VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC
Năm học 2014 - 2015

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2

-----------------

(Thời gian: 90 phút)

MÔN: Toán - LỚP 10

Câu 1.(3,0 điểm) Giải các bất phương trình sau
4x 1
a). (1,0đ) x 2  4 x  3  0
b). (1,0đ )
c). (1,0 đ) x  x  5  1
2
2x 1
Câu 2.(2,5 điểm)
3
3
a). (1.5 đ) Cho
 x  2 và cos x  . Tính sin x, tan x, cot x .
2
4
2
1  cos x  1  cos x  
b). (1,0 đ) Chứng minh đẳng thức sau
. 1 

  2 cot x.
sin x 
sin 2 x 
Câu 3.(4,0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; 0), B(2; 3) và đường tròn (C ) : x 2  y 2  2 x  2 y  1  0.
a). Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
b). Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C). Viết phương trình đường thẳng đi qua I và vuông
góc với AB.
c). Chứng tỏ điểm A nằm trên đường tròn (C). Khi đó, viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại
điểm A.
d). Viết phương trình đường tròn (C1) đi qua hai điểm A, B và đồng thời tiếp xúc với đường tròn (C).
Câu 4. (0,5 điểm) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn 5x 2  8xy  5 y 2  36 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
T  x2  y 2 .
---------------- Hết -----------------


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC

ĐÁP ÁN KIỂM TRA HỌC KỲ 2

Năm học 2014 - 2015

MÔN: Toán - LỚP 10

-----------------

(Thời gian: 90 phút)


Câu

Nội dung

Điểm

a). (1,0đ) x 2  4 x  3  0

1.0

Đặt
f ( x)  x 2  4 x  3

025

Khi đó ta có
0.25

x  1
x2  4x  3  0  
x  3

1. a

Ta có bảng xét dấu f(x)
0.25

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  1;3

0.25


4x 1
2
2x 1
1
Điều kiện x   (*)
2

b). (1,0đ)

1,0
0.25

Biến đổi BPT đã cho về BPT:

4x 1
4x 1 4x  2
1
20
0
0
2x 1
2x 1
2x 1
 2x 1  0
1
x
2

1. b


0.25
0.25
 1



Kết hợp với điều kiện (*) ta có tập nghiệm của bất phương trình là S    ;  
 2

x  x  5 1

0.25
1.0

Ta có
1. c

x  5  0

x  5  1  x  1  x  0
 x  5  1  2x  x2


0.25


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

 x  5


 x  1
 x 2  3x  4  0



 x  5

 x  1
 x4

  x  1

0.25

 5  x  1
Tập nghiệm của BPT đã cho là: S   5; 1 .

Cho

0.25

0,25

3
3
 x  2 và cos x= . Tính sin x, tan x, cot x.
2
4


1.5

Từ công thức
sin 2 x  cos 2 x  1  sin 2 x  1  cos 2 x
2

2. a
Vì

3
 x  2 nên sin x  0
2

7
3
 sin 2 x  1    
 4  16

7
sin x 
4


7
sin x  

4

Suy ra
sin x  


7
4

0.5

0.5

Từ đó ta có
tan x 

sin x
7 3
7

: 
cos x
4 4
3

cot x 

1
3

tan x
7
2
1  cos x  1  cos x  
. 1 

  2 cot x
sin x 
sin 2 x 

2. b
Ta có

0.5

1.0
0.5


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
2
2
1  cos x  1  cos x   1  cos x  1  cos x  
VT 
. 1 
. 1 


sin x 
sin 2 x 
sin x 
1  cos 2 x 
2

1  cos x 


1  cos x 

. 1 

sin x  1  cos x 1  cos x  



1  cos x  1  cos x 
. 1 

sin x  1  cos x 

1  cos x  2 cos x  2 cos x

.
 2 cot x

sin x  1  cos x  sin x
Trong mặt phẳng Oxy cho A(1; 0), B (2;3) và đường tròn

3

(C ) : x2  y 2  2 x  2 y  1  0

Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

3. a

0.5


4
1.5


Ta đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 0) nhận AB  1;3 làm VTCP
x  1 t
(t  )
 y  3t

Suy ra phương trình tham số là 

0.5
1.0

Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C).
Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm I và vuông góc với AB.

1,5

Đường tròn (C ) : x2  y 2  2 x  2 y  1  0
2a  2
a  1


2b  2
b  1

3. b


0.5

Do đó tâm I(1;-1)
Bán kính R  a 2  b 2  c  12   1  1  1
2

0.5


Đường thẳng đi qua I(1;-1) vuông góc với AB nhận AB  1;3 làm VPTP có PT
1( x  1)  3( y  1)  0  x  3 y  2  0

Chứng tỏ A nằm trên đường tròn. Và viết phương trình tiếp tuyến của đường
tròn (C ) tại A.
3. c

0.5

0.5

Thay tọa độ điểm A vào (C ) ta được 12  0 2  2.1  2.0  1  0 luôn đúng.
Vậy điểm A thuộc (C)

0.25


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí




Tiếp tuyến tại A(1;0) của (C) nhận IA   0;1 làm VTPT có PT
0( x  1)  ( y  0)  0  y  0

0.25

Vậy tiếp tuyến tại A có phương trình y = 0
Viết phương trình đường tròn đi qua A, B và tiếp xúc với (C).


0.5

x  1
(t  )
y  t

Đường thẳng IA đi qua A(1; 0) và nhận IA   0;1 làm VTCP có PT 
3 3



Đường trung trực d của AB đi qua trung điểm M  ;  của AB và nhận AB  1;3
2 2
làm VTPT có PT

0.25

3
3
1( x  )  3( y  )  0  x  3 y  6  0
2

2

Gọi J là tâm của đường tròn (C1) ta có J là giao điểm của AI và d. Tọa độ của J là
nghiệm (x;y) của hệ

3. d


x  1
x  1

5


 y 
y  t
3
x  3y  6  0


 5
t  3

 5

Suy ra J 1; 
 3

0.25


và bán kính
R  JA 

1  1

2

2

5
5

0  
3
3


 5

5

Vậy đường tròn (C1) có tâm J 1;  , bán kính R  có phương trình
3
 3
2

5
5
2
 x  1   y     

3 3


2

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn 5x2  8xy  5 y 2  36 . Tìm giá trị lớn nhất của
4

biểu thức T  x2  y 2 .

0.5


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Ta có:





5x 2  8xy  5 y 2  36  x 2  y 2  4  x  y   36
2

0.25

 T  4  x  y   36
2

 T  36


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
5x 2  8 xy  5 y 2  36  x 2  18


x  y  0
 y  x
  x  3 2

  y  3 2

  x  3 2

  y  3 2

0.25









Vậy T đạt giá trị lớn nhất bằng 36 khi  x; y   3 2; 3 2 hoặc (x,y)= 3 2;3 2 .