Chơng 2
Mô hình nghiên cứu độ đàn hồi của dầu, độ cứng
thủy lực, tần số dao động riêng của xylanh và
động cơ dầu

2.1. quan hệ giữa áp suất và lu lợng khi tính đến độ đàn
hồi của dầu
2.1.1. Hệ số khả năng tích luỹ đàn hồi của dầu
Khi áp suất trong buồng chứa dầu thay đổi thì thể tích dầu cũng thay đổi do dầu có
biến dạng đàn hồi.
Nếu gọi C là hệ số tích lũy đàn hồi của dầu thì C đựơc xác định nh sau :

dp
dt
q
dp
dt
.
dt
dV
dp
dV
C ===
(2.1)
hay :
dt
dp
.Cq =
với
B
V

C
0
=
(2.2)
trong đó : q - lu lợng biến dạng đàn hồi của dầu;
V - thể tích dầu biến dạng;
P - áp suất trong buồng dầu;
V
0
- thể tích ban đầu của buồng dầu;
B - mô đun đàn hồi của dầu.

2.1.2. Hệ số tích lũy đàn hồi tơng đơng khi áp suất trong mạch thủy lực bằng
nhau
Xét mạch thủy lực trên hình 2.1a và hình 2.1b, nếu bài toán có tính đến biến dạng
đàn hồi của dầu trong ống dẫn và trong buồng làm việc của xylanh thì sơ đồ trên hình
2.1a hoặc hình 2.1b có thể chuyển thành sơ đồ tính toán nh ở hình 2.1c hoặc hình
2.1d.
Phơng trình cân bằng lu lợng có dạng :

VxPVxPVxPT
Q
dt
dp
).CC(Q
dt
dp
.C
dt
dp

.CQQQQ ++=++=++=
(2.3)
hay : Q
T
=
vRVT
QQQ
dt
dp
.C +=+
(2.4)



45

Q
T
Q
V
p
Q
T
F
L
A
R
A
P
Q

p
Q
x
b)
v







F
L
v
A
R
A
P
Q
T
p

a)



46





Q
T
p
F
L
v
Q
p
Q
x
Q
v
C
x
C
p

Q
T
p
C
p
Q
đ
F
L
Q
v

v



c)

d)

Hình 2.1. Sơ đồ mạch thủy lực tính đến biến dạng đàn hồi của dầu khi
áp suất bằng nhau
a và b - Các sơ đồ nguyên lý; c và d - Các sơ đồ tính toán.
trong đó :
Q
P
- lu lợng do biến dạng đàn hồi của dầu trong đờng ống dẫn;
Q
x
- lu lợng do biến dạng của dầu trong xylanh;
Q
R
- lu lợng do biến dạng đàn hồi của dầu trong đờng ống dẫn và trong
xylanh;
Q
v
- lu lợng cần thiết để pittông chuyển động với vận tốc v;
C
P
và C
x
- hệ số tích lũy đàn hồi của dầu trên đờng ống dẫn và trong xylanh;

C
T
- hệ số tích luỹ đàn hồi tơng đơng.
Bài toán trên chỉ ứng dụng cho trờng hợp coi áp suất trong ống dẫn và xylanh bằng
nhau.
2.1.3. Hệ số tích lũy đàn hồi tơng đơng khi áp suất trong mạch thủy lực khác
nhau
Nếu có mạch thủy lực nh ở hình 2.2a, trong đó áp suất trên đờng truyền của mạch
là khác nhau thì hệ số tích lũy đàn hồi tơng đơng xác định nh dới đây.
Phơng trình cân bằng áp suất :
P
A
= P
1
+ P
2
(2.5)
Theo (2.2) ta có :

=
t
0
T
1
1
dt.Q.
C
1
P
và


=
t
0
T
2
2
dt.Q.
C
1
P


Q
V
Q
T

47






Q
V
P
2
P

1
Q
T
C
1
p
A
p
A
C
T
C
2

b)
a)

Hình 2.2. Sơ đồ mạch thủy lực có áp suất không bằng nhau
a- Sơ đồ chi tiết; b- Sơ đồ tơng đơng.
nên :









+=+=

t
0
T
21
t
0
T
2
t
0
T
1
A
dt.Q.
C
1
C
1
dt.Q.
C
1
dt.Q.
C
1
P
(2.6)
hay :

=
t

0
T
T
A
dt.Q.
C
1
P
(2.7)
với :
21
21
T
CC
C.C
C
+
=

C
T
đợc gọi là hệ số tích lũy đàn hồi tơng đơng. Sơ đồ mạch thủy lực ở hình 2.2a có
thể thay thế bằng sơ đồ tơng đơng nh ở hình 2.2b.
2.2. Phân tích mạch thủy lực khi cả hai buồng của xylanh
đều có dầu đàn hồi
Hình 2.3a là sơ đồ cụm van- xylanh thủy lực khi cả hai buồng A và B đều có áp suất
thay đổi và tính đến độ đàn hồi của dầu.
Phơng trình cân bằng lu lợng có dạng :
Q
T

= Q
P
+ Q
XA
+ Q
VP
(2.8)
và Q
R
= Q
VR
Q
XB
Q
RB
(2.9)
Mặt khác ta thấy rằng :
V
A
= V
PA
+ V
XA
và V
B
= V
RB
+ V
XB
(2.10)

nên :
B
V
C
A
A
=
và
B
V
C
B
B
=
(2.11)











48




B
V
RB
C
R
Q
RB
Q
R
V
P
A
A
Q
T
Q
p
C
P
a)

van

v
F
L
Q
R
A
R

A
p
B
Q
vR
Q
xB
Q
RB
P
R
F
L
v
C
P
Q
P
Q
x
A
Q
vp
Q
T
P
p
C
xA
Q

xB
C
xB
Q
xA
C
xA
C
xB
C
R
b)

Hình 2.3. Mô hình điều khiển xylanh thủy lực khi cả hai buồng đều có dầu đàn hồi
a- Sơ đồ chung; b - Mô hình tính toán.
C
P
và C
R
- hệ số tích lũy đàn hồi của dầu trên đờng ống vào và ra;
C
XA
và C
XB
- hệ số tích lũy đàn hồi của dầu trong các buồng A và B của xylanh;
V
PA
và V
RB
- thể tích chứa dầu trên đờng ống vào và ra của xylanh;

V
XA
và V
XB
- thể tích chứa dầu trong các buồng A và B của xylanh;
Q
P
và Q
RB
- thành phần lu lợng dầu bị nén trên đờng ống vào và ra của xylanh;
Q
XA
và Q
XB
- thành phần lu lợng bị nén trong các buồng A và B của xylanh;
Q
VP
và Q
VR
- lu lợng đẩy pittông chuyển động với vận tốc v và lu lợng pittông
đẩy dầu ra khỏi xylanh;
Q
T
và Q
R
- lu lợng cung cấp và lu lợng về của van.

Theo các công thức (2.8), (2.9), (2.10) và (2.11) thì hình 2.3 có thể thay thế bằng
hình 2.4.
Phơng trình lu lợng là :


VP
P
AT
Q
dt
dP
.CQ +=
(2.12)
và :
VR
R
BR
Q
dt
dP
.CQ +=
(2.13)


49








Hình 2.4. Mô hình tính toán của cụm van.xylanh

P
P
Q
A
Q
vP
F
L
v

C
A
Q
vR
p
R

Q
B
C
B

Q
T

2.3. Xác định hệ số tích lũy đàn hồi cực đại của xylanh

F
L


V
C
A
Q
A
L
x
Q
B
C
B
P
R
P
P












Hình 2.5. Mô hình xác định hệ số tích lũy đàn hồi cực đại của xylanh

Nếu lu lợng dầu bị nén ở các buồng của xylanh bằng nhau Q

A
= - Q
B
, nghĩa là :


dt
dP
.C
dt
dP
.C
R
B
P
A
=
(2.14)
Mô hình này tơng đơng với mô hình có lu lợng bằng nhau và áp suất thay đổi
khác nhau ở hình 2.2. Nên cũng có thể tính hệ số tích lũy đàn hồi tơng đơng của
hình 2.5 theo công thức (2.15).

BA
BA
T
CC
C.C
C
+
=

(2.15)
hay :
BABAT
V
B
V
B
C
1
C
1
C
1
+=+=
(2.16)
Khi nghiên cứu đến vấn đề này ngời ta đã khẳng định rằng, nếu hệ số C
T
cực đại thì
tần số dao động riêng của xylanh sẽ cực tiểu.
Muốn tìm vị trí của pittông để C
T
cực đại ngời ta tính toán nh sau :
Công thức (2.16) có thể viết lại là :

BAT
V
1
V
1
C.B

1
+=
(2.17)
Lấy đạo hàm hai vế của (2.17) theo x ta có :

0
dx
dV
.
V
1
dx
dV
.
V
1
dx
C.B
1
d
B
2
B
A
2
A
T
==
(2.18)
Suy ra :

dx
dV
dx
dV
V
V
A
B
2
A
2
B
=
(2.19)
Mà : V
A
= A
P
.x + V
PA
Và V
B
= A
R
.(Lx) + V
RB
(2.20)
nên :
P
A

A
dx
dV
=
và
R
B
A
dx
dV
=
(2.21)
Thay (2.21) vào (2.19) ta đợc :
P
R
2
A
2
B
A
A
V
V
=
hay
x
A
B
1
V

V

=
(2.22)
Do đó công thức (2.20) đợc viết lại nh sau :

( )
xRBRxBPAP
.V)xL(A.VVx.A +==+
(2.23)
Suy ra :
PA
xRP
xRBxR
V
.AA
.V.L.A
x
+
+
=


50
Vì
R
P
x
A
A

=
nên :









+







+

=
x
P
PAxRB
x
.P
1
1A
V.V

LA
x
(2.24)
Nh vậy khi x xác định theo công thức (2.24) thì C
T
sẽ đạt cực đại (với 0 x L).

2.4. Độ cứng thủy lực và độ cứng tơng đơng

X
x
1
x
2
x
gh
F
L
P
p
1
p
2
p
0


F
L
V

0
C
H
A
P




X
(t)


P


b)
a)

Hình 2.6. Mô hình nghiên cứu độ đàn hồi của dầu
a- Mô hình thí nghiệm; b- Đặc tính p - x.
Hình 2.6a là mô hình thí nghiệm nghiên cứu sự đàn hồi của dầu. Nếu thành xylanh,
cần dẫn của pittông cứng tuyệt đối, không tính đến ma sát và sự rò dầu thì khi tăng lực
ép F
L
, áp suất P tăng (P tăng tỉ lệ với F
L
) đồng thời độ dịch chuyển của pittông x cũng
tăng tỉ lệ thuận với P. Quá trình đó thể hiện ở đặc tính trên hình 2.6b.
Trong phạm vi nhất định, quan hệ P - x đợc coi là tuyến tính. Đặc tính này giống

đặc tính của một lò xo hay một khâu đàn hồi cơ khí nào đó. Nghĩa là P tăng thì x tăng
nhng đến một giá trị giới hạn x
gh
thì dù P tăng nhng x không tăng nữa.
Nh vậy trong phạm vi quan hệ P - x tuyến tính thì độ đàn hồi của dầu tơng đơng
độ đàn hồi của một lò xo và độ cứng của khâu đàn hồi thủy lực đợc gọi là độ cứng
thuỷ lực C
H
.
Theo tính toán lý thuyết ở mục 3.6, nếu tính đến cả hệ số ma sát f và sức cản thủy
lực R
L
thì độ cứng thủy lực đợc xác định theo công thức nh sau :

C
A
R.C
f
C
2
P
L
H
+=
(2.25)

51
Với
B
V

C
0
=
và hệ số tổn thất lu lợng
L
R
1
K =
thì :

( )
0
2
P
H
V
AK.fB
C
+
=
, N/m hoặc lbf/in (2.26)
trong đó : V
0
- thể tích chứa dầu ban đầu (cm
3
hoặc in
3
);
B - môđun đàn hồi của dầu, B = 1,4.10
7

kg/cm.s
2
= 2.10
5
lbf/in
2
.
Nếu bỏ qua ma sát (f = 0) hoặc bỏ qua tổn thất lu lợng (K = 0 hay R
L
= không
có rò dầu) thì độ cứng thủy lực là :

C
A
V
A.B
C
2
P
0
2
P
H
==
(2.27)
Việc giới hạn dầu làm việc trong miền đàn hồi tuyến tính có độ cứng C
H
tơng
đơng với một lò xo thì mô hình nghiên cứu động lực học hệ thủy lực giống nh mô
hình động lực học hệ vật rắn đàn hồi (hình 2.7).


a) b)
m

C
2
hoặc

tơng đơng

m
C
2
C
1
tơng đơng

C
2
c)
C
1
m
C
tđ
=
C
1
+
C

2

m







C
1




C
tđ
=

21
21
CC
CC
+
.
m






d)

Hình 2.7. Mô hình xác định độ cứng tơng đơng
a, c - Sơ đồ ghép các lò xo; b, d - Sơ đồ tơng đơng.
Trên hình 2.7a lò xo C
1
và C
2
có cùng chuyển vị, còn trên hình 2.7c chuyển vị của lò
xo C
1
và lò xo C
2
khác nhau.

52