CHUYÊN ĐỀ 1 : ĐIỂM NẰM GIỮA HAI ĐIỂM.
Bài toán 1 : Trên cùng tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho A nằm giữa O
và B, biết OA = 5cm, AB = 8cm. Tính độ dài đoạn thẳng OB.
Bài toán 2 : Vẽ hai tia Ox và Oy đối nhau. Lấy A thuộc Ox và B thuộc Oy
sao cho OA = 7cm, OB = 9cm. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
Bài toán 3 : Trên đường thẳng xy lấy ba điểm A, B, C theo thứ tự sao cho
AB = 10cm, AC = 15cm. Tính độ dài đoạn thẳng BC.
Bài toán 4 : Vẽ hai tia Ox và Oy đối nhau. Lấy điểm A thuộc Ox và B
thuộc Oy sao cho OA = 5cm, AB = 10cm. Tính độ dài đoạn thẳng OB.
Bài toán 5 : Vẽ hai tia Ox và Oy đối nhau. Lấy điểm M thuộc Ox và N
thuộc Oy sao cho MN = 14cm, ON = 10cm. Tính độ dài đoạn thẳng OM.
Bài toán 6 : Trên cùng tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho OA = 8cm, OB =
16cm. a) Trong bai điểm O, A, B điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.
b) Tính độ dài đoạn thẳng AB.
Bài toán 7 : Trên cùng tia Ax lấy hai điểm B và C sao cho AB = 10cm, AC
=
20cm.
a) Trong ba điểm A, B, C điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.
b) Tính độ dài đoan thẳng BC.
Bài toán 8 : Lấy hai điểm M và N trên tia Ox sao cho OM = 6cm và ON =
12cm.
a) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.
b) Tính độ dài đoạn thẳng MN và cho nhận xét.
Bài toán 9 : Trên cùng tia Bx lấy hai điểm E và F sao cho BE = 9cm, BF =
18cm.
a) Trong ba điểm B, E, F điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.


b) Tính độ dài đoạn thẳng EF và cho nhận xét.
Bài toán 10 : Lấy ba điểm A, B, C theo thứ tự trên đường thẳng xy sao
cho AC = 22cm và BC = 11cm. Tính độ dài đoạn thẳng AB và cho nhận

xét.

CHUYÊN ĐỀ 2 : TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG.
Bài toán 1 : Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB, biết AM = 5cm.
Tính độ dài đoạn thẳng MB.
Bài toán 2 : Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng MN. Biết ON = 7cm.
Tính độ dài đoạn thẳng OM.
Bài toán 3 : Vẽ đoạn thẳng AB = 18cm có O là trung điểm của đoạn thẳng
AB. Tính OA và OB.
Bài toán 4 : Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN. Biết MN = 20cm.
Tính IM và IN.
Bài toán 5 : Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Biết OA = 5cm. Tính
độ dài đoạn thẳng AB.
Bài toán 6 : Trên đường thẳng xy lấy hai điểm A và B. Gọi M là trung
điểm của đoạn thẳng AB. Biết AM = 12cm. Tính MA và MB.
Bài toán 7 : Lấy đoạn thẳng AB = 15cm trên đường thẳng xy. Lấy điểm O
sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng AO. Tính BO ; AO.
Bài toán 8 : Vẽ hai tia Ox và Oy đối nhau. Lấy A thuộc Ox và B thuộc Oy
sao cho OA = OB. Điểm O là gì của đoạn thẳng AB.
Bài toán 9 : Trên đường thẳng xy lấy ba điểm A, B, C theo thứ tự sao cho
AB = BC.
a) Điểm B là gì của đoạn thẳng AC.
b) Cho AC = 24cm. Tính độ dài của BA, BC.
Bài toán 10 : Trên tia Ox lấy đoạn OA = 11cm. Lấy điểm B trên tia đối
của tia Ox sao cho OB = OA.
a) Chứng minh O là trung điểm của đoạn thẳng AB.


b) Tính độ dài AB.
Bài toán 11 : Vẽ hai tia Ox và Oy đối nhau. Lấy A thuộc Ox và B thuộc Oy

sao cho OA = OB và AB = 15cm.
a) Chứng minh O là trung điểm của đoạn thẳng AB.
b) Tính độ dài của OA và OB.
Bài toán 12 : Vẽ đoan AB = 30cm có điểm O nằm giữa hai điểm A và B sao
cho AB = 2AO.
a) Chứng minh OA = OB.
b) Chứng minh O là trung điểm của đoạn thẳng AB.
c) Tính độ dài của OA và OB.
Bài toán 13 : Vẽ đoạn AB = 30cm có điểm O nằm giữa hai điểm A và B sao
cho AB = 2AO.
a) Chứng minh O là trung điểm của đoạn thẳng AB.
b) Tính độ dài của OA và OB.
Bài toán 14 : Cho điểm M nằm giữa hai điểm A và B sao cho AM = 12 AB.
a) Chứng minh MA = MB.
b) Điểm M là gì của đoạn thẳng AB.
c) Biết AB = 40cm. Tính MA, MB.
Bài toán 15 : Cho đoạn thẳng AB và điểm I thuộc AB sao cho AI = 12AB.
a) chứng minh IA = IB.
b) Điểm I là gì của đoạn thẳng AB.
c) Tính IA, IB biết AB = 32cm.
Bài toán 16 : Lấy ba điểm A, B, C trên đường thẳng xy theo thứ tự ấy sao
cho AB = 5cm, AC = 20cm.
a) Tính độ dài BC.


b) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BC. Tính OB, OC.
Bài toán 17 : Trên đường thẳng xy lấy ba điểm A, B, C sao cho AB = 7cm ;
BC = 5cm ; AC = 12cm.
a) Trong ba điểm A, B, C điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.
b) Gọi M là trung điểm của AB. Tính MA.

Bài toán 18 : Lấy hai điểm M và N trên đường thẳng xy và O là trung
điểm của đoạn thẳng MN.
a) Tính OM và ON biết MN = 8cm.
b) Lấy A thuộc xy sao cho NA = 4cm và MA = 12cm. Trong ba điểm N, A,
N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.
Bài toán 19 : Lấy ba điểm A, B, C trên đường thẳng xy sao cho AB =
20cm ;AC = 6cm và BC = 14cm.
a) Trong ba điểm A, B, C điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
b) Gọi M là trung điểm của AC. Tính MC.
c) Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng CB. Tính CN.
Bài toán 20 : Trên đường thẳng xy lấy ba điểm A, B, C sao cho AB = 24cm
;AC = 8cm ; BC = 16cm.
a) Trong ba điểm A, B, C điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
b) Lấy điểm M thuộc xy sao cho A là trung điểm của BM. Tính BM và
AM.
LUYỆN TẬP CHUNG
Bài toán 21 : Vẽ hai tia Ox và Oy đối nhau. Lấy A thuộc Ax, B thuộc Oy
sao cho OA = 5cm, OB = 7cm. Tính AB.
Bài toán 22 : Vẽ hai tia Ox và Oy đối nhau. Lấy A thuộc Ox và B thuộc
Oy sao cho OA = 5cm, AB = 10cm. Tính OB và cho nhận xét.
Bài toán 23 : Vẽ hai tia Ox và Oy đối nhau. Lấy A thuộc Ox ; B thuộc Oy
sao cho OA = OB.


a) O là gì của AB.
b) Tính OA, OB biết AB = 12cm.
Bài toán 24 : Cho AB = 20cm. Lấy điểm M thuộc AB sao cho AM = 12cm.
a) Tính MB.
b) Gọi O là trung điểm của AM, I là trung điểm của MB. Tính OM, MI,
OI.

Bài toán 25 : Trên tia Ax lấy AB = 12cm. Điểm M nằm giữa hai điểm A và
B sao cho AM - MB = 6cm.
a) Tính AM và MB.
b) Trên tia đối của tia MB lấy N sao cho M là trung điểm của NB. Tính
NB.
c) Điểm N là gì của đoạn AB?
Bài toán 26 : Vẽ đoạn AB = 9cm. Điểm C nằm giữa hai điểm A và B sao
cho
AC - CB = 3cm/
a) Tính AC và CB.
b) Lấy M nằm giữa A và C sao cho C là trung điểm của BM. Tính MC và
BM.
c) Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AC.
Bài toán 27 : Cho AB = 40cm và C thuộc AB sao cho AC = 3CB.
a) Tính AC, CB.
b) Lấy M thuộc AC sao cho C là trung điểm của BM. Tính BM, AM và
cho
nhận xét.
Bài toán 28 : Trên đường thẳng xy lấy đoạn AB sao cho AB = 50cm và
điểm C nằm giữa A và B sao cho AC = 4CB.
a) Tính AC, CB.


b) Lấy M thuộc xy sao cho A là trung điểm của CM và N thuộc xy sao cho
B là trung điểm của CN. Chứng minh MN = 2CB và tính MN.
Bài toán 29 : Trên cùng tia Ax lấy AB = 4cm, AC = 12cm.
a) Trong ba điểm A, B, C điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.
b) Tính độ dài đoạn BC.
c) Lấy điểm M sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng AM. Tính BM,
AM,

MC.
Bài toán 30 : Trên cùng tia Ox lấy OA = 2cm, OB = 6cm.
a) Trong ba điểm O, A, B điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.
b) Lấy điểm M sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng OM. Tính AM,
OM, MB.
c) Điểm M là gì của đoạn thẳng AM?
Bài toán 31 : Trê đường thẳng xy lấy ba điểm A, B, C theo thứ tự ấy. Gọi
M là
trung điểm của đoạn thẳng AB và N là trung điểm của đoạn thẳng BC.
a) Chứng minh AC = 2MN.
b) Nếu AC = 18cm. Tính MN.
Bài toán 32 : Trên đường thẳng xy lấy đoạn thẳng AB = 10cm và điểm C
nằm giữa A và B sao cho AC - CB = 4cm.
a) Tính độ dài của AC và CB.
b) Gọi M là trung điểm của AC và N là trung điểm của CB. Tính độ dài
MN.
Bài toán 33 : Vẽ hai tia Ox và Oy đối nhau. Lấy A thuộc Ox ; B thuộc Oy
sao cho OA = 5cm ; OB = 7cm.
a) Tính độ dài AB.


b) Lấy điểm M sao cho A là trung điểm của OM và điểm N sao cho B là
trung
điểm của ON. Chứng minh MN = 2AB và tính MN.
Bài toán 34 : Trên đường thẳng xy lấy ba điểm A, B, C theo thứ tự sao cho
AC = 8cm, AB = 3BC.
a) Tính AB, BC.
b) Lấy điểm M sao cho B là trung điểm của CM. Tính CM, BM, AM.
c) Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AC.
Bài toán 35: Vẽ đoạn thẳng AC = 15cm và điểm B nằm giữa A và C sao

cho
BC = 2AB.
a) Tính độ dài AB, BC.
b) Lấy điểm M thuộc AC sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng AM.
Tính
AM, BM, CM.
c) Điểm M là gì của đoạn thẳng BC.
Bài toán 36 : Vẽ đoạn thẳng AB = 20cm có điểm C nằm giữa hai điểm A
và B sao cho AC - CB = 10cm.
a) Tính độ dài AC, CB.
b) Lấy điểm M thuộc AB sao cho C là trung điểm của đoạn thẳng BM.
Tính BM.
c) Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Bài toán 37: Cho đoạn thẳng AB = 30cm và điểm C thuộc AB sao cho CB
=12AC.
a) Tính độ dài AC, CB.
b) Lấy điểm M sao cho C là trung điểm của đoạn thẳng BM. Chứng minh
M là trung điểm của đoạn thẳng AC.


Bài toán 38 : vẽ đoạn thẳng AB = 40cm và C thuộc AB sao cho BC =
14AB.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng AC, CB.
b) Lấy điểm M thuộc AB sao cho C là trung điểm của đoạn thẳng BM.
Chứng minh điểm M là trung điểm của đoan thẳng AB.
Bài toán 39 : Trên đường thẳng xy lấy bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự ấy
sao cho AB = CD = 8cm, BC = 6cm.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng AC, BD và cho nhận xét.
b) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BC. Tính độ dài các đoạn thẳng
OA, OD

và cho nhận xét
CHUYÊN ĐỀ 2
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN VÀ CÁC PHÉP TOÁN
A.
1.

2.

Kiến thức cần nhớ.
Lũy thừa với số mũ tự nhiên.
Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng
a:
an = a.a…..a (n thừa số a) (n khác 0)
a được gọi là cơ số.
n được gọi là số mũ.
Nhân hai lũy thừa cùng cơ số.
am. an = am+n

3.

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữa nguyên cơ số và cộng các số
mũ.
Chia hai lũy thừa cùng cơ số.
am : an = am-n (a 0 ; m 0

4.

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ
các số mũ cho nhau.
Lũy thừa của lũy thừa.

(am)n = am.n
Ví dụ : (32)4 = 32.4 = 38


5.

6.

7.

B.

Nhân hai lũy thừa cùng số mũ, khác sơ số.
am . bm = (a.b)m
ví dụ : 33 . 43 = (3.4)3 = 123
Chia hai lũy thừa cùng số mũ, khác cơ số.
am : bm = (a : b)m
ví dụ : 84 : 44 = (8 : 4)4 = 24
Một vài quy ước.
1n = 1 ví dụ : 12017 = 1
a0 = 1 ví dụ : 20170 = 1
Bài tập.

Bài tập 1 : Viết gọn các tích sau dưới dạng lũy thừa.
a)
b)

4.4.4.4.4
10 . 10 . 10 . 100


c) 2 . 4 . 8 . 8 . 8 . 8
d) x . x . x . x

Bài tập 2 : Tính giá trị của các biểu thức sau.
a)

a4.a6

b) (a5)7

c) (a3)4 . a9

d) (23)5.(23)4

Bài toán 3 : Viết các tích sau dưới dạng một lũy thừa.
a)
b)
c)

48 . 220 ; 912 . 275 . 814 ;
2520 . 1254 ; x7 . x4 . x 3 ;
84 . 23 . 162 ; 23 . 22 . 83 ;

643 . 45 . 162
36 . 46
y . y7

Bài toán 4 : Tính giá trị các lũy thừa sau :
a)
b)

c)
d)

22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 27 , 28 , 29 , 210.
32 , 33 , 34 , 35.
42, 43, 44.
52 , 53 , 54.

Bài toán 5 : Viết các thương sau dưới dạng một lũy thừa.
a)
b)

49 : 44 ; 178 : 175 ; 210 : 82 ; 1810 : 310 ; 275 : 813
106 : 100 ; 59 : 253 ; 410 : 643 ; 225 : 324 : 184 : 94

Bài toán 6 : Viết các tổng sau thành một bình phương.
a)

13 + 23

b) 13 + 23 + 33

c) 13 + 23 + 33 + 43

Bài toán 7 : Tìm x N, biết.
a)

3x . 3 = 243

b) 2x . 162 = 1024 c) 64.4x = 168


d) 2x = 16


Bài toán 8 : Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý.
a) (217

+ 172).(915 - 315).(24 - 42)

b) (82017

- 82015) : (82104.8)

c) (13

+ 23 + 34 + 45).(13 + 23 + 33 + 43).(38 - 812)

d) (28

+ 83) : (25.23)

Bài toán 9 : Viết các kết quả sau dưới dạng một lũy thừa.
a) 1255 : 253

b) 276 : 93

c) 420 : 215

d) 24n : 22n


e) 644 . 165 : 420

g)324 : 86

Bài toán 10 : Tìm x, biết.
a) 2x.4 = 128

b) (2x + 1)3 = 125

c) 2x - 26 = 6

d) 64.4x = 45

e) 27.3x = 243

g) 49.7x = 2041

h) 3x = 81

k) 34.3x = 37

n) 3x + 25 = 26.22 + 2.30

Bài toán 11 : So sánh
a) 26 và 82

;

53 và 35


; 32 và 23

;

26 và 62

b) A = 2009.2011 và B = 20102
c) A = 2015.2017 và B = 2016.2016
d) 20170 và 12017
Bài toán 12 : Cho A = 1 + 21 + 22 + 23 + ... + 22007
a) Tính

2A

b) Chứng

minh : A = 22006 - 1

Bài toán 13 : Cho A = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37
a) Tính

2A

b) Chứng

minh A = (38 - 1) : 2


Bài toán 14 : Cho B = 1 + 3 + 32 + ... + 32006
a) Tính


3A

b) Chứng

minh : A = (32007 - 1) : 2

Bài toán 15 : Cho C = 1 + 4 + 42 + 43 + 45 + 46
a) Tính

4A

b) Chứng

minh : A = (47 - 1) : 3

Bài Toàn 16 : Tính tổng
S = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22017

CHUYÊN ĐỀ 3
THỨ TỰ THỰC HIỆN PHÉP TÍNH
Kiến thức cần nhớ :
1
-

2

Đối với biểu thức không có dấu ngoặc :
Nếu phép tính chỉ có cộng, trừ hoặc chỉ có nhân, chia, ta thực hiện phép
tính theo thứ tự từ trái sang phải.

Nếu phép tính có cả cộng , trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, ta thực
hiện phép nâng lên lũy thừa trước, rồi đến nhân chia, cuối cùng đến
cộng trừ.
Lũy thừa  nhân và chia  cộng và trừ.
Đối với biểu thức có dấu ngoặc.
Nếu biểu thức có các dấu ngoặc : ngoặc tròn ( ), ngoặc vuông [ ], ngoặc
nhọn { }, ta thực hiện phép tính theo thứ tự :
()[] {}
BÀI TẬP

Bài toán 1 : Thực hiện phép tính.
5 . 22 – 18 : 32
17 . 85 + 15 . 17 – 120
e) 75 – ( 3.52 – 4.23)
g) 150 + 50 : 5 - 2.32
a
b

c) 23 . 17 – 23 . 14
d) 20 – [ 30 – (5 – 1)2 ]
f) 2.52 + 3: 710 – 54: 33
h) 5.32 – 32 : 42

Bài toán 2 : Thực hiện phép tính.


a
b
c
d

e
f

27 . 75 + 25 . 27 – 150
12 : { 400 : [500 – (125 + 25 . 7)]}
13 . 17 – 256 : 16 + 14 : 7 – 1
18 : 3 + 182 + 3.(51 : 17)
15 – 25 . 8 : (100 . 2)
25 . 8 – 12.5 + 170 : 17 - 8

Bài toán 3 : Thực hiện phép tính.
a
b
c
d
e
f

23 – 53 : 52 + 12.22
5[(85 – 35 : 7) : 8 + 90] – 50
2.[(7 – 33 : 32) : 22 + 99] – 100
27 : 22 + 54 : 53 . 24 – 3.25
(35 . 37) : 310 + 5.24 – 73 : 7
32.[(52 – 3) : 11] – 24 + 2.103

g) (62007 – 62006) : 62006
h) (52001 - 52000) : 52000
k) (72005 + 72004) : 72004
l) (57 + 75).(68 + 86).(24 – 42)
m) (75 + 79).(54 + 56).(33.3 – 92)

n) [(52.23) – 72.2) : 2].6 – 7.25

Bài toán 4 : Tìm số tự nhiên x, biết.
a
b
c
d
e
f

70 – 5.(x – 3) = 45
12 + (5 + x) = 20
130 – (100 + x) = 25
175 + (30 – x) = 200
5(x + 12) + 22 = 92
95 – 5(x + 2) = 45

g) 10 + 2x = 45 : 43
h) 14x + 54 = 82
k) 15x – 133 = 17
l) 155 – 10(x + 1) = 55
m) 6(x + 23) + 40 = 100
n) 22.(x + 32) – 5 = 55

Bài toán 5 : Tìm x, biết.
a
b
c
d
e


5.22 + (x + 3) = 52
23 + (x – 32) = 53 - 43
4(x – 5) – 23 = 24.3
5(x + 7) – 10 = 23.5
72 – 7(13 – x) = 14

f) 5x – 52 = 10
g) 9x – 2.32 = 34
h) 10x + 22.5 = 102
k) 125 – 5(4 + x) = 15
l) 26 + (5 + x) = 34

Bài toán 6 : Tìm x, biết.
a
b
c
d

15 : (x + 2) = 3
20 : (1 + x) = 2
240 : (x – 5) = 22.52 – 20
96 - 3(x + 1) = 42

Bài toán 7 : Thực hiện phép tính.
a) 27 . 75 + 25 . 27 - 150;

e) 5(x + 35) = 515
f) 12x - 33 = 32 . 33
g) 541 + (218 - x) = 73

h) 1230 : 3(x - 20) = 10


b) 142 - [50 - (23.10 - 23.5)]
c) 375 : {32 – [ 4 + (5. 32 – 42)]} – 14
d) {210 : [16 + 3.(6 + 3. 22)]} – 3
e) 500 – {5[409 – (2³.3 – 21)²] - 1724}

Bài toán 8 : Thực hiện phép tính.
80 - (4.52 - 3.23)
56 : 54 + 23.22 - 12017
125 - 2.[56 - 48 : (15 - 7)]
23.75 + 25.10 + 25.13 + 180
2448: [119 -(23 -6)]
[36.4 - 4.(82 - 7.11)2 : 4 - 20160
g) 303 - 3.{[655 - (18 : 2 + 1).43 + 5]} : 100
Bài toán 9 : Tìm x, biết.
a) 48 - 3(x + 5) = 24
e) 4x + 18 : 2 = 13
x+1
x
b) 2 - 2 = 32
g) 2x - 20 = 35 : 33
c) (15 + x) : 3 = 315 : 312
h) 525.5x-1 = 525
d) 250 - 10(24 - 3x) : 15 = 244
k) x - 48 : 16 = 37
a
b
c

d
e
f

Bài toán 10 : Tìm x, biết.
a

[(8x - 12) : 4] . 33 = 36

g) 52x – 3 – 2 . 52 = 52. 3

b

41 - 2x+1 = 9

h) 52x – 3 – 2 . 52 = 52. 3

c

32x-4 - x0 = 8

k) 30 - [4(x - 2) + 15] = 3

d

65 - 4x+2 = 20140

e

120 + 2.(3x - 17) = 214


l) 740:(x + 10) = 102 – 2.13
m) [(6x - 39) : 7].4 = 12

Bài toán 11 : Tính tổng sau.
a

S = 4 + 7 + 10 + 13 +………………+ 2014 + 2017

b

S = 35 + 38 + 41 +……….+ 92 + 95

c

S = 10 + 12 + 14 +……….+ 96 + 98


Gợi ý bài toán 11 : Tổng của dãy số cách đều.
Bước 1 : tính số số hạng qua công thức :
n = (số cuối - số đầu) : d + 1
Với d là khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp.
Bước 2 : Tính tổng S qua công thức :
S=.n

TOÁN 6
CHUYÊN ĐỀ 4
ƯỚC VÀ BỘI – ƯCLN VÀ BCNN
KIẾN THỨC
1. Ước và Bội.

A

Nếu có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì ta nói a là bội của b
còn b được gọi là ước của a.
Ví dụ : 18 6 18 là bội của 6. Còn 6 được gọi là ước của 18.
2. Cách tìm bội.
Ta có thể tìm các bội của một số khác 0 bằng cách nhân số đớ với lần lượt
0, 1, 2, 3, ...
Ví dụ : B(6) = {0 ; 6 ; 12 ; 18 ; ... }
3

Cách tìm ước.
Ta có thể tìm ước của a (a > 1) bằng cách lần lượt chia a cho các số tự
nhiên từ 1 đến a để xem xét a chia hết cho những số nào, khi đó các số ấy
là ước của a.
Ví dụ : Ư(16) = {16 ; 8 ; 4 ; 2 ; 1}

4

Số nguyên tố.


Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó
Ví dụ : Ư(13) = {13 ; 1} nên 13 là số nguyên tố.
5

Ước chung.

6


Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Ước chung lớn nhất - ƯCLN

7

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các
ước chung của các số đó.
Cách tìm ước chung lớn nhất - ƯCLN

Muốn tìm UCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước
sau :
Bước 1 : Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2 : Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3 : Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất
của nó. Tích đó là UCLN phải tìm.
Ví dụ : Tìm UCLN (18 ; 30)
Ta có :
Bước 1 : phân tích các số ra thừa số nguyên tố.
18 = 2.32
30 = 2.3.5
Bước 2 : thừa số nguyên tố chung là 2 và 3
Bước 3 : UCLN (18 ; 30) = 2.3 = 6
Chú ý : Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì UCLN
của chúng bằng 1.
Hai hay nhiều số có UCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau.
8

9

Cách tìm ƯC thông qua UCLN.

Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có tể tìm các ươc của UCLN của
các số đó.
Bội chung.
Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó


x
x
10

11

∈

BC (a , b) nếu x

M

∈

M

a và x b

M

M

M


BC (a, b, c) nếu x a ; x b và x c
Các tìm bội chung nhỏ nhất. (BCNN)

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện theo ba bước
sau :
Bước 1 : Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2 : Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.
Bước 3 : Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất
của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.
Cách tìm bội chung thông qua BCNN.
Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của
các số đó.

B. BÀI TẬP.
Bài toán 1 : Viết các tập hợp sau.
a

Ư(6) ; Ư(9) ; Ư(12)

d) B(23) ; B(10) ; B(8)

b

Ư(7) ; Ư(18) ; Ư(10)

e) B(3) ; B(12) ; B(9)

c

Ư(15) ; Ư(16) ; Ư(250


g) B(18) ; B(20) ; B(14)

Bài toán 2 : Phân tích các thừa số sau thành tích các thừa số nguyên tố.
a) 27 ; 30 ; 80 ; 20 ; 120 ; 90.

c) 16 ; 48 ; 98 ; 36 ; 124.

b ) 15 ; 100 ; 112 ; 224 ; 184.

d) 56 ; 72 ; 45 ; 54 ; 177.

Bài toán 3 : Tìm UCLN.
a

ƯCLN ( 10 ; 28)

e) ƯCLN (24 ; 84 ; 180)

b

ƯCLN (24 ; 36)

g) ƯCLN (56 ; 140)

c

ƯCLN (16 ; 80 ; 176)

h) ƯCLC (12 ; 14 ; 8 ; 20)


d

ƯCLN (6 ; 8 ; 18)

k) ƯCLN ( 7 ; 9 ; 12 ; 21)


Bài toán 4 : Tìm ƯC.
a

ƯC(16 ; 24)

e) ƯC(18 ; 77)

b

ƯC(60 ; 90)

g) ƯC(18 ; 90)

c

ƯC(24 ; 84)

h) ƯC(18 ; 30 ; 42)

d

ƯC(16 ; 60)


k) ƯC(26 ; 39 ; 48)

Bài toán 5 : Tìm BCNN của.
a

BCNN( 8 ; 10 ; 20)

f) BCNN(56 ; 70 ; 126)

b

BCNN(16 ; 24)

g) BCNN(28 ; 20 ; 30)

c

BCNN(60 ; 140)

h) BCNN(34 ; 32 ; 20)

d

BCNN(8 ; 9 ; 11)

k) BCNN(42 ; 70 ; 52)

e


BCNN(24 ; 40 ; 162)

l) BCNN( 9 ; 10 ; 11)

Bài toán 6 : Tìm bội chung (BC) của.
a

BC(13 ; 15)

e) BC(30 ; 105)

b

BC(10 ; 12 ; 15)

g) BC( 84 ; 108)

c

BC(7 ; 9 ; 11)

h) BC(98 ; 72 ; 42)

d

BC(24 ; 40 ; 28)

k) BC(68 ; 208 ; 100)

Bài toán 7 : Tìm số tự nhiên x lớn nhất, biết rằng:

a) 420
b) 48

M

M

x và 700

M

x và 60

x

M

x

e) 17
f) 8

M

x ; 21

M

x ; 25


M

x và 51

M

x và 40

M

x

M

x


c) 105
d) 46

M

x ; 175

M

x ; 32

M


x và 385

M

x và 56

M

x

g) 12

M

x

M

M

M

M

M

M

x ; 15


h) 50

x; 42

x và 35

x và 38

x

x

Bài toán 8 : Tìm các số tự nhiên x biết;
a

x

b

x

c

x

d

x

∈


∈

∈

∈

B(8) và x

≤

30

B(15) và 15 < x

≤

90

f) x

B(12) và 12 < x < 90
B(5) và x

≤

M

e) x


12 và 50 < x

h) x

72

M

14 và x < 92

g) x

100

≤

M

9 và x < 40

M

12 và 24

≤

x

≤


80

Bài toán 9 : Tìm các số tự nhiên x biết.
a

x

b

x

∈

∈

BC(6 ; 21; 27) và x

≤

BC(12 ; 15 ; 20) và x

2000

≤

∈

f) x

500


g) x

∈

BC(5 ; 7 ; 8) và x

≤

BC(12 ; 5 ; 8) và 60

500

≤

x

≤

240
c

x

∈

BC(5 ; 10 ; 25) và x < 400

h) x


∈

BC(3 ; 4 ; 5; 10) và x

<200
d

x

e

x

∈

∈

BC(3 ; 5 ; 6 ; 9) và 150
BC(16 ; 21 ; 25) và x

≤

≤

x

≤

250


400

k) x

Bài toán 10 : Tìm số tự nhiên x, biết.
a

(x - 1)

b

(x - 1)

c

(x + 1)

∈

∈

∈

BC(4 ; 5 ; 6) và x < 400
BC(4 ; 5 ;6) và x

M

7 và x < 400


BC(6 ; 20 ; 15) và x

≤

300

∈

BC(7 ; 14 ; 21) và x

≤

210


d

(x + 2)

∈

BC( 8 : 16 : 24) và x

Bài toán 11 : Tìm x
a

x

b


x

∈

M

M

M

M

M

12 ; x

250

N biết.

M

39 ; x

≤

65 ; x
21 ; x

91 và 400 < x < 2600

28 và x < 500

Bài toán 12 : Tìm số tự nhiên x lớn nhất sao cho : 13 ; 15 ; 61 chia x đều dư 1.
Bài toán 13 : Tìm số tự nhiên x lớn nhất sao cho 44 ; 86 ; 65 chia x đều dư 2.
Bài toán 14 : Tìm số tự nhiên x, biết 167 chia x dư 17 ; 235 chia x dư 25.
Bài toán 15 : Tìm số tự nhiên x biết khi chia 268 cho x thì dư 18 ; 390 chia x
dư 40.
Bài toán 16 : Tìm số tự nhiên x lớn nhất thỏa mãn : 27 chia x dư 3 ; 38 chia x
dư 2 và 49 chia x dư 1.
Bài toán 17 : Tìm số tự nhiên x nhỏ nhất biết khi chia x cho các số 5 ; 7 ; 11
thì được các số dư lần lượt là 3 ; 4 ; 6.
Bài toán 18 : Học sinh của lớp 6A khi xếp thành hàng 2, hàng 3, hàng 4 hoặc
hàng 8 đều vừa đủ. Biết số học sinh của lớp 6A từ 38 đến 60 em. Tính số học
sinh lớp 6A.
Đ/S : 48 học sinh
Bài toán 19 : Sô học sinh của lớp 6A từ 40 đến 50 em. Khi xếp thành hàng 3
hoặc 5 đều dư 2 em. Tính số học sinh lớp 6A.
Đ/S :47 học sinh
Bài toán 20 : Học sinh khối 6 của một trường có từ 200 đến 300 em. Nếu xếp
thành hàng 4, hàng 5 hoặc hàng 7 đều dư 1 em. Tìm số học sinh khối 6 của
trường đó.
Đ/S : 281 học sinh.


Bài toán 21 : Có 96 cái bánh và 84 cái kẹo được chia đều vào mỗi đĩa. Hỏi có
thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu đĩa. Khi ấy mỗi đĩa có bao nhiêu cái
bánh, bao nhiêu cái kẹo?
Đ/S :
Bài toán 22 : Một lớp 6 có 24 nữ và 20 nam được chia thành tổ để số nam và
số nữ được chia đều vào tổ. Hỏi chia được nhiều nhất bao nhiêu tổ? Khi ấy

tính số nam và số nữ mỗi tổ.
Đ/S : 4 tổ. Mỗi tổ có 6 nữ và 5 nam.
Bài toán 23 : Có 60 quyển vở và 42 bút bi được chia thành từng phần. Hỏi có
thể chia nhiều nhất được bao nhiêu phần để số vở và số bút bi được chia đều
vào mỗi phần? Khi ấy mỗi phần có bao nhiêu vở và bao nhiêu bút bi?
Đ/S : 6 phần. Mỗi phần có 10 vở và 7 bút.
Bài toán 24 : Một hình chữ nhật có chiều dài 105 và chiều rộng 75m được
chia thành các hình vuông có diện tích bằng nhau. Tính độ dài cạnh hình
vuông lớn nhât trong các cách chia trên.
Đ/S : 15m
Bài toán 25 : Đội A và đội B cùng phải trồng một số cây bằng nhau. Biết mỗi
người đội A phải trồng 8 cây, mỗi người đội B phải trồng 9 cây và số cây mỗi
đội phải trồng khoảng từ 100 đến 200 cây. Tìm số cây mà mỗi đôi phải trồng.
Đ/S : 144 cây
Bài toán 26 : Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 112m và chiều rộng
40m. Người ta muốn chia mảnh đất thành những ô vuông bằng nhau để trồng
các loại rau. Hỏi với cách chia nào thì cạnh ô vuông là lớn nhất và bằng bao
nhiêu?
Đ/S : 8m
Bài toán 27 : Có 133 quyển vở, 80 bút bi, 177 tập giấy. Người ta chia vở, bút
bi, giấy thành các phần thưởng bằng nhau, mỗi phần thưởng gồm cả ba loại.
Nhưng sau khi chia xong còn thừa 13 quyển vở, 8 bút và 2 tập giấy không đủ
chia vào các phần thưởng khác. Tính xem có bao nhiêu phần thưởng.
Đ/S : 3 phần thưởng


Bài toán 28 : Một đơn vị bộ đội khi xếp thành mỗi hàng 20 người, 25 người
hoặc 30 người đều thừa 15 người. Nếu xếp thành hàng 41 người thì vừa đủ
(không có hàng nào thiếu, không có ai ở ngoài). Hỏi đơn vị đó có bao nhiêu
người, biết rằng số người của đơn vị chưa đến 1000 người.

Đ/S : 615 người.
Bài toán 29 : Số học sinh khối 6 của một trường khoảng từ 300 đến 400 học
sinh. Mỗi lần xếp hàng 12, hàng 15, hàng 18 đều vừa đủ không thừa ai. Hỏi
trường đó khối 6 có bao nhiêu học sinh.
Đ/S : 360 học sinh.
Bài toán 30 : Cô giáo chủ nhiệm muốn chia 128 quyển vở, 48 bút chì và 192
tập giấy thành một số phần thưởng như nhau để trao trong dịp sơ kết học kì
một. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu phần thưởng, khi đó mỗi phần
thưởng có bao nhiêu quyển vở, bao nhiêu bút chì, bao nhiêu tập giấy.
Đ/S : 16 phần. 8 quyển vờ, 3 bút chì, 12 tập giấy.
Bài toán 31 : Tìm các giá trị nguyên của x để. (toán nâng cao chuyên đề này).
a) 1
b) 4

M

(x + 7)

e) (2x - 9)

M

M

d) (x - 4)

M

(x + 7)


M

k) (5x + 2)

(x - 1)

M

∈

Z, chứng minh rằng.

a

[x(x + 1) + 1] không chia hết cho 2

b

(x2 + x + 1) không chia hết cho 2

c

[3.(x2 + 2x) + 1] không chia hết cho 3

(x - 3)

M

(x + 1)


l) (2x2 + 3x + 2)

(x - 5)

Bài toán 32 : với x

M

h) (x2 - 3x - 5)

(x + 7)

d) (2x + 16)

(x - 5)

g) (x2 - x - 1)

(x - 5)

c) (x +8)

M

M

(x + 1)


(3x2 + 6x + 1) không chia hết cho 3.


d

HẾT

HÌNH HỌC 6 - CHƯƠNG 1
Lý thuyết.
Điểm.
Dấu chấm nhỏ trên trang giấy cho chúng ta hình ảnh của một điểm.
Người ta dùng các chữ cái in hoa A, B, C … đặt tên cho điểm.
Đường thẳng.
Sợi chỉ căng thẳng, mép bảng… cho ta hình ảnh của đường thẳng
- Cách đặt tên đường thằng.
Cách 1 : người ta dùng các chữ cái thường a, b, x, y, .... để đặt tên cho
đường thẳng.
x
Đọc là đường thẳng x.
Cách 2 : đọc tên 2 điểm thuộc đường thằng.
Vì dụ đường thẳng đi qua hai điểm A và B. ta đọc là đường thẳng AB.
A
1
2
-

A

B

Cách 3 : đặt tên bằng 2 chữ cái thường. Ví dụ đường thẳng xy, ab, ...
x


y
∈

- Điểm A thuộc đường thẳng d ta kí hiệu : A d

∉
- Điểm M không thuộc đường thẳng d ta kí hiệu : M d.
3 Ba điểm thẳng hàng.
- Khi ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường thẳng ta nói rằng chúng thẳng
hàng với nhau.


A

B

C

- Khi bà điêm A, B, C không cùng thuộc bất kì đường thẳng nào, ta nói
chúng không thẳng hàng.
- Trong ba điểm thẳng hàng, có một và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm
còn lại.
* Cách chứng minh ba điểm A, B, C thằng hàng.
Cách 1 : chứng minh ba điểm A, B, C cùng nằm trên 1 đường thằng.
Cách 2 : Chứng minh tia AB trung với tia AC.
4. Quan hệ giữa hai đường thẳng.
- Hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng có 1 điểm chung duy nhất.
- Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung nào.
- Hai đường thẳng trùng nhau là hai đường thẳng có vô số điểm chung.

5. Tia.
- Trên đường thẳng xy ta lấy một điểm O nào đó. Ta thấy điểm O chia đường
thẳng xy thành hai phần riêng biệt. Hình gồm điểm O và một phần đường
thẳng bị chia ra bởi điểm O được gọi là tia gốc O. (còn gọi là nửa đường thẳng
gốc O)
y
O
x
6. Hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau, hai tia phân phân biệt.
- Hai tia đối nhau là hai tia chung gốc , có hướng ngược nhau.
x
O
y
- Hai tia trùng nhau là hai tia chung gộc, có vô số điểm chung (hoặc là hai tia
chung gốc, có cùng hướng).
- Hai tia không trùng nhau được gọi là hai tia phân biệt.
7. Đoạn thẳng.
- Đoạn thẳng AB là hình gồm điểm A, điểm B và tất cả các điểm năm giữa
A và
8 . Khi nào thì AM + MB = AB.
- Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì AM + MB = AB. Ngược lại
nếu AM + MB = AB thì điểm M nằm giữ hai điểm A và B.
A
M
9. Trung điểm của đoạn thẳng.

B


- Điểm M được gọi là trung điểm của đoạn thẳng AB nếu M nằm giữ hai

điểm A, B và MA = MB.

B. Bài tập.

Bài toán 1 : vẽ hình theo các trình tự sau:
-

Cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. Vẽ đoạn thẳng BC, tia AB,

-

đường thẳng CA.
Vẽ tia Bx cắt đường thằng AC tại điểm M không nằm giữa hai điểm A

-

và C.
Vẽ tia Ay là tia đối của tia AB.
Lấy điểm K sao cho C là trung điểm của BK.

Bài toán 2 : Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Hãy vẽ đoạn thẳng AB,
tia BC, đường thẳng AC và tia Ax cắt BC tại M ( M nằm giữ B và C).\

Bài toán 3 : Trên tia Ox, vẽ hai điểm A, B sao cho OA = 2cm, OB = 4cm.
a) Điểm A có nằm giữa O và B không?
b) So sánh OA và OB.
c) Điểm A có là trung điểm của đoạn thẳng OB không? Vì sao?

Bài toán 4 : Cho đoạn thẳng AB dài 6cm. Trên tia AB lấy điểm M sao cho
AM 3cm.

a) điểm M có nằm giữa hai điểm A và B không? Vì sao?


b) So sánh AM và MB.
c) M có là trung điểm của AB không?

Bài toán 5 : Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
a
b
c
d

Vẽ tia AB. Đoạn thẳng BC, đường thẳng AC.
Vẽ tia Ax là tia đối của tia AB.
Vẽ tia BK cắt đường thẳng AC tại K sao cho K nằm giữa A và C.
Lấy điểm H sao cho H là trung điểm của BC.

Bài toán 6 : Vẽ hai tia đối nhau Ox và Oy. Lấy điểm M thuộc tia Ox, điểm N
thuộc tia Oy.
a
b

Kể tên các tia đối nhau gốc M.
Kể tên các tia trung nhau gốc N.

Bài toán 7 : Vẽ hình theo cách diễn đạt sau:
-

Cho ba điểm A, B, M không thẳng hàng. Vẽ tia BM, đoạn thẳng AM và


-

đường thẳng AB.
Vẽ tia Mx là tia đối của tia AB.
Vẽ tia By cắt đoạn thẳng AM tại điểm C nằm giữa A và M.
Vẽ tia Mz cắt AB tại N sao cho N là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Bài toán 8 : Vẽ theo trình tự sau:
-

Cho 3 điểm M, N, P không thẳng hàng.
Đường thẳng MP, đoạn thẳng MN, tia PN.
Tia Py là tia đối của tia PN.
Tia Pt cắt MN tại trung điểm H của đoạn thẳng MN.

Bài toán 9 : Vẽ theo các diễn đạt sau :
a
b
c

Hai tia Ox và Oy đối nhau.
Đoạn thẳng AB cắt đường thẳng xy tại O.
Hai tia AB và AC trùng nhau.