TRNG I HC S PHM H NI 2
KHOA toán
-----***-----

Bùi thị nhuệ

Tham số hóa tự nhiên của cung và ứng dụng
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: hình học

Ngời hớng dẫn khoa học:
PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Hà nội, 2012


LI CM N
Em xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy
giáo Nguyễn Năng Tâm đã tận tình hớng dẫn, giúp đỡ,
cung cấp cho em những kiến thức, những kinh nghiệm quý
báu, động viên và khích lệ em hoàn thành khóa luận với đề
tài: Tham số hóa tự nhiên của cung và ứng dụng.
Em xin chân thành cảm ơn tập thể cán bộ, giảng viên
khoa Toán trờng
Đại học s phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp
đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Hà Nội, tháng 05 năm
2012 Sinh viên

Bùi Thị Nhuệ

LI CAM OAN
Tôi xin cam đoan khóa luận này không trùng với kết quả
nghiên cứu của một công trình nghiên cứu nào đó đợc
nghiên cứu. Trong quá trình tiến hành thực hiện khóa luận,
chúng tôi có tham khảo những thành tựu nghiên cứu của các
nhà khoa học, nhà nghiên cứu đi trớc. Các số liệu, căn cứ,
kết quả nêu trong khóa luận là trung thực.

Hà Nội, tháng 05 năm
2012 Sinh viên

Bùi Thị Nhuệ


Mục lục
Nội dung

Trang

Mở đầu...............................................................................................5
1.Lý do chọn đề tài.....................................................................5
2.Mục đích nghiên cứu..............................................................5
3.Phơng pháp nghiên cứu..........................................................5
Chơng 1: Tham số hóa tự nhiên của cung......................6
1....................................................Cung trong En 6
1.1.................................................................Trờng vectơ 6
1.2.............................................................Trờng mục tiêu 7
1.3..............................................................Cung tham số 7
1.4.

Cung n
E , tham số hóa của cung...................................10
trong
1.5...............................................................Cung chính quy
11
1.6...............................................................Cung định hớng
12
2.......Độ dài cung và tham số hóa tự nhiên của cung
chính quy.....................................................................................13
2.1.......................................................................Độ dài cung
13
2.2......................Tham số hóa tự nhiên của cung chính quy
17
Chơng 2: ứng dụng của tham số hóa tự nhiên của
cung.....................................................................................................19
1......................................Độ cong của cung trong En
19
1.1..............................Độ cong của cung chính quy trong En
19
1.2.......................................................Cung song chính quy
19
2.ứng dụng của tham số hóa tự nhiên của cung trong
E3........................................................................................................20
2.1. Độ xoắn....................................................................................... 20
2.2..............................................................Công thức Frénet
21


2.3.
§Þnh lÝ c¬ b¶n vÒ lÝ

thuyÕt ®êng trong

E ......................................22
3

3.øng dông cña tham sè hãa tù nhiªn cña cung trong
E2........................................................................................................26
3.1.
C«ng thøc FrÐnet cña cung chÝnh quy
®Þnh híng trong

E ............26
2


3.2...........Đờng tròn mật tiếp, cung túc bế, cung thân khai
27
3.3.
Định lí cơ bản về lí
thuyết đờng trong

E ......................................29
2

Một số ví dụ...................................................................................31
Kết luận.............................................................................................38
Tài liệu tham khảo......................................................................39


Mở Đầu

1. Lý do chọn đề tài.
Trong Toán học, môn hình học là một môn khó và rất
trừu tợng. Hình học trong không gian rất đa dạng và phong
phú nhng lại rất thực tiễn. Nhờ có hình học mà từ những
hình đơn giản, những vật xung quanh chúng ta trong đời
sống hàng ngày ta có thể hiểu đợc phần nào về cấu tạo và
chúng có hình dạng nh thế nào trong không gian n chiều.
Trong đó, hình học vi phân là một trong những môn
quan trọng, chủ yếu
nghiên cứu về hình học của đờng và mặt
trong không gian lọai độ cong gắn liền với các

E thông qua
3

các

đối tợng.
Trong hình vi phân, lí thuyết đờng là một phần kiến
thức khá quan trọng và cơ bản. Qua quá trình học tập và
tìm hiểu của bản thân, em nhận thấy rằng tham số hóa tự
nhiên của cung có nhiều ứng dụng trong một số dạng bài về
lí thuyết đờng. Vì vậy, em đã chọn đề tài Tham số hóa
tự nhiên của cung và ứng dụng để nghiên cứu về
những ứng dụng cơ bản của tham số hóa tự nhiên.
2. Mục đích nghiên cứu.
Đề tài này nghiên cứu về tham số hóa tự nhiên và một số
ứng dụng của nó, nhằm giải quyết một số bài tập hình học
vi phân nhờ vào tham số hóa tự nhiên của cung.
3. Đối tợng nghiên cứu.

Cung
trong

E , tham số hóa tự nhiên của cung.
n

Các định lí cơ bản về lí thuyết đờng.
7


4. C¸c ph¬ng ph¸p nghiªn cøu.
Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu tµi liÖu,
lý luËn. Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch
tæng kÕt.

8


Chơng 1. Tham số hóa tự nhiên của cung

1. Cung trong En
1.1. Trờng vectơ
1.1.1. Vectơ tiếp xúc
Định nghĩa


n
n
n
n

Mỗi phần tử ( p, ) TE (TE = E ì Ep ) , còn viết
, đợc gọi là một
vectơ tiếp
xúc của

n

E tại
p.

TE gọi là tập các vectơ tiếp
n
xúc của

không gian các vectơ
tiếp xúc của là .
Với p

n
E

ta kí hiệu
n
TpE

Ta có song
ánh:

n


E ). Mỗi phần tử của nó còn đợc
kí hiệu
là tập các vectơ tiếp
xúc của

E tại p.
n



n
n
E TpE
, p



Nh vậy, ta đa đợc cấu trúc không gian vectơ
Euclid từ En
Ta gọi
n
TpE

lê TpEn .
n

là không gian vectơ tiếp En tại p.
xúc của

Umở


n

T .U
=

gọi là không gian các vectơ tiếp
U ì xúc của
n
E

p Tp
U
U:

=
n
TpE

gọi là không gian vectơ tiếp xúc của
U tại p.


U. Với

n

E (hay

E thì

đặt:

1.1.2. Trờng vectơ

Định nghĩa


Trêng vect¬ trªn tËp më U ⊂ En
lµ ¸nh x¹:
p X(p)
X :U → TU
p  X ( p)

Sao cho ∀p X
∈ U th×

( p) ∈TpU

H1. Trêng vect¬
.


X

Khi

là vectơ hằng thì trờng vectơ X gọi là một trờng

vectơ song


1.2.

song.

Trờng mục tiêu

Định nghĩa
Trờng mục tiêu (khả vi)
n
trên tập mở U E

là hệ n trờng
vectơ (khả vi)

{U


trên U sao cho:
,U
,
1
2
,
U}
n

Với mỗi p U ,

{U ( p),U ( p) ,
1


2

Khi
đó,
mọi

X Vec (U ) viết đợc một và chỉ
một cách dới dạng

n
i

,Un ( p)} là một
cơ sở của TpU .

X với
= iU

i F (U ).

i =1

n

i

N
ế
u

Y
=

n

( +

i
X + Y ) = )Ui , X
1
=
=

i
thì (


i

U

v.v

i
i
=
1 i

n


U

i =1

Nếu
với
mọi

p U , U i

( p ) .U j ( p )
= ij

chuẩn của TpU
), còn viết trờng mục tiêu
trực chuẩn.

1.3.
Cun

(t Ui ( là một cơ
ứ
sở trực
p)
c
am
số
Định
nghĩa


Ui U j =


ij ,

{gọi

n

E .

thì U
là
tri
một
ờng
mục }
tiêu

Lấy một điểm O En thì cho
cố định trong
cung tham số


Mỗi
từ vEn
ánh
xạ m àgọ
: ột oi
J kh là

oả m
ng ột

J
cu
E ng
n
R
t
h
a
m
s
ố
(
h
a
y
m
ộ
t
q
u
ỹ
đ
ạ
o
)
t
r

o

tơng đơng với
cho hàm vectơ












:J


n
E


: J b (t) = (t) gọi

ở O (t) ; là bán
En

i
k

kính vectơ (đối với gốc
khả vi C cũng
nói
của điểm (t) O). Khi
lớp

n
g
N
h
ậ
n
x
é
t


khả vi
lớp
C

k

(k

k

C , sau đây chúng ta thờng chỉ xét cung tham
số khả vi lớp


1) .

Ví
dụ
1) r : R
là ánh xạ
hằng,
n
E
tập chỉ có một
điểm O.

r ( R ) = {O} ; ảnh của cung
tham số này là






: R En

( n là một vectơ khác En ) ; ảnh
của
0 của
, (t) = O + tn

là đờng thẳng đi qua O với vectơ chỉ phơng n .
2)


1.3.2. Vi phôi
i) ánh xạ tiếp xúc của một ánh xạ khả vi
Định nghĩa:
m

U là tập mở trong E , V là tập
mở trong

n

E ,

f :U V
p f ( p)
là một ánh xạ thì khả Ck ) nếu
vi (lớp
với

n
k
U E , là khả vi (lớp C ).
p Of ( p)
Lấy một hệ tọa độ
afin trong

E thì f ( p ) =
n

( p ) , ...,


n

O E , hàm
vectơ

( f ( p), f
1

2

f

n

( p)) ,


i

f :U
1,
→ R 2,
(i =

…
lµ hµm sè trªn U.
, n) Khi ®ã,

khi vµ chØ khi c¸c
hµm sè


i

f :U
1,
→ R 2,

(i =

(
p)
f

kh¶ vi (líp
Ck )

k
…
kh¶ vi (líp C ) trªn
, n ) U.

Râ rµng, tÝch c¸c ¸nh x¹ kh¶ vi lµ ¸nh x¹ kh¶ vi.
Ch¼ng h¹n, nÕu

ρ : J → U ,t  ρ(t) , lµ mét cung tham f  ρ : J
sè (kh¶ vi) trong U th× mét cung tham sè
(kh¶ vi) trong V.

→ V
lµ



Định nghĩa

f :U
Cho ánh xạ (khả (Umở
vi)
V
mở

ánh xạ, kí hiệu
là

m

,

Tp f :TpU
Tf ( p)V

E



En). Với mỗi p
U có



xác định

bởi:

p

coi

TpU
,

p = (t0 ) , : J U là T f ( ) )'(t ) . Ngp
p
0
một cung tham số thì

= (f

ời

ta còn dùng kí hiệu f*p thay cho Tpf, đôi khi viết tắt Tf hay f*
ánh xạ Tpf còn gọi là ánh xạ tiếp xúc (hay ánh xạ vi phân) tại
p của f.

t0

p

p

Tpf(p )


f
U

J

V

Nếu Tpf là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh thì f đợc
nói theo thứ tự là dìm, ngập hay trải tại p. Nếu điều đó
đúng với mọi p U thì nói f là dìm, ngập hay trải.
ii)Vi phôi
k

Định nghĩa: f là một vi phôi (lớp C , k 1) nếu f khả vi
(lớp Ck) và cũng
k

có ánh xạ ngợc khả vi (lớp C ).
Mọi vi phôi
(lớp

k

C , k là một trải.
Nếu
1)

là trải tại p
f :U
U

V


(U và V là những tập
mở trong
f (U) = là một tập
V
mở và



n

E ) thì có
U

m
ở

U, p
U mà



f |U :U ' V ' là một vi phôi.

Từ đó đồng phôi f (tức f là song ánh liên tục mà ánh xạ
ngợc liên tục) là một vi phôi khi và chỉ khi f là một trải.

1.4. Định nghĩa cung trong En, tham số hóa của

cung


:J

Định nghĩa

và r : I

(I, J

n

E ,t E ,u
r(u)
(t)

Hai cung
tham số

n

là những khoảng trong R, và r khả vi), gọi là tơng đơng nếu có vi phôi

: J I ,t u

ro = .

= (t) sao cho


Quan hệ tơng đơng định nghĩa nh trên là một quan
hệ tơng đơng. Thật vậy:
Quan hệ này có tính chất phản xạ vì:
Cung tham số bất kì luôn tơng đơng với chính nó
do có vi phôi = id
(phép đồng nhất)
thỏa mãn:

= .

Quan hệ này có tính chất đối xứng vì:
n

1 : J1

Giả sử cung
tham số


E

tơng đơng
với

định nghĩa sẽ tồn tại một vi phôi
J 2 sao cho 1 = 2.
Mặt
khác,



1

2

2 : J 2

n


E

: J1

(1)

cũng là một vi phôi và từ (1)


ta lại có
:J
J1

.
= tức tơng đơng với .

1
1

2


2

1

Quan hệ này có tính chất bắc cầu vì:
Giả
sử

n

,
theo

E ,

1 : J1


n

n

2 : J 2
E ,


3 : J 3

E


số

là những
cung tham

sao cho 1 tơng đơng 2, 2 tơng đơng 3, ta cần
chứng minh 1 tơng
đơng 3. Theo giả thiết, ta có
các vi phôi

1 =
2 = 3.2 .
2 .1 1, Vậy ta có:

1 : J1

2 : J 2


J2 ,


J3

sao
cho

1 = 2.1 = ( 3.2

) .1 = 3.( 2 .1 )


đ
ặt

= thì là một vi phôi và 1 = 3. , nghĩa là 1
1. tơng đơng 3.
2

Vậy ta đã chứng minh quan hệ tơng đơng trên là một
quan hệ tơng
đơng. Quan hệ tơng đơng này sẽ chia tập tất cả các đờng
cong tham số
tron n
E thành các lớp tơng đơng.
g
Định nghĩa


Mỗi lớp tơng đơng của quan hệ tơng đơng định nghĩa
trên gọi là một
cung
trong

n

E .

Mỗi cung tham số của một cung còn gọi là một tham số
hóa của cung, vi phôi gọi là phép đổi tham số hóa của
cung.

1.5.

Cung chính quy

1.5.1. Điểm chính quy và điểm kì dị
Mỗi điểm của cung trong En đợc thể hiện trong mỗi
tham số hóa của nó bởi một giá trị của tham số, nếu trong
các tham số hóa t

(t),u r(u) ,

nó đợc thể hiện theo thứ tự bởi t0 u = (t ) , là phép
0
0
và u0 thì
đổi tham số

t u = (t) .
ảnh của các tham số hóa của một cung là trùng
nhau và đợc gọi là
ảnh của . Tuy không thể đồng nhất cung với ảnh của nó,
nhng để thuận tiện, ngời ta vẫn thờng đồng nhất mỗi
điểm của xác định bởi chẳng hạnn t0 trong
tham số
hóa

t
(t)

của với

điểm

(t0

)

E

và nói tắt đó là
điểm t0

hay

(t0) của cung xác định bởi t (t) .
Định nghĩa
Cho cung xác
định bởi

: J E n ,t
(t) . Điểm t

0

của mà
(t0)


0 gọi là một điểm chính quy
của còn nếu


( t0 ) nó đợc gọi là
= 0

một

điểm kì dị của .
Cung mà mọi điểm là chính quy gọi là một cung chính
quy.
1.5.2. Tiếp tuyến, pháp diện của cung
Tại điểm chính quy t0 của cung , ta định nghĩa đợc
tiếp tuyến của cung nh sau: Tiếp tuyến của cung là một
đờng thẳng đi qua điểm (t0) với vectơ chỉ phơng
(t0).
ý hình học của nó




T (t0 ) (t)
a = (t t )



0

c
ó
:

'( t0 ) + ,





(
t 0
)
0 khi

Có thể nói một cách hình

( t0

)=

ảnh: Tiếp tuyến của tại
điểm vị trí giới hạn của cát

0

M

là

tuyến MM0 khi M dần về M0
dọc cung.
Nếu
1
n
x , E , viết

dùng
2
n
tọa độ x , , x
trong
afin

(t ) =
x

2

( x (t ),
1

(t ),,

x

n

(t

))
thì điểm t0 là điểm chính quy. Khi
đó, phơng trình tiếp tuyến tại điểm
đó là:
x1 x1(t )
0


0

0

0

x
1

n

Đị
nh
ng
hĩ
a

'(
t
)

xn xn0 (t )

= x2
x2
(t )
x
2

==

0

xn '(t )

'(
t
)

Siêu phẳng trong E
đ
i


qua
vuông góc g
(t0), tiếp tuyến ọ
của tại t0 i
cắt
là pháp diện
của tại điểm
đó.
Nế
x , xn là
u1 Đề-cac
tọa
, vuông góc
độ
x thì
2


1

,
1
1

) (
))

2 2
2

( )(
)
)

(

( x + x x
'
' t
0

x
t0

t

n


)

n
n

(

))
+
' x

t x
+ t
0
0
.
=
0
x

n

E , nếu ta đòi hỏi
các phép đổi tham
số

phải là những vi phôi
bảo tồn hớng (ở đây

> t )

thì ta đợc
0 khái
,

( t )

niệm cung
:J
định hớng.
(t) .
xác định bởi

E n ,t

Cung

r = . 1 : là một vi
xác
I E n phôi đảo
định
bởi
, : J

I

hớng

t J ) , gọi là có đợc từ
((t đảo hớng.


)

< 0,

0

Ví
dụ:

.
x
1.6. Cung
định hớng và trờng
vectơ
tiếp xúc
đơn vị
1.6.1. Cung
định
hớng
Tr
o

ịnh nghĩa
cung trong

Cho các
cung
tham số

2


4

6








8








n

1 ,t O + t e1 + t e2 + t e3
:

+ t e4 + 0e5 + ... + 0en

1,
2



E
ng
đ



n




2





3





4








ρ,t  O + te1

+ t e2 + t e3
+ t e4 + 0e5

1+... + 0en
2

4


→
E


trongn đó O
E ,




e ,e ,...,e

là một cơ sở trực
chuẩn của



n
E .

1
2
n

Có
phôi
s=
: a

1 o .,
,2
c ng

h oài

o ra
1 ta
,4 có
đạ
o
,t

2
t

1
2


hà
'( t
m

)=

2t
> 0,t
1,
2 . Vậy
1, 2
là hai
cung tơng đơng
định
hớn
g.
1.6.2.
Trờng
v
e
c
t
ơ
ti
ế

p
xú
c

đ
ơn
vị
Trờn
g
vec
tơ
X


dọ
c
cu : J '(t)
'(t)
ng

tha
n
E ,t
m
số (t) là
quy
tắc
đặt
tơn
g
ứng
với
mỗi
t


J,
vec
tơ

X . Do đó,
( t khi xét
) trờng
vectơ
dọc
T

cun
g
,
nếu
tron
g
tha
m
số
hóa

của



t

h

mì
:
ột
J
cu

ng
ch
E
n
ín
h,
qu
t
y
đ

ịn
h
h(
ớng
t
)
xá
c
đ
ịn
h
bởi


(t
)E

:
J đợc
xác

địn
E h bởi

r
rõ
t
= ràn
g
.



T

1

(
t
)



n


( là
phép đổi
tham số),
nó đợc xác
định bởi
trờng
vectơ
Định
nghĩa

=

X.



1

dọc
r.

v ơ
e đ
ct ơn

x
á
c
đ

ị
n
h
m
ộ
t
t
r
ờ
n
g

vị T dọc
cung
gọi

d
à
i

n

là trờng vectơ
tiếp xúc đơn
vị dọc . Khi
đảo hớng cung
để đợc
cung

c

u
n
g

định hớng
-, khi đó trờng vectơ tiếp
xúc đơn vị
đổi dấu tức
là: T(t) = -T
((t)), nếu kí
hiệu T là trờng vectơ tơng ứng với
-, là
phép đổi
tham số.
2.
Độ
dài cung,
tham số
hóa tự
nhiên của
cung

B
ổ
đ
ề
Cho
F:
n
hàm

E
số ì
E

0)
=

, c
F
R

,

(

2
.

(

1

x,
y)
b

ộ

>
y


n

x,
y)

F

Đ

F
n
ếc(
u x,

(

x,
y)

d
th
ì
tâ
F
(t),
ch
ph
níL


(
)
=