TRNG I HC S PHM H NI 2
KHOA toán
-----***-----

Bùi thị nhuệ

Tham số hóa tự nhiên của cung
và ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: hình học

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Hà nội, 2012


LI CM N
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Năng
Tâm đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, cung cấp cho em những kiến thức, những
kinh nghiệm quý báu, động viên và khích lệ em hoàn thành khóa luận với đề
tài: Tham số hóa tự nhiên của cung và ứng dụng .
Em xin chân thành cảm ơn tập thể cán bộ, giảng viên khoa Toán trường
Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em hoàn
thành khóa luận tốt nghiệp này.
Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Bùi Thị Nhuệ

LI CAM OAN
Tôi xin cam đoan khóa luận này không trùng với kết quả nghiên cứu của
một công trình nghiên cứu nào đó được nghiên cứu. Trong quá trình tiến hành
thực hiện khóa luận, chúng tôi có tham khảo những thành tựu nghiên cứu của
các nhà khoa học, nhà nghiên cứu đi trước. Các số liệu, căn cứ, kết quả nêu
trong khóa luận là trung thực.

Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Bùi Thị Nhuệ


Mục lục
Nội dung

Trang

Mở đầu ................................................................................................... 5
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................. 5
2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................... 5
3. Phương pháp nghiên cứu...................................................................... 5
Chương 1: Tham số hóa tự nhiên của cung......................................... 6
1. Cung trong En .................................................................................... 6
1.1. Trường vectơ .................................................................................... 6
1.2. Trường mục tiêu ............................................................................... 7
1.3. Cung tham số ................................................................................... 7
1.4. Cung trong E n , tham số hóa của cung ............................................. 10
1.5. Cung chính quy ................................................................................ 11

1.6. Cung định hướng ............................................................................. 12
2. Độ dài cung và tham số hóa tự nhiên của cung chính quy ............ 13
2.1 Độ dài cung ....................................................................................... 13
2.2 Tham số hóa tự nhiên của cung chính quy ....................................... 17
Chương 2: ứng dụng của tham số hóa tự nhiên của cung ................. 19
1. Độ cong của cung trong En ............................................................... 19
1.1 Độ cong của cung chính quy trong En ............................................... 19
1.2 Cung song chính quy ........................................................................ 19
2. ứng dụng của tham số hóa tự nhiên của cung trong E3................. 20
2.1. Độ xoắn ............................................................................................ 20
2.2. Công thức Frénet .............................................................................. 21
2.3. Định lí cơ bản về lí thuyết đường trong E 3 ...................................... 22
3. ứng dụng của tham số hóa tự nhiên của cung trong E2................. 26
3.1. Công thức Frénet của cung chính quy định hướng trong E 2 ............ 26


3.2. Đường tròn mật tiếp, cung túc bế, cung thân khai ........................... 27
3.3. Định lí cơ bản về lí thuyết đường trong E 2 ...................................... 29
Một số ví dụ............................................................................................ 31
Kết luận .................................................................................................. 38
Tài liệu tham khảo................................................................................. 39


Mở Đầu

1. Lý do chọn đề tài.
Trong Toán học, môn hình học là một môn khó và rất trừu tượng. Hình
học trong không gian rất đa dạng và phong phú nhưng lại rất thực tiễn. Nhờ có
hình học mà từ những hình đơn giản, những vật xung quanh chúng ta trong đời
sống hàng ngày ta có thể hiểu được phần nào về cấu tạo và chúng có hình dạng

như thế nào trong không gian n chiều.
Trong đó, hình học vi phân là một trong những môn quan trọng, chủ yếu
nghiên cứu về hình học của đường và mặt trong không gian E 3 thông qua các
lọai độ cong gắn liền với các đối tượng.
Trong hình vi phân, lí thuyết đường là một phần kiến thức khá quan trọng
và cơ bản. Qua quá trình học tập và tìm hiểu của bản thân, em nhận thấy rằng
tham số hóa tự nhiên của cung có nhiều ứng dụng trong một số dạng bài về lí
thuyết đường. Vì vậy, em đã chọn đề tài
ứng dụng

Tham số hóa tự nhiên của cung và

để nghiên cứu về những ứng dụng cơ bản của tham số hóa tự

nhiên.
2. Mục đích nghiên cứu.
Đề tài này nghiên cứu về tham số hóa tự nhiên và một số ứng dụng của
nó, nhằm giải quyết một số bài tập hình học vi phân nhờ vào tham số hóa tự
nhiên của cung.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Cung trong E n , tham số hóa tự nhiên của cung.
Các định lí cơ bản về lí thuyết đường.
4. Các phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp nghiên cứu tài liệu, lý luận.
Phương pháp phân tích tổng kết.

1


Chương 1. Tham số hóa tự nhiên của cung


1. Cung trong En
1.1. Trường vectơ
1.1.1. Vectơ tiếp xúc
Định nghĩa


Mỗi phần tử ( p, ) TE n (TE n E n E n ) , còn viết p, được gọi là một

vectơ tiếp xúc của E n tại p. TE n gọi là tập các vectơ tiếp xúc của E n (hay
không gian các vectơ tiếp xúc của E n ). Mỗi phần tử của nó còn được kí hiệu
là .
Với p E n ta kí hiệu TpE n là tập các vectơ tiếp xúc của E n tại p.
Ta có song ánh:



E n TpE n , p


Như vậy, ta đưa được cấu trúc không gian vectơ Euclid từ E n lên TpE n .
Ta gọi TpE n là không gian vectơ tiếp xúc của E n tại p.


Umở E n thì đặt: T . U U E n gọi là không gian các vectơ tiếp xúc của
U. Với p U : TpU TpE n gọi là không gian vectơ tiếp xúc của U tại p.
1.1.2. Trường vectơ
Định nghĩa

X(p)


Trường vectơ trên tập mở U En là ánh xạ:

p

X : U TU

p X ( p)

Sao cho p U thì X p TpU .

2

H1. Trường vectơ




Khi X là vectơ hằng thì trường vectơ X gọi là một trường vectơ song
song.
1.2. Trường mục tiêu
Định nghĩa
Trường mục tiêu (khả vi) trên tập mở U E n là hệ n trường vectơ (khả vi)

U1 ,U 2 , , U n trên U sao cho:
Với mỗi p U , U1 p ,U 2 p , ,U n p là một cơ sở của TpU .
Khi đó, mọi X Vec U viết được một và chỉ một cách dưới dạng
n

X iU i với


i F U .

i 1

n

n

n

i 1

i 1

Nếu Y iU i thì ( X Y ) ( i i )U i , X iU i v.v
i 1

Nếu với mọi p U , U i p .U j p ij (tức U i p là một cơ sở trực
chuẩn của TpU ), còn viết U iU j ij , thì trường mục tiêu U i gọi là một
trường mục tiêu trực chuẩn.
1.3. Cung tham số
Định nghĩa
Mỗi ánh xạ : J E n từ một khoảng J R vào E n gọi là một cung
tham số (hay một quỹ đạo) trong E n .
Nhận xét
Lấy một điểm O cố định trong E n thì cho cung tham số : J E n











tương đương với cho hàm vectơ : J E n bởi (t ) O (t ) ; (t ) gọi là bán


kính vectơ của điểm (t ) (đối với gốc O). Khi khả vi lớp C k cũng nói

3


khả vi lớp C k , sau đây chúng ta thường chỉ xét cung tham số khả vi lớp
C k k 1 .

Ví dụ
1) r : R E n là ánh xạ hằng, r R O ; ảnh của cung tham số này là
tập chỉ có một điểm O.



2) : R E n , (t ) O tn ( n là một vectơ khác 0 của E n ) ; ảnh của

là đường thẳng đi qua O với vectơ chỉ phương n .

1.3.2. Vi phôi
i) ánh xạ tiếp xúc của một ánh xạ khả vi

Định nghĩa:
U là tập mở trong E m , V là tập mở trong E n ,
f :U V
p f ( p)

là một ánh xạ thì khả vi (lớp C k ) nếu với O E n , hàm vectơ


U E n , p Of ( p) là khả vi (lớp C k ).
Lấy một hệ tọa độ afin trong E n thì f p f 1 p , f 2 p , ..., f n p ,
f i : U R i 1, 2, , n là hàm số trên U. Khi đó, f p khả vi (lớp Ck)

khi và chỉ khi các hàm số f i : U R i 1, 2, , n khả vi (lớp C k ) trên U.
Rõ ràng, tích các ánh xạ khả vi là ánh xạ khả vi. Chẳng hạn, nếu

: J U , t (t ) , là một cung tham số (khả vi) trong U thì f : J V là
một cung tham số (khả vi) trong V.

4


Định nghĩa
Cho ánh xạ (khả vi) f : U V (Umở Em, Vmở En). Với mỗi p U có
xác định bởi: p TpU , coi

ánh xạ, kí hiệu là Tp f : TpU T f ( p )V

p t0 , : J U là một cung tham số thì Tp f ( p ) ( f )'(t0 ) . Người
ta còn dùng kí hiệu f*p thay cho Tpf, đôi khi viết tắt Tf hay f*
ánh xạ Tpf còn gọi là ánh xạ tiếp xúc (hay ánh xạ vi phân) tại p của f.


t0

p

J

p

Tpf(p )

f
U

V

Nếu Tpf là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh thì f được nói theo thứ tự là
dìm, ngập hay trải tại p. Nếu điều đó đúng với mọi p U thì nói f là dìm, ngập
hay trải.
ii) Vi phôi
Định nghĩa: f là một vi phôi (lớp C k , k 1) nếu f khả vi (lớp Ck) và cũng
có ánh xạ ngược khả vi (lớp C k ).
Mọi vi phôi (lớp C k , k 1) là một trải. Nếu f : U V là trải tại p U
(U và V là những tập mở trong E n ) thì có U

mở

U, p U

mà


f U V là một tập mở và f |U : U ' V ' là một vi phôi.
Từ đó đồng phôi f (tức f là song ánh liên tục mà ánh xạ ngược liên tục) là
một vi phôi khi và chỉ khi f là một trải.

1.4. Định nghĩa cung trong En, tham số hóa của cung

5


Định nghĩa
Hai cung tham số : J E n , t (t ) và r : I E n , u r (u ) (I, J
là những khoảng trong R, và r khả vi), gọi là tương đương nếu có vi phôi

: J I , t u (t ) sao cho ro .
Quan hệ tương đương định nghĩa như trên là một quan hệ tương đương.
Thật vậy:
Quan hệ này có tính chất phản xạ vì:
Cung tham số bất kì luôn tương đương với chính nó do có vi phôi = id
(phép đồng nhất) thỏa mãn: .
Quan hệ này có tính chất đối xứng vì:
Giả sử cung tham số 1 : J1 E n tương đương với 2 : J 2 E n , theo
định nghĩa sẽ tồn tại một vi phôi : J1 J 2 sao cho 1 2.

(1)

Mặt khác, 1 : J 2 J1 cũng là một vi phôi và từ (1) ta lại có

1 . 1 2 tức 2 tương đương với 1.
Quan hệ này có tính chất bắc cầu vì:

Giả sử 1 : J1 E n , 2 : J 2 E n , 3 : J 3 E n là những cung tham số
sao cho 1 tương đương 2, 2 tương đương 3, ta cần chứng minh 1 tương
đương 3. Theo giả thiết, ta có các vi phôi 1 : J1 J 2 , 2 : J 2 J 3 sao cho

1 2 .1 1, 2 3.2 . Vậy ta có: 1 2 .1 3.2 .1 3. 2 .1 đặt
1.2 thì là một vi phôi và 1 3. , nghĩa là 1 tương đương 3.
Vậy ta đã chứng minh quan hệ tương đương trên là một quan hệ tương
đương. Quan hệ tương đương này sẽ chia tập tất cả các đường cong tham số
trong E n thành các lớp tương đương.

Định nghĩa

6


Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương định nghĩa trên gọi là một
cung trong E n .
Mỗi cung tham số của một cung còn gọi là một tham số hóa của cung, vi
phôi gọi là phép đổi tham số hóa của cung.
1.5. Cung chính quy
1.5.1. Điểm chính quy và điểm kì dị
Mỗi điểm của cung trong En được thể hiện trong mỗi tham số hóa của
nó bởi một giá trị của tham số, nếu trong các tham số hóa t (t ), u r (u ) ,
nó được thể hiện theo thứ tự bởi t0 và u0 thì u0 t0 , là phép đổi tham số

t u (t ) .
ảnh của các tham số hóa của một cung là trùng nhau và được gọi là
ảnh của . Tuy không thể đồng nhất cung với ảnh của nó, nhưng để thuận tiện,
người ta vẫn thường đồng nhất mỗi điểm của xác định bởi chẳng hạn t0 trong
tham số hóa t (t ) của với điểm t 0 E n và nói tắt đó là điểm t0 hay


(t0) của cung xác định bởi t (t ) .
Định nghĩa
Cho cung xác định bởi : J E n , t (t ) . Điểm t0 của mà (t0)
0 gọi là một điểm chính quy của còn nếu t0 0 nó được gọi là một
điểm kì dị của .
Cung mà mọi điểm là chính quy gọi là một cung chính quy.
1.5.2. Tiếp tuyến, pháp diện của cung
Tại điểm chính quy t0 của cung , ta định nghĩa được tiếp tuyến của cung
như sau: Tiếp tuyến của cung là một đường thẳng đi qua điểm (t0) với vectơ
chỉ phương (t0).
ý hình học của nó

7





Ta có: (t0 ) (t ) t t0 ' t0 , ( 0 khi t 0 )

Có thể nói một cách hình ảnh: Tiếp tuyến của tại điểm t0 M 0 là
vị trí giới hạn của cát tuyến MM0 khi M dần về M0 dọc cung.
Nếu dùng tọa độ afin x1 , x 2 , , x n trong E n , viết

t x1 t , x 2 t ,, x n t
thì điểm t0 là điểm chính quy. Khi đó, phương trình tiếp tuyến tại điểm đó là:
x1 x1 (t0 )
x 2 x 2 (t0 )
=

=
x1 '(t0 )
x 2 '(t0 )

=

x n x n (t0 )
x n '(t0 )

Định nghĩa
Siêu phẳng trong E n đi qua (t0), cắt vuông góc tiếp tuyến của tại t0 gọi
là pháp diện của tại điểm đó.
Nếu tọa độ x1 , x 2 , , x n là Đề-cac vuông góc thì
( x1 ' t0 x1 x1 t0 x 2 ' t0 . x 2 x 2 t0 x n ' t0 . x n x n t0 0

1.6. Cung định hướng và trường vectơ tiếp xúc đơn vị
1.6.1. Cung định hướng
Trong định nghĩa cung trong E n , nếu ta đòi hỏi các phép đổi tham số
phải là những vi phôi bảo tồn hướng (ở đây t 0, t ) thì ta được khái
niệm cung định hướng. xác định bởi : J E n , t (t ) .
1
n
Cung - xác định bởi r . : I E , : J I là một vi phôi đảo

hướng ( t 0, t J ) , gọi là có được từ đảo hướng.
Ví dụ:
Cho các cung tham số













1 : 1,2 E n , t O t 2 e1 t 4 e2 t 6 e3 t 8 e4 0e5 ... 0en












2 : 1,4 E n , t O te1 t 2 e2 t 3 e3 t 4 e4 0e5 ... 0en

8




trong đó O E n , e1, e2 ,..., en là một cơ sở trực chuẩn của E n .


Có vi phôi : 1,2 1,4 ,t t 2 sao cho 1 2 . , ngoài ra ta có đạo
hàm ' t 2t 0, t 1,2 . Vậy 1, 2 là hai cung tương đương định
hướng.
1.6.2. Trường vectơ tiếp xúc đơn vị
Trường vectơ X dọc cung tham số : J E n , t (t ) là quy tắc đặt
tương ứng với mỗi t J, vectơ X t T t E n . Do đó, khi xét trường vectơ dọc
cung , nếu trong tham số hóa : J E n của được xác định bởi r . 1
( là phép đổi tham số), nó được xác định bởi trường vectơ X . 1 dọc r.
Định nghĩa
là một cung chính quy định hướng xác định bởi : J E n , t (t ) thì
rõ ràng t T (t )

'(t )
xác định một trường vectơ đơn vị T dọc cung gọi
'(t )

là trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc . Khi đảo hướng cung để được cung
định hướng -, khi đó trường vectơ tiếp xúc đơn vị đổi dấu tức là: T(t) = -T
((t)), nếu kí hiệu T là trường vectơ tương ứng với -, là phép đổi tham số.
2. Độ dài cung, tham số hóa tự nhiên của cung
2.1 Độ dài cung
Bổ đề
Cho hàm số F : E n E n R , x, y F x, y nếu c 0 , F x, y cF x, y
b

thì tích phân L F (t ),
a




d
dt không phụ thuộc vào tham số hóa t t
dt

của đường cong .
Chứng minh

9


Thật vậy, giả sử đường cong xác định bởi các tham số hóa
1 : a1 , b1 E n , t1 1 t1 và : a, b E n , t t khi đó có vi phôi

mà : a1 , b1 a, b , t1 t1 sao cho 1 .
b1



Ta có L 1 F 1 t1 ,


a1

b1

b1

d .



d 1
t1 dt1 F . t1 ,
t1 dt1
dt1
dt1



a1



= F . t1 ,
a1




d .
t1 . ' t1 dt1
d t1


Đặt t = (t1) suy ra dt ' t1 .dt1
Nếu t1 = a1 thì t = (a1) = a
Nếu t1 = b1 thì t = (b1) = b
b





Vậy ta có L 1 F t ,
a

d
t dt L tức là L(1) = L(). Vậy
dt


L() không phụ thuộc vào tham số hóa của đường cong . Bổ đề đã được
chứng minh.
d d

Nếu : a, b E n là tham số hóa của cung với F t , t
t
dt
dt



thì khi đó F thỏa mãn tính chất F x, cy cF x, y .
b

Theo bổ đề 1 ta có:

' t dt không phụ thuộc vào tham số hóa đang xét.
a

2.1.1 Định nghĩa

Cho cung tham số a: b] E n xác định trên đoạn thẳng [a; b] (kể cả
các mút) và giả sử liên tục. Với mỗi phép chia a = t0 < t1 < t2 <
m

lập tổng

< tm = b,



(ti 1 ). (ti ) . Nếu các tổng đó có cận trên với mọi phép chia như

i 1

vậy thì nói cung tham số đó có độ dài cung và độ dài cung đó là cận trên ấy.

10


Nói một cách hình học : Độ dài cung là cận trên của độ dài mọi đường
gấp khúc nội tiếp cung tham số (hình vẽ).

(ti)

(tj)

(b)

(a)


a = t0

ti

tj

b = tm

2.1.2 Cách tìm
Nếu : [a : b] E n khả vi lớp Ck thì nó có độ dài cung và độ dài cung
b

ấy được tính là:

a '(t ) dt

: [a : b] E n có độ dài cung khi và chỉ khi liên tục tuyệt đối, tức là

khi và chỉ khi có hàm vectơ : [a : b] E n khả tích Lebesgues mà
b

t 0 A(t )dt và cũng khi và chỉ khi có đạo hàm hầu khắp nơi
a

b

với hàm số t '(t ) khả tích Lebesgues và khi đó độ dài cung là

a '(t ) dt


Định nghĩa
Cung đoạn là cung xác định bởi các cung tham số xác định trên đoạn
thẳng (đóng, bị chặn trong R).

11


Ví dụ
1. Tính độ dài các cung sau:


i) : a, b E n , (t ) O te (với e 1 ).

ii) : a, b E n , (t ) (r cos t , r sin t ) (r > 0, tọa độ ở đây là tọa độ
Đềcác vuông góc).
iii) : a, b E n , ( x) ( x, f ( x)) (tọa độ ở đây là Đềcác vuông góc).
Giải
b





b

i) '(t ) e nên l ( p) e dt dt b a.
a

a


b

ii) '(t ) (r sin t , r cos t ), '(t ) r nên l ( p) rdt r (b a).
a

b

iii) '(t ) (1, f '( x)) nên l ( p) 1 f '2 ( x)dx.
a



2. Xét cung xác định bởi : R E , t t O ae t btk , trong


đó e t cos ti sin t j , i, j , k là một cở sở trực chuẩn của E 3 , còn a, b là
3





những hằng số, a > 0 (cung đinh ốc tròn). Hãy tính độ dài của cung đoạn xác
định trên đoạn t0 , t1 .
Giải




Ta có ' t ae t




2
2
bk nên ' a b . Vậy độ dài cung của
2



t1

đoạn xác định bởi

t0 ,t1 ,

t0 t1 là

a 2 b 2 dt a 2 b2 t1 t0

t0

Khi b = 0 ta trở về công thức quen biết: độ dài cung tròn bán kính a căng
bởi góc ở tâm có độ lớn (tính bằng radian, 0 < 2) là a.

12


2.2 Tham số hóa tự nhiên của cung chính quy
Cho cung chính quy trong E n xác định bởi : J E n , t (t ) . Lấy t0

t

J và xét hàm số : J R, (t) =



'(t ) dt suy ra (t) = '(t ) > 0 t J

t0

nên là một vi phôi bảo tồn hướng từ J lên một khoảng I R. Vậy có tham số
hóa r : I E n của là s r s 1 s ; hơn thế r và còn là tương
đương định hướng.
Vì = ro nên ' r ' . ' do đó ' r ' . ' r ' . ' suy
ra r ' 1 . Vậy độ dài của cung đoạn xác định bởi r | s ,s ,( s s) là:




s

s r '(s) ds s s
đây là ý nghĩa hình học của tham số s trong tham số hóa r của .
Định nghĩa
Một tham số hóa r : I E n , s r ( s ) , của một cung chính quy gọi là
một tham số hóa tự nhiên của nó nếu r ' 1 (còn gọi là tham số hóa độ dài
cung). Như vậy mọi cung chính quy (kể cả chính quy định hướng) đều có
tham số hóa tự nhiên.
Nếu : J E n , t (t ) và r : I E n , u r (u ) là hai tham số hóa tự
nhiên


của

cùng

một

cung

: J I , t (t ), r nên từ

chính

quy



thì

có

' 1, r ' 1 , suy ra

vi

phôi

' 1 , tức

t t t0 (t0 là hằng số), tức các tham số t và u t (cùng xác định một

điểm của ) sai khác nhau một tịnh tiến ( đồng biến) hay một đối xứng (
nghịch biến).
Ta thấy rằng, tham số hóa : J E n của cung chính quy định hướng là

13


một tham số hóa tự nhiên của khi và chỉ khi là vectơ tiếp xúc đơn vị T
dọc (xác định hướng của ).
Ví dụ
1. Cho cung đinh ốc tròn của E 3 :

(t ) a cos t , a sin t , bt (a > 0, b 0)
Ta biết nó là cung chính quy. Hãy tìm một tham số hóa tự nhiên của nó.
Giải
Có thể lấy tham số hóa tự nhiên
t

t

s '(t ) dt a 2 b 2 dt t a 2 b 2 .
0

0

Do đó, ta được tham số hóa tự nhiên


r ( s ) a cos



s
s
bs
, a sin
,
2
2
2
2
a b
a b
a b2
2


của cung đinh ốc tròn đã


cho.
2. Cho cung có tham số hóa

: 0,2 E n










t t O r cos te1 r sin te2 0e3 ... 0en






Trong đó O E n , e1 , e2 ,..., en là cơ sở trực chuẩn của E n (r > 0)
t

Ta có '(t ) r vậy s t rdt rt s rt suy ra t
o

Do đó tham số hóa tự nhiên của cung là
s
r

s
r





1 t O r cos e1 r sin e2 0e3 ... 0en

14


s
r


Chương 2. ứng dụng của tham số hóa tự nhiên

1. Độ cong của cung trong E n
1.1. Độ cong của một cung chính quy trong E n
Cho cung chính quy trong E n . Xét một tham số hóa tự nhiên của nó,
s r ( s ) thì mọi tham số hóa tự nhiên của nó có dạng r, = 1. Đặt T = r

T là một trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc r, nhưng
tức

DT
không phụ thuộc r,
ds

DT
xác định một trường vectơ dọc vì trong tham số hóa tự nhiên
ds

D((r ) ') D( '(r ' ))
Dr '
Dr '
n!

"(r ' ) '2 (
)


dt
dt
ds
ds
r ! n r !

t r ( (t )) ,

Định nghĩa
Độ cong của tại điểm s trong tham số hóa tự nhiên s r ( s) của nó là

k (s)

DT
Dr '
( s)
( s) . Như vậy ta được hàm độ cong k dọc (hay gọi
ds
ds

tắt, độ cong k dọc cung ) là k

DT
.
ds

ý nghĩa hình học:


Gọi là số đo (bằng rađian) của góc giữa T ( s ) và T ( s s ) thì


k ( s ) lim

s 0


s

1.2. Cung song chính quy , trường mục tiêu Frenét dọc
1.2.1. cung song chính quy
Định nghĩa:
Điểm của ứng với t trong tham số hóa t (t ) gọi là một điểm song

chính quy (của ) nếu hệ hai vectơ (t ), '(t ) độc lập tuyến tính.

15


Định nghĩa
Cung trong E n gọi là song chính quy nếu mọi điểm của là điểm song
chính quy. Nếu t (t ) là một tham số hóa của thì song chính quy khi
và chỉ khi các trường vectơ ,

D
dọc là một hệ độc lập tuyến tính.
dt

Như vậy, một cung song chính quy là một cung chính quy. Cung chính
quy là một cung song chính quy khi và chỉ khi độ cong của nó khác 0 tại mọi
điểm.

Định nghĩa
Xét trường vectơ

DT
DT
dọc cung chính quy trong E n đặt N
ds
ds

DT
ds

thì được trường vectơ đơn vị N dọc gọi là trường vectơ pháp tuyến chính đơn
vị dọc .
Có thể viết đẳng thức xác định N dưới dạng:

DT
kN (k là hàm độ cong
ds

của ).
1.2.2. Trường mục tiêu Frenét dọc
Định nghĩa
là một cung song chính quy định hướng trong E n thì đã có trường vectơ
tiếp xúc đơn vị T (xác định hướng) và trường vectơ pháp tuyến chính đơn vị N
dọc .

2. ứng dụng của tham số hóa tự nhiên trong E3
2.1 Độ xoắn
2.1.1 Trường mục tiêu Frénet

Định nghĩa: là một cung song chính quy định hướng trong E3 có
trường vectơ tiếp xúc đơn vị T và trường vectơ pháp tuyến chính đơn vị N,

16


ngoài ra còn xác định được trường vectơ đơn vị B = T N dọc gọi là vectơ
trùng pháp tuyến đơn vị dọc .
Định nghĩa
Cho cung song chính quy định hướng trong E3 có trường mục tiêu trực
chuẩn thuận {T, N, B} dọc gọi là trường mục tiêu Frénet dọc .
2.1.2 Độ xoắn của cung trong E3
Ta có:
B.B 1

DB
.B 0
ds

B.T 0

DB
DT
.T B.
0
ds
ds

Mà
Vậy


DT
DB
kN và B.N 0
.T 0
ds
ds
DB
DB
trực giao với T và B
cùng phương với N.
ds
ds

Từ đó, ta có hàm số dọc gọi là (hàm) độ xoắn của để

DB
.N .
ds

ý nghĩa hình học


là số đo (bằng rađian) của góc giữa B ( s ) và B ( s s ) thì :

( s) lim

s 0



s

.

2.2 Công thức Frénet
{T, N, B} là trường mục tiêu Frénet dọc cung song chính quy định hướng
trong E3 (có hướng). Ta đã có
DT
DB
kN ,
.N .
ds
ds

k, theo thứ tự là độ cong, độ xoắn của , ta đi tính

17

DN
.
ds


Từ N .N 1 suy ra

DN
DN
khai triển được theo T và B.
.N 0 nên
ds

ds

Từ T .N 0 suy ra T.
Từ

DN
DT
=.N = - k.
ds
ds

T.B 0 suy ra DN .B N . DB .

Vậy

ds

ds

DN
kT B
ds

Ta được công thức:
DT
=
ds

kN


DN
= - kT
ds
DB
=
ds

+ B
- N

Công thức trên gọi là công thức Frénet.
2.3 Định lí cơ bản của lý thuyết đường trong E3
Định lí
Cho hai hàm số k , : J R (khả vi lớp Cl, l 0) trên khoảng J R
và k có giá trị dương. Khi đó có tham số hóa tự nhiên r : J E 3 (khả vi lớp
Cl+2) của một cung song chính quy định hướng trong E 3 (có hướng) nhận k và
làm hàm độ cong và hàm độ xoắn.
Nếu có hai tham số hóa r và của hai cung như thế thì có đẳng cấu afin
trực giao bảo tồn hướng tức một phép dời hình f : E 3 E 3 sao cho r f
(nói tắt f biến ảnh của cung thành ảnh của cung r).

18


Chứng minh
Ta sử dụng kết quả của định lí trong lí thuyết phương trình vi phân, định
lí về tồn tại và duy nhất của nghiệm một hệ phương trình vi phân tuyến tính.
Cho các hàm số a j i , bi i, j 1, 2, ..., n khả vi lớp C l , l 0 , trên một
khoảng J R và cho t0 J , cho n số x01 , x0 2 , ..., x0 n tùy ý, thì có một và chỉ
một họ hàm số x1 , x 2 , ..., x n khả vi lớp Cl+2 trên J sao cho:

n

x1 '(t ) aij (t ) x j (t ) bi (t )
j 1

với mọi i = 1, 2, ..., n, với mọi t J và x i t0 x0i . Các hàm số t x i (t )
đó gọi là các nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính:
n

x ' a x
i
j

1

j

bi

j 1

Với giá trị ban đầu x0i xi t0
Hệ phương tình (*) sau đây









T ' k N , N ' kT B, B ' N

(*)

là viết tắt của hệ phương trình vi phân tuyến tính của 9 hàm ẩn (n nói trên


bằng 9) đó là 9 hàm tọa độ của ba hàm vectơ T , N , B trong E 3 xác định trên


J. Lấy một cơ sở trực chuẩn thuận tùy ý T0 , N 0 , B0 của E 3 và lấy số s0 tùy ý







thuộc J thì theo kết quả trên hệ đó có nghiệm, cũng kí hiệu T , N , B với giá trị




ban đầu T ( s0 ) T0 , N ( s0 ) N 0 , B( s0 ) B0 .
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính của 6 hàm ẩn (n nói trên bằng 6)
mà ta kí hiệu là t 2 , n 2 , b 2 , tn, nb, tb sau:

19



t ' 2k tn
n ' 2 k tn nb
b ' 2 nb
tn ' k t k n tb
nb ' n b k tb
2

2

2

2

2

2

2

tb ' tn k nb
2 2 2

Các hàm số T , N , B ,T .N , N .B,T .B trong đó T , N , B là các nghiệm

của hệ (*), thỏa mãn hệ phương trình vi phân đó với giá trị ban đầu (tức giá trị

tại s0) là 1, 1, 1, 0, 0, 0 (do T0 , N 0 , B0 là một hệ trực chuẩn) vì chính hệ
2 2 2


phương trình vi phân này có được do lấy đạo hàm của T , N , B , T .N , N .B, T .B












tức xét 2T .T ' , 2 N .N ' , 2 B.B ' , T '.N T .N ' , N '.B N .B ' , T '.B T .B ' trong đó

thay T ', N ', B ' bằng biểu thức trong (*).
Nhưng hệ phương trình vi phân đó còn có nghiệm dễ thử sau:
t 2 1, n 2 1, b 2 1, tn 0, nb 0, tb 0 cùng với giá trị ban đầu như

trên, nên do tính chất duy nhất của nghiệm của hệ đó với giá trị ban đầu cho




trước, T ( s), N ( s), B( s) là một cơ sở trực chuẩn của E 3 với mọi s J .









Hơn thế hàm số s J T ( s) N ( s ) .B( s ) là một hàm liên tục mà tập








giá trị là 1 vì T ( s), N ( s), B( s) luôn trực chuẩn, giá trị của nó tại s0= 1 vì







T , N , B là cơ sở trực chuẩn thuận nên hàm số đó luôn lấy giá trị 1 tức với



mọi s J cơ sở T ( s ), N ( s ), B( s) là thuận.
0

0

0


s

Lấy điểm O tùy ý trong E 3 rồi xét cung tham số s r s O T s ds ,
s
0

20