PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học. Đối với học sinh
có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học. Bộ môn
hình học là môn khoa học khó, việc giải bài Toán hình học luôn là sự nặng nề,
áp lực đối với học sinh. Đã có nhiều phương pháp, nhiều cuốn sách của nhiều
tác giả giúp học sinh có chìa khóa mở ra con đường để đến với lời giải bài toán
hay, độc đáo, đó là vẽ thêm hình phụ.
Là một giáo viên giảng dạy khá nhiều năm, đã từng ôn thi học sinh giỏi bộ
môn Toán 8,9 và cũng đã từng ôn thi cho học sinh vào lớp 10 THPT; tôi rất đam
mê bộ môn Hình và cũng như rất trăn trở về vấn đề vẽ thêm đường phụ để giải
bài toán hình học, làm sao để rèn luyện được cho học sinh có kỷ năng này. Vì
vậy tôi chọn đề tài nghiên cứu "Hướng dẫn học sinh có kỷ năng vẽ thêm hình
phụ là đường trung bình của tam giác".
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Với lý do trên tôi nghiên cứu đề tài này nhằm mục đích tìm ra câu trả lời
cho bản thân người học là khi nào nên vẽ thêm yếu tố phụ là đường trung bình
của tam giác. Từ đó giúp người học có được kỷ năng vẽ đường phụ tốt để đưa
việc giải bài Toán hình học trở nên nhẹ nhàng hấp dẫn và phát huy được tính
tích cực, chủ động, sáng tạo cũng như trình bày lập luận chặt chẽ, lôgic.
III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Môn hình học lớp 8
IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Học sinh lớp 8 đối tượng khá, giỏi năm học 2010-2011; năm học 2011 2012
PHẦN II: NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
1.Cở sở lý luận
Đặc điểm của lứa tuổi THCS là muốn tự mình khám phá, tìm hiểu trong
quá trình nhận thức. Các em có khả năng điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng
tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướng dẫn, điều
hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy cô giáo. Hình thành tính tích

cực, tự giác, chủ động và đồng thời phát triển năng lực tự học của học sinh là

1


một quá trình lâu dài, kiên nhẫn và phải có phương pháp. Tính tích cực, tự giác,
chủ động và năng lực tự học của học sinh được thể hiện một số mặt sau:
- Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư
tưởng rập khuôn, máy móc.
- Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận một
vấn đề ở nhiều khía cạnh.
- Có óc hoài nghi, luôn đặt ra các câu hỏi tại sao? Do đâu? Như thế nào?
2. Cơ sở thực tiễn
Mỗi bài toán hình học luôn mang lại sự say mê, hứng thú cho người học
nếu biết được và tìm ra hướng chứng minh, ngược lại sẽ gây nhiều trở ngại cho
học sinh nếu hướng suy nghĩ chưa đúng. Vẽ thêm hình phụ là đường trung bình
của tam giác sẽ giúp học sinh bước đầu có sự tự tin, sự suy đoán và khả năng tư
duy hình học chặt chẽ .
Có những bài toán không thể giải được ngay nếu không biết cách vẽ thêm
đường phụ là đường trung bình của tam giác.
Học sinh rất bị động khi cần vẽ thêm yếu tố phụ và không tự tin vì nghĩ
rằng việc vẽ ra yếu tố đó đúng hay sai, hợp lý hay không hợp lý.
II. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
Với thực tế và yêu cầu đặt ra như trên tôi đưa ra hai dạng bài tập cơ bản để
giúp học sinh có cơ sở và có kỷ năng vẽ hình phụ là đường trung bình của tam
giác.
Dạng 1: Dạng bài tập đã cho đường phụ trực tiếp A
Bài toán 1: Cho hình vẽ
Chứng minh: IA = IM
E

I
Đây là bài toán cơ bản
N
trong sách giáo khoa
Ta có:
B
MB  MC �
�
MN
�
là đường trung bình của
NE  NB �

tam giác EBC
Suy ra MN // EC hay MN // EI
Mặt khác:

EA  EN �
�� IA  IM (định lý 1)
EI / / MN �

2

M

C


Với bài toán trên không có gì khó nhưng bài toán 1 là nền tảng để HS nhìn
ra yếu tố phụ của bài sau , để rèn luyện được cách vẽ hình phụ là đường trung

bình nên đảo ngược bài toán 1 bằng bài toán 2.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC: AM là đường trung tuyến, I là trung điểm
1
3

của AM. CI giao với AM ở E ( E �AB ) chứng minh rằng: AE  AB
A

E
I
N

B

C

M

Nếu không có bài toán 1, thì nhìn bài toán 2 sẽ khó, nhưng nếu dùng bài
toán 1 làm cơ sở thì việc xuất hiện đường phụ ở bài toán 2 dễ dàng hơn.
Đường phụ ở đây cần vẽ là đường thẳng đi qua điểm M và song song với
EC cắt AB ở N.
Giải tóm tắt:

ME / / DC �
�� ED  EB(1)
MB  MC �

Suy ra ME là đường trung bình của tam giác BDC
� EM / / DI


Mặt khác IA = IM (gt); Suy ra AD=DE (2)
1
3

Từ 1 và 2 suy ra AD  AB
Nhận xét: Như vậy khi hướng dẫn học sinh giải BT1 giáo viên cần hướng
cho học sinh vào tình huống có vấn đề, nếu ta thay đổi giả thiết của bài toán 1
thành kết luận của bài toán 2 và ngược lại thì điều đó đúng hay sai, nhằm giúp
học sinh ghi nhớ được kiến thức cơ bản và hình thành được suy đoán về yếu tố
phụ cần vẽ.
Để rèn luyện kỹ năng vẽ đường phụ như bài tập 2 ta thay đổi tam giác ABC
thành tam giác cân và một vài yếu tố khác ta được bài toán 3.
Bài toán 3: Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH đường phân giác
BD. Tính các góc của tam giác ABC biết BD=2AH.

3


A
1

D
1

1

E

1


H

B

C

Ở bài toán 3: Điểm H chính là trung điểm của BC, khi đó tương tự bài toán
2. Ta có hình phụ là đường trung bình của tam giác BCD lời giải tóm tắt.
Kẻ HK // BD ( K �AC )
Suy ra HK là đường trung bình của tam giác BCD nên 2.HK = BD mà
2.AH = BD (gt) do đó AH = HK nên tam giác AHK cân ở H.
�
�  KHC
�
(góc ngoài của tam giác)
AKH  C
� B
� (vì bằng DBC
� )
Mà 2KHC

Ta có C�  B� (gt)
�

3B �
�  3B
�
AKH 
 HAK � BAC

Nên �
2

� B
�C
�  1800 , suy ra 5 B
�  1800
Mặt khác, ta có BAC
�  1080
Do đó B�  360  C�; BAC

Ở bài toán 2 thay tam giác thường bằng tam giác vuông ta có:
Bài toán 4:Tam giác ABC vuông ở A có AB = 5cm; BC = 13cm.
Vẽ đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM, tia BI cắt AC tại
D. Tính độ dài BI.
Nhìn bài toán 2 học sinh thấy hình phụ cần vẽ thêm ở đây là đoạn thẳng
MN là đường trung bình của tam giác BCD.
A
D
E

I
B

M

C

Giải tóm tắt: Vẽ đường thẳng đi qua điểm M và song song với BD cắt DC
ở N suy ra MN là đường trung bình của tam giác BCD nên 2.MN = BD (1).


4


Mặt khác ID // MN (do BD // MN); và IA = IM nên DA = DN, suy ra ID là
đường trung bình của tam giác AMN suy ra 2.ID = MN (2) từ (1) và (2) suy ra
ID 

1
3
BD � BI  BD
4
4
1
3

Ta có: AD  AC ( theo bài toán 2) ta tính được AC = 12cm (định lý
Pitago). Biết AD; biết AB tính được BD.
Tính được BD ta suy ra được BI 

3 41
cm .
4

Bên cạnh sử dụng bài tập 2 để giải bài tập 4 ta còn có thể hướng dẫn cho
học sinh tự tìm ra cách vẽ đường trung bình của tam giác theo hướng sau:
Kẻ MK  AB ở K; MK cắt BD ở E ta có AK =KB (vì MK // AC và MB =
MC).
Do KE // AD suy ra EB = ED (1)
Mặt khác IE = ID vì ADI  MEI (g. c. g) (2)

3
4

Từ (1) và (2) suy ra BI  BD .
Từ bài toán 4 ta thấy rằng ngoài cách rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ
hình phụ thông qua bài toán cơ bản ta còn có thể hướng học sinh vẽ theo sự hiểu
biết, sáng tạo của mình từ đó hình thành thói quen, kỹ năng và có khả năng nhìn
ra đường phụ nhanh nhất.
Dạng 2: Dạng bài tập chưa cho biết đường phụ trực tiếp. Có thể nhìn ra
hình phụ thông qua một vài yếu tố khác. Đối với dạng này tương đối khó để học
sinh tìm ra cách vẽ cần phải hướng học sinh tìm mối liên hệ của các kiến thức
như đường trung tuyến, tính chất đường trung tuyến của tam giác, đường trung
bình của hình thang, từ vuông góc đến song song,…
Bài toán 5: Cho tam giác ABC; G là trọng tâm tam giác qua G vẽ đường
thẳng d sao cho 2 điểm B, C nằm cùng phía đối với đường thẳng d, AA 1; BB1;
CC1 là các đường vuông góc hạ lần lượt từ A,B,C xuống đường thẳng d. Chứng
minh rằng AA1 = BB1 + CC1.
Việc nhìn hình phụ để vẽ trong bài toán này tương đối khó, giúp học sinh
phát hiện ra cách vẽ hình phụ ở bài toán 5 dễ dàng hơn nên cho học sinh giải bài
toán 6 sau đây.
Bài toán 6: Cho tam giác ABC qua trung điểm O của đường trung tuyến
AM, kẻ đường thẳng d sao cho B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng d.

5


AA1; BB1; CC1 là các đường vuông góc hạ lần lượt từ A,B,C xuống đường thẳng
d. Chứng minh rằng BB' + CC' = 2AA'.
A
C'

M1
B'

A'

B

M

C

Lời giải tóm tắt: Từ M kẻ đoạn thẳng MM1 vuông góc với đường thẳng d ta
có MM1 là đường trung bình của hình thang BB'C'C nên BB' +CC'=2MM1 (1)
Mặt khác AA1O  MM 1O (cạnh huyền - góc nhọn)
Suy ra AA1 = MM1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra BB' +CC' = 2AA1.
Bài toán 6 như là một công cụ không thể thiếu trong việc phát hiện ra hình
phụ ở bài toán 5
Dựa vào bài toán 6 ta thấy rằng điểm cần xác định là điểm M trung điểm
của đoạn thẳng BC, điểm E là trung điểm của đoạn thẳng AG, từ EE 1 kẻ song
song với AA1 khi đó EE1 là đường trung bình của tam giác GAA 1 và bài toán trở
nên đơn giản hơn.
A
E
B'

B

G M1


C'

d

A1 E1
M

C

Giải tóm tắt: Từ M kẻ đoạn thẳng MM1 vuông góc với đường thẳng d ta có
MM1 là đường trung bình của hình thang BB'C'C nên BB'+CC'=2MM1 (1)
Lấy E là trung điểm của AG kẻ đoạn thẳng EE 1 vuông góc với đường thẳng
(d) tại E1 ta có EE1 là đường trung bình của tam giác GAA1 suy ra 2EE1 =
AA1(2)
Mặt khác MM1 = EE1 (vì tam giác EE1G  MM1G ) (3).

6


Từ (1),(2),(3) suy ra điều phải chứng minh:
Để rèn luyện kỹ năng nhìn ra hình phụ là đường trung bình trong dạng toán
này cần phải cung cấp cho học sinh các bài toán phụ cơ bản để từ đó giúp học
sinh tìm được các yếu tố liên quan đến hình phụ cần vẽ.
Bài tập tự luyện
Bài 1: (đề thi khảo sát chất lượng cuối năm toán 8 năm học 2015-2016).
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) cách đường cao AH
a. Chứng minh rằng tam giác ABH đồng dạng với tam giác CBA.
b. Chứng minh rằng AH2 = BH . CH
c. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AB. Qua B vẽ tia Bx
song song với đường thẳng AH, tia Bx cắt đường thẳng MN tại E. Đường thẳng

EC cắt AH tại O. Chứng minh rằng O là trung điểm của AH:
Gợi ý câu c: Kéo dài CA cắt Bx ở điểm F ta dễ dàng chứng minh được E là
trung điểm của BF mặt khác theo (định lý Thalès) ta có
suy ra điều phải chứng minh.

OA OH
OC

(
) . Từ đó
EF EB
CE

x
F

A

E

O
N

B

H

M

C


Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao HA. Gọi I là trung điểm
của AH. Đường vuông góc với BC tại C cắt đường thẳng BI tại D. Chứng minh
rằng DA = DC.
Gợi ý: Gọi M là trung điểm của AC, N là giao điểm của MI và AB. Tam
giác AHC có MI là đường trung bình nên MI song song với HC, tức là MN song
song BC. Áp dụng (định lý Thalès) ta chứng minh được

IB IN

do đó BN //
ID IM

DM (định lý Thalès đảo), ta lại có BN vuông góc với AC nên DM vuông góc với
AC. Vậy DM là đường trung trực của AC, suy ra DA = DC.

7


D
A

N

B

I

M


H

C

Bài 3: Cho 2 đường thẳng xx'và yy' cắt nhau tại O. Trên tia Ox' lấy 3 điểm
A,B,C sao cho OA = AB = BC, trên tia Oy lấy điểm H, trên tia Oy ' lấy 2 điểm M
và N sao cho OH = OM = MN. Chứng minh rằng 3 đường thẳng HA, NB, MC
đồng quy.
Gợi ý: Trước hết cần xác định điểm A là trọng tâm của tam giác HMC khi
đó HA cắt MN tại trung điểm I sau đó chứng minh 3 điểm B,I,N thẳng hàng ( vì
BI và BN cùng song song với AM).

N
x

y'

M
O
A

H

B
C

y

x'


8


PHẦN III: KẾT LUẬN
Hướng giải quyết như trên tuy chưa phải là độc đáo nhưng đã mang lại cho
học sinh được sự tự tin và kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ là đường trung bình của
tam giác. Sau khi áp dụng đề tài này vào thực tế dạy học (ôn thi học sinh giỏi và
học sinh thi vào THPT đối tượng khá giỏi) đã mang lại niềm say mê, hứng thú
sự tụ tin, khả năng phán đoán,suy luận chặt chẽ cho người học. Điều đó được thể
hiện thông qua kết quả học tập môn toán của học sinh do tôi đảm nhận; cụ thể
năm học 2010 - 2011 đội tuyển HSG huyện môn toán đậu hai em trong đó có
một em được dự thi cấp tỉnh và đạt giải KK, một em thi giải toán qua mạng đạt
điểm tuyệt đối 300/300. Kết quả thi vào THPT điểm 8,9 khá nhiều có một em
đạt 9,75đ và năm đó môn toán trường tôi được xếp thứ nhất toàn huyện. Đến
năm 2011 - 2012 đội tuyển HSG huyện đạt 2em trong đó có một em đậu vào lớp
chuyên toán của trường THPT Năng Khiếu.
Đề tài này là kinh nghiệm của bản thân tôi đúc rút ra trong quá trình giảng
dạy chắc chắn sẽ còn hạn chế, rất mong sự góp ý của đồng nghiệp.

9


TÀI LIỆU THAM KHẢO

10