ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ THÚY

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HÓA CHO LỚP HỆ
TUYẾN TÍNH DƯƠNG VỚI ĐIỀU KHIỂN
CÓ HẠN CHẾ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ THÚY

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HÓA CHO LỚP HỆ
TUYẾN TÍNH DƯƠNG VỚI ĐIỀU KHIỂN
CÓ HẠN CHẾ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

TS. MAI VIẾT THUẬN

THÁI NGUYÊN - 2017


i

Mục lục
Mở đầu

iii

1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Bài toán ổn định và ổn định hóa cho hệ phương trình
thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Bài toán ổn định . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . .
1.1.3. Bài toán ổn định hóa . . . . . . . . . . . . . .

1
vi phân
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .

1
1
2
3


1.2. Bài toán ổn định và ổn định hóa cho hệ phương trình
có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Bài toán ổn định hệ có trễ . . . . . . . . . . .
1.2.2. Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển có trễ . .
1.3. Hệ tuyến tính dương . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Hệ tuyến tính dương có trễ . . . . . . . . . . . . . . .

vi phân
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .

4
4
6
7
8

2 Tính ổn định hóa của lớp hệ tuyến tính dương với điều khiển
có hạn chế
9
2.1. Tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển tuyến tính . . . . . .
9
2.2. Tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển tuyến tính với điều
khiển có hạn chế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16


3 Tính ổn định hóa của lớp hệ tuyến tính dương có trễ với điều
khiển có hạn chế
22
3.1. Tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển tuyến tính dương có trễ 22
3.2. Tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển tuyến tính có trễ với
điều khiển có hạn chế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận

27
33


ii

Tài liệu tham khảo

34


iii

Lời nói đầu
Hệ dương xuất hiện nhiều trong lĩnh vực về khoa học và công nghệ như các
quá trình sinh học, hóa học, trong các mô hình dân số, trong cơ học, kinh tế
học (xem [6, 9] và các tài liệu tham khảo trong đó). Nói một cách hình tượng,
một hệ động lực được gọi là hệ dương nếu các vectơ trạng thái và vectơ đầu
ra của hệ là không âm khi mà các điều kiện ban đầu và đầu vào là không
âm. Bài toán nghiên cứu tính ổn định hóa các hệ điều khiển dương là một
bài toán quan trọng trong lý thuyết điều khiển hệ thống và đã nhận được sự

quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trên thế giới (xem [3, 7, 9] và
các tài liệu tham khảo trong đó).
Mặt khác, trong nhiều bài toán thực tiễn, các đối tượng điều khiển thường
sẽ bị hạn chế (ràng buộc) bởi các điều kiện do các thông số kỹ thuật phải
thỏa mãn những yêu cầu khác nhau. Ví dụ, ta đòi hỏi đối tượng điều khiển
là các số không âm, hoặc nằm trong một miền giới hạn cho trước nào đó. Vì
vậy, việc nghiên cứu tính ổn định hóa cho lớp hệ điều khiển dương với điều
khiển có hạn chế là một bài toán cần thiết và có ý nghĩa. Bài toán này đã
nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả trong những năm gần
đây (xem [10, 13] và các tài liệu tham khảo trong đó).
Mục đích của luận văn là trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa
của lớp hệ điều khiển tuyến tính có trễ cũng như không có trễ với điều khiển
có hạn chế trên cơ sở các bài báo [9, 11] trong danh mục tài liệu tham khảo.
Nội dung của luận văn gồm 3 chương:
Chương 1 là chương kiến thức chuẩn bị. Mục 1.1 giới thiệu bài toán ổn
định, bài toán ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân thường. Mục 1.2 giới
thiệu bài toán ổn định và bài toán ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân
có trễ. Mục 1.3 và Mục 1.4 trình bày một số khái niệm hệ dương có trễ cũng
như không có trễ.
Chương 2 nghiên cứu tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương với


iv

điều khiển có hạn chế. Ngoài ra, trong chương này, chúng tôi đưa ra 04 ví
dụ số được tính toán bằng phần mềm MATLAB để minh họa cho kết quả lý
thuyết. Có thể nói ngoài việc đọc hiểu và trình bày một cách chi tiết các kết
quả trong bài báo [11], thì 04 ví dụ số này chính là đóng góp mới của chúng
tôi trong luận văn này.
Chương 3 nghiên cứu tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ.

Cũng như Chương 2, trong chương này, chúng tôi cũng đưa ra 02 ví dụ số
được tính toán bằng phần mềm MATLAB để minh họa cho kết quả lý thuyết.
Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Mai Viết Thuận, tác giả
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy, người đã dành nhiều thời gian
và tâm huyết để hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập,
nghiên cứu và viết bản luận văn này.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin cùng toàn thể các thầy
cô trong và ngoài trường đã giảng dạy giúp tôi trau dồi thêm rất nhiều kiến
thức phục vụ cho việc học tập và nghiên cứu của bản thân. Đồng thời tác giả
cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán K9C (khóa 2015-2017)
đã động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập .
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Thúy


Một số ký hiệu và chữ viết tắt

R, R+

tập các số thực, số thực không âm tương ứng

Rn

không gian vectơ Euclide thực n−chiều

Rn×r


không gian các ma trận thực cỡ (n × r)

C([a, b], Rn )

không gian các hàm liên tục trên [a, b], nhận giá trị trong Rn

AT

ma trận chuyển vị của ma trận A

I

ma trận đơn vị

A

0

ma trận A nửa xác định dương, tức là Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn

A

B

nghĩa là A − B

A

0


ma trận A xác định dương, tức là Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = 0

0

A≺0

ma trận A xác định âm

A

ma trận A xác định không âm

0

A≥0

A là một ma trận không âm

A>0

A là một ma trận dương

M

tập các ma trận Metzler

p = {1, 2, . . . , p},
p0 = {0, 1, 2, . . . , p},



1

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính ổn
định và ổn định hóa được của các hệ phương trình vi phân thường và hệ
phương trình vi phân có trễ. Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả về hệ
tuyến tính dương và hệ tuyến tính dương có trễ. Kiến thức sử dụng trong
chương này được tham khảo trong [1, 2, 5, 6, 7, 8].

1.1.

Bài toán ổn định và ổn định hóa cho hệ phương
trình vi phân thường

1.1.1.

Bài toán ổn định

Xét một hệ thống được mô tả bởi hệ phương trình vi phân
x(t)
˙
= f (t, x(t)),

t ∈ R+ ,

(1.1)


trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, f : R+ × Rn → Rn là một hàm cho
trước. Giả thiết rằng hàm f (.) thỏa mãn điều kiện sao cho với mọi (t0 , x0 ) ∈
R+ × Rn hệ (1.1) có nghiệm duy nhất đi qua điểm (t0 , x0 ) và xác định trên
[t0 ; +∞). Nghiệm này được kí hiệu là x(t; t0 , x0 ). Giả sử f (t, 0) = 0, với mọi
t ∈ R+ . Giả thiết này đảm bảo hệ có nghiệm tầm thường x ≡ 0. Khi đó ta có
các định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.1 ([1])
• Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là ổn định nếu với mọi > 0, t0 ≥ 0,
tồn tại δ = δ(t0 , ) sao cho với nghiệm x(t; t0 , x0 ) bất kì của hệ (1.1), nếu
||x0 || < δ thì ||x(t; t0 , x0 )|| < , ∀t ≥ t0 .


2

• Nghiệm của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và với
mỗi t0 ≥ 0 tồn tại δ = δ0 (t0 ) > 0 sao cho với nghiệm x(t; t0 , x0 ) bất kỳ
của hệ (1.1), nếu ||x0 || < δ0 thì lim ||x(t; t0 , x0 )|| = 0.
t→+∞

• Nghiệm của hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại các hằng số
α > 0, N ≥ 1 sao cho với mọi x0 ∈ Rn , t0 ∈ R+ , nghiệm x(t; t0 , x0 ) bất
kì của hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện
||x(t; t0 , x0 )|| ≤ N ||x0 ||e−α(t−t0 ) ,

∀t ≥ t0 .

Số N được gọi là hệ số ổn định Lyapunov, α gọi là số mũ ổn định. Ngoài
ra α, N còn được gọi chung là chỉ số ổn định Lyapunov.
Để ngắn gọn, thay vì nói nghiệm không của hệ (1.1) ổn định (ổn định tiệm
cận, ổn định mũ) ta nói hệ (1.1) là ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ).

Xét lớp hệ tuyến tính ôtônôm

x(t)
˙
= Ax(t),
t ≥ t0
(1.2)
x(t ) = x
0

0

Dựa vào tính chất tập các giá trị riêng của ma trận A, Lyapunov đã đưa ra
một điều kiện cần và đủ cho tính ổn định mũ của hệ (1.2). Cụ thể là hệ (1.2)
là ổn định mũ khi và chỉ khi Reλj < 0 với mọi λj ∈ λ(A). Tuy nhiên, trong
thực tế các hệ thống thường chứa các tham số không biết trước, chẳng hạn
đối với hệ (1.2), ma trận A bị nhiễu thành A + ∆A(t), ở đó ∆A(t) = EF (t)H,
với E, F là các ma trận thực cho trước có số chiều thích hợp, F (t) là ma trận
không biết trước nhưng thỏa mãn F T (t)F (t) ≤ I. Vì sự phức tạp của tập
phổ λ(A + ∆A(t)), Lyapunov đã đưa ra một cách tiếp cận dựa trên dạng hàm
toàn phương V (x) = xT P x, trong đó P là một ma trận đối xứng, xác định
dương, phương trình Lyapunov (LE) : AT P + P A = −Q có nghiệm P là ma
trận đối xứng, xác định dương. Phương pháp này thường được gọi là phương
pháp hàm Lyapunov.
1.1.2.

Phương pháp hàm Lyapunov

Ta nhắc lại khái niệm hàm Lyapunov cho hệ (1.1).
Định nghĩa 1.2 (Xem [1]) Hàm V : R+ × Rn → R, khả vi liên tục, thỏa mãn

V (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0, được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.1) nếu:


3

(i) Hàm V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa
∃a ∈ K :

V (t, x) ≥ a(||x||),

∀(t, x) ∈ R+ × Rn .

∂V
(ii) V˙ (t, x(t)) :=
f (t, x(t)) ≤ 0, với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1). Nếu
∂x
hàm V (t, x) thỏa mãn thêm các điều kiện: ∃b, c ∈ K sao cho
(iii) V (t, x) ≤ b(||x||), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn ,
(iv) V (t, x) ≤ −c(||x(t)||) với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1)
thì V (t, x) được gọi là hàm Lyapunov chặt của hệ (1.1).
Sau đây, chúng tôi nhắc lại định lý về tính ổn định của hệ (1.1).
Định lý 1.1 (Xem [1]) Nếu hệ (1.1) có hàm Lyapunov thì hệ là ổn định.
Hơn nữa, nếu hàm Lyapunov là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận.
Định lý 1.2 (Xem [1]) Giả sử hệ (1.1) có hàm Lyapunov thỏa mãn các điều
kiện sau:
(i) ∃λ1 , λ2 > 0 : λ1 ||x||2 ≤ V (t, x) ≤ λ2 ||x||2 , ∀(t, x) ∈ R+ × Rn ,
(ii) ∃λ3 > 0 : V (t, x) ≤ −2λ3 V (t, x(t)) với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1).
Khi đó hệ (1.1) là ổn định mũ với các chỉ số ổn định Lyapunov là λ3 và
λ2
N=

.
λ1
1.1.3.

Bài toán ổn định hóa

Xét một hệ thống điều khiển được mô tả bởi hệ phương trình vi phân
x(t)
˙
= f (t, x(t), u(t)),

t ≥ 0,

(1.3)

trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là vectơ điều khiển. Hàm
điều khiển u(.) thuộc lớp hàm bình phương khả tích trên các đoạn hữu hạn
[0; s], ∀s ≥ 0 và lấy giá trị trong Rm . Hàm R+ × Rn × Rm → Rn là hàm vectơ
cho trước, thỏa mãn điều kiện f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Giả thiết rằng, với mỗi
u(.) thuộc lớp hàm bình phương khả tích trên các đoạn hữu hạn [0, s], với
mọi s ≥ 0 và lấy giá trị trong Rm và với mọi x0 ∈ Rn , hệ (1.3) có nghiệm duy
nhất xu (t) = xu (t; x0 ) thỏa mãn điều kiện ban đầu xu (0; x0 ) = x0 và xác định
trên [0; +∞).
Một bài toán quan trọng khác của lý thuyết điều khiển là bài toán ổn định
hóa.


4

Định nghĩa 1.3 Hệ điều khiển (1.3) gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại

hàm g : Rn → Rm sao cho hệ phương trình vi phân, thường gọi là hệ đóng
(closed-loop system)
x(t)
˙
= f (t, x(t), g(x(t))),

t ≥ 0,

(1.4)

là ổn định tiệm cận. Hàm u(t) = g(x(t)) gọi là hàm điều khiển ngược (state
feedback control).
Định nghĩa 1.4 Hệ điều khiển (1.3) gọi là ổn định hóa được dạng mũ nếu
tồn tại hàm g : Rn → Rm sao cho hệ phương trình vi phân (1.4) là ổn định
mũ.

1.2.

Bài toán ổn định và ổn định hóa cho hệ phương
trình vi phân có trễ

1.2.1.

Bài toán ổn định hệ có trễ

Như chúng ta đã biết hệ phương trình vi phân thường (1.1) mô tả mối quan
hệ giữa biến thời gian t, trạng thái x(t) của hệ thống và tốc độ thay đổi của
trạng thái x(t) tại cùng một thời điểm t. Tuy nhiên, trong thực tế, các quá
trình xảy ra trong tự nhiên thường có sự liên quan với quá khứ và ít nhiều
mang tính di truyền. Vì vậy lớp hệ phương trình vi phân thường không miêu tả

được hết các quá trình này. Do đó, để mô tả một cách chính xác các quá trình
này, người ta thường miêu tả chúng bằng các phương trình vi phân có trễ. Giả
sử h là một số thực không âm. Ký hiệu C = C([−h, 0], Rn ) và P C([−h, 0], Rn )
lần lượt là không gian các hàm liên tục và liên tục từng khúc trên đoạn [−h, 0],
nhận giá trị trong không gian Rn và chuẩn của một phần tử φ ∈ C hoặc
P C([−h, 0], Rn ) được cho bởi ||φ||C = sup−h≤θ≤0 ||φ(θ)||. Với t0 ∈ R, σ ≥ 0
và x ∈ C([t0 − h, t0 + σ], Rn ), hàm xt ∈ C, t ∈ [t0 , t0 + σ], được xác định bởi
xt (s) := x(t + s), s ∈ [−h, 0]. Như vậy, x(t) là đoạn quỹ đạo trên đoạn [t − h, t]
của hàm x(.) với chuẩn trong C được xác định bởi ||xt || := sups∈[−h,0] ||x(t+s)||.
cho D ⊂ R+ × C là một tập mở và hàm f : D → Rn . Một phương trình vi
phân có trễ trên D là phương trình dạng ([5])
x(t)
˙
= f (t, xt ).

(1.5)

Phương trình này được ký hiệu là RF DE(f ). Một hàm x được gọi là nghiệm
của phương trình vi phân có trễ (1.5) trên [t0 − h, t0 + σ) nếu tồn tại t0 ∈


5

R, σ > 0 sao cho x ∈ C([t0 − h, t0 + σ), Rn ), (t, xt ) ∈ D và x(t) thỏa mãn
phương trình (1.5) với mọi t ∈ [t0 , t0 + σ). Cho trước t0 ∈ R, φ ∈ C, ta nói
x(t0 , φ, f ) là một nghiệm của phương trình (1.5) với hàm điều kiện ban đầu
φ tại t0 hoặc đơn giản là một nghiệm đi qua điểm (t0 , φ) nếu tồn tại một
số σ > 0 sao cho x(t0 , φ, f ) là nghiệm của hệ (1.5) trên [t0 − h, t0 + σ) và
xt0 (t0 , φ, f ) = φ. Khi t0 và f đã rõ, để đơn giản hơn trong cách viết, từ nay
về sau ta kí hiệu x(t, φ) thay cho x(t0 , φ, f )(t).

Tiếp theo chúng tôi nhắc lại các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm địa
phương và nghiệm toàn cục cho hệ (1.5).
Định lý 1.3 (Định lí tồn tại nghiệm địa phương [5]) Giả sử Ω là một tập mở
của R × C và f 0 ∈ C(Ω, Rn ). Nếu (t0 , φ) ∈ Ω thì tồn tại nghiệm của phương
trình (RF DE(f 0 )) đi qua điểm (t0 , φ). Tổng quát hơn, nếu W ⊂ Ω là tập
compact và f 0 ∈ C(Ω, Rn ) cho trước, thì tồn tại một lân cận V ⊂ Ω của W
sao cho f 0 ∈ C(V, Rn ), tồn tại một lân cận U ⊂ C 0 (V, Rn ) và α > 0 sao
cho với mọi (t0 , φ) ∈ W, f ∈ U , tồn tại nghiệm x(t0 , φ, f ) của phương trình
RF DE(f ) đi qua điểm (t0 , φ) tồn tại trên [t0 − h, t0 + α].
Định lý 1.4 (Định lí tồn tại duy nhất nghiệm địa phương [5]) Giả sử Ω là
một tập mở của R × C, f : Ω → Rn liên tục và f (t, φ) là Lipschitz theo φ trong
mỗi tập con compact của Ω. Nếu (t0 , φ) ∈ Ω thì tồn tại duy nhất nghiệm đi
qua điểm (t0 , φ) của phương trình RF ED(f ).
Định lý sau cho ta tiêu chuẩn cho tính tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục của
hệ phương trình vi phân có trễ.
Định lý 1.5 ([8]) Cho f : [0; +∞) × P C([−h, 0], Rn ) → Rn thỏa mãn các
điều kiện sau:
(i) Với bất kỳ H > 0, tồn tại M (H) > 0 sao cho
||f (t, φ)|| ≤ M (H), (t, φ) ∈ [0, +∞) × P C([−h, 0], Rn ) và ||φ||C ≤ H;
(ii) Hàm f (t, φ) là hàm liên tục theo cả hai biến trên tập [0, +∞)×P C([−h, 0], Rn );
(iii) Hàm f (t, φ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn
tại hằng số Lipschitz L(H) > 0 sao cho
||f (t, φ1 ) − f (t, φ2 )|| ≤ L(H)||φ1 − φ2 ||C ,
với mọi t ≥ 0, φi ∈ P C([−h, 0], Rn ), ||φi || ≤ H, i = 1, 2;


6

(iv)
||f (t, φ)|| ≤ η(||φ||C ), t ≥ 0, φ ∈ P C([−h, 0], Rn ),

trong đó η(r), r ∈ [0, +∞) là hàm liên tục, không giảm và sao cho với
r0 ≥ 0 bất kỳ điều kiện sau thỏa mãn
R

lim

R→+∞

r0

dr
= +∞.
η(r)

Khi đó, với t0 ≥ 0 và φ ∈ P C([−h, 0], Rn ) cho trước, hệ (1.5) có duy
nhất nghiệm x(t0 , φ, f ) xác định trên đoạn [t0 − h, +∞).
Trong cả luận văn này, chúng tôi giả thiết rằng hàm f (.) thỏa mãn điều kiện
sao cho với mỗi điểm (t0 , φ) ∈ R+ ×C, hệ (1.5) có nghiệm duy nhất đi qua điểm
(t0 , φ) và nghiệm xác định trên [t0 , +∞). Ta cũng giả thiết f (t, 0) ≡ 0, tức
là hệ (1.5) luôn có nghiệm không. Khi đó, ta cũng có các khái niệm nghiệm
không của hệ (1.5) là ổn đinh, ổn định tiệm cận, ổn định mũ tương tự hệ
phương trình vi phân thường. Tuy nhiên để ngắn gọn, thay vì nói nghiệm
không của hệ (1.5) là ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ) ta sẽ nói hệ
(1.5) là ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ).
1.2.2.

Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển có trễ

Xét hệ điều khiển có trễ


x(t)
˙
= f (t, xt , u(t)), t ≥ 0,
x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0],

(1.6)

trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u ∈ L2 ([0, +∞), Rm ) là vectơ điều
khiển, tức là hàm điều khiển thuộc lớp hàm bình phương khả tích trên
[0, +∞); h ≥ 0 là hằng số trễ, φ ∈ C([0, +∞), Rn ) là hàm điều kiện ban
đầu và f : R+ × (C) × Rm → Rn �nh lý 3.1 ([9]) Xét hệ đóng (3.4). Ta có các phát biểu sau là tương đương:


24

(i) Hệ (3.4) là dương và ổn định tiệm cận;
p
i=0 (Ai

(ii) A0 + BF0 ∈ Mn , Ai + BFi ≥ 0, i = 1, . . . , p, và
Hurwitz;

+ BFi ) là

(iii) Tồn tại các vectơ λ = [λ1 , λ2 , . . . , λn ]T ∈ Rn+ , kij ∈ Rm ( i = 0, . . . , p, j =
1, . . . , n) sao cho bài toán sau là chấp nhận được:
(0)

ajl λl + bTj k0l ≥ 0, j, l = 1, . . . , n, j = l,
(i)


ajl λl + bTj kil ≥ 0, j, l = 1, . . . , n, i = 1, . . . , p,
p

p

n

Ai λ + B
i=0

(3.5)

kij < 0.

(3.6)

i=0 j=1

Ngoài ra, các ma trận Fi xác định bởi
ki1 ki2
kin
,
,...,
, i = 0, 1, . . . , p.
λ1 λ2
λn

Fi = [fi1 , fi2 , . . . , fin ] =


(3.7)

(iv) Tồn tại các ma trận Di = [di1 , di2 , . . . , din ] ∈ Rm×n , i = 0, 1, . . . , p,
P = diag(p1 , p2 , . . . , pn ) > 0 sao cho bài toán bất đẳng thức ma trận
tuyến tính (LMI) sau là chấp nhận được:
(0)

ajl pl + bTj d0l ≥ 0, j, l = 1, . . . , n, j = l
(i)

ajl pl + bTj dil ≥ 0, j, l = 1, . . . , n, i = 1, . . . , p
p

T

p

Ai P + P
i=0

Ai

p

+B

i=0

T


p

Di
i=0

(3.8)

+

Di

B ≺ 0. (3.9)

i=0

Ngoài ra, các ma trận Fi xác định bởi Fi = Di P −1 , i = 0, 1, . . . , p.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh (i) ⇔ (ii), (iii) ⇔ (ii) và (iv) ⇔ (ii).
(i) ⇔ (ii). Theo Bổ đề 3.1, hệ (3.4) là dương nếu và chỉ nếu A0 + BF0 ∈
M, Ai + BFi ≥ 0, i = 1, . . . , p. Theo Bổ đề 3.2, hệ dương (3.4) là ổn định tiệm
p
cận khi và chỉ khi i=0 (Ai + BFi ) là ma trận Hurwitz.
(iii) ⇔ (ii). Xét các điều kiện (3.5)-(3.7). Chú ý rằng
(0)

ajl λl + bTj k0l ≥ 0
k0l
(0)
≥0
⇔ ajl + bTj
λl

(0)

⇔ ajl + bTj f0l ≥ 0, ∀j, l = 1, . . . , n, j = l
⇔ A0 + BF0 ∈ M.


25

Tương tự
(i)

ajl λl + bTj kil ≥ 0, j, l = 1, . . . , n
⇔ Ai + BFi ≥ 0, i = 1, . . . , p.
Do đó, điều kiện (3.5) là tương đương với A0 + BF0 ∈ M, Ai + BFi ≥ 0, i =
1, . . . , p. Theo Bổ đề 3.1, điều kiện này tương đương với tính dương của hệ
(3.4).
Hơn nữa, từ

i=0
p

i=0
p

i=0

n

kij ,


Ai λ + B

=

i=0 j=1

i=0
p

p

(3.6) ⇔

Fi λ

Ai λ + B

Fi λ =

Ai + B
i=0

p

p

p

p


Fi λ < 0.

Ai + B
i=0

i=0

Do tính dương của hệ (3.4) và sự tương đương giữa hai điều kiện (ii) và (iii)
p
p
trong Bổ đề 3.2, ta có ( i=0 Ai + B i=0 Fi ) λ < 0 tương đương với điều kiện
p
ma trận i=0 (Ai + BFi ) là ma trận Hurwitz. Vậy ta đã chỉ ra (iii) là tương
đương với (ii).
(iv) ⇔ (ii). Bắt đầu với điều kiện (3.8) và (3.9). Ta có
(0)

(0)

ajl pl + bTj d0l ≥ 0 ⇔ ajl + bTj

d0l
≥ 0, ∀j, l = 1, . . . , n, j = l.
pl

Khi đó A0 + BF0 ∈ M. Tương tự
(i)

ajl pl + bTj dil ≥ 0, j, l = 1, . . . , n ⇔ Ai + BFi ≥ 0, ∀i = 1, . . . , n.
Theo bổ đề 3.1, hệ (3.4) là dương. Hơn nữa, theo (3.9) ta có

p

T

p

Ai P + P
i=0
p

(Ai + BFi )

=P
i=0

Ai
i=0
T

p

+B

Di
i=0

T

p


+

Di

B

i=0

p

+

(Ai + BFi ) P < 0.
i=0
p

Do hệ (3.4) dương, nên điều kiện bên trên tương đương với ma trận i=0 (Ai +
BFi ) là ma trận Hurwitz theo Bổ đề 3.2. Vậy (iv) và (ii) là tương đương với
nhau.


26

Nhận xét 3.1 Ta thấy phát biểu (iii) trong Định lý 3.1 là một bài toán quy
hoạch tuyến tính theo các ẩn λ, kij . Do đó nó có thể giải số bởi hộp công
cụ lập trình tuyến tính tối ưu trong MATLAB (linear programming optimal
toolbox) (xem [12]). Còn điều kiện (iv) trong Định lý 3.1 là bất đẳng thức
ma trận tuyến tính và nó giải số được bằng hộp công cụ LMI trong MATLAB
(xem [4]).
Ví dụ 3.1 Xét hệ điều khiển tuyến tính có trễ


x(t)
˙
= A0 x(t) + A1 x(t − 2) + Bu(t), t ≥ 0
x(t) = ϕ(t), t ∈ [−2, 0],

(3.10)

trong đó x(t) ∈ R2 là vectơ trạng thái, u(t) ∈ R là vectơ điều khiển, ϕ :
[−2, 0] −→ R2+ là điều kiện ban đầu, và các ma trận
A0 =

−0.5 2
0.3 0.6
0.5
, A1 =
,B=
.
−0.6 1.5
0.5 0.8
0.8
T

Ta sẽ chỉ ra tồn tại vectơ λ = (λ1 , λ2 ) ∈ R2 , λ > 0 và k01 , k02 , k11 , k12 sao cho
các điều kiện trong phần (iii) của Định lý 3.1 được thỏa mãn. Dễ thấy các
điều kiện trong phần (iii) của Định lý 3.1 tương đương với hệ các bất đẳng
thức tuyến tính sau:




2λ2 + 0.5k02 ≥ 0,






−0.6λ1 + 0.8k01 ≥ 0,






0.6λ2 + 0.5k11 ≥ 0,


0.5λ1 + 0.8k12 ≥ 0,





−0.2λ1 + 2.6λ2 + 0.5 (k01 + k02 + k11 + k12 ) < 0,







−0.1λ1 + 2.3λ2 + 0.8 (k01 + k02 + k11 + k12 ) < 0,




λ > 0, λ > 0.
1
2
Bằng cách sử dụng hộp công cụ LMI trong MATLAB ta thấy các điều kiện
trên được thỏa mãn với λ1 = 39.8631, λ2 = 13.7066, k01 = 242.5614, k02 =
38.6518, k11 = −458.0125, k12 = 68.2326. Vậy các điều kiện trong phần (iii)
T

của Định lý 3.1 được thỏa mãn với λ = (39.8631, 13.7066) , k01 = 242.5614, k02 =
38.6518, k11 = −458.0125, k12 = 68.2326.
Theo Định lý 3.1, hệ đóng tương ứng của hệ (3.10) là dương và ổn định


27

tiệm cận với điều khiển ngược cho bởi
u(t) = 6.0849 2.8199 x(t) + −11.4896 4.9781 x(t − 2), ∀t ≥ 0.

3.2.

Tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển tuyến
tính có trễ với điều khiển có hạn chế

Hai bổ đề sau có vai trò quan trọng đối với việc nghiên cứu tính ổn định
hóa của lớp hệ điều khiển tuyến tính có trễ với điều khiển có hạn chế.

Bổ đề 3.3 ([9]) Xét hệ (3.2) và cho một vectơ tùy ý x > 0. Khi đó, ta có các
phát biểu sau là tương đương:
(i) Với 0 ≤ ϕ(t) ≤ x (t ∈ [−τp , 0]) bất kỳ, nghiệm x(t) của hệ (3.2) thỏa
mãn 0 ≤ x(t) ≤ x, ∀t ≥ 0;
p
i=0 Ai ) x

(ii) A0 ∈ M, Ai ≥ 0, i = 1, . . . , p và (

≤ 0.

Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Giả sử ta có (i). Khi đó hệ (3.2) là dương và
theo Bổ đề 3.1 ta có A0 ∈ M, Ai ≥ 0, i = 1, . . . , p. Tiếp theo ta chứng minh
p
( i=0 Ai )x ≤ 0.
Xét trường hợp khi ϕ(t) = x, ∀t ∈ [−τp , 0]. Khi đó
p

x˙ + (0) = A0 x(0) +

p

Ai x(−τi ) =
i=1

Ai x,
i=0

trong đó x˙ + (0) là đạo hàm bên phải của x(t) tại 0. Vì x(0) = x, x(t) ≤
x, ∀t ≥ 0, nên suy ra

p

x˙ + (0) ≤ 0 ⇒

Ai x ≤ 0.
i=0

(ii) ⇒ (i). Giả sử rằng ta có (ii) và 0 ≤ ϕ(t) ≤ x, t ∈ [−τp ; 0]. Theo Bổ đề
3.1 thì hệ (3.2) là dương nên 0 ≤ x(t), ∀t ≥ 0, với điều kiện ban đầu ϕ(t) ≥
0, t ∈ [−τp , 0]. Do đó ta chỉ còn phải chứng minh x ≥ ϕ(t) ≥ 0(t ∈ [−τp , 0])
suy ra x(t) ≤ x với mọi t ≥ 0.
Nghiệm x(t) của hệ (3.2) được biểu diễn dưới dạng:
p

t

x(t) = e

A0 t

ϕ(0) +

e

A0 (t−s)

Ai x(s − τi ) ds

0


i=1
p

t

= eA0 t ϕ(0) +

eA0 s
0

Ai x(t − s − τi ) ds, ∀t ≥ 0.
i=1

(3.11)


28

Vì 0 ≤ ϕ(t) ≤ x, t ∈ [−τp , 0] và eA0 t ≥ 0 (xem [6]) nên
p

t
A0 t

x(t) ≤ e

x+

e


A0 s

Ai x(t − s − τi ) ds, ∀t ≥ 0.

0

(3.12)

i=1

Với bất kỳ ma trận vuông A ta có
t

e

At

eAs Ads, ∀t ≥ 0

−I =
0

(3.13)

t
A0 t

⇒(e

A0 s


− I)x =

e

A0 xds

0

thay vào (3.12) ta được
p

t
A0 s

x(t) ≤ x +

e

Vì (

p
i=0 Ai ) x

Ai x(t − s − τi ) ds, ∀t ≥ 0.

A0 x +

0


i=1

≤ 0, ta có
p

t

x(t) ≤ x +

e

A0 s

0

Ai (x(t − s − τi ) − x)ds, ∀t ≥ 0.

(3.14)

i=1

Nếu t ∈ [0, τ1 ], s ∈ [0, t] thì −τp ≤ t − s − τi ≤ 0. Theo giả thiết, x(t − s −
τi ) − x ≤ 0, điều đó chỉ ra rằng
p

t
A0 s

Ai (x(t − s − τi ) − x) ≤ 0.


e
0

i=1

Từ (3.14) suy ra x(t) ≤ x, ∀t ∈ [0, τ1 ].
Lập luận tương tự, ta sẽ chỉ ra được x(t) ≤ x, ∀t ∈ [lτ1 , (l + 1)τ1 ], l ∈ N.

Bổ đề 3.4 ([9]) Xét hệ (3.2). Giả sử rằng A0 ∈ M, Ai ≥ 0, i = 1, . . . , p và
p
tồn tại vectơ x > 0 thỏa mãn ( i=0 Ai ) x < 0. Khi đó, điều kiện 0 ≤ ϕ(t) ≤
x(t ∈ [−τp , 0]) suy ra điều kiện 0 ≤ x(t) < x, ∀t > 0.
Chứng minh. Giả sử rằng A0 ∈ M, Ai ≥ 0, i = 1, . . . , p và tồn tại vectơ
p

x > 0 thỏa mãn ( i=0 Ai ) x < 0. Như trong chứng minh của Bổ đề 3.3, điều
kiện 0 ≤ x(t), ∀t ≥ 0 đúng khi ϕ(t) ≥ 0(t ∈ [−τp , 0]). Vì vậy, ta chỉ còn phải
chứng minh khi x ≥ ϕ(t) ≥ 0, t ∈ [−τp , 0] thì x(t) < x với mọi t > 0.
Xét trường hợp ϕ(t) = x, ∀t ∈ [−τp , 0]. Khi dó
p

x˙ + (0) =

Ai x < 0,
i=0


29

điều này suy ra tồn tại một vô hướng 0 < δ ≤ τ1 sao cho x(t) < x, ∀t ∈ (0, δ].

Từ ϕ(t) = x, ∀t ∈ [−τp , 0] và eA0 t ≥ 0, kết hợp với (3.11) và (3.13), ta có
t

x(t) = x +

p

t
A0 s

e

A0 xds +

e

0

A0 s

Ai x(t − s − τi ) ds

0

i=1

eA0 s A0 x +

=x+


(3.15)

p

t
0

Ai x(t − s − τi ) ds, ∀t ≥ 0.
i=1

Mặt khác, do cách chọn δ ta có
p

t

x(t) < x = x +

e

A0 s

0

Ai (x(t − s − τi ) − x)ds, ∀t ∈ (0, δ].
i=1

Kết hợp điều này với (3.15), ta có
p

t


e

A0 s

Ai x(t − s − τi ) ds <

A0 x +

0

e
0

i=1

⇒

e

A0

A0 xds < −

Ai (x(t − s − τi ) − x)ds
i=1

Ai xds

e


0

A0 s

p

t

t
A0 s

p

t

0

i=1

(3.16)

p

⇒(eA0 s − I)A0 x < (eA0 t − I) −

Ai x , ∀t ∈ (0, δ].
i=1

Chú ý rằng với bất kỳ ma trận vuông A ∈ M, luôn tồn tại một vô hướng

α > 0 và một ma trận M ≥ 0 sao cho A = M − αI. Do vậy
At

e

=e

−αIt

Mt

.e

−αIt

=e

M 2 t2 M 3 t3
+
+ ...
I + Mt +
2!
3!

điều này nghĩa là dấu của mỗi phần tử của eAt không đổi với mọi t > 0.
p
Do ( i=0 Ai ) x < 0, từ (3.16) ta có
p
A0 t


e

A0 x < −e

A0 t

Ai x, ∀t ∈ (0, δ]
i=1
p

⇒eA0 t A0 x < −eA0 t

Ai x, ∀t ∈ (0, +∞).
i=1

Mặt khác theo Bổ đề 3.3
x(t − τi ) ≤ x, ∀t > 0, i = 1, . . . , p,
và từ (3.15) suy ra
p

t

x(t) < x +

e
0

A0 s

Ai (x(t − s − τi ) − x)ds, ∀t ∈ (0, +∞)

i=1


30

hay
x(t) < x, ∀t ∈ (0, +∞).

Xét hệ tuyến tính với điều khiển có hạn chế sau

p
x(t)
˙
= A0 x(t) + i=1 Ai x(t − τi ) + Bu(t), 0 ≤ u(t) ≤ u, t ≥ 0,
x(t) = ϕ(t) ≥ 0, t ∈ [−τ , 0],

(3.17)

p

trong đó u là một vectơ hằng cho trước, được xem như một cận trên đối với
điều khiển u(t) được xác định theo công thức (3.3). Khi đó, ta thu được hệ
đóng sau:



x(t)
˙
= (A0 + BF0 )x(t) +




p
i=1 (Ai

+ BFi )x(t − τi ), t ≥ 0,
(3.18)

0 ≤ u(t) ≤ u, t ≥ 0,



x(t) = ϕ(t) ≥ 0, t ∈ [−τ , 0].
p

Bài toán đặt ra là: Tìm vectơ x > 0, sao cho tồn tại một điều khiển ngược
p
u(t) = F0 x(t) + i=1 Fi x(t − τi ) thỏa mãn 0 ≤ u(t) ≤ u để hệ đóng (3.18) là
dương và 0 ≤ x(t) ≤ x, t ≥ 0 khi và chỉ khi 0 ≤ ϕ(t) ≤ x(t ∈ [−τp , 0]).
Định lý 3.3 trình bày dưới đây cho ta lời giải của bài toán trên.
T
n
Định lý 3.2 ([9]) Cho tùy ý vectơ 0 < u ∈ Rm
+ , x = [x2 , . . . , xn ] ∈ R+ . Xét
hệ (3.18). Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:

(i) 0 ≤ x(t) ≤ x, với mọi t ≥ 0 và 0 ≤ u(t) ≤ u với mọi t ≥ 0 khi mà
0 ≤ ϕ(t) ≤ x, ∀t ∈ [−τp , 0];
(ii) Tồn tại các véc tơ kij ∈ Rm
+ , i = 0, 1, . . . , p, j = 1, . . . , n sao cho

(0)

ajl xl + bTj k0l ≥ 0, j, l = 1, . . . , n, j = l
(i)

ajl xl + bTj kil ≥ 0, j, l = 1, . . . , n, i = 1, . . . , p
p

p

n

kij ≤ 0

Ai x + B
i=0
p

(3.19)
(3.20)

i=0 j=1
n

kij ≤ u.

(3.21)

i=0 j=1


Ngoài ra, các ma trận Fi xác định bởi Fi =

ki1
kin
,...,
, i = 0, 1, . . . , p.
x1
xn


31

Chứng minh. (ii) ⇒ (i). Giả sử rằng tồn tại các vectơ x ∈ Rn+ , kij ∈
Rm
0,+ , i = 0, 1, . . . , p, j = 1, . . . , n, sao cho (3.19)-(3.21) đúng. Điều kiện (3.19)
suy ra A0 + BF0 ∈ M và Ai + BFi ≥ 0, i = 1, . . . , p. Do đó hệ (3.18) là dương
p
theo Bổ đề 3.1. Ngoài ra, điều kiện (3.20) suy ra i=0 (Ai + BFi )x ≤ 0. Theo
Bổ đề 3.3, nếu 0 ≤ ϕ(t) ≤ x (t ∈ [−τp , 0]) thì 0 ≤ x(t) ≤ x với mọi t ≥ 0.
Mặt khác, từ x ∈ Rn+ , kij ∈ Rm
+ , i = 0, 1, . . . , p, j = 1, . . . , n và (3.21)
đúng, ta có
0 ≤ u(t) = F0 x(t) +

p

p

p


Fi x(t − τi ) ≤

kij ≤ u, t ≥ 0.

Fi x =
i=0 j=1

i=0

i=1

n

Hay 0 ≤ u(t) ≤ u, t ≥ 0. Vậy, ta đã chứng minh được (ii) ⇒ (i).
ki1
kin
(i) ⇒ (ii). Giả sử ta có (i) và Fi =
,...,
, i = 0, 1, . . . , p. Theo Bổ
x1
xn
p
đề 3.3, A0 + BF0 ∈ M, Ai + BFi ≥ 0, i = 1, . . . , p và i=0 (Ai + BFi )x ≤ 0.
Tiếp theo ta chứng minh mọi kij đều thuộc Rm
+ . Giả sử trái lại. Đặt Fi =
(i)
(q)
fjl và phải tồn tại phần tử fkg < 0. Ký hiệu điều kiện ban đầu ϕ(−τi ) =
[ϕi1 , ϕi2 , . . . , ϕin ]T , x(0) = [ϕ01 , ϕ02 , . . . , ϕ0n ]T . Chọn diều kiện ban đầu sao
cho ϕqg > 0 và ϕij = 0 với mọi i = q, j = g.

Gọi uk (.) là phần tử thứ k của u(.), ta có
p

n
(i)

uk (0) =

(q)

fkj ϕij = fkg ϕqg < 0,
i=0 j=1

điều này mâu thuẫn với giả thiết 0 ≤ u(t) với mọi t ≥ 0 khi mà 0 ≤ ϕ(t). Vì
vậy kij ∈ Rm
+ , i = 0, 1, . . . , p, j = 1, . . . , n.
Cuối cùng, xét điều kiện ban đầu ϕ(t) ≡ x, t ∈ [−τp , 0]. Từ giả thiết
0 ≤ u(t) ≤ u (t ≥ 0), ta có
p

u ≥ u(0) = F0 x(0) +

p

Fi x(−τi ) =
i=1

p

n


Fi x =
i=0

kij .
i=0 j=1

Vậy ta có (3.21).

Định lý 3.3 ([9]) Cho trước vectơ 0 < u ∈ Rm . Hệ (3.18) là ổn định tiệm
cận và dương, và 0 ≤ x(t) < x với mọi t ≥ 0, 0 ≤ u(t) ≤ u với mọi t ≥ 0 khi
mà 0 ≤ ϕ(t) ≤ x, t ∈ [−τp , 0], nếu tồn tại các vectơ kij ∈ Rm , kij > 0, i =
0, 1, . . . , p, j = 1, . . . , n, x = [x1 , . . . , xn ]T > 0 sao cho các điều kiện (3.19),


32

(3.21) và điều kiện
p

p

n

kij < 0

Ai x + B
i=0 j=1

i=0


được thỏa mãn. Ngoài ra, các ma trận Fi , (i = 0, 1, . . . , p) xác định bởi
Fi =

ki1
kin
,...,
, i = 0, 1, . . . , p.
x1
xn

Chứng minh. Chứng minh tương tự như Định lý 3.2.

Ví dụ 3.2 Xét hệ điều khiển tuyến tính có hạn chế



x(t)
˙
= A0 x(t) + A1 x(t − 1) + Bu(t), t ≥ 0


0 ≤ u(t) ≤ u,



x(t) = ϕ(t) ≥ 0,

(3.22)


t ∈ [−1, 0],

trong đó x(t) ∈ R2 là vectơ trạng thái, u(t) ∈ R2 là vectơ điều khiển, và
u=
A1 =

200
−4 2
, A0 =
,
100
1 −5
1 2
0.5 0.12
,B=
.
1.8 1
0.3 0.1

Ta chọn điều khiển ngược u(t) = F0 x(t) + F1 x(t − 1). Áp dụng Định lý 3.3,
T
ta thu được một nghiệm chấp nhận được là x = (107.6552, 77.5566) và
F0 =

0.0203 0.0277
0.0199 0.0278
, F1 =
.
0.1361 0.1880
0.1360 0.1901


Do đó theo Định lý 3.3, dưới tác động của điều khiển u(t) = F0 x(t) + F1 x(t −
1), (0 ≤ u(t) ≤ u, t ≥ 0) khi mà 0 ≤ ϕ(t) ≤ x, t ∈ [−1, 0], hệ đóng tương ứng
của hệ (3.22) là dương, ổn định tiệm cận và vectơ trạng thái của hệ đóng thỏa
mãn 0 ≤ x(t) ≤ x, ∀t ≥ 0.


33

Kết luận
Luận văn đã giải quyết được những vấn đề sau đây:
1. Trình bày một số khái niệm cơ bản về bài toán ổn định, ổn định hóa cho
hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân có trễ.
2. Trình bày một số khái niệm về hệ tuyến tính dương có trễ cũng như không
có trễ.
3. Trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển
tuyến tính với điều khiển có hạn chế.
4. Trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển
tuyến tính có trễ với điều khiển có hạn chế.
5. Đưa ra 06 ví dụ số minh họa cho kết quả lý thuyết.


34

Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại
học Quốc gia Hà Nội.
[2] Mai Viết Thuận (2015), Tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi
phân hàm và ứng dụng trong lý thuyết điều khiển, Luận án Tiến sĩ Toán

học, Viện Toán học Việt Nam.
Tiếng Anh
[3] A. Benzaouia, A. Hmamed and F. Tadeo (2010), "Stabilisation of controlled positive delayed continuos-time systems", International Journal
of Systems Science, 41, pp. 1473–1479.
[4] S. Boyd, E. Ghaoui, E. Feron, and V. Balakrishnan (1994), Linear Matrix
Inequalities in System and Control Theory, Philadelphia, PA: SIAM.
[5] J.K. Hale (1977), Theory of Functional Differential Equations, SpringerVerlag.
[6] T. Kaczorek (2002), Positive 1D and 2D Systems, Springer.
[7] T. Kaczorek (2009), "Stability of positive continuous-time linear systems
with delays", Bulletin of the Polish Academy of Sciences Technical Sciences 57(4), 395–398.
[8] V.L. Kharitonov (2013), Time-Delay Systems: Lyapunov Functionals and
Matrices, Birkhauser.
[9] X. Liu (2009), "Constrained Control of positive systems with delays",
IEEE Transction on Automatic Control, 54, pp. 1596–1600.


35

[10] V.N. Phat and P. Niamsup (2015), "Global stabilization of linear timevarying delay systems with bounded controls", Applied Mathematics Letters, 46, pp. 11–16.
[11] M.A. Rami and F. Tadeo (2007), "Controller Synthesis for Positive Linear Systems With Bounded Controls", IEEE Transction on Circuits and
Systems–II: Express briefs, 54, pp. 151–155.
[12] R. J. Vanderbei (2001), Linear Programming: Foundations and Extensions, 2nd ed. Norwell, MA: Kluwer.
[13] Y. Xu, J. Zhang, W. Zhou, D. Tong (2017), "Adaptive synchronization
of complex dynamical networks with bounded delay feedback controller",
Optik - International Journal for Light and Electron, 131, pp. 467–474.