Khãa luËn tèt

NHD: TS.NguyÔn V¨n

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành bản khóa luận tốt nghiệp này, trước hết em xin
chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô trong
tổ giải tích đã tạo điều kiện, giúp đỡ em trong thời gian vừa qua.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới
Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo cho em trong
suốt quá trình nghiên cứu khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, ngày 25 tháng 4 năm 2013
Sinh viên
Trần Hồng Hạnh

TrÇn Hång H¹nh –K35G SP


LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu của
riêng em.
Trong khi nghiên cứu, em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu
của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì
công trình nào khác.
Hà Nội, ngày 25 tháng 4 năm 2013
Sinh viên
Trần Hồng Hạnh

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU........................................................................................... 1
Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ...............................................3
§1. SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ.............................................................. 3
1. Khái niệm về số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối.................3
2. Sai số tính toán...................................................................................... 5
3. Bài toán ngược của bài toán sai số......................................................... 8
§2. SAI PHÂN........................................................................................... 9
1. Định nghĩa và tính chất..........................................................................9
2. Một số công thức nội suy sử dụng sai phân......................................... 10
§3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG........................................... 12
1. Một số khái niệm................................................................................. 12
2. Một số phương trình vi phân đã biết cách giải..................................... 12
3. Định lí Pica – Lindolov (định lí tồn tại và duy nhất nghiệm)...............14
4. Phương trình vi phân cấp 1 chưa giải ra đối với đạo hàm....................16
5. Cách giải một số phương trình vi phân cấp cao...................................18
Chương 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN..................................................................24
§1. PHƯƠNG PHÁP EULER VÀ EULER CẢI TIẾN...........................24
1. Phương pháp Euler..............................................................................24
2. Phương pháp Euler cải tiến.................................................................. 26
§2. PHƯƠNG PHÁP RUNGE – KUTTA................................................ 29
1. Trường hợp m = 1.................................................................................... 31
2. Trường hợp m = 2....................................................................................31
3. Trường hợp m = 3.................................................................................... 33
4. Trường hợp m = 4.................................................................................... 35


5. Phương pháp Runge – Kutta có thể áp dụng để giải một hệ phương

trình vi phân cấp 1 hay một phương trình vi phân cấp cao......................39
Chương 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG..............................................................41
KẾT LUẬN............................................................................................. 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................... 54


LỜI NÓI ĐẦU
Thoạt đầu, toán học được phát sinh do nhu cầu giải quyết các bài
toán có nguồn gốc thực tiễn. Cùng với sự phát triển của nội tại toán học
và các ngành khoa học khác, toán học chia thành hai lĩnh vực: toán học lí
thuyết và toán học ứng dụng.
Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán
liên quan tới phương trình vi phân thường. Vì vậy, nghiên cứu phương
trình vi phân thường đóng một vai trò quan trọng trong lí thuyết toán học.
Chúng ta biết rằng chỉ có một số ít các phương trình vi phân thường
là có thể tìm được nghiệm chính xác, trong khi đó phần lớn các phương
trình vi phân thường nảy sinh từ các bài toán thực tiễn đều không tìm
được nghiệm chính xác. Do dó, một số vấn đề đặt ra là tìm các phương
pháp để xác định nghiệm gần đúng của phương trình vi phân thường.
Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn đó, các nhà toán học đã tìm ra
nhiều phương pháp để giải gần đúng phương trình vi phân thường. Trong
các phương pháp đó, người ta đã phân làm 2 nhóm: nhóm thứ nhất gọi là
các phương pháp giải tích cho phép tìm nghiệm gần đúng dưới dạng biểu
thức giải tích, nhóm thứ hai gọi là các phương pháp số cho phép tìm
nghiệm dưới dạng bảng.
Là một sinh viên khoa Toán, trong khuôn khổ một bản khóa luận,
em xin được trình bày những hiểu biết của mình về một số phương pháp
số giải gần đúng phương trình vi phân thường.
Được sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng cùng
với lòng nhiệt tình say mê nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài: “Một

số phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân”. Em đã đi sâu
nghiên cứu hai phương pháp số: phương pháp Euler và Euler cải tiến,
phương pháp Runge – Kutta.
TrÇn Hång H¹nh –K35G SP

5


Nội dung bản khóa luận gồm ba chương
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Một số phương pháp giải gần đúng phương trình vi
phân.
Chương 3: Bài tập áp dụng.
Do thời gian và năng lực có hạn nên khóa luận của em còn nhiều
thiếu sót, kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và
các bạn sinh viên.
Hà Nội, ngày 25 tháng 4 năm 2013
Sinh viên
Trần Hồng Hạnh


Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
§1. SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ
1. Khái niệm về số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương
đối a, Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối.
Trong thực tế tính toán, ta thường không biết số đúng a
biết số gần đúng của a

*


là a . Đại
lượng

thực sự của a .
Do không biết

*

a a

*

mà chỉ

được gọi là sai số

*

a nên  cũng không biết, nhưng ta có thể tìm

được a  0 sao cho a*  a  a ;

(1.1)

Số a nhỏ nhất thỏa mãn (1.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a .
Tỷ số a  a được gọi là sai số tương đối của a .
a
Ví dụ 1. Giả sử a  3,14; a  
*


*

Do 3,14  a  3,15  3,14  0,01
nên

a  0,01.

*

Mặt khác 3,14  a  3,142  3,14  0,002 nên a  0,002 .
Trong phép đo nói chung, sai số tuyệt đối càng nhỏ thì càng tốt.

b
1

Ví dụ 2. Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta được a  10 cm và
cm, với a  b  0,01. Khi đó, ta có
0, 01
a
 0,1%;
10

0, 01
b

1% 1

hay b  10 a . Hiển nhiên rằng phép đo a chính xác



hơn phép đo b mặc dù a  b .
Vậy độ chính xác của phép đo phản ánh qua sai số tương đối.


b, Sự thu gọn các số, sai số thu gọn.
Xét số thập phân a được biểu diễn dưới dạng
a   .10
p



p

trong đó 0    9,   Z , 
i

p1

 ...  

p s

.10 p s



thì a là số nguyên.

Nếu p  s  m,(m  0)

Nếu s  

.10

là những số nguyên.

i

Nếu p  s 
0

p1

thì a có phần lẻ gồm m chữ số.

thì a là số thập phân vô hạn.
2

1

1

0

Chẳng hạn a  597,36  5.10  9.10  7.10  3.10  6.10
Ở đây

p  2, s  4,   5,   9, 
2


1

0

 7,  1  3,   2

2

 6 , ta thấy

p  s  2 nên a  597,36 là số thập phân có phần lẻ gồm hai chữ số.
*) Thu gọn a là vứt bỏ đi một số các chữ số hàng bên phải trong
biểu diễn của a để được một số gần đúng a gọn hơn, nhưng vẫn đảm
bảo độ chính xác cần thiết.
*) Quy tắc thu gọn
Giả sử

a   .10 p  ...   .10 j  ...  
p

p s

j

.10 ps

và ta giữ lại đến số hạng thứ j. Gọi phần vứt bỏ đi là  , ta đặt
a   p.10

p


 ...  

j 1

.10 j 1   j.10

j

trong đó
j
  j 1 khi 0,5.10    10
 j
j
  j khi 0    0,5.10

Nếu   0,5.10

j

thì  j  

j

j

nếu  j là chẵn và


j


  j 1 nếu



lẻ vì tính toán với số chẵn tiện hơn.
Ví dụ 3.   3,141592  3,14159  3,1416  3,142  3,14  3,1  3.

j


Sai số thu gọn a  0 là mọi số thỏa mãn điều kiện
a  a  a


Vì a  

p

p

j

.10  ...   .10  
j
j 1

j

còn a   p.10 p  ...   .10 j 1   .10 j

j
a
 0,5.10
j
  –  j .10  
nên a





j

Sau khi thu gọn, sai số tuyệt đối tăng lên
*

a  a  a*  a  a 
a

 a  a .

c, Chữ số chắc.
Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác “0” và cả “0” nếu nó kẹp giữa
hai chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữ lại.
Ví dụ 4. a  0,0030140 . Ba chữ số “0” đầu không có nghĩa.
Mọi chữ số có nghĩa

 của a  

p


i

gọi là chữ số chắc, nếu

a  .10

.
p
10

p



p
1

.10 1 ... 

p
s

.10 ps 

i

trong đó  là tham số cho trước. Tham số  được chọn để một chữ số
vốn đã chắc sau khi thu gọn vẫn là chữ số chắc. Giả sử chữ số chắc cuối
cùng của a trước khi thu gọn là  . Để  i 1 và các chữ số trước nó vẫn

i

chắc, phải có

a  a  .10

Suy ra .10  0,5.10  .10 hay
i

i 1

i 1

i 1

5

 .
9

Ta sẽ gọi chữ số chắc theo nghĩa hẹp (rộng) nếu   0,5 (  1) .
Khi viết số gần đúng, chỉ nên giữ lại một, hai chữ số không chắc
để khi tính toán sai số chỉ tác động đến các chữ số không chắc mà thôi.
2. Sai số tính toán
Trong tính toán, ta thường gặp 4 loại sai số sau:
+ Sai số giả thiết – do mô hình hóa, lý tưởng hóa bài toán thực tế.


Sai số này không loại trừ được.



+ Sai số phương pháp – các bài toán thường gặp rất phức tạp,
không thể giải đúng được mà phải sử dụng các phương pháp gần đúng.
Sai số này sẽ được nghiên cứu cho từng phương pháp cụ thể.
+ Sai số các số liệu – các số liệu thường thu được bằng thực
nghiệm do đó có sai số.
+ Sai số tính toán – các số vốn đã có sai số, còn thêm sai số thu
gọn nên khi tính toán sẽ xuất hiện sai số tính toán.
Giả sử ta phải tính đại lượng y theo công thức y  f (x1 ,..., xn ) .
Gọi x*  (x * ,..., x* ); y *  f (x * ) là các giá trị đúng.
1

n

Giả sử ta không biết các giá trị đúng này, ta chỉ biết các giá trị gần
đúng là x  (x ,..., x ); y
1
n


f (x).

Giả sử x (i  1,..., n); x (i  1,..., n)
là các sai số tuyệt đối và sai
i
i
số tương đối tương ứng của các đối số. Khi đó: sai số của hàm số
y  f (x1 ,..., xn ) được gọi là sai số tính toán.
Giả sử hàm f là hàm số khả vi liên tục theo tất cả các biến
y  y  y*





n

xi

1

n

i

'

i1

1

f (x ,..., x ). – x
x

Vì f khả vi liên tục, xi 

y  
i 1

n


i
*

với x = ( x1 ,…, xn ) và x là điểm nằm giữa x và

n

*

1
n



*

)  f (x ,..., x )

f (x ,...,
x

xi 
*
x
f x (x).xi

*

x .


khá bé nên
i

'
i

; với

xi thì


x  (x1 ,..., xn ) .
Vậy y 

y
y

n


i 1


xi

ln f (x) .xi

và đôi khi có thể viết y   ln y ;

(1.2)


(1.2')


a, Sai số của một tổng.
Nếu

n

'

y   xi thì y x  1(i  1,..., n) . Vậy ta có
i

i 1

n

n

y   f '(x).x  x  ...  x   x ;
x
i
1
n
i
i1

i


(1.3)

i1

Sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối của
các số hạng.
b, Sai số của một tích.
y  x1 .x2 ...xn
y  x1 . x2 ... xn
Ln y  ln x1  ln x2  ...  ln xn
  ln y   ln x  ...   ln x
1
n
 y  x 1 ...  x
y  y .y
Sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối của
các số hạng thành phần.
c, Sai số của một thương.
x
y 1
x2
 x1
1
'
'
y  ; y  x
x1

y 


x2

2
x2
2
x1 .x2  x2 .x1

y  x 1 x

x 22
2

d, Sai số của y = ln x :
3. Bài toán ngược của bài toán
sai số

y  x


Giả sử y  f (x ,..., x )
1
n
Cần tính xi

để y   , (  0)

cho trước.


Theo công thức tổng quát của sai số tính toán ta phải có

f
y   x .xi
i
i 1

 xi 
n. f x'
n

i

Nếu các biến xi có vai trò “đều nhau” thì ta có thể lấy xi 


n. f x'
i

khi đó y   .


§2. SAI PHÂN
1. Định nghĩa và tính
chất a, Định nghĩa.
Giả sử y  f (x) là hàm số xác định trên tập X, h  0 sao cho
x  h  X , khi đó biểu thức
f (x)  f (x  h)  f
(x)

được gọi là sai phân cấp 1 của hàm số


f (x) tại điểm x.
2

 f  (f )  [ f (x  h  h)  f (x  h)] [ f (x  h)  f (x)]
 f (x  2h)  2 f (x  h)
f (x)

 f (x  h)  f (x)
được gọi là sai phân cấp 2 của f (x) tại x.
n

Tương tự  f  (n1 f ) được gọi là sai phân cấp n.
Giả sử f (x) được cho bằng bảng tại các giá trị cách đều của đối
số: f (x ),
i
xi

 x0  ih (i  0,1,...) .

Khi đó, ta có thể lập bảng các sai phân cấp 1, cấp 2, … của f như
sau
2

3

 fx i

f 1

f 3

f 2

 f 3

x0

f0

f 1

 f 2

 f3

x1

f1

f 0

 f1

 f 2

 f 3

x2

f2


f1

x3

f3

f 2

 f0
2
f1

 f1
3
f0

 f 2
4
f

fxi

x3

f 3

x2

f 2


x 1

 fx i

4

fxi

xi

 fx i

5

 fx i

6

 fx i

2
2

2

2

3

3


3

4
4

1

5

 f 3
5
f

2

6

f

3


Nhận xét: bắt đầu từ cột 3 mỗi phần tử bằng hiệu của hai phần tử
dòng dưới và dòng trên của cột liền trước.
Chẳng hạn f3  f 2


f 3



b, Các tính chất.
k

)  ( f

k

k

 g)   f   g
k
k
)  (f )  . f
n
)  (P n(x))  c  const
 m(Pm (x))  0 , nếu m  n
với P
n
(x)

là đa thức cấp n của x.

) f (x  n.h) 



n

)  f 


n



Cni  f (x)

i 1

n

n

i

i 1

i

(1) .C . f (x  (n  i).h)

2. Một số công thức nội suy sử dụng sai phân
Giả sử hàm y  f (x)
dưới dạng bảng y i  f (xi ) tại các mốc xi
cách đều
xi 1  xi  h  const (i  0)
Mốc nội suy được sắp xếp theo thứ tự x  x  ...  x .
0
1
n

Ta tìm đa thức nội suy dưới dạng
P(x)  a0  a1 (x  x0 )  a2 (x  x0 )(x  x1 )  ...  an (x  x0 )...( x  xn1 )
y0
Cho x  x0 , ta được a0  y0 ; x  x1  a1 
h
i
y
0
Đặt x  xi  ai 
i!h
Đổi biến t 
 th)  y

F (x
0

x  x0  x  x  th , ta có
0
h

t
 .y
0
0

i

1!



0

t(t 1)



2

 ... 

t(t  1)...(t  n  1)

y
2!

TrÇn Hång H¹nh –K35G SP

n!

n

 y
0

20


f

( ) h n1t(t 1)...(t  n)

(n  1)!
( n1)

Đây là công thức nội suy Newton tiến.

TrÇn Hång H¹nh –K35G SP

21


Mốc nội suy sắp theo thứ tự xn  xn1  ...  x0 .
Đặt t 
xn

x

 x  xn  th

h
Đa thức nội suy Newton lùi tìm dưới dạng
P(x)  a0  a1 (x  xn )  a2 (x  xn )(x  xn1 )  ...  an (x  xn )...(x  x1 )
Cho x  x  a  y
n
0
n
 a 0  a1 (h) 
n1
xx
y
x  x i  ai

Tổng quát, đặt

 a1
n
1



yn1
h

i



y

ni
;i (i  0,...,
n) i!h

Như vậy, công thức Newton lùi sẽ có dạng
 th)  y
t
t(t  1) 2
t(t  1)...(t  n  1) n
 .y
f (x

y

 ... 
 y
n

n

n1

n2

2!

1!
( n1)
 f ( ) hn1t(t  1)...(t  n)
(n  1)!

n!

0


§3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
1. Một số khái niệm
Phương trình vi phân thường bậc n là một hệ thức có dạng
(n)

F (x, y, y', y",..., y
;


)0

(1.4)

Trong đó x là biến độc lập, y là hàm số cần tìm
y', y",..., y
n)

(

là các đạo hàm của hàm số y (y là hàm số của x).

Cấp của phương trình là đạo hàm cấp cao nhất có mặt trong
phương trình.
Hàm số y   (x)
thay

được gọi là nghiệm của phương trình (1.4) nếu

y   (x), y'   '(x),..., y

đồng nhất thức.
Hàm số

( n)



( n)


(x) vào (1.4) thì (1.4) trở thành

y   (x, c) thỏa mãn (1.4) khi (x, y) chạy khắp D, với

mọi c  R .
2. Một số phương trình vi phân đã biết cách giải
a, Phương trình vi phân có biến số phân li.
dy
dx  f (x)  y   f (x)dx  c
dy f ( y) 
dx 

M1
(x)N 1

( y)dx 
M

(M 2 (x).N1 ( y) 
0)

2



dy  x  c
f(
y)

(x)N ( y)dy  0  M 1 (x)


2

M 2 (x)

dx 

N 2 ( y)
N1 ( y)

dy  0


b, Phương trình vi phân cấp 1 thuần nhất.
y'   y 
f
. Giả thiết hàm số xác định với
x  0.
mọi
 
x


Để giải phương trình này ta đặt

u

phương trình vi phân có biến số phân li.

y

x

, sau đó đưa về việc giải

c, Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
Dạng tổng quát: y'  P(x) y  Q(x)
+) Q(x)  0 thì gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất
cấp 1.
+) Q(x)  0 thì gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1.
Công thức nghiệm tổng quát của phương trình là
y  e   P ( x ) dx  Q(x)e  P ( x ) dx dx  c 






d, Phương trình Bernoulli.
Dạng tổng quát:

y' P(x) y  Q(x) y



+)   1: phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1.
+)   0 : phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp 1.
+)   0,  1: ta chia cả hai vế của phương trình cho
Sau đó, đặt




y .

z  y1 và đưa về phương trình tuyến tính không

thuần nhất.
e, Phương trình vi phân toàn phần.
Dạng tổng quát: P(x, y)dx  Q(x, y)dy  0

;

(1.5)

Trong đó P(x, y),Q(x, y) là các hàm số liên tục cùng với các đạo
'

'

hàm riêng trên miền đơn liên D và thỏa mãn Q (x, y)  P (x, y)
x

là

Nếu D  R 2 , giả sử (x , y ) 
0
0
D
x

y


y

trên D.

thì tích phân tổng quát của (1.5)

x

y

u(x, y)   P(x, y0 )dx   Q(x, y)dy   P(x, y)dx   Q(x0 , y)dy
x0

y0

x0

y0