Khoá luận tốt nghiệp toán bài toán ổn định và ổn định hóa cho hệ điều khiển với trễ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (874.23 KB, 30 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
LƯƠNG THỊ NGỌC THÚY
BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ Ổ n ĐỊNH HÓA
CHO HỆ ĐIỀU KHIỂN VÓI TRỄ
Chuyên ngành toán ứng dụng
KHÓA LUẨN TỐ T NGHIÊP ĐAI HOC
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
LƯƠNG THỊ NGỌC THÚY
BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ Ổ n ĐỊNH HÓA
CHO HỆ ĐIÊU KHIỂN VÓI TRỄ
Chuyên ngành toán ứng dụng
KHÓA LUẬN TỐ T NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn: ThS. NGUYEN TRUNG DŨNG
LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới Thạc sỹ Nguyễn Trung Dũng người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn
thành đề tài này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong
khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em trong suốt quá trình
học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề
tài thực tập này.
Xuân Hòa, ngày 05 tháng 04 năm 2015
Sinh viên
Lương Thị Ngọc Thúy
1
LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp "Bài toán ổn định và ổn định hóa cho hệ điều khiển
với trễ" được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân
cùng với sự giúp đỡ tận tình của ThS. Nguyễn Trung Dũng.
Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết quả của tác
giả khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên
Lương Thị Ngọc Thúy
Mục lục
1
Mở đầu
Chương 1. Một số kiến thức cơ sở
3
1.1. Hệ điều khiển có trễ
3
1.1.1. Hệ phương trình vi phân hàm
3
1. 1. 2 . Khái niệm ổn định
4
1.2. Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển có trễ
5
1.3. Một số bất đẳng thức
5
1.4. Phương pháp hàm Lyapunov
6
Chương 2. Tính ổn đỉnh và tính ổn đinh hóa
9
2. 1. Tiêu chuẩn ổn định và ổn định hóa độc lập với trễ
9
2.1.1. Tiêu chuẩn ổn định độc lập với độ trễ
2.1.2. Tiêu chuẩn ổn định hóa độc lập với trễ
2.2. Tiêu chuẩn ổn định và ổn định hóa phụ thuộc trễ
10
12
15
2.2.1. Tiêu chuẩn ổn định phụ thuộc trễ
16
2 .2 .2 . Tiêu chuẩn ổn định hóa phụ thuộc trễ
18
3
MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài
Nghiên cứu tính ổn định là nội dung chính của lý thuyết định tính các hệ động
lực, được bắt đầu từ cuối thế kỷ XIX với những công trình xuất sắc của nhà toán
học Nga A.M.Lyapunov. Mỗi khi phân tích và thiết kế các hệ thống kỹ thuật hoặc
mô hình kinh tế mô tả bằng các hệ phương trình toán học người ta cần nghiên cứu
tính ổn định của hệ thống đó. Cho đến nay lý thuyết ổn định đã được nghiên cứu và
phát triển như một lý thuyết toán học độc lập và có rất nhiều ứng dụng trong kinh
tế, khoa học và kỹ thuật. Từ đó xuất hiện các bài toán nghiên cứu tính ổn định và
tính ổn định hóa các hệ điều khiển.
Do đó tôi chọn đề tài "Bài toán ổn định và ổn đinh hóa cho hệ điều khiển
vối tr ễ ” , dựa trên các kết quả về lý thuyết ổn định Lyapunov, để tìm lời giải cho bài
toán ổn định hóa của hệ điều khiển với trễ, cụ thể là trong hai trường hợp độc lập
với trễ và phụ thuộc trễ và từ đó thấy được tính ứng dụng trong các bài toán kinh tế,
kỹ thuật và công nghệ.
2.
Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tính ổn định và tính ổn định hóa của các hệ điều khiển với trễ.
3. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov (bao gồm phương pháp Lyapunov - Razimukhin và phép xấp xỉ Lyapunov - Krasovski) và bất đẳng thức ma trận tuyến tính.
4. Phạm vi nghiên cứu
Hệ thời gian liên tục tuyến tính trễ thời gian.
5. Bố cục đề tài
Bố cục của luận văn bao gồm :
1. Chương 1: M ột số kiến thức cơ sở.
• Hệ điều khiển có trễ.
• Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển có trễ.
1
• Một số bất đẳng thức.
• Phương pháp hàm Lyapunov.
2. Chương 2. Tính ổn định và tính ổn định hóa.
• Tiêu chuẩn ổn định và ổn định hóa độc lập với trễ.
• Tiêu chuẩn ổn định và ổn định hóa phụ thuộc trễ.
Do thời gian thực hiện đề tài không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên báo cáo không
tránh khỏi những sai sót. Tác giá mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản
biện của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn!
2
Chương 1
Môt số kiến thức cơ sỏ
Trong chương này, ta trình bày một số khái niệm và kết quả về tính ổn định của
hệ phương trình vi phân có trễ và một số kết quả bổ trợ được sử dụng trong chứng
minh các kết quả ở chương sau.
1.1.
Hệ điều khỉển có trễ
Chúng ta nhận thấy rằng, các quá trình xảy ra trong tự nhiên thường có sự liên
quan với quá khứ và ít nhiều mang tính di truyền. VI vậy khi mô tả các quá trình
này, chúng thường được biểu diễn bằng các hệ phương trình vi phân có trễ hay còn
gọi là hệ phương trình vi phân hàm.
1.1.1.
Hệ phương trình vi phân hàm
Giả sử h ^ 0. Kí hiệu
= c ( [ —/z,0],M") là không gian Banach các hàm liên
tục trên đoạn [—/z, 0] với giá trị trong
và chuẩn của (Ị) £ ^ được cho bởi
||ự>|| = s u p _ h
to
G M, A ^ 0 và X G C([/o —/Mo + A ], M'z), hàm xt G ^ :=
c([—/ỉ,0], M"),
t £ [ío,?o +Ãị> được xác định bởi xt (s) = x(t + 5), 5 G [—h ,0].
Cho D c Rn X ^ là tập mở và hàm F : D —>■M".
Một phương trình vi phân hàm trên D (thường gọi là hệ phương trình vi phân có
3
trễ) là phương trình dạng
(1.1)
x(t) = F ( t ìxt ).
Một hàm X được gọi là nghiệm của phương trình vi phân (1.1) trên [to —/ỉ,?0 + A]
nếu tồn tại t() G R, A > 0 sao cho Jt G c([?0 —h,to + A ],R n),
(t,X()
G D vh x (t) thỏa
mãn (1.1) với mọi t E [to,t() + A]. Với t() e M, (Ị) £ ciể, ta nói x(ío, ộ) là nghiệm của
phương trình ( 1. 1) với giá trị ban đầu ộ tại thời điểm ban đầu to (nghiệm đi qua điểm
(to, ộ )) nếu tồn tại A > 0 sao cho x(tQ,ộ) là một nghiệm của phương trình (1.1) trên
[í() —h,t0 + Áị v à x ío (to, ộ) — ộ. Khi to đã rõ, ta viết x(t, ộ ) thay cho Jt(í(), ệ ){t).
Ví dụ 1.1.1. Hệ phi tuyến có trễ thời gian biến thiên
+ x ị ( t - T2{t))) + 2x2(t)x\(t - T\(t))x2{t - T2{t)),
dt
= - 3 x \( t) x \( t - T\(t))x2(t - T2(t)) - x 2(t)(2 + s in x \( t- T \( t) ) ) ,
trong đó 0 ^ Ti(t) ^ Tị là các hằng s ố , i — 1,2.
1.1.2.
Khái niệm ổn định
Giả thiết rằng hàm F (.) thỏa mãn điều kiện sao cho với mỗi điểm (to, ộ) G
IR+ X ^ hệ (1.1) có nghiệm duy nhất đi qua điểm (to, ộ) và xác định trên [ío9°°)- Ta
cũng giá thiết F (f,0 ) = 0, tức là hệ (1.1) có nghiệm không. Khi đó ta có các khái
niệm ổn định, ổn định tiệm cận cho hệ ( 1. 1).
Đinh nghĩa 1.1.1.
Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là Ổn định nếu với mọi e > 0,?o ^ 0, tồn
tại ô — ổ (ỉo ,e) > 0 sao cho với mọi nghiệm x (t,ộ ) của (1.1), nếu II011 < ô thì
||x (í,0 )|| < £,v? ^ ÍQ. Nếu ỏ không phụ thuộc ÍQ thì nghiệm X = 0 gọi là Ổn định
đều.
Định nghĩa 1.1.2.
Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là Ổn định tiệm cận nếu nó Ổn định và với
mỗi to > 0, tồn tại $) = ổo(/o) > 0 sao cho với mọi nghiệm x (t,ộ ) của ( l.ì) , nếu
II011 < ổ() thì lim ||x(V,</>)|| = 0.
í—
4
1.2.
Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển có trễ
Xét hệ điều khiển có trễ trên trạng thái
(1.2 )
i ( í ) = F (t,x t ,u (t)),t ^ 0 ,
x(t) = ộ ( t) ,t £ [—/z,0]
trong đó x(t) G R" là vectơ trạng thái, u(t) G
số trễ, ộ e
là vectơ điều khiển; h ^ 0 là hằng
c([—/*,0],R”) là hàm ban đầu và F : M+ X 'íí X I m ^
là hàm vectơ
cho trước thỏa mãn điều kiện, F (t, 0,0) = 0, Ví ^ 0.
Định nghĩa 1.2.1. Hệ điều khiển ị 1.2) gọi là Ổn định hóa được nếu tồn tại hàm
g : R" —>•
sao cho hệ phương trình vi phân đóng
(1.3)
là ổn định tiệm cận. Hàm u(t) = g(x(t)) gọi là hàm điều khiển ngược dạng không
nhớ.
1.3.
Một số bất đẳng thức
/ĩ X
\
✓
V
Bô đê 1.3.1. Cho X, Y là các ma trận hăng sổ thực có sô chiêu tương ứng, thì
với x , z là các ma trận đối xứng. Ta có
5
hoặc
'x^ o
< Y = XL2
\
z
-
l\ xl
2ỷ
0
với L \ , Z/2 là các ma trận (không đơn trị) với số chiều tương ứng.
ii) M xác định dương nếu và chỉ nếu
hoặc
Ịz> 0
) x - Y Z ~ lYT > 0
hoặc
<
X >0
кZ - Y TX ~ ]Y > 0
Ma trận X —YZ~ ]YT được gọi là Phần bù Schur X (z) trong M.
Bổ đề 1.3.3. Cho G ,ơ , y là các ma trận cho trước với G là đối xứng,
i) Thì tồn tại ma trận X sao cho
G + U X V T + V X TU T > 0
n ế u và c h ỉ n ế u
U l G U ± > 0, v [ G V ± > 0
khi u L, Vj_ lần lượt là phần bù trực giao của и và V.
ỉỉ) U tl GU l > 0 nếu và chỉ nếu tồn tại một vô hướng ơ sao cho
G —ƠƯUT > 0
1.4.
Phương pháp hàm Lyapunov
Đỉnh nghĩa 1.4.1. [Lớp hàm ж ]
Cho hàm Ф G [M+ ,M+],M+ := [0;+°o) hoặc Ф G С[[0,А],М+]. Khi đó, Ф được gọi
là w - hàm hoặc ж - hàm nếu thỏa mãn cấc điều kiện sau:
(ỉ) Ф là hàm tăng.
(ii) ệ( 0) = 0.
K í hiệu ộ G Ж
6
Định nghĩa 1.4.2. [Hàm Lyapunov]
Cho V : M+ X
—y M là một hàm khả vi liên tục thỏa mãn V (í, 0) = 0, Ví ^ 0. Hàm
V được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.1) nếu thỏa mãn các điều kiện sau
(i) Hàm V(t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa
3a G
:V
^ fl(||jt| I), V(/,jc) G M+ X K".
(ii) Đạo hàm của V dọc theo nghiệm của hệ (1.1)
V(t, xt (tQ,(j))) := lim s u p ị [ V { t + h),xt+h{(tQ, ệ ) ) - V(t, xt {to,(Ị)))} ^ 0.
/ỉ—
»0+
n
với mọi nghiệm x( t , ộ) của hệ ị 1.1).
Định lý 1.4.1. [Định lý Lyapunov - Krasovskỉỉ]
Giả sử rằng F: R + X
th à n h tậ p b ị c h ặ n tr o n g
—> W 2 biến mỗi tập M+ X ấS (ốế là tập
bịchặntrong cể )
và u, V, vv: R + —>• R + là c á c h à m liê n tụ c, k h ô n g
g iả m ,
ở đó u(s) và v(s) dương \fs > 0 và uịO) = v(0) = 0.
• Nếu tồn tại một hàm khả vi liên tục V
sao cho
«(110(0)11) < V ( / , 4 > ) < v ( H 4 > y
và
110(0 ) 11)
thì nghiệm không của (1.1) là Ổn định đều.
• Nếu nghiệm không của (1.1) là Ổn định đều, và w(s) > 0, \fs > 0, thì nghiệm không
của (1.1) là ổn định tiệm cận đều.
• Nếu nghiệm không của ( ì . l ) là Ổn định tiệm cận đều và lim u(s) = 00 thì nghiệm
s—
không của ị 1.1) là Ổn định tiệm cận toàn cục đều.
Đinh lý 1.4.2. [Định lí Razumikhin]
Giả sử f:
M+ X
‘ể —>K " biến mỗi tập
M+ X
ỒS (ốể là tập bị chặn trong cể ) thành
tậ p b ị c h ặ n tr o n g M/2; và u, V, w: R + —> M+ là c á c h à m liê n tụ c k h ô n g g iả m , u (s ) và
v(.v) d ư ơ n g \fs > 0, u (0 ) = v (0 ) = 0, và V tă n g ngặt.
• Nếu tồn tại hàm khả vi liên tục V : M+ x l M
i sao cho
(ỉ) m(IWI) < v ( t , x ) < v(||a||),Vx e M77,/ ^ 0
ịii) v ( t , x ( t ) ) ^ —w(\\x(t)\\),khiV(t + 0 , x ( t + 0 )) ^ v ( t , x ( t ) ) , Vớ G [—h , 0]
thì nghiệm không của (1.1) là Ổn định đều.
• Hơn nữa, nếu w(s) > 0, Vs > 0 và tồn tại một hàm p(s) liên tục, đơn điệu không
1
giảm, p(s) > s với mọi s > 0 sao cho
(iiỉ) v ( t , x ( t ) ) ^ —w (||x(í)||), khi v ( t + 6 , x ( t + в ) ) ^ pV(t, x(t)), V0 G [—/z,0]
thì nghiệm không của ( LI ) là ẩn định tiệm cận đều.
• Nếu giả thiết thêm lim u(s) =
.Ç—
>°o
thì nghiệm không của ( ì . ì ) là Ổn định tiệm cận
toàn cục đều.
8
Chương 2
Tính ổn định và tính ổn định
hóa
Xét hệ thời gian liên tục tuyến tính với trễ thời gian
x(t) —Ax(t) + £ Ajx(t —X'j)+ Bu(t)
< y(t) = Cx( t)
•
~
Kx{t) = ệ ( t ) , t e [—T,0)
trong đó x(t) £ R n là véc tơ trạng thái; u(t) e R k là điều khiển đầu vào, y(t) G M'
là véc tơ đầu ra của hệ. ộ(.) là điều kiện ban đầu, A G
A j £ M/ỈX/Ỉ, j — 1, ...m
B G ]R"XẨ:, c G Mrx/í là các ma trận hằng số. Tj > 0, j = 1,m là các trễ hằng số trong
hệ và T =
{ Tỳ, 1 < j < m }.
Mục đích chính của chúng ta là lập điều kiện để hệ (2.1) ổn đinh và ổn định hóa.
2.1.
Tiêu chuẩn ổn định và ổn định hóa độc lập với
trễ
Trong phần này ta thiết lập điều kiện đủ để hệ (2.1) với u(t) = 0 là ổn định với
mỗi Tj G
= l,m và thiết kế bộ điều khiển để hệ (2.1) ổn định hóa với mỗi
Tj e [0 ;°o) J = \ ,m .
9
2.1.1.
Tiêu chuẩn ổn định độc lập với độ trễ
Xét hệ điều khiển như sau
x(t) —Ax(t) + £ Ajx(t —hj(t)) + Bu(t)
;—1
7=1
(2 .2)
y(t) = Cx(t)
trong đó x(t) G К" là các véctơ trạng thái, u(t) G M* là véc tơ điều khiển đầu vào,
с G Mrxn
y(t) e шг là véc tơ đầu ra, A 6 M'ỊX'\ A j e R nxmJ = т^й , ổ G
là
các ma trận hằng số, hj là trễ thời gian thỏa mãn h j < n < 1 với ỊẤ là hằng số cho
trước.
Định lý sau đây cho chúng ta một điều kiện đủ (độc lập với trễ) để hệ (2.1) là
ổn định.
Định lý 2.1.1. (Tiêu chuẩn Ổn định độc lập với trễ)
Nếu tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương p > 0 , Q j > 0,ỹ =
thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau
/
m
A TP + P A + t Q ị
PA\
...
\
PAm \
7=1
Á[p
0 =
\
Q\
<0
(2.3)
Qm J
KP
thì hệ (2. ì) với u(t) = 0 là ổn định.
Chứng minh. Xét phiếm hàm Lyapunov được xác định như sau
v( x(t ) ) = x T{t)Px(t) + £
í xT(s)Qj(s)ds
trong đó x(t) — { x ( s ) , t - ĩ < s < t ) . Khi đó đạo hàm của V (*(í)) theo thời gian t
cho bởi
V ( x ( t ) ) = x T( t ) P x ( t ) + x T{t)Px{t)
+ * r 0 ) ( L Ö7M O ỉ—1
1
10
Sử dụng (2.1) với u(t) = 0 ta có
m
m
v( x(t ) ) = X T (ATP + P A + Y , Q j ) x t + 2 ' Y ề XT (t - Tj)AT
j Px{t)
- ỵ ề xT( t - t j ) Q j x { t - T j )
7=1
sau đó dùng (2.3) ta có thể viết như sau V (jc(0) = v ĩ 0T7/ trong đó Ĩ]J = (XT (t ) , xT (t —
T
i XT (t —Tm)) kéo theo V (*(/)) âm theo (2.3). Do đó hệ (2.1) với u(t) = 0 là
□
ổn định
C h ú ý 2.1.1. Lưu ý rằng điều kiện này không phụ thuộc vào trễ. Rõ ràng điều kiện
đó là một hạn chế vì khó có th ể tìm được một hệ Ổn định với mọi trễ.
Định lý dưới đây đưa ra một điều kiện đủ để hệ (2.1) là ổn định tiệm cận. Để
đơn giản về mặt kí hiệu, ta xét hệ (2.1) với u(t) = 0 và m = 1. Trong trường hợp này,
ta đặt
Tị
= T.
Đ ịnh lý 2.1.2. Nếu tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương P > 0 , Q ( Q o , Q u - , Q r ) >
0 sao cho bất đẳng thức ma trận sau được thỏa mãn
/ a t + P A + Qo
0
0
0
V
Q
P A ị\
0
Á[p
< 0,
(2.4)
-Qr)
trong đó Q — diag {Q \ —Q o , Q , —Q , - 1} và r là cd của phân hoạch của đoạn
[0 , t] (chia thành r + 1 khoảng) thì hệ (2.1) với u(t) = 0 Ổn định tiệm cận.
Chứng minh. Xét phiếm hàm Lyapunov dưới đây:
t
V{x(t)) —XT (t)Px(t) + J XT (s)Q(s)x(s)ds
t-X
Phân hoạch đoạn [0, t] bởi các điểm T;,0 < i < r với T; = -T và giả sử ma trận Q(.)
là ma trận hằng trên nửa khoảng [ì/, Tj+ 1 ). Kí hiệu ô(Tj) = Qị. Khi đó V(x(t)) trở
thành
r '
y ( x ( r ) ) = XT (t)Px(t) +
'
XT (s)Qịx(s)ds.
Phần còn lại chứng minh tương tự như Định lý 2.1.1
11
□
v í dụ 2.1.1. Xét hệ động lực với trễ thời gian
1.0
x{t) =
-1
0
-
1.1
x(t — 1).
Đối với hệ này, dựa vào gói LMI trong Matlab chúng ta không tìm được lời giải cho
bất đắng thức ma trận tuyến tính (2.3). Điều này có nghĩa là tiêu chuẩn Ổn định
trong Định lý 2.1.1 không thỏa mãn và do đỏ ta không khẳng định được hệ trên là
ổn định hay k h ô n g . Tuy nhiên, nếu ta sử dụng kết quả của Định lý 2.1.2 với r — 3
chúng ta thu được các ma trận đối xứng, xác định dương là nghiệm của hệ (2.4)
_ /27 9 .0 8 9 7
102.7875 \
~ ụ 0 2 .7 8 7 5
118.3267J '
Do đó, dựa vào Định lý 2.1.2, hệ này Ổn định tiệm cận.
2.1.2.
Tiêu chuẩn ổn định hóa độc lập với trễ
Xét bài toán ổn định hóa sử dụng bộ điều khiển u(t) = kx(t). Khi đó chúng ta
cần tìm ma trận K sao cho hệ đóng
m
x(t) = [A + BK]x(t) + £ Ajx(t 7=1
Zj)
(2.5)
*(f) = 0 (í)> íe [-T ,O ]
là ổn định tiệm cận. Định lý sau đây cung cấp một kỹ thuật dựa trên bất đẳng thức
ma trận tuyến tính với việc tìm ma trận ổn định hóa K.
Đ ịnh lý 2.1.3. N gu ton tữi CCIC Ỉ7ĨCỈ tvũĩĩ đoi XIỈĨIỊ^ XŨC điĩĩh cliẨớìiQ X ^ 0, u —
(Ơ I,
Um) và ma trận Y sao cho thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính dưới
đây.
(2 .6 )
12
Trong đỏ áể — (A \ ,Ấ2, ...,AW) và и — diag {U\ ,Ư 2 , ...,u m} thì hệ (2.1) là Ổn định
với điều khiển của u(t) = Kx(t), к — Y X ~ x.
Chứng minh. Theo Định lý 2.1.1, để chứng minh rằng hệ đóng là ổn định tiệm cận
thì điều kiện đủ là
[A + BK]TP
+
P[A
BK\
+
+
Ể
Qj
Ря/
7=1
s ể TP
<0
(2.7)
-Q
có tập nghiệm p > 0 , Qi > 0,1 < i < m và Q — d i a g { Q \ , . . . , Q m}. Nhân hai vế
của (2.7) với diag { p - 1, p - 1,
p - 1} và đặt X = p - 1; Y = K P - ];Uị = p - ] QịP- 1
о, 1 <
ta được (2.7). Do đó, nếu X > 0, Ui >
ỉ < m và Y thỏa mãn (2.7) thì p =
X “ 1,Qi = x ~ 1UịX~ 1 và К = Y X ~ 1 thỏa mãn (2.7), suy ra điều phải chứng minh.
□
Định lý 2.1.3 cung cấp cho ta một cách thiết lập bộ điều khiển phản hồi trạng
thái không nhớ. Khi các độ trễ thời gian Tý,ỹ = l,m là các hằng số đã biết, bộ điều
khiển gồm trạng thái, trễ có thể được xây dựng tương tự như trong Định lý 2.1.3. Sử
dụng bộ điều khiển u{t) — Kx(t) + £ Kjx(t —Tỳ), hệ đóng trở thành
j= I
x(t) = [A + BK]x(t) + £ И j + BKj\x(t - Tj).
j=i
Định lý dưới đây mở rộng tiêu chuẩn ổn định hóa độc lập với trễ và cung cấp một
phương pháp thiết kế bộ điều khiển ổn định hóa.
Đ ịnh lý 2.1.4. Nếu tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương X > 0, Uị >
о, 1 <
i < m và các ma trận K, Yị, 1 < ỉ < m sao cho bất đẳng thức sau được thỏa mãn
(ö(X,Y)
*
\ *
trong đó Ớ (X ,F )
=
A\ X + BY\
AmX + BYm\
- Ơ I
0
0
<0
(2.8)
-um )
A x - \ - X A T + BY + Y TB T + £ Uj thì hệ (2.1) là Ổn định tiệm
ru
7=1
cận dưới bộ điều khiển u(t) — Kx(t) + £ Kjx(t —%j) với cấc ma trận к — Y X ~ 1 và
j= 1
13
m
Chứng minh. Sử dụng bộ điểu khiển u(t) = Kx(t) + £ Kjx(t
j=\
thành
—
Ty)
hệ đóng trở
xịt) = [A + BK]x{t) + £ [Aj + BKj]x(t - Tj)
j= 1
(2.9)
Theo Định lý 2.1.1, để chứng minh tính ổn định tiệm cận của hệ (2.9) điều kiện đủ
là
Ỉ ATP + P A + £ Qj
—T „
A\p
PA ị
7=1
0
-Ổ I
—T _
Lp
<0
(2 .10)
Qm )
a
có nghiệm p > 0, Qi > 0,1 < i < m trong đó A — A + BK,Aị — Aị + BKị, 1 <
i < m. Nhân hai vế của (2.10) với diag { p 1
K X , ơ; =
1Q /P- 1, >/ =
1,
} và đặt X = P ~ \ Y —
1 ta được (2.8), suy ra điều phải chứng minh.
□
Cho u G Rnxk là ma trận cho trước. Uỵ_ được gọi là phần bù trực giao của u nếu
ƯTU_L = 0 và [Ơ,ƠJ_] là không suy biến.
m
Đ ịnh lý 2.1.5. Hệ (2.1) là ổn định dưới sự điều khiển u(t) = Kx(t) + £ Kjx(í —Z j )
\
7=1
nếu một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
ỉ) Tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương X > 0, Uị > 0,1 < i < m sao
cho
f ú ( X ) + ơBBT
A ịX
Amx \
XA]
-U i
0
(2 .11)
<0
V
XAỈ.
thỏa mãn với một số vô hướng ơ
-U m )
> 0 trong đó ứ(x) —AX + XA T +
m
Uị
;
7-1
ii) Tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương X > 0, Uị > 0,1 < i < m sao
14
cho
(ũ(X)
A\ X
X A Ị
- U
Amx \
0
ị
(2 .12)
ầổ<0
0
\X A T
m
- ư mJ
đóng, trong đó ẩềí = di ag{B±,
Chứng minh. Chú ý rằng
fũ(X,Y)
V
fú(X)
*
Aị X + BYị
AmX + BYm\
*
-Ơ I
0
*
0
-u m
Ị
Aị X
0
- Ơ I
0
+
-U m )
(y
r,
.. .
ym)
\0/
0
Y
+
Y\
...
Y„
Lv°/
kết hợp với kết quả (ii)của Bổ đề 1.3.3 ta có được điều phải chứng minh của (i).
Lưu ý rằng phần bù trực giao của (BT0 ...0 )7 là ăẽ, kết hợp với kết quả (i) của
Bổ đề 1.3.3 suy ra điều phải chứng minh (ii) của Định lý.
2.2.
□
Tiêu chuẩn ổn định và ổn định hóa phụ thuộc trễ
Phần này mở rộng điều kiện cho tính ổn định và ổn định hóa phụ thuộc vào trễ.
Trong trường hợp ổn định hóa, ta tìm một luật điều khiển phản hồi trạng thái u(t)
mà hệ đóng ổn định hóa tiệm cận.
15
2.2.1.
Tiêu chuẩn ổn định phụ thuộc trễ
Đ ịnh lý 2.2.1. Nếu tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương p > 0, Qi > 0 ,0 <
/ < m thỏa mãn điều kiện
/
J
m
___
ni
MỊ ,
A P + P A + i ÌXịQi
j= I /=0
<0,
(2.13)
Trong đó
m
à = ỵ í Ah
i=0
Mị —
(Ti
PA \A o . . . TịPA I A m ... TmPAmA o . . . TmPÁmA m ),
Q — diag { T\ Ao, . . Tị Qm 5
Qo 5"'/^mQm } ■
)
thì hệ (2.13) với u(t) = 0 là Ổn định tiệm cận.
Chứng minh. Lưu ý rằng x(t) —x(t —Tý) =
t
f x(s)ds,
t-ĩj
Chúng ta có
t
t
x(t) = x(t —Tj) — í x(s)ds = x(t) — I ỵ^A ix(s —Ti)ds
/=0
Í-Zj
t — Tj
(2.14)
Thay (2.14) vào (2.1) với u ( t) = 0 ta được
t
x{t)=
Ax{t)+ỵ^Aj[x(t)~
7=0
í ỵ^ Ai x ( s - Ti ) d s ]
, _ Tj 1=0
t
A i ( í ) - ^ A j Ẩ / / x(s-Ti)di
“ /=0
tlXj
_
m m
M t ) - ỵ , ỵ , A jAi
/
x{s)ds
(2.15)
Bây giờ ta xét hệ trễ như sau
x(t) = Ax(t) — ỵ, L A ìA ị f
x(s)ds
j=\i=ữ
t - ĩ;-ĩ,
x(t) = ộ{ t ) , t e [—2t , 0]
16
( 2 . 16)
trong đó T = max( T |, . . . , Tw)
Chú ý rằng (2.1) với u(t) = 0 là một trường hợp đặc biệt của (2.16) và do đó
mỗi kết quả của (2.1) với u(t) = 0 cũng là một kết quả của (2.16). Vì thế tính ổn
định tiệm cận của (2.16) đảm bảo tính ổn định tiệm cận của hệ (2 . 1) với u(t) = 0 ,
đủ để nghiên cứu về tính ổn định tiệm cận của (2.16).
Với mục đích này ta định nghĩa hàm Lyapunov như sau
Т/ + Т/ Г
m m
Ị'
V{x(t)) = x T{ t ) Px( t ) + £ £
/
j='!=0 ị
trong đó x t =
t
Ị'
/ XT (z)Qix(z)dz ds
(2.17)
l-s
— 2 t < 5 < t ) thì từ ( 2 .1 6 ) ta c ó
Tj + Tì
V (jc(/)) =
2xT (t)Px(t) + I [xT
j = 1/=0 ị
Tj +Xl
2xT (t )Px(t) + £ £ TjXT (tQix(t)) - £ £
/
j= 1/=0
j=lỉ=0 ị
=
ơ - s)Qix {t - s )ds
Cộng và tr ừ XT(í) [ L L 'Cj(AjAi)Qj1(Aj Ai )T]x(t) với vế phải của đẳng thức trên
ỳ=i/=o
ta được
V(x(t)) = x T(t)\ ÃTP + P Ã + £ £ Tj Q, + £ £ ĩ j P ( A j A , ) Q - [ (AjA,)TP]x(t)
j= l /=0
ỹ= 1/=()
- Е Е
I
[xT(t)P(AjAi)QỴ' (AjAi)TPx(t) + 2xT(t)PAjAix(s) + XT(s)Qix(s)]ds
j = 1 ỉ — 0 t — Xj — Xi
T
m
m
m
m
= xT(t)\Ã P + P A + £ t x j Q , + t t T JP(AjA , ) Q j ' ( A jAl)TP}x(t)
j —1/=0
j = l /=0
- ỉ
ỉ
I
[Qix(s)-\-(AjAl)TPx(t)]TQỴ] [Qix(s)-\-(AjAl)TPx(t)]ds
j= ì l= 0t-Tj-Ti
< x T( t ) \ Ã P + P Ã + E Ễ 17& + £ Ễ ĩ , / > ( ' V / ) e r ' ( /lA ) 7 > ] * «
;•= 1/=0
ỹ= 1/=0
Bất đẳng thức cuối cùng thu được từ (2.13) và Bổ đề 1.3.2 và do đó hệ ổn định tiệm
cận.
□
Chú ý 2.2.1. Khi trễ thời gian trong hệ động lực đã biết, điều kiện (2.13) có thê
được dùng đê kiểm tra hệ thống được nghiên cứu đó có ổn định hay không. Trong
17
(t)Qix(t) —
hệ thống thực, không th ể nào biết được chính xác giá trị của trễ và do đó xác định
cận trên của độ trễ sao cho hệ vẫn Ổn định là bài toán được quan tâm.
Khi m = 1, việc xác định cận trên của độ trễ, khiến cho hệ (2.15) vẫn ổn định
tiệm cận, có thể được xem như bài toán ma trận GEVP. Trong trường hợp này, (2.12)
trở thành
/ V „ + A l ) 7> + / ’( A o + / l | ) + ĩ [ ố o + ố i ]
V
T rtM o
Ta Ị a ^p
-T ô o
zA]A]P
0
0
-T ổ , J
<0
(2.18)
tương đương với
/ổ o + ổl
PAiAo
A 0TA ] P
Qo
0
0
1
< sr
-Ổ .)
ÍJ
0
o\
0
0
0
v°
0
0/
(2.19)
trong đó J — —(Ao +A\ ) TP —P(A() + A ị ). Do đó, chúng ta c ó bài toán tối ưu như
sau
max
(2.20)
T.
t > 0 !/j> 0 ,(2 o > 0 !(2 i > 0
thỏa mãn(2.19)
Đăt 7] = 7 thì (2.19) trở thành
^Qq + Q\
A lÁ [P
\ a]a] p
PAịAo
pA ìẩ A
-Q o
0
0
<77
ÍJ
0
o\
0
0
0
0
0/
-Ổ . /
(2 .21 )
Khi đó bài toán tối ưu hóa (2.19) trở thành
min
TỊ
(2 .22)
T7>0,P>Õ,ẽo>0,Gi>0
thỏa m ã n ( 2 . 2 1 )
2.2.2.
Tiêu chuẩn ổn định hóa phụ thuộc trễ
Đầu tiên chúng ta xét tính ổn định hóa của hệ (2.1) bằng cách sử dụng bộ điều
khiển phản hồi trạng thái không nhớ, đó là
u(t) = Kx(t).
Áp dụng Định lý (2.1.1) ta có định lý sau.
18
(2.23)
Định lý 2.2.2. Nếu tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương X > 0, ƯỊ > 0 ,0 <
l < m và ma trận Y với những số chiều thích hợp sao cho thỏa mãn bất đẳng thức
sau
(2.24)
trong đỏ
m
M T{X, Y)
u
-
(TiAì {A0X + B Y ) , . . . ĩ z lA lAmĩ. . . ĩ zmAm(A0X + BY) ĩ . . . ĩ zmAmAm) ĩ
—
diũg {Tị Uq:..., T|Um,..., Tmt/o,..., TmUm},
thì hệ (2.1) là ổn định tiệm cận đối với luật điều khiển phản hồi trạng thái u(t) —
Kx( t ) , K = Y X ~ ] .
Chứng minh. Theo Định lý (2.1.1), để chứng minh hệ kín ổn định tiệm cận với bộ
điều khiển u(t) —Kx(t), điều kiện đủ là tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương
p > 0, A/ > 0 ,0 < / < m sao cho (2.24) vẫn đúng khi thay A() bởi Ao + BK. Nhân cả
hai vế (2.23)với diag { p - 1, . . . , p - 1} và đặt X = p - 1, Y = K X , p - 1QịP- 1 = ơ/, ta
được (2.24). Do đó, nếu X > 0, u > 0 và Y là tập nghiệm của bất đẳng thức ma trận
(2.24), thì P = ỵ - \ Q l = PUịP v h K = Y X ~ 1 thỏa mãn (2.23) với Ao được thay thế
bởi Ao + BK .
□
Định lý 2.1.3 cho ta một kĩ thuật dựa trên LMI để thiết kế một luật điều khiển
phản hồi sao cho hệ (2.1) ổn định hóa . Định lý 2.2.1 cho ta phương pháp để tìm
kiếm một cận trên 1/ĩỊo với mỗi T G [0 ,1 /7]o] hệ (2.1) là ổn định tiệm cận. Chúng
ta có thể áp dụng tiêu chuẩn ổn định phụ thuộc trễ để mở rộng phương pháp thiết
kế bộ điều khiển dựa trên LMI sao cho hệ ổn định hơn với độ trễ cực đ ạ i .
Khi m — 1, điều kiện tương đương với (2.24) trở thành
ÍJ
*
\*
TA\(AX + BY)
A ,ẩ,x\
-ưo
0
0
-T ơ ,
< 0
trong đó / = (A + A 1 )X + X (A + A , ) T + BY + Y TB T + t [ ơ 0 + ơ , ] .
19
(2.25)
Đ ể đạt được cận trên của trễ,
định hóa
(2.25) với
T
T,
mà để hệ (2.1) vẫn ổn định tiệm cận, chỉ cần ổn
trong (2.25). Để có được điều này, đặt 77 = l / т và nhân cả hai vế của
TỊ
ta được
(ưq + Uỉ
- i/ o
\
í#
AiAi*^
A\ ( AX + BY)
<77
0
0
0 0 0
\0
-ơ , )
o\
0
(2.26)
0 0/
trong đ ó # = - ( д + Д , ) Х - Х ( Д + Д , ) 7 - B Y - Y TBT .
Do đó, bài toán tối ưu hóa để xác định cận trên được xác định như sau
min
1]>0,X>0,Y>0
(2.27)
77
thỏa rnãn(2.26)
Đ ể giái bài toán tối ưu hóa trên, chúng ta cần một ma trận phụ
г>
0 và đưa vào
(2.26) tương đương với các bất đẳng thức sau
A\(AX+BY) Л , А , х \
ÍT 0 o\
0
<1 0 0 0
0 V
- í/ , )
-i/ o
0
-{A+A\)X-X{A+Ax)T-BY - Y
(2.28)
TBT]•
(2.29)
Từ các lập luận trên và Định lý 2.2.2 , ta có định lý dưới đây.
Đỉnh lý 2.2.3. Cho X > 0, Y, г > 0 và r/o là n g h iệ m của bài toán GEVP sau
min
?7>0,X>0,F,r>0
77
thỏa m ã n {2 .2 8 ) , ( 2 .2 9 )
Khi đỏ luật điều khiển u(t) = Kx(t) với
к=
Y X ~ 1 Ổn định hỏa hệ (2.1) với m = 1
với mọi T € [0 , 1/ 770] và 770 là cận trên của trễ thời gian của hệ (2.1).
Ví d ụ 2.2.1. Xét hệ tuyến tính với trễ thời gian sau
x(t)
'- 1 .6
0.2 х
0.2
-1.9/
+ ị/
°-3
V —0.1
20
x(t) + ( 2,1
w
1-1
0 \Ị u{t)
/4
0.5 /
I x(t - t)
- 0 .6 /
y
