- Trang chủ >>
- Sư phạm >>
- Sư phạm toán
Giải tích vectơ trong không gian En và ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (507.97 KB, 60 trang )
LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong
khoa toán, các thầy giáo cô giáo trong trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2
và các bạn sinh viên. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của em tới
thầy giáo Phó giáo sư-Tiến sĩ Nguyễn Năng Tâm, người đã tận tình giúp đỡ
em trong suốt quá trình hoàn thành khoá luận này.
Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa
thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế, mặc dù đã rất cố gắng
nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong nhận được sự
đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để khoá luận của em được hoàn
thiện tốt hơn và có ứng dụng trong thực tế.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nộ, ngày 10 tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Đỗ Thị Ngọc
LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận tốt nghiệp được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn của thầy
giáo PGS-TS Nguyễn Năng Tâm, trong quá trình nghiên cứu tôi có sử dụng
sách tham khảo của một số tác giả, các nhà nghiên cứu (đã nêu trong mục
tài liệu tham khảo).
Tôi xin cam đoan khoá luận là kết quả của bản thân trong quá trình
học tập ở bậc Đại học, kết quả đề tài bảo đảm chính xác, khách quan, trung
thực.
Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Đỗ Thị Ngọc
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU.......................................................................................................1
Chương I. GIẢI TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
n
E ......................2
§1. Không gian vectơ Euclid n chiều........................................................ 2
§2. Hàm vectơ..........................................................................................4
2.1. Định nghĩa......................................................................................4
2.2. Phép toán trên các hàm vectơ.........................................................4
2.3. Giới hạn của hàm vectơ.................................................................. 7
2.4. Hàm vectơ liên tục.......................................................................11
§3. Đạo hàm của hàm vectơ một biến số.................................................12
3.1. Định nghĩa....................................................................................12
3.2. Tính chất......................................................................................12
3.3. Đạo hàm cấp cao..........................................................................17
3.4. Đổi biến số...................................................................................17
3.5. Nguyên hàm, tích phân của hàm vectơ 1 biến số.........................19
3.6. Nhận xét.......................................................................................20
Chương 2. ỨNG DỤNG............................................................................. 21
n
§1. Nghiên cứu đường trong E ..............................................................21
1.1. Vectơ tiếp xúc..............................................................................21
1.2. Cung tham số.............................................................................22
1.3. Cung trong
E n..............................................................................23
1.4. Cung chính quy............................................................................24
1.5. Cung định hướng và trường vectơ tiếp xúc đơn vị........................27
1.6. Cung song chính quy....................................................................28
1.7. Công thức Frenet..........................................................................29
3
§2: Nghiên cứu mặt trong E ...................................................................36
2.1. Mảnh tham số..............................................................................36
2.2. Ánh xạ Weingarten.......................................................................38
KẾT LUẬN.................................................................................................46
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................47
1. Lý do chọn đề tài
MỞ ĐẦU
Toán học là môn học nghiên cứu về các số, cấu trúc không gian và các
phép biến đổi. Nói một cách khác người ta cho rằng đó là môn hoc về
“Hình và Số”. Bên cạnh sự phát triển của “Số” thì “Hình” cũng là một bộ
môn phần lớn hết sức phát triển và đa dạng với nhiều môn học như: hình xạ
ảnh, hình Euclid, hình học vi phân,…Trong đó hình học vi phân là môn có
tính hệ thống cao, chặt chẽ, tính logic và trìu tượng cao. Ở đó các khái
niệm: không gian vectơ Euclid n-chiều, hàm vectơ, đạo hàm của của hàm
vectơ một biến số,…là những khái niệm hết sức cơ bản. Tuy nhiên các vấn
đề này còn được trình bày một cách sơ lược chưa được phân loại và hệ
thống một cách chi tiết. Xuất phát tư mong muốn và niềm đam mê tìm hiểu
sâu sắc hơn về vấn đề này em quyết định chọn đề tài “Giải tích vectơ
trong không gian En và Ứng dụng” làm khoá luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của đề tài này là tìm hiểu và nâng cao kiến thức của
giải tích vectơ n chiều trong không gian E
n
và ứng dụng của chúng.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Kiến thức về hàm vectơ, bán kính hàm vectơ, đạo hàm của hàm vectơ
n
và ứng dụng trong không gian E .
3.2. Phạm vi nghiên cứu
n
Khái niệm cơ bản trong giải tích vectơ n chiều trong không gian E .
4. Phương pháp nghiên cứu
Phân tích và tổng hợp tài liệu.
5
Chương I
GIẢI TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN E
n
§1. Không gian vectơ Euclid n chiều
1.1.
Đ
ịnh nghĩa 1 (xem [1.1], tr.5)
Không gian vectơ n-chiều trên trường số thực được gọi là không gian
n
vectơ Euclid n-chiều kí hiệu là E nếu với mỗi cặp có thứ tự ( a , b ) thuộc
n xác định một số thực gọi là tích vô hướng của hai vectơ
E n
E
a , b . Kí hiệu là a . b hoặc a thỏa mãn các tiên đề sau đây:
b
n
,
ta có:
Với mỗi a , b , c,
E
i.
ii.
iii.
iv.
v.
a.b b.a
a.(b c) a.b a.c
(a).b .(b.a)
a.a 0 dấu ( ) xảy ra khi và chỉ khi a là 0 .
2
. 0 dấu ( ) xảy ra khi và chỉ khi
là 0 .
1.2.
Đ
ịnh nghĩa 2 (xem [1.1], tr.5)
n
Trong không gian Euclid n-chiều E
là không gian afin liên kết với
n
n
không gian Euclid n-chiều E .
n
ta luôn tìm được duy nhất
Lưu ý rằng: với mọi điểm ME , mọi x E
n
điểm N của E sao cho MN x . Nếu MN x thì viết: N M x .
1.3.
Đ
ịnh nghĩa 3 (xem [1.1], tr.5)
n
Hệ {ei}i1,n trong E được gọi là hệ trực chuẩn nếu:
ei e j
{ei}i1,n
Nếu
O En
là cơ sở trực chuẩn của không gian Euclid
thì hệ {O,e1, e2 ,...,e n}
gian Euclid E
Nếu
n
n
E , điểm
gọi là một hệ toạ độ trực chuẩn của không
và thường được gọi là hệ tọa độ Đề các vuông góc.
{O,e1, e2 ,...,e n} là một hệ toạ độ trực chuẩn của không gian
n
n
n
n n
Euclid E và x E , y E với x x .ei ,
y yi .ei thì ta có:
i
i1
n
x.y xi .yi
i1
n
, || x ||
x 2i
i1
i1
.
Giả sử M(x 1, x 2 ,..., x n ), N(y , y ,..., y ) ta có:
1
2
n
y )2 (x nny )2
|| MN || (x 11y )2 (x 22
1.4. Định nghĩa 4 (xem [1.1], tr.5)
.
, ta gọi số
2 là độ dài
n
(chuẩn/môđun) của vectơ . Khoảng cách giữa 2 điểm M,N E
MN . Ta kí hiệu d(M,N) là khoảng cách giữa 2 điểm M,N.
Khi đó d(M,N) MN .
là giá trị
Cho không gian vectơ Euclid
n
E
,
§2. Hàm vectơ
2.1. Định nghĩa (xem [1.2], tr.6)
n
Trong E cho U là tập hợp tùy ý. Ánh xạ X : U E , u X u là
n
một hàm vectơ ( xác định trên U, giá trị trong E ).
Cho X là hàm vectơ trên tập hợp U, X : U E n và (e1, e2 ,...,e n ) là
n
một cơ sở của không gian vectơ E . Khi đó ta có:
n
xi : U R , u x i (u) i=1,2,…,n
sao cho u U :
1
n
X(u) x (u).e1 x (u).en
gọi là các hàm toạ độ của hàm vectơ X .
2.2. Phép toán trên các hàm vectơ (xem [1.3], tr.7)
Cho tập hợp U trong E
n
cho các hàm vectơ X, Y : U V E
hàm số : U R . Ta định nghĩa:
a. Tổng của hai hàm vectơ được xác định bởi
n
, u (X Y)(u) X(u) Y(u)
XY:UE
b. Tích của một hàm số với với một hàm vectơ
, u (X)(u) (u).X(u)
n
X : U E
c. Tích vô hướng của hai hàm vectơ
, u (X.Y)(u) X(u).Y(u)
n
X.Y : U E
d. Chuẩn của hàm vectơ
n
|| X ||: U E , u || X || u || X(u) ||
n
và
e. Khi n 3 và
3
có hướng ta định nghĩa tích có hướng của hai
E
hàm vectơ:
X Y : U En
u (X Y)(u) X(u) Y(u)
Sử dụng biểu thức toạ độ ta có:
n
n
i
i
X(u) x (u).ei , Y(u) y (u).ei
i1
i1
a. Ta có:
n
n
n
(X Y)(u) (x (u) y (u)).ei x (u).ei y (u).ei
i
X(u) Y(u)
i
i
i1
i
i1
i1
b. Ta có:
1
2
n
suy
ra
X
(x , x ,..., x )
1
2
n
X (x , x ,..., x
)
n
n
i
suy ra (X)(u) (u).x (u).ei (u). x (u).ei (u).X(u)
i
i1
i1
(X)(u) (u).X(u)
c. Ta có:
1
2
n
1
2
n
X (x , x ,..., x ) , Y (y , y ,..., y )
1 1
2 2
n n
X.Y x .y x .y x .y
1 1
2 2
n n
Suy ra (X.Y)(u) (x .y )(u) (x .y )(u) (x .y )(u)
1
1
2
2
n
n
x (u).y (u) x (u).y (u) x (u).y (u)
Mặt khác:
n
1
2
n
i
X(u) x (u).ei suy ra X(u) (x (u), x (u),..., x (u))
i1
(1)
n
1
2
n
i
Y(u) y (u).ei suy ra Y(u) (y (u), y (u),..., y (u))
i1
Khi đó:
1
1
2
2
n
n
X(u).Y(u) x (u).y (u) x (u).y (u) x (u).y (u)
Từ (1) và (2) suy ra: (X.Y)(u) X(u).Y(u)
3
(2)
1
2
3
d. Với n=3, E có hướng ta có: X (x1, x 2 , x3 Y (y , y , y )
),
Ta có:
XY
x2
y2
2
x3
,
x3 x1
y3
,
y1 y2
y3 y1
3
3
2
3
x1 x 2
1
1
3
1
2
2
1
(x .y x .y , x .y x .y , x .y x .y )
(X Y)(u)
(x .y
2
3
3
2
3
1
1 3
1
2
2
1
x .y )(u),(x .y x .y )(u),(x .y x .y )(u)
2
3
3
2
3
1
1
3
(x (u).y (u) x (u).y (u), x (u).y (u) x (u).y (u),
1
2
2
1
x (u).y (u) x (u).y (u))
(3)
3
1
2
3
i
Mặt khác: X(u) x (u).ei suy ra X(u) (x (u), x (u), x (u))
i1
3
1
2
3
i
Tương tự: Y(u) y (u).ei suy ra Y(u) (y (u), y (u), y (u))
i1
Ta có:
x 2 (u)
X(u) Y(u)
3
y2 (u)
2
3
1
3
1
1
x (u)
1
y (u)
x (u) x (u) x (u) x (u)
3
,
,
y (u) y (u) y (u) y (u)
3
3
2
3
1
2
2
1
3
(x (u).y (u) x (u).y (u), x (u).y (u) x (u).y (u),
1
2
2
1
x (u).y (u) x (u).y (u))
(4)
Từ (3) và (4) suy ra (X Y)(u) X(u) Y(u)
2.3. Giới hạn của hàm vectơ
2.3.1. Định nghĩa của điểm giới hạn (xem [3.1], tr.9)
Điểm
u0
thuộ
c
m
E gọi là điểm giới hạn của tập hợp U
thuộc
E
m
nếu
với mọi số thực
tồn tại điểm u U \ u0 sao cho d u 0 , u .
0
2.3.2. Định nghĩa (xem [3.2], tr.9)
Cho X là một hàm vectơ trên tập hợp U thuộc Em
X :U
, u X(u)
En
và điểm
u0
E
m
là điểm giới hạn của tập hợp U. Hàm vectơ X có giới
hạn
n
eE khi u dần tới
u0
cho với mọi u
U
lim X(u) e .
nếu với mọi số
thực
mà d
u 0 , u
0 tồn tại số
thực
thì || X(u) e ||
0 sao
, kí hiệu là:
uu0
2.3.3. Định lý (xem [3.3], tr.9)
Cho hàm vectơ trên tập hợp U thuộc Em :
X
n
i
X : U E n , u X(u) x
(u).ei
i1
m
1
có các hàm toạ độ
là
u0 E
x ,...,
n
x
(e1,e2 ,..., en của
)
E
và điểm
có giới hạn là
là điểm tới hạn của tập hợp U. Hàm vectơ
X
m
e
e1.e
1
en.e E
là
ei
đối với cơ
sở
n
n
khi và chỉ khi các hàm
số
xi : U R có giới hạn
u 0 với mọi i 1,..., n :
khi u dần
tới
lim x i (u) ei
lim X(u) e uu0
uu 0
i 1,..., n
Chứng
lim X(u)
Giả sử : e
minh
với mỗi i 1,...,n , xét vectơ đơn vị
i
ntrực
uu0
e1,...,ei1 ,ei1,..., en . Lúc | ni.ei | K i 0, n i .e j 0 với
vectơ mọi j 1 . đó
Với mỗi số 0 tuỳ ý ta chỉ cần chỉ ra một số sao cho u U ,
0
giao với các
d u 0 , u kéo theo | x i(u) ei | .
u U , d u 0 , u có
Do lim X(u) e nên tồn tại 0 sao
uu0
số
cho
|| X(u) e || .
1
1
n
n
Ta lại có: || X(u) e |||| (x (u) e ).e1 (x (u) e ).en ||
1
1
n
n
|| n i .[(x (u) e ).e1 (x (u) e ).en ] ||
i
i
i
i
| n i.(x (u) e )ei || – e | .Ki
x
Vậy u U , d u 0 , u có |
x
Ngược lại giả
sử
i
i
lim x (u) , i=1,2,…,n
i
e
i
e |
hay
uu0
i
lim x (u) e , i=1,2,…,n .
uu0
Đặt K= max ei
i
thì ta có:
i1,...,n
1
1
n
n
|| X(u) e |||| (x (u) e ).e1 (x (u) e ).en ||
1
1
n
n
| x (u) e | . || e1 || | x (u) e | . n|| e ||
1
1
n
n
K(| x (u) e | | x (u) e |)
Với mỗi 0 tuỳ ý cho trước ta cần chỉ ra một số
0
sao cho
u U , d u0 , u kéo theo || X(u) e || .
Vì mỗi i=1,2,…,n các hàm số
i
x (u) có giới hạn ei khi u dần tới u0 nên
i
i
tồn tại các số i 0 mà u U , d u , u có | x (u) e |
K.n
0
chọn
i1,...,n
thì rõ ràng u U , d u0 , u có || X(u) e || hay
min
i
(định lí được chứng minh).
lim X(u) e
uu0
2.3.4. Hệ quả (xem [3.4], tr.11)
Nếu hàm vectơ X.Y từ tập hợp U đến En và hàm số g từ U đến R có
giới hạn khi u dần đến u0 thì có các giới hạn ở các vế trái sau đây và có các
đẳng thức
1.
lim (X Y)(u) lim X(u) lim Y(u)
uu0
2.
3.
4.
uu0
uu0
lim (g.X)(u) lim g(u). lim X(u)
uu0
uu0
uu0
uu0
uu0
lim (X.Y)(u) lim X(u). lim Y(u)
uu0
lim || X || (u) || lim X(u) ||
uu0
Chứng minh
uu0
n
n
1. Ta có: X(u) x (u).ei
i
i1
i
, Y(u) y (u).ei
i1
n
i
i
Ta có: lim (X Y)(u) lim (x y )(u).ei
uu 0
uu0
i1
n
uu0
i1
lim (X Y)(u) lim n x (u).ei
lim n y (u).ei
uu0
uu0
i
uu0
i1
i
i1
lim X(u) lim Y(u)
uu0
lim (x (u) y (u)).ei
i
i
uu0
1
2
n
2. Ta có: X (x , x ,..., x )
Suy ra:
1
2
n
1
2
n
(g.X) g(x , x ,..., x ) (g.x ,g.x ,..., g.x )
1
2
n
(g.X)(u) ((g.x )(u),(g.x )(u),...,(g.x )(u))
1
2
n
(g(u).x (u),g(u).x (u),..., g(u).x (u))
1
2
n
g(u)(x (u), x (u),..., x (u))
g(u).X(u)
Suy ra: (g.X)(u) g(u).X(u)
Suy ra:
lim (g.X)(u) lim g(u). lim X(u)
uu0
uu0
uu0
(theo định nghĩa của giới hạn hàm vectơ).
3. Ta có:
1
1
2
X (x , x ,..., x
),
n
2
n
Y (y , y ,..., y )
Suy ra:
1 1 2 2
n n
X.Y x .y x .y x .y
1 1
2 2
n n
(X.Y)(u) (x .y )(u) (x .y )(u) (x .y )(u)
1
1
2
2
n
n
x (u).y (u) x (u).y (u) x (u).y (u)
1
1
2
2
(1)
n
n
Mặt khác: X(u).Y(u) x (u).y (u) x (u).y (u) x (u).y (u) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (X.Y)(u) X(u).Y(u)
Suy ra:
lim (X.Y)(u) lim X(u). lim Y(u)
uu0
uu0
uu0
1
2
n
4. Ta có: X (x , x ,..., x suy ra
)
|| X || X.X (x1)2 (x 2 )2 (xn )2
10
1 2
2 2
n 2
|| X || (u) ( (x ) (x ) (x ) )(u)
|| X || (u) (x1)2 (u) (x2 )2 (u) (xn )2 (u)
|| X || (u) X(u).X(u) || X(u) ||
Suy ra: lim || X || (u) lim || X(u) |||| lim X(u) ||
uu0
uu0
uu0
(theo định nghĩa giới hạn của hàm vectơ).
2.4. Hàm vectơ liên tục (xem [3.5], tr.12)
a) Định nghĩa
đến gọi là liên tục tại điểm
Hàm vectơ X từ tập hợp U trong Em
n
E
u 0 U nếu có lim X(u) X(u0 ) .
uu0
Hàm vectơ X từ tập hợp U trong Em đến En gọi là liên tục nếu nó
liên tục tại mọi u U .
b) Tính chất
đến có các hàm toạ độ
Hàm vectơ X từ tập hợp U trong Em
n
E
1
x ,...,
n
x
trong cơ sở
khi và chỉ
của liên tục tại điểm
u
U
(e1,..., en
0
n
)
E
khi các hàm số x1,...,
n
x
khi
liên tục tại u0 U . Từ đó X liên tục khi và chỉ
1
liên tục.
x ,...,
n
x
Mặt khác nếu X, Y, là các hàm vectơ liên tục trên tập hợp U và g là
Z
hàm số liên tục trên U thì cũng có các hàm vectơ sau liên tục trên U:
3
X Y , g.X , (n=3, E có hướng ) X.Y
3
11
có các hàm trên
số liên tục U
X.Y , || X (n=3, E có hướng) X, Y, Z .
||
12
§3. Đạo hàm của hàm vectơ một biến số
3.1. Định nghĩa (xem [3.5], tr.13)
n
Cho J là một khoảng trong R, xét hàm vectơ X : J E , t X(t) .
Khi đó giới hạn:
X(t t) X(t)
lim
t0
t
tồn tại thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm vectơ này tại t, kí hiệu
dX
(t)
là X hoặc
'(t)
.
n
dt
Hàm vectơ X(t) gọi là hàm hằng nếu X(t) e cho trước của E
t J .
3.2. Tính chất (xem [3.5], tr.13)
a) Tính chất 1
Hàm vectơ X(t) từ khoảng J R đến En có các toạ độ x1, x 2 ,..., x n
của có đạo hàm tại t J khi và chỉ khi các
trong cơ sở (e1, e2 ,...,e n
n
)
E
hàm số
1
2
x , x ,..., có đạo hàm tại t J . Khi đó:
n
x
1
2
n
X '(t) (x ) '(t).e1 (x ) '(t).e2 (x ) '(t).en
Chứng minh
Ta có:
X(t t) X(t)
1
1
x (t t) x (t) 1
e
2
2
x (t t) x (t)
t
t
2
e
t
x (t t) x (t) n
e
t
n
n
Áp dụng định lý 2.3.3. ta có:
1
1
X(t t) X(t)
x (t t) x (t)
lim
1
t
t0
lim
t0
2
e lim
t
2
x (t t) x (t) 2
t0
t
e
x (t t) x (t) n
e
t0
t
1
2
n
Hay X '(t) (x )'(t).e1 (x ) '(t).e2 (x ) '(t).en
n
n
lim
(ta có điều phải chứng minh).
b) Tính chất 2
Hàm vectơ X(t) trên khoảng J là hàm hằng khi và chỉ khi đạo hàm
X '(t) 0 t J .
Chứng minh:
1
Nếu hàm vectơ có hàm toạ độ
2
x , x ,...,
n
x
(e
,e
,...,
en )
đối với cơ sở 1 2
n
là hàm hằng kéo theo là hàm hằng và ngược lại. Mặt khác
của E thì khi x
nếu X có đạo hàm thì : X '(t) (x1 )'(t).e1 (x 2 ) '(t).e2 ... (x n ) '(t).en
1
2
n
Từ đó X '(t) 0 khi và chỉ khi (x )'(t),(x ) '(t),...,(x ) '(t) bằng 0. Vì
hàm số là hàm hằng trên một khoảng khi và chỉ khi đạo hàm của nó bằng 0
tại mọi khoảng của nó bằng 0 tại mọi điểm của khoảng. (điều phải chứng
minh)
c) Đạo hàm của hàm vectơ
n
Cho tập hợp U trong E cho các hàm vectơ
đạo hàm tại t ta có:
1)
(X Y)' X ' Y'
n
X, Y : J E : J R có
;
2)
3)
4)
( X') 'X X'
3
Với n=3, E có hướng:
(X Y)' (X' Y) (X Y ')
(X.Y)' X'Y XY'
Chứng minh
1) Bằng định nghĩa ta có:
(X Y)(t t) (X Y)(t) X(t t) Y(t t) X(t) Y(t)
(X Y)(t t) (X Y)(t) (X(t t) X(t)) (Y(t t) Y(t))
Chia cả 2 vế cho t ta có
(X Y)(t t) (X Y)(t) (X(t t) X(t)) (Y(t t) Y(t))
t
t
t
t
Chuyển qua giới hạn ta có:
(X Y)(t t)
(X Y)(t)
lim
lim
t0
t0
t
t
(X(t t) X(t))
(Y(t t) Y(t))
lim
lim
t0
t
t0
t
Suy ra: (X Y)' X ' Y' (ta có điều phải chứng minh).
2) Sử dụng tính chất a) ta có:
1
2
n
X '(t) x (t).e1 x (t).e2 ... x (t).en
là cơ sở của thì:
n
(e1, e2 ,...,e n )
E
1
n
(X)(t) (t).x (t).e1 (t).x (t).en
1
n
( X)'(t) ((t).x (t)) '.e1 ( (t).x (t)) '.en
1
1
1
Có: ( (t).x (t))' '(t).x (t) (t).(x )'(t)
t 1,2,..., n
1
n
1
Nên ( X)'(t) '(t).(x (t).e1 x (t).en ) (t).((x (t))'.e1
n
(x (t)) '.en )
Suy ra: (X)' '.X X' (Ta có điều phải chúng minh).
3
3) Với n=3, E có hướng ta có:
1 2
3
1
2
3
X (x , x , x Y (y , y , y )
),
Ta có:
2
3
x 3 x1 x1 x 2
X Y x2 x
y
2 3 y3 3 y23 y13 1 y1 y1 2 3 1 2
2 1
(x .y x .y , x .y x .y , x .y x .y )
,
,
suy ra:
2 3
3 2
3 1
1 3
1 2
2 1
( X Y ) ' ((x .y ) ' (x .y ) ', (x .y )' (x .y ) ', (x .y ) ' (x .y ) ')
2
3
2
3
3
1
3
1
2
1
2
3
2
3
2
((x ) '.y x .(y ) ' (x ) '.y x .(y ) ',
1
3
1
3
(x ) '.y x .(y )' (x )'.y x .(y ) ',
1
2
1
2
(1)
(x )'.y x .(y ) ' (x ) '.y x .
1
Mặt khác: (y )')
1
1
2
(x 2 ) ' (x 3 ) ' (x 3' (x )' (x )' (x ) '
,
,
X' Y
)
2
3
y 2
y
y
y
y1
y1
2
3
3
2
3
1
1
3
1
2
2
1
((x ) '.y (x ) '.y , (x ) '.y (x )'.y , (x )'.y (x ) '.y )
2
x2
x3 , x 3
x1 , x1
X Y' x
(y 2 ) ' (y 3 ) ' (y 3 ) ' (y 1)' (y 1)' (y 2 ) '
2
3
3
2
3
1
1
3
1
2
2
1
(x .(y ) ' x .(y ) ', x .(y )' x .(y ) ', x .(y ) ' x .(y )')
Khi đó:
2
3
2
3
3
2
3
2
(X ' Y) (X Y ') ((x ) '.y x .(y ) ' (x ) '.y x .(y )
',
3
1
3
1
1
3
1
3
(x ) '.y x .(y )' (x )'.y x .(y )
',
1
2
1
2
2
1
2
(x )'.y x .(y ) ' (x ) '.y x .
1
(y )')
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
(X Y)' (X ' Y) (X Y ') (ta có điều phải chứng minh).
4) Bằng định nghĩa ta có:
(X.Y)(t t) (X.Y)(t) (X(t t) X(t)).Y(t t) X(t).(Y(t t) Y(t))
Chia cả 2 vế cho t ta có:
(X.Y)(t t) (X.Y)(t) (X(t t) X(t)).Y(t t)
t
t
X(t).(Y(t t)
Y(t))
t
Chuyển qua giới hạn ta có:
(X.Y)(t t) (X.Y)(t)
(X(t t) X(t)).Y(t t)
lim
lim
t0
t
t0
t
X(t).(Y(t t) Y(t))
lim
t0
t
Suy ra:
(X.Y) ' X 'Y XY' (ta có điều phải chứng
minh).
n
d) Cho X là một hàm vectơ trên khoảng J trong R đến E có đạo hàm
X '(t) tại mọi tJ . Hàm số || X || trên J là hàm hằng khi và chỉ khi X '(t)
vuông góc với X(t) với mọi t J .
Nếu || X || là hàm hằng trên J thì từ: || X || (t) || X(t) || X(t).X(t) .
Ta có X.X là hàm hằng trên J.
2
Khi đó: (X.X)'(t) (X (t))' 2.X(t).X '(t) t J
0
Vậy X '(t) X(t) t J .
Ngược lại X '(t) X(t) t J thì X '(t).X(t) 0 t J .
2
Lúc đó (X (t))' 2.X(t).X '(t) 0 t J
nên X.X
