất.
Vật thể đàn hồi được nghiên cứu có dạng tấm với chiều dày nhỏ so với kích thước
của hai chiều còn lại và chịu tải trọng trong mặt phẳng của tấm.
Kí hiệu xoy là hệ trục nằm trong mặt phẳng của tấm và oz là trục vuông góc với mặt
phẳng đó. Người ta thừa nhận các giả thiết dưới đây với ứng suất:
0===
zzzyzx
σσσ
Với các giả thiết trên ta có mối quan hệ biến dạng ứng suất:
