Giáo trình hình học họa hình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (696.97 KB, 78 trang )
BÀI 1 : MỞ ĐẦU - CÁC PHÉP CHIẾU (2T)
1.1. Giới thiệu môn học và tài liệu
1.1.1 Vị trí, vai trò của môn học
HÌNH HỌC HOẠ HÌNH là môn học nghiên cứu những phương pháp biểu
diễn các hình không gian (hay các vật thể không gian) trên các mặt (thông
thường là trên các mặt phẳng) và cách giải các bài toán trên hình biểu diễn
(như xác định vị trí của các điểm, đường, xác định độ dài đoạn thẳng hay tìm
giao tuyến của hai mặt... ).
Môn học này nhằm rèn luyện cho sinh viên khả năng tư duy không gian đồng
thời cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản để học môn VẼ KỸ
THUẬT. Môn học Vẽ Kỹ Thuật sẽ cung cấp cho sinh viên những hiểu biết cơ
bản về vẽ kỹ thuật, bồi dưỡng khả năng lập và đọc bản vẽ “ Ngôn ngữ của kỹ
thuật “
1.1.2 Nội dung của môn học và các ký hiệu dùng trong môn học
Nội dung gồm 11 bài trong thời gian 30 tiết, cùng với các bài tập về nhà và BTL
Bài 1. Mở đầu – Các phép chiếu
Bài 2. Biểu diễn điểm
Bài 3. Đường thẳng
Bài 4. Mặt phẳng
Bài 5. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Bài 6. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Bài 7. Các phép biến đổi hình chiếu
Bài 8. Biểu diễn đường và mặt
Bài 9. Giao tuyến của mặt phẳng với các mặt
Bài 10. Giao của đường thẳng với các mặt
Bài 11. Giao của hai mặt
Một số ký hiệu, chữ viết tắt dùng trong môn học:
A, B, C,...1, 2, 3,... các điểm trong không gian
A1, B1, C1, 11, 21, 31,...hình chiếu đứng của các điểm
A2, B2, C2, 12, 22, 32,...hình chiếu bằng của các điểm
a, b, c, ...,m, n,... các đường trong không gian
a1, b1, c1,...,m1, n1,...: hình chiếu đứng các đường trong không gian
a2, b2, c2,...,m2, n2,...: hình chiếu bằng các đường trong không gian
A, B, C,
...,
P, Q, R, ...: các mặt phẳng trong không gian
1
v2A, v2B, v2C, ..., v2P, v2Q, v2R,... vết bằng của các mặt phẳng
1.1.3. Tài liệu tham khảo:
1- Hình học hoạ hình Tập 1 – NXB Giáo dục 2006 Nguyễn Đình Điện
2- Hình học họa hình – NXB GTVT 2006 Nguyễn Sỹ Hạnh
3- Bài tập hình học hoạ hình – HVKTQS 1988
4- Bài tập lớn hình học hoạ hình – HVKTQS 2007
1.2. Mở rộng không gian Ơ-cơ-lit 3 chiều
Mở rộng không gian Ơcơlit 3 chiều bằng cách bổ sung các yếu tố vô tận:
Tại sao phải mở rộng không gian ơclit 3 chiều ?
Ở phổ thông ta không xét tới các yếu tố vô tận của không gian. Do đó đường thẳng song
song với mặt phẳng là đường thẳng không có điểm chung với mặt phẳng điều này sẽ dẫn
tới một hiện tượng là: Trong phép chiếu xuyên tâm những điểm nằm trong mặt phẳng Q
đi qua tâm chiếu S và song song với mặt phẳng chiếu P sẽ không có hình chiếu!
Để tránh hiện tượng trên trong Hình Học Họa Hình không gian được nghiên cứu sẽ là
KHÔNG GIAN ƠCLIT 3 CHIỀU MỞ RỘNG. Đó là không gian Ơclit 3 chiều bao gồm
cả các yếu tố vô tận. Nghĩa là:
Trên mỗi đường thẳng có một điểm vô tận. Hai đường thẳng song song là hai
đường thẳng cắt nhau tại điểm vô tận.
Trên mỗi mặt phẳng có một đường thẳng vô tận. Đường thẳng song song với
mặt phẳng là đường thẳng cắt mặt phẳng tại điểm vô tận. Như vậy trên Hình1
ta thấy điểm M có hình chiếu là điểm vô tận M’∞
-
Trong không gian có một mặt phẳng vô tận. Hai mặt phẳng song song là hai
mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến là một đường thẳng vô tận.
Vai trò của các yếu tố hữu hạn và vô tận là như nhau. Trên hình 2 ta thấy hình chiếu của
điểm M (Hữu hạn) là điểm vô tận. Trong khi đó hình chiếu của điểm vô tân N∞ thuộc
đường thẳng d lại là điểm hữu hạn N’ .
S
1.3. Các phép chiếu
A
1.3.1. Phép chiếu xuyên tâm
* Cách thành lập:
-Trong không gian lấy mặt phẳng
P và một
điểm S không thuộc P. Chiếu một điểm A bất
A′
P
Hình 1
2
kỳ trong không gian từ điểm S lên
P là thực
hiện các bước sau: Vẽ đường thẳng SA, xác
định giao điểm A′ = SA ∩
P (Hình 1).
- Các tên gọi: Phép chiếu điểm A từ tâm S lên mặt phẳng P nêu trên gọi là phép chiếu
xuyên tâm. Mặt phẳng
P được gọi là mặt phẳng hình chiếu. S gọi là tâm chiếu. SA
được gọi là tia chiếu. A′ gọi là hình chiếu xuyên tâm của điểm A.
- Phép chiếu xuyên tâm hoàn toàn được xác định khi biết mặt phẳng hình chiếu và tâm
chiếu. Để xác định hình chiếu của một hình người ta vẽ hình chiếu của các yếu tố xác
định hình đó và đường bao quanh hình chiếu của nó.
* Tính chất:
Phép chiếu xuyên tâm có các tính chất cơ bản sau:
Hình chiếu của một điểm là một điểm. Điểm thuộc mặt phẳng có hình chiếu
trùng với chính nó.
Hình chiếu của một đường thẳng không đi qua tâm chiếu là một đường thẳng.
Hình chiếu của một đường thẳng đi qua tâm chiếu là một điểm, người ta gọi
đường thẳng đó là đường thẳng chiếu.
Mặt phẳng đi qua tâm chiếu gọi là mặt phẳng chiếu. Hình chiếu của mặt
phẳng chiếu là một đường thẳng.
Trong phép chiếu xuyên tâm bảo tồn tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng.
Nghĩa là với 4 điểm thẳng hàng A, B, C, D có hình chiếu A’, B’, C’, D’. Thì
ta có
CA DA C ' A' D' A'
:
=
:
. Viết gọn là (ABCD)=(A’B’C’D’).
CB DB ' C ' B ' D' B'
1.3.2. Phép chiếu song song
* Định nghĩa:
Phép chiếu song song là phép chiếu mà các tia
chiếu song song với nhau theo một hướng l nào đó.
A′
l
Cho mặt phẳng hình chiếu P và hướng chiếu l (l là
một đường thẳng cắt
P).
hướng l lên mặt phẳng
P là qua điểm A ta vẽ đường
Chiếu một điểm A theo
thẳng song song với l và tìm giao điểm A’ của đường
A′
P
Hình 2
thẳng này với mặt phẳng P. A’ chính là hình chiếu của A trên mặt phẳng P.
3
* Tính chất:
Ta nhận thấy, rằng phép chiếu song song thực ra là phép chiếu xuyên tâm khi tâm chiếu ở
vô cùng vì vậy nó có đầy đủ tính chất của phép chiếu xuyên tâm ngoài ra nó có thêm một
số tính chất sau:
Hình chiếu song song của một đường thẳng song song với hướng chiếu suy
biến thành một điểm.
Hai đường thẳng song song không cùng nằm trên một mặt phẳng chiếu thì
hình chiếu của chúng cũng là các đường thẳng song song.
Phép chiếu song song bảo tồn tỷ số đơn của 3 điểm thẳng hàng. Nghĩa là khi 3
điểm A, B, C thẳng hàng và A’, B’, C’ lần lượt là các hình chiếu của nó thì ta
có:
CA C ' A'
=
. Viết gọn thành (ABC) = (A’B’C’).
CB C ' B '
Từ hai tính chất trên ta có thể đưa ra hệ quả sau:
Tỷ số của hai đoạn thẳng song song bằng tỷ số của hai đoạn thẳng hình chiếu của
chúng. Nghĩa là Khi AB, CD là hai đoạn thẳng song song có hình chiếu A’B’, C’D’
thì :
AB A' B '
=
CD C ' D'
1.3.3. Phép chiếu thẳng góc
* Định nghĩa:
Phép chiếu thẳng góc là phép chiếu song song khi hướng chiếu l thẳng góc với mặt
phẳng hình chiếu P
* Tính chất:
Phép chiếu thẳng góc có tất cả các tính chất của phép chiếu song song, ngoài ra nó còn
có thêm tính chất quan trọng sau đây:
Điều kiện cần và đủ để góc vuông xOy chiếu thẳng góc thành góc vuông x’O’y’ là góc
vuông xOy không nằm trong mặt phẳng chiếu và có ít nhất và có một cạnh song song
với mặt phẳng hình chiếu.
* Hình chiếu thẳng góc của đường tròn
Hình chiếu thẳng góc của hình tròn lên mặt phẳng hình chiếu song song với
mặt phẳng đường tròn là đường tròn (bằng chính đường tròn đó).
Hình chiếu thẳng góc của hình tròn lên mặt phẳng hình chiếu vuông góc với
mặt phẳng đường tròn là đoạn thẳng bằng đường kính của đường tròn.
Hình chiếu thẳng góc của hình tròn lên mặt phẳng hình chiếu không song
song và không vuông góc với mặt phẳng đường tròn là một elíp có:
4
+ Tâm elíp là hình chiếu của tâm đường tròn
+ Trục dài là hình chiếu của đường kính song song với mặt phẳng hình
chiếu.
+ Trục ngắn là hình chiếu của đường kính vuông góc với đường kính song
song với mặt phẳng hình chiếu.
5
BÀI 2: BIỂU DIỄN ĐIỂM
2.1. Biểu diễn điểm trên hai mặt phẳng hình chiếu
*Cách thành lập đồ thức và các định nghĩa:
Trong không gian lấy hai mặt phẳng
P,P
1
2
vuông góc với nhau làm hai mặt phẳng
hình chiếu. Trong đó P 1 là mặt phẳng thẳng đứng, P 2 là mặt phẳng nằm ngang, giao
tuyến của chúng là đường thẳng x. (Hình 2.1 a)
P1
II
A1
A1
A
I
x
Ax
Ax
III
IV
A2
x
A2
P
2
a)
b)
Hình 2.1
Giả sử có điểm A trong không gian.
-
Chiếu thẳng góc điểm A lên P 1 được A1, lên P 2 được A2 .
-
Quay
P
2
quanh trục x sao cho nửa trước
P
2
trùng với nửa dưới
P
1
. Khi đó ta
được hình 2.1 b
Vì mặt phẳng (AA1A2) vuông góc với đường thẳng x tại Ax nên trên hình 2.1b A1A2
vuông góc với x tại Ax.
Cặp điểm (A1, A2) mà A1A2 ⊥ x = Ax gọi là đồ thức của điểm A.
- P1 là mặt phẳng hình chiếu đứng
- P2 là mặt phẳng hình chiếu bằng
- x = P1∩ P2 gọi là trục phép chiếu
- A1 là hình chiếu đứng của điểm A
- A2 là hình chiếu bằng của điểm A
6
- A1A2⊥x tại Ax là đường dóng thẳng đứng.
P
- Khoảng cách từ A đến
1
gọi là độ xa của A. Độ xa của một điểm dương, bằng
không hoặc âm nếu điểm đó ở phía trước, thuộc hoặc ở phía sau mặt phẳng
P
1
. Trên
hình 2.1b độ xa của điểm A là A2 Ax = AA1
- Khoảng cách từ A đến
P
2
gọi là độ cao của A. Độ cao của một điểm dương, bằng
không hoặc âm nếu điểm đó ở phía trên, thuộc hoặc ở phía dưới mặt phẳng
P
. Trên
2
hình 2.1b độ cao của điểm A là A1 Ax = AA2
- Hai mặt phẳng
P
1
và P2 chia không gian làm bốn phần và ta gọi chúng là các góc
phần tư: góc phần tư I là không gian giới hạn trước P1 và trên P2
góc phần tư II sau P1 và trên P2
góc phần tư III sau P1 và dưới P2
góc phần tư IV trước P1 và dưới P2
- Mặt phẳng phân giác của góc phân tư I và III được gọi là mặt phẳng phân giác I, kí
hiệu là
G
1,3
. Mọi điểm thuôc mặt phẳng
G
1,3
luôn có hai hình chiếu đối xứng nhau
qua trục x.
- Mặt phẳng phân giác II và IV được gọi là mặt phẳng phân giác II, kí hiệu là
G
2,4
.
Mọi điểm thuôc mặt phẳng G2,4 luôn có hai hình chiếu đối trùng nhau.
* Tính chất đồ thức: Nếu có một cặp điểm (A1, A2) thì xác định duy nhất một điểm A
trong không gian, và ngược lại, nếu có một điểm A thì có duyE nhất một cặp điểm
(A1,A2) là đồ thức của nó.
B1
Một vài ví dụ về vị trí của hai hình chiếu:
G1
A1
B2
* Luyện tập
1
C2
G2
A2
H1
D2
C1
D1
E2
F1 ≡ F2
Hình 2.2
H2
7
Hãy cho biết các điểm A, B, ..., H thuộc các góc
phần tư hay các mặt phẳng nào.
2.2. Biểu diễn điểm trên ba mặt phẳng hình chiếu
* Cách thành lập đồ thức và các định nghĩa
- Trong không gian ta chọn 3 mặt phẳng
1
2
3
từng đôi một vuông góc nhau
là mặt phẳng thẳng đứng,
P
2
là mặt phẳng
- Giả sử có điểm A trong không gian. Chiếu thẳng góc điểm A lên
P
được A1, lên
làm các mặt phẳng hình chiếu. Trong đó
P
P,P,P
1
nằm ngang và các giao tuyến:
P
2
x = P1∩
P
y = P2∩
P
z = P3∩
P
2
3
1
1
được A2 và lên P3 được A3 (Hình 2.3a)
P1
z
A1
A
Ax
x
A2
z
A1
Az
A3
Az
A3
P3
Ay y
x
Ay
Ax
y
Ay
A2
P2
y
b)
a)
- Quay
P
2
Hình 2.3
quanh trục x sao cho nửa trước
P
2
trùng với nửa dưới
P , nửa sau P
1
2
trùng với nửa trên P1.
8
- Quay
P
3
quanh trục z sao cho nửa trước
P
3
trùng với nửa phải
P , nửa sau P
1
2
trùng với nửa trái P1.
- Sau khi quay ta được bộ ba hình chiếu (A 1, A2, A3) biểu diễn điểm A mà A 1A2 ⊥ x
tại Ax, A1A3 ⊥ z tại Az (Hình 2.3b) gọi là đồ thức của điểm A trong hệ thống 3 mặt phẳng
hình chiếu (Hình 2.3b).
Ngoài những tên gọi và tính chất ở mục 2.1 ta có thêm một số tên gọi mới như sau:
- A3 là hình chiếu cạnh của điểm A
- P3 là mặt phẳng hình chiếu cạnh
- A1, A3 cùng thuộc đường dóng nằm ngang vuông góc với trục chiếu z tại Az
- Khoảng cách từ A đến
P
cạnh bằng 0, điểm ở phía trái
3
gọi là độ xa cạnh với quy ước điểm thuộc
P
3
có độ xa cạnh dương, điểm ở phía phải
P
3
có độ xa
3
có độ xa
P
cạnh âm. Trên hình vẽ (Hình 2.3a) ta có độ xa cạnh của A là:
AA3 = A1 AZ = A2 Ay
* Tính chất của đồ thức
- Nếu có một điểm A thì tồn tại duy nhất bộ ba hình chiếu (A1A2A3), và ngược lại.
- A3AZ = A2Ax=0Ay
* Cách vẽ hình chiếu thứ ba
2 cách vẽ: Giả sử có hệ thống 3 mặt phẳng hình chiếu biểu diễn trên mặt phẳng bằng
3 trục x, y, z. Ta đã có 2 hình chiếu của điểm A, đó là (A 1, A2). Để vẽ A3 ta tiến hành như
sau:
C1: Từ A2 kẻ đường // với x cắt trục y thẳng đứng tại Ay. Lấy O làm tâm, quay cung
bán kính OAy cắt trục y nằm ngang tại Ay. Từ Ay trên trục y nằm ngang này, kẻ đường
thẳng // trục z. Từ A1 kẻ đường thẳng vuông góc với trục z tại Az, đường kéo dài này sẽ
cắt đường thẳng từ Ay tại A3. A3 chính là hình chiếu thứ 3 (hình chiếu cạnh của A).
C2: Từ A2 kẻ đường // với x cắt trục y thẳng đứng tại A y. Qua Ay kẻ đường thẳng
vuông góc với đường phân giác góc xOz (hay yOy) cắt trục y nằm ngang tại A y. Từ Ay
trên trục y nằm ngang này, kẻ đường thẳng // trục z. Từ A 1 kẻ đường thẳng vuông góc với
9
trục z tại Az, đường kéo dài này sẽ cắt đường thẳng từ A y tại A3. A3 chính là hình chiếu thứ
3 (hình chiếu cạnh của A).
Các phần tiếp theo sẽ trình bày trong hệ thống 2 mặt phẳng hình chiếu. Đối với một
số trường hợp đặc biệt mới dùng mặt phẳng hình chiếu cạnh.
* Luyện tập
BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG (3T)
3.1. Biểu diễn đường thẳng thường
Người ta biểu diễn một đường thẳng bằng 2 điểm của đường thẳng đó. Ví dụ: đường
thẳng p được xác định bằng hai điểm A và B thì đồ thức của đường thẳng p là cặp (p 1, p2)
với p1 xác định bởi A1B1, p2 xác định bởi A2B2 (Hình 3.1a)
Căn cứ vào vị trí tương đối giữa đường thẳng với các mặt phẳng hình chiếu, người ta
chia đường thẳng thành hai loại: đường thẳng thường và đường thẳng đặc biệt.
P
A1
1
B1
p1
A1
B
p
x
A
p1
B1
x
p2
B2
A2
p2
P
a)
2
A2
Hình 3.1
B2
b)
Đường thẳng thường là đường thẳng không song song, không thẳng góc với một
trong các mặt phẳng hình chiếu (Hình 3.1b).
Đường thẳng đặc biệt là đường thẳng song song hoặc vuông góc với một trong các
mặt phẳng hình chiếu.
3.2. Vết của đường thẳng
Định nghĩa: Vết của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng với các mặt phẳng
hình chiếu (Hình 3.2a)
+ Vết đứng của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu
đứng.
+ Vết P
bằng của đường thẳng là giao điểm củaMđường thẳng với mặt phẳng hình chiếu
1
M1 ≡ M
bằng.
1
d1
d1
d hai vết
N1của đường thẳng (Hình
x
Cách xác
x định
3.2b):
M2
M2
d2
d2
N2 ≡ N
P
a)
2
Hình 3.2
b)
N1
N2
10
+ Gọi vết đứng của đường thẳng d là M. Để xác định nó trước hết ta tìm: M 2 = x ∩ d2
rồi từ M2 dóng lên tìm M1 thuộc d1.
+ Gọi vết bằng cña đường thẳng d là N. Để xác định nó trước hết ta tìm N 1 = x ∩ d1
rồi dóng từ N1 xuống tìm N2.
3.3. Biểu diễn đường thẳng đặc biệt
3.3.1. Đường bằng
- Đ/nghĩa: Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng
P2
(Hình 3.3a)
P1A1 b1 // x B1
x
A b
A1 b1 // x B1
B
x
β
A2 b2
a)
B2
P2
Hình 3.3
β
A2
b2
B2
b)
- Tính chất: (Hình 3.3b)
+ Hình chiếu đứng của đường bằng luôn song song với trục chiếu x: b1//x
+ Một đoạn thẳng AB thuộc đường bằng b có độ dài bằng độ dài hình chiếu bằng
của nó: AB = A2 B2
+ Góc hợp bởi đường bằng với mặt phẳng hình chiếu đứng là α bằng góc hợp bởi
hình chiếu bằng của nó với trục chiếu x: α = (b, P1) = (b2, x)
3.3.2. Đường mặt
- Đ/nghĩa: Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng
P1
(Hình 3.4a)
11
P1
m1 B1
A1
α
x
m
A2
A1
B
A
m2 // x
B2
m1
x
P2
α
m2 // x B2
A2
a)
B1
b)
Hình 3.4
- Tính chất: (Hình 3.3b)
+ Hình chiếu bằng đường mặt m luôn song song với trục chiếu x: m2//x
+ Một đoạn thẳng AB thuộc đường mặt m có độ dài bằng độ dài hình chiếu đứng
của nó: AB = A1B1
+ Góc hợp bởi đường mặt và mặt phẳng hình chiếu bằng
P2 bằng góc hợp bởi
hình chiếu đứng của nó với trục chiếu x: β = (m, P2) = (m1, x)
3.3.3. Đường cạnh
- Đ/nghĩa: Đường cạnh AB là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh
P3 (Hình 3.5a)
P1
x
A1 A
c1
B1 c
A3
c3
A2 B
c2
b2
B2
P2
a)
P3
B3
A1
c1
B1
x
A2
c2
B2
Hình 3.5
z
A3
c3
B3
y
y
b)
- Tính chất: (Hình 3.5a)
+ Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng đường cạnh luôn cùng thuộc đường dóng
vuông góc trục chiếu x (tức luôn song song với trục z).
+ Một đoạn thẳng AB thuộc đường cạnh c có độ dài bằng độ dài hình chiếu cạnh
của nó: AB = A3 B3
12
+ Góc hợp bởi đường cạnh với hình chiếu bằng là β bằng góc hợp bởi trục y và
hình chiếu cạnh của nó.
+ Góc hợp bởi đường cạnh và hình chiếu đứng là α bằng góc hợp bởi trục z và
hình chiếu cạnh của nó.
+ Đường cạnh luôn được biểu diễn bởi 2 điểm của nó trong hệ thống hai mặt
phẳng hình chiếu.
3.3.4. Đường thẳng chiếu bằng
- Định nghĩa: Đường thẳng chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
hình chiếu bằng P2 (Hình 3.6a)
- Tính chất: (Hình 3.6b)
P1
A1
d1
B1
x
A1
d1
B1
A
d
B
d 2 ≡ A2 ≡ B2
a)
x
d 2 ≡ A2 ≡ B2
P2
b)
Hình 3.6
+ Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu bằng suy biến thành một điểm:
A2 ≡ B2 ≡ h2
+ Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu bằng là đường thẳng vuông góc
với trục chiếu x.
+ Một đoạn thẳng AB thuộc đường thẳng chiếu bằng có độ dài bằng độ dài
hình chiếu đứng của nó: AB = A1 B1
d1 ≡ A1 ≡ B1
3.3.5.
PĐường thẳng chiếu đứng
1
≡ B1 thẳng chiếu đứng d là đường thẳng vuông góc với mặt
- Địnhdnghĩa:
1 ≡ A1Đường
A
phẳng hình chiếu đứng Pd1 (Hình 3.7a)
x
A2 d 2
B
B2
a)
x
A2
P2
Hình 3.7
d2
b)
B2
13
- Tính chất: (Hình 3.7b)
+ Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu đứng suy biến thành một điểm:
A1 ≡ B1 ≡ d1
+ Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu đứng là đường thẳng vuông góc
với trục chiếu x.
+ Một đoạn thẳng AB thuộc đường thẳng chiếu đứng có độ dài bằng độ dài
hình chiếu bằng của nó: AB = A2 B2
3.3.6. Đường thẳng chiếu cạnh
- Định nghĩa: Đường thẳng chiếu cạnh n là đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng hình chiếu cạnh P3 (Hình 3.8a)
P1
A1
z
n1 B1
n
n3
x
A2
n2
P2
A1
B2
a)
P3
y
n1 B1
z
n3 ≡ A3 ≡ B3
y
x
A2 n2 B2
Hình 3.8
y
b)
- Tính chất: (Hình 3.8b)
+ Hình chiếu cạnh của đường thẳng n suy biến thành một điểm (n 3 là một
điểm và n3 ≡ A3 ≡ B3)
+ Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của n song song với trục x
14
+ Đoạn thẳng AB thuộc đường thẳng chiếu cạnh n có độ dài bằng độ dài
hình chiếu bằng hoặc độ dài hình chiếu đứng của nó AB = A1 B1 = A2 B2
3.4 Điều kiện điểm thuộc đường thẳng
3.4.1. Đường thẳng không phải là đường cạnh
Điểm A thuộc đường thẳng m tương đương với trên đồ thức A 1 ∈ m1 và A2 ∈ m2 (A1
và A2 cùng nằm trên một đường dóng).
A1
d 1 ≡ A1
m1
x
x
m2
A2
A2
d2
Hình 3.9
3.4.2. Đường thẳng là đường cạnh
Giả sử ta có đường cạnh AB và điểm C , ta có các định lý sau:
Định lý 1
C1 ∈ A1 B1
C ∈ AB ⇔ C 2 ∈ A2 B2
( A B C ) = ( A B C )
2 2 2
1 1 1
Định lý 2
C 2 ∈ A2 B2
C1 ∈ A1 B1
hoặc
C3 ∈ A3 B3
C3 ∈ A3 B3
C ∈ AB ⇔
z
A1
A3
C3
C1
B
y3
B1
x
A2
C2
B2
y
Hình 3.10
Ví dụ: Cho điểm C thuộc đường cạnh AB, đã biết hình chiếu đứng C 1 hãy tìm hình
A1
chiếu bằng C2
Giải
C1
Cách1: áp dụng định lý 1 vẽ tia A2m bất kỳ . đặt trên tia này x
các đoạn thẳng A2C’ = A1C1 ; C’B’ = C1B1. Vẽ C’C2 // B’B2
B1
Cách 2: áp dụng định lý 2 Ta vẽ hình chiếu cạnh A 3B3, Tìm
hình chiếu cạnh C3 (C1C3//x) rồi suy ra C2
A2
C2
C′
B2
Hình 3.11
B′
3.5 Vị trí tương đối của hai đường thẳng
15
3.5.1. Hai đường thẳng cắt nhau
a) Cả hai đường thẳng không phải là đường cạnh
Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng cắt nhau là các hình chiếu
cùng tên của chúng cắt nhau tại các điểm cùng thuộc một đường dóng (Hình 3.12).
l1 ∩ d1 = I 1
l ∩ d = I ⇔ l 2 ∩ d 2 = I 2
I I ⊥ x
1 2
I1
d1
l1
x
I2
l2
Hình 3.12
d2
b) Đối với một trong 2 đường thẳng là đường cạnh
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng l cắt đường cạnh CD tại I là:
l1 ∩ C1 D1 = I 1
l 2 ∩ C 2 D2 = I 2
( C D I ) = ( C D I )
2 2 2
1 1 1
3.5.2. Hai đường thẳng song song
Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng song song nhau là các hình
chiếu cùng tên của chúng song song nhau.
a) Đối với 2 đường thẳng không phải là đường cạnh, áp dụng định lý trên ta có:
a // b
a // b ⇔ 1 1 (Hình 3.13)
a 2 // b2
a1
x
a2
b) Đối với 2 đường thẳng cạnh
b1
b2
Hình 3.13
+ Xét trong hệ ba mặt phẳng hình chiếu thì điều kiện để hai đường thẳng
cạnh song song nhau là hình chiếu cạnh của chúng song song nhau.
16
+ Xét trong hệ 2 mặt phẳng hình chiếu: hai đường thẳng cạnh CD//EF thì
bốn điểm C, D, E, F đồng phẳng. Khi đó C1F1 ∩ D1E1 = O1, C2F2 ∩ D2E2 = O2 và O1O2⊥x
3.5.3. Hai đường thẳng chéo nhau
Hai đường thẳng không thỏa mãn các điều kiện về song song và cắt nhau thì chúng
chéo nhau (Hình 3.14).
Các đồ thức sau là đồ thức của hai đường thẳng chéo nhau:
Hình 3.14
3.6 Tìm độ dài thật của đoạn thẳng bằng phương pháp tam giác vuông
Bài toán: Cho đoạn thẳng AB bởi (A1B1, A2B2). Hãy xác định độ dài AB và góc
nghiêng của AB với các mặt phẳng hình chiếu.
-
P
Vẽ BA0 // B2A2, do đó BA0⊥AA2
1
Xét ∆ABA0 vuông ở A0 có:
BA0 = B2 A2
AA0 = AA2 − A0 A2 = AA2 − BB2
Vậy AA0 là hiệu độ cao của hai điểm A
và B
β = (AB, P2) = ∠(ABA0)
P
2
Hình 3.15
Vậy thì, độ dài của đoạn thẳng AB là cạnh huyền của một tam giác vuông có một
cạnh góc vuông là hình chiếu bằng A2B2, cạnh góc vuông kia là hiệu độ cao của hai điểm
17
Hình 3.16
A và B; Góc β đối diện với hiệu độ cao là góc nghiêng của AB với mặt phẳng hình chiếu
bằng P2(Hình 3.16)
-
Vẽ AB0 // A1B1, AB0 ⊥ BB1
Xét ∆ABB0 vuông ở B0
AB0 = A1 B1
BB0 = BB1 − BB0 = BB1 − AA1
Vậy BB0 là hiệu độ xa của hai điểm A và B
α = (AB, P1) = ∠(BAB0)
Vậy thì, độ dài của đoạn thẳng AB là cạnh huyền của một tam giác vuông có một
cạnh góc vuông là hình chiếu đứng A1B1, cạnh góc vuông kia là hiệu độ xa của hai điểm A
và B; Góc α đối diện với hiệu độ xa là góc nghiêng của AB với mặt phẳng hình chiếu
đứng P1 (Hình 3.16). Phương pháp trên gọi là phương pháp tam giác vuông.
BÀI 4: MẶT PHẲNG (3T)
4.1 Biểu diễn mặt phẳng bất kỳ trên đồ thức
Để biểu diễn mặt phẳng người ta biểu diễn các yếu tố xác định mặt phẳng đó.
Tương ứng với 4 trường hợp xác định mặt phẳng ta có:
+ Ba điểm không thẳng hàng A, B, C (Hình 4.1a)
+ Một điểm A và một đường thẳng l không chứa A (Hình 4.1b)
+ Hai đường thẳng cắt nhau: m ∩ n = O (Hình 4.1c)
n1
+ Hai đường thẳng song song: a // b (Hình 4.1d)
A1
A1
B1 C
1
A2
a)
C2
x
b1
a1
l1
x
B2
m1 O
1
x
l2
O2
A2
m2
b)
Hình 4.1
x
c)
n2
b2
a2
d)
18
4.2 Vết của mặt phẳng
- Định nghĩa: Vết mặt phẳng là giao tuyến giữa mặt phẳng đó với các mặt phẳng hình
chiếu.
+ Vết đứng của mặt phẳng Q là giao tuyến của mặt phẳng Q với mặt phẳng hình
chiếu đứng P1 và được ký hiệu là v1Q .
+ Vết bằng của mặt phẳng Q là giao tuyến của mặt phẳng Q với mặt phẳng hình
chiếu bằng P2 và được ký hiệu là v 2 Q . (Hình 4.2a và Hình 4.2b).
P
v
1
1
Q
xQ
v2
Q
P
2
v1
Q
x
v2
b)
Q
a)
Hình 4.2
x của v1Q trùng
+ Hình chiếu đứng của v1Q trùng với chính nó, hình chiếu bằng
với trục x.
+ Hình chiếu bằng của v 2 Q trùng với chính nó, hình chiếu đứng của v 2 Q trùng
với trục x.
+ Hai vết của mặt phẳng Q nói chung có điểm chung Q x thuộc trục x và có hai
hình chiếu trùng với chính nó. Khi điểm chung ở vô tận thì hai vết của mặt phẳng song
song với trục chiếu x.
4.3 Biểu diễn các mặt phẳng có vị trí đặc biệt
4.3.1. Mặt phẳng chiếu đứng
- Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu đứng Q là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
hình chiếu đứng (Hình 4.3a).
19
P
Q1 ≡ v1Q
1
A1
A1
B1
B1
C1
Q
A
C1
Q1 ≡ v1Q
β
x
B
B2
A2
C
P
β
x
C2
b)
2
a)
v2 Q
Hình 4.3
- Tính chất:(Hình 4.3b)
+ Hình chiếu đứng của mặt phẳng Q suy biến thành một đường thẳng trùng
với vết đứng của mặt phẳng.
+ Gọi β là góc tạo bởi mặt phẳng Q với mặt phẳng hình chiếu bằng thì
β = ( v1Q, x )
+ Vết bằng của mặt phẳng Q là v 2 Q vuông góc với trục chiếu x: v 2 Q ⊥ x
4.3.2. Mặt phẳng chiếu bằng
- Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu bằng Q là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
hình chiếu bằng (Hình 4.4a).
P
v1Q
P
1
v1Q
Q2 ≡ v 2 Q
Q2 ≡ v 2 Q
2
Hình 4.4
20
- Tính chất: (hình 4.4b)
+ Hình chiếu bằng của mặt phẳng Q suy biến thành một đường thẳng trùng
với vết bằng của Q .
+ Gọi α là góc tạo bởi mặt phẳng Q và mặt phẳng hình chiếu đứng thì
α = ( v 2 Q, x )
+ Vết đứng v1Q ⊥ x
4.3.3. Mặt phẳng chiếu cạnh
- Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu cạnh Q là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
hình chiếu cạnh (Hình 4.5a).
P1
v1Q
α Q ≡v Q
3
3
Q
α
P3
β
β
v2Q
P2
b)
a)
Hình 4.5
- Tính chất: (Hình 4.5b)
+ Hình chiếu cạnh của mặt phẳng Q suy biến thành một đường thẳng trùng
với vết cạnh của mặt phẳng.
+ Vết đứng và vết bằng củaP1mặt phẳng chiếu cạnh song song với trục x.
+ Gọi α và β là góc tạo bởi Q và các mặt phẳng hình chiếu đứng, chiếu bằng
thì α = ( v3 Q, z ); β = ( v3Q, y ) .
4.3.4. Mặt phẳng mặt
Q
- Định nghĩa: Mặt phẳng mặt Q là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu
đứng P1 (Hình 4.6a).
v2 Q
Q2 ≡ v 2 Q
a)
P2
b)
Hình 4.6
21
- Tính chất: (Hình 4.6b)
+ Hình chiếu bằng của mặt phẳng mặt Q suy biến thành đường thẳng trùng
với vết bằng của mặt phẳng, song song với trục x: v 2 Q // x
+ Độ lớn của một hình phẳng thuộc mặt phẳng Q được bảo toàn trên hình
chiếu đứng của nó:
∆ABC = ∆A1 B1C1
A, B, C ∈ Q ⇒
A2 , B2 , C 2 ∈ v 2 Q // x
4.3.5. Mặt phẳng bằng
- Định nghĩa: Mặt phẳng bằng Q là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình
chiếu bằng P2 (Hình 4.7).
P
Q1 = v1Q
v1Q
1
Q
P
2
a)
b)
Hình 4.7
22
- Tính chất (Hình 4.7b)
+ Hình chiếu đứng của mặt phẳng bằng Q suy biến thành đường thẳng trùng
với vết đứng của mặt phẳng, song song trục chiếu x :
Q1 ≡ v1Q // x
+ Độ lớn của một hình phẳng thuộc mặt phẳng Q được bảo toàn trên hình
chiếu bằng của nó:
∆ABC = ∆A2 B2 C 2
A, B, C ∈ Q ⇒
A2 , B2 , C 2 ∈ v1Q // x
4.3.6. Mặt phẳng cạnh
- Định nghĩa: Mặt phẳng cạnh Q là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình
chiếu cạnh P3 (Hình 4.8a)
a)
b)
Hình 4.8
- Tính chất (Hình 4.8b)
+ Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của mặt phẳng cạnh suy biến thành
một đường thẳng trùng với vết đứng và vết bằng của nó, vuông góc với trục x: ∆ABC ∈
Q có A1, B1, C1 thẳng hàng trên đường dóng vuông góc với trục x
+ Độ lớn của một hình phẳng thuộc mặt phẳng cạnh được bảo toàn trên hình
chiếu cạnh của nó. ∆ABC = ∆A3 B3C 3
4.3.7. Mặt phẳng phân giác G13 và G24
- Khái niệm:
23
+ Mặt phẳng hình chiếu đứng
P
1
và mặt phẳng hình chiếu bằng
gian ra làm 4 phần: góc phần tư I ở phía trước
P
1
P
2
chia không
và phía trên P2; góc phần tư thứ II
ở phía sau P1 và phía trên P2; góc phần tư thứ III ở phía sau P1 và phía dưới P2; góc
phần tư thứ IV ở phía trước P1 và phía dưới P2.
+ Mặt phẳng phân giác thứ nhất
G
13
là mặt phẳng phân giác góc phần tư I và
góc phần tư III, mặt phẳng phân giác thứ 2
G
24
là mặt phẳng phân giác góc phần tư
II và góc phần tư IV.
- Tính chất:
+ Nếu hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm (hoặc một đường thẳng,
hoặc một mặt phẳng) trùng nhau thì điểm đó (hoặc đường thẳng đó, hoặc mặt phẳng đó)
thuộc mặt phẳng G24.
+ Nếu hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm (hoặc một đường thẳng,
hoặc một hình phẳng) mà đối xứng nhau qua trục chiếu x thì điểm đó (hoặc đường thẳng
đó, hoặc hình phẳng đó) thuộc mặt phẳng G13 và ngược lại.
+ Nếu hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một đường thẳng tạo với trục x
những góc bằng nhau thì đường thẳng đó nghiêng đều so với mặt phẳng hình chiếu đứng
và mặt phẳng hình chiếu bằng (song song với mặt phẳng phân giác thứ nhất
G
) và
13
ngược lại.
+ Nếu hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một đường thẳng song song nhau
thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng phân giác thứ hai G24 và ngược lại.
+ Nếu vết đứng và vết bằng của mặt phẳng mà đối xứng nhau qua trục x thì nó
vuông góc với mặt phẳng phân giác thứ nhất
góc với mặt phẳng phân giác thứ hai
G
24
G
13
và ngược lại. Nếu trùng nhau thì vuông
và ngược lại. Hai trường hợp này mặt phẳng sẽ
nghiêng đều so với mặt phẳng hình chiếu đứng và mặt phẳng hình chiếu bằng.
24
4.4. Điều kiện trên đồ thức để điểm và đường thẳng thuộc mặt phẳng
- Để xem xét một điểm hoặc một đường thẳng có thuộc một mặt phẳng hay không
người ta dựa trên hai mệnh đề sau đây:
+ Điểm thuộc mặt phẳng khi điểm đó thuộc một đường thẳng của mặt phẳng.
+ Đường thẳng thuộc mặt phẳng khi đường thẳng đó đi qua hai điểm thuộc mặt
phẳng.
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng Q xác định bởi hai đường thẳng song song a và b. Biết A 1
của điểm A ∈ Q . Tìm A2.
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng Q bởi vết. Biết A1 của điểm A ∈ Q . Tìm A2.
Ví dụ 3: Mặt phẳng Q cho bởi hai vết. Hãy vẽ đường mặt m ∈ Q có độ xa bằng 3đơn
vị.
4.5. Các đường thẳng thường gặp trên mặt phẳng
4.5.1. Đường bằng
- Định nghĩa: Đường bằng b của mặt phẳng Q là đường thẳng thuộc Q và song song
với mặt phẳng hình chiếu bằng. (Hình 4.9a)
Q
v1Q
P1
Q
v1Q
b1
b1
b
x
b2
b2
v2Q
P2
a)
b)
Hình 4.9
v2Q
- Tính chất: (Hình 4.9b)
+ Vết đứng của đường bằng b ∈ Q nằm trên vết đứng v1Q của mặt phẳng Q .
+ Hình chiếu đứng của b song song với trục x. Hình chiếu bằng của b song song
với vết bằng v 2 Q của mặt phẳng Q .
25
Q
