MỤC LỤC
TT

Nội dung

Trang

1

Mở đầu

2

1.1

Lí do chọn đề tài

2

1.2

Mục đích nghiên cứu

2

1.3

Đối tượng nghiên cứu

2-3

1.4

Phương pháp nghiên cứu

3

2

Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

4

2.1

Cơ sở lí luận

4

2.2

Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến

4-5

2.3

5-16

3


Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc giải pháp đã sử dụng để
thực hiện vấn đề
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động
giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Kết luận, kiến nghị

3.1

Kết luận

18

3.2

Kiến nghị

18

4

Tài liệu tham khảo

20

2.4

16-17
18

1



1 - MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng, là
môn học công cụ hỗ trợ đắc lực cho hầu hết các môn học khác như Lý, Hóa, Sinh,
Văn…Như vậy, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương
pháp làm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ
thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết, môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức
tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê
phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Trong cấu trúc đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh, cấp huyện như hiện nay thì
một phần chương trình không thể thiếu được đó là giải hệ phương trình. Tuy nhiên,
các em chỉ được biết giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế
và phương pháp cộng đại số; trong khi các bài giải hệ phương trình trong đề thi học
sinh giỏi thì không phải như vậy. Vậy làm thế nào mà vận dụng hai quy tắc thế và quy
tắc cộng đại số để có thể giải được các bài hệ phương trình khó trong đề thi học sinh
giỏi? Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi tôi đã sử dụng một số kĩ thuật vận dụng
hai quy tắc thế và quy tắc cộng đại số để giải hệ phương trình, tôi thấy có hiệu quả nên
mạnh dạn viết thành sáng kiến kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh giỏi lớp 9 một số kĩ
thuật giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số ” để
đồng nghiệp tham khảo.
1.2 Mục đích nghiên cứu
Tìm ra tri thức phương pháp trong việc vận dụng quy tắc thế và quy tắc cộng đại
số để giải hệ phương trình để giáo viên và học sinh khá, giỏi được tiếp cận với các kĩ
thuật giải hệ phương trình .
1.3 Đối tượng nghiên cứu
- Là toàn bộ lớp đội tuyển môn Toán năm 2016 - 2017 do bản thân phụ trách được
tuyển chọn từ các trường THCS khác trong Huyện với sỉ số 35 em.

2


- Quy tắc thế và quy tắc cộng đại số; các hệ phương trình đại số bậc hai, bậc ba
1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu và phương pháp thu nhập thông tin : Để hoàn
thành tốt đề tài tôi đã sử dụng kết hợp việc nghiên cứu các tài liệu đã xuất bản dành
cho học sinh giỏi lớp 9, các đề thi HSG lớp 9 các tinh, các trang mạng toán học.
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế: Thu thập thông tin từ giáo viên trực tiếp
giảng dạy môn Toán lớp 9 ở các trường trong cùng huyện hoặc ngoài huyện và từ
những học sinh trực tiếp tham gia lớp đội tuyển do bản thân trực tiếp phụ trách.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm đề tài làm đề kiểm
tra theo chuẩn kiến thức kĩ năng để đánh giá tính hiệu quả đối với việc vận dụng kiến
thức phần hệ phương trình. Từ đó sửa đổi bổ sung và hoàn thiện những thiếu sót của
đề tài.
- Sử dụng phương pháp thống kê toán học để xử lý thông tin, đánh giá kết quả
thực nghiệm sư phạm. So sánh kết quả đạt được trước và sau áp dụng đề tài.

3


2 - NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1

Quy tắc thế

Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất) ta
biểu diễn một ẩn theo ẩn kỉa rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương
trình mới ( chỉ còn một ẩn )

Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong
hệ ( phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn
theo ẩn kia có được ở bước 1)
2.1.2 Quy tắc cộng đại số
Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để
được phương trình mới
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho một trong hai phương trình
của hệ (và giữ nguyên phương trình kia)
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
- Học sinh lớp 9 chỉ được cung cấp kiến thức về quy tắc thế, quy tắc cộng đại số
để áp dụng giải các hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn nên khi các em gặp hệ hai
phương trình không phải là bậc nhất nữa thì các em sẽ gặp khó khăn trong việc áp
dụng quy tắc, khó khăn trong việc trình bày lời giải hoặc thậm chí là không biết định
hướng tư duy.
- Để đánh giá thực trạng của học sinh trong việc giải hệ phương trình tôi tiến
hành kiểm tra đối với 35 học sinh được chọn vào vòng 1 đi thi tỉnh môn toán lớp 9
năm học 2016-2017 . Đề bài
Bài 1 (5 điểm): Giải các hệ phương trình sau:
x + y = 4
a/  2
2
x + y = 8

 x 2 + 2y + 1 = 0
b/  2
 y − 2x + 1 = 0

Bài 2(5 điểm): Giải các hệ phương trình sau

 xy = x + 7y + 1

a/  2 2
2
 x y = 10y − 1

 x 2 + 2xy + 2y 2 + 3x = 0
b/ 
2
 xy + y + 3y + 1 = 0

Kết quả cụ thể :
4


Điểm dưới 5

Điểm 5 – 7,5

Điểm 7,75 – 8,75

Điểm 9 – 10

SL

%

SL

SL

%


%

SL

%

3

8,57

27

77,14

5

14,29

0

0

Từ thực trạng trên tôi thấy các em chưa có kĩ năng vận dụng quy tắc thế và quy
tắc cộng đại số trong việc giải hệ hai phương trình không chứa phương trình bậc nhất.
Để giúp các em học sinh khá giỏi học tốt hơn trong việc giải hệ phương trình, tôi đã
hướng dẫn các em “Hướng dẫn học sinh giỏi lớp 9 một số kĩ thuật giải hệ phương
trình bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số ”
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề.

Trong quá trình ôn tập và giảng dạy phần giải hệ phương trình tôi đã hướng dẫn
cho học sinh một số kĩ thuật giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phương
pháp cộng đại số như sau:
2.3.1 Kĩ thuật biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại hoặc một biểu thức chứa ẩn theo
các ẩn
Bài 1 Giải hpt (VN math.com)

 xy = x + 7y + 1
 2 2
2
 x y = 10y − 1

( 1)
( 2)

Giải
Với y=1 hpt vô nghiệm
Với y ≠ 1 pt ( 1) ⇔ x ( y − 1) = 7y + 1 ⇔ x =

7y + 1
thay vào pt(2) ta được
y −1

2

 7y + 1  2
2
4
3
2

 y − 1 ÷ y = 10y − 1 ⇔ 39y + 34y − 8y − 2y + 1 = 0


 y = −1
⇔
−1
y =
3

5


Với y = −1 ⇒ x = 3
Với y =

−1
⇒ x =1
3

 −1 
Vậy hpt có 2 nghiệm ( x; y ) = ( 3; −1) ; 1; ÷
 3 
Lời bình: Trong bài này ta đã biểu diễn được ẩn x theo một biểu thức của ẩn y.
Vì biểu thức đó có dạng phân thức nên ta phải xét trường hợp mẫu thức bằng 0 và
trường hợp mẫu thức khác 0
Bài 2 Giải hệ phương trình
2

 y − xy + 1 = 0
 2

2

 x + y + 2x + 2y + 1 = 0

( 1)
( 2)

Giải
pt ( 1) ⇔ y 2 + 1 = xy thay vào pt(2) ta được

x 2 + xy + 2 ( x + y ) = 0 ⇔ ( x + y ) ( x + 2 ) = 0
x = −y
⇔
 x = −2

 y 2 + y 2 + 1 = 0
Với x=-y hpt trở thành  2
hpt vô nghiệm
2
 y + y + 1 = 0
Với x = −2 ⇒ y = −1
Vậy hpt có nghiệm duy nhất (x,y)=(-2 ;-1)
Lời bình: Trong phương trình (2) có chứa biểu thức y 2 + 1 nên gợi ý cho ta có thể
thế biểu thức này bởi tích xy được rút ra từ phương trình (1). Bài này ta có thể giải
bằng phương pháp cộng đại số sẽ được trình bày trong bài 11. Các bài tập 3,4,5,6 cũng
được trình bày theo kĩ thuật này tuy nhiên biểu thức dùng để thế khó phát hiện hơn,
phải qua việc biến đổi phương trình ta mới rút ra được.
Bài 3: Giải hệ phương trình (VNmath.com-Đặng Thành Nam)

6



 x 2 ( y + 1) = 6y − 2
 4 2
2 2
2
2
 x y + 2x y + y ( x + 1) = 12y − 1

( 1)
( 2)

Giải
Với

y= -1 hệ phương trình vô nghiệm

2
Với y ≠ 1 pt ( 1) ⇔ x =

6y − 2
thế vào pt(2) ta được
y +1

2

 6y − 2  2
 6y − 2 
2  6y − 2 
2

 y + 1 ÷ y + 2y  y + 1 ÷+ y  y + 1 + 1÷ = 12y − 1






2
4 ( y − 1) ( 9y + 1) y
⇔
= y −1
2
( y + 1)
y = 1
y = 1

⇔
1
2 ⇔
2
y =
( 9y + 1) y = ( y + 1)
3

Với y = 1 ⇒ x = ± 2
1
Với y = ⇒ x = 0
3

(


)

 1
Vậy hpt có 3 nghiệm là ( x, y ) =  0; ÷; ± 2;1
 3
Bài 4 Giải hệ phương trình

 x 2 + xy + 2x + 2y = 16

( x + y ) ( 4 + xy ) = 32
Giải
Hệ phương trình đã cho tương đương với

( x + y ) ( x + 2 ) = 16

( x + y ) ( 4 + xy ) = 32

( 1)
( 2)

7


Vì x=-2 không là nghiệm của hpt nên với x ≠ −2 pt ( 1) ⇔ x + y =
Thay vào pt(2) ta được

16
x+2


16 ( 4 + xy )
= 32 ⇔ 4 + xy = 2 ( x + 2 )
x+2

x = 0
⇔ x ( y − 2) = 0 ⇔ 
y = 2

Với x = 0 ⇒ y = 8
Với y = 2 ⇒ x = 2 v x = −6
Vậy hpt có 3 nghiệm

( x, y ) = ( 0;8 ) , ( 2;2 ) , ( −6;2 )

Bài 5 Giải hệ phương trình

( x − 1) 2 + 6 ( x − 1) y + 4y 2 = 20
 2
2
 x + ( 2y + 1) = 2
Giải
Hệ phương trình đã cho tương đương với
 x 2 − 2x + 1 + 6xy − 6y + 4y 2 = 20
 2
2
 x + 4y + 4y + 1 = 2

( 1)
( 2)


pt ( 2 ) ⇔ x 2 + 4y 2 = 1 − 4y Thay vào pt(1) ta được

−2x + 1 + 1 − 4y + 6xy − 6y = 20 ⇔ y ( 3x − 5 ) = x + 9 ⇔ y =

x+9
3x − 5

Thay vào pt(2) ta được
2

 2x + 18 
x +
+ 1÷ = 2 ⇔ 9x 4 − 30x 3 + 32x 2 + 190x + 119 = 0
 3x − 5

2

⇔ ( x + 1) ( 9x 2 − 48x + 119 ) = 0 ⇔ x = −1
2

Với x = −1 ⇒ y = −1
Vậy hpt có nghiệm duy nhất (x,y)=(-1;-1)
8


Bài 6 Giải hệ phương trình (Đề thi HSG Thanh Hóa 2011-2012)
 x2
 y +x=2

 2

y + y = 1
 x
2

( 1)
( 2)

Giải
Điều kiện x ≠ 0, y ≠ 0
x2
Vì x =2 không là nghiệm hpt nên pt ( 1) ⇔ y =
thay vào pt(2) ta được
2−x

x4
x( 2 − x)

2

+

x2
1
2
= ⇔ 2x 4 − 2x 3 ( x − 2 ) = x ( 2 − x )
2−x 2

⇔ 3x 3 + 4x 2 − 4x = 0 ⇔ x ( 3x 2 + 4x − 4 ) = 0
⇔ 3x 2 + 4x − 4 = 0
 x = −2 ⇒ y = 1

⇔
2
1
x = ⇒ y =
3
3

Vậy hpt có 2 nghiệm

( −2;1) ; 

2 1
; ÷
 3 3

2.3.2 Kĩ thuật thế hằng số
Bài 7 Giải hệ phương trình
( 2x 2 + y ) ( x + y ) + x ( 2x + 1) = 7 − 2y

 x ( 4x + 1) = 7 − 3y

( 1)
( 2)

Giải
pt ( 2 ) ⇔ 7 = 4x 2 + x + 3y . thế vào pt(1) ta được

( 2x

2


+ y ) ( x + y ) + x ( 2x + 1) = 4x 2 + x + 3y − 2y

⇔ ( 2x 2 + y ) ( x + y ) = 2x 2 + y ⇔ ( 2x 2 + y ) ( x + y − 1) = 0

9


 2x 2 + y = 0
⇔
x + y −1 = 0
Với x + y − 1 = 0 ⇒ y = 1 − x thay vào pt(2) ta được

2x 2 − x − 2 = 0 ⇔ x =

1 ± 17
3 m 17
⇒y=
4
4

Với 2x 2 + y = 0 thay vào pt(2) ta được 2x 2 − x + 7 = 0 pt vô nghiệm
 1 ± 17 3 m 17 
;
Vậy hpt có 2 nghiệm ( x, y ) = 
÷
17
4 

Lời bình: Vai trò của hằng số 7 trong hai phương trình của hệ là mấu chốt để

giúp ta giải được hệ phương trình này. Ta biểu diễn hằng số theo các biến từ một
phương trình của hệ rồi thế vào phương trình còn lại sẽ giúp ta giải được hệ này. Kĩ
thuật thế hằng số không chỉ áp dụng cho việc giải hệ phương trình mà còn giúp ta giải
được một số dạng toán khác nữa.
Bài 8 Giải hpt
 x 3 + 7y = ( x + y ) 2 + x 2 y + 7x + 4
 2
2
3x + y + 8y + 4 = 8x

( 1)
( 2)

Giải
pt ( 2 ) ⇔ 4 = 8x − 3x 2 − y 2 − 8y thay vào pt(1) ta được

x 3 + 7y = ( x + y ) + x 2 y + 7x + 8x − 3x 2 − y 2 − 8y
2

⇔ x 3 − x 2 y + 2x 2 − 2xy + 15y − 15x = 0
⇔ ( x − y ) ( x 2 + 2x − 15 ) = 0
x = y
⇔  x = −5

 x = 3
Với x=y thay vào pt(2) ta được 2x 2 + 4 = 0 pt vô nghiệm
Với x=-5 thay vào pt(2) ta được y 2 + 8y + 119 = 0 pt vô nghiệm

10



 y = −1
2
Với x=3 thay vào pt(2) ta được y + 8y + 7 = 0 ⇔ 
 y = −7

Vậy hpt có 2 nghiệm ( x, y ) = ( 3; −1) , ( 3; −7 )
Bài 9 Giải hệ phương trình (Đề thi HSG Thanh Hóa 2014-2015)
 x2 + y2 = 2 x2 y2


2 2

( x + y)(1 + xy) = 4 x y

Giải
Với x = y = 0 là nghiệm của hệ phương trình
Nhận thấy nếu x ≠ 0 thì y ≠ 0 và ngược lại
Xét x ≠ 0 ; y ≠ 0 hệ phương trình tương đương với
1 1
1 1
(1)
+
=
2
 x2 y2
 x2 + y2 = 2
⇔

1

1
1
( + )(1 + ) = 4 ( 1 + 1 )(2 + 2 ) =(2)
8
 x y
 x y
xy
xy
3

1 1
Thay (1) vào (2) ta được  + ÷ = 8
 x y

1 1
 x + y = 2
⇒
⇒ x = y= 1
1
 =1
 xy
Vậy hệ có nghiệm (x ; y) là (0 ; 0) ; (1 ; 1)
2.3.3 Kĩ thuật nhân thêm hằng số để giải hệ phương trình bằng phương pháp
cộng đại số
Bài 10 Giải hệ phương trình
 x 2 + 2xy + 2y 2 + 3x = 0

2
 xy + y + 3y + 1 = 0


( 1)
( 2)

Giải
11


Lấy phương trình (1) cộng theo vế với 2 lần phương trình (2) ta được
x 2 + ( 4y + 3) x + 4y 2 + 6y + 2 = 0
2
Ta có : ∆ x = ( 4y + 3) − 4.( 4y + 6y + 2 ) = 1
2

Phương trình có nghiệm
 x = −2y − 1
 x = −2y − 2

Với x=-2y-1 thay vào (2) ta được
 y = 1 + 2 ⇒ x = −3 − 2 2
y 2 − 2y − 1 = 0 ⇔ 
 y = 1 − 2 ⇒ x = −3 + 2 2

Với

x=-2y-2 thay vào (2) ta được


1− 5
⇒ x = −3 + 5
y =

2
2
y − y −1= 0 ⇔ 

1+ 5
⇒ x = −3 − 5
y =

2
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm

( −3 ±


1m 5 
2;1 m 2 ;  −3 ± 5;
÷
2



)

Lời bình : Câu hỏi đặt ra là hệ số 2 được nhân vào phương trình (2) được tìm ra
bằng cách nào ? Ta xét hệ phương trình dạng
a1x 2 + b1y 2 + c1xy + d1x + e1y + f1 = 0
 2
2
a 2 x + b 2 y + c 21xy + d 2 x + e 2 y + f 2 = 0


( 1)
( 2)

Hệ phương trình này giải được khi ta tìm được một hệ thức giữa x và y từ một phương
trình trong hệ. Vì mỗi phương trình trong hệ là phương trình bậc hai nên ta thường
nghĩ đến ∆ x , ∆ y có dạng A2. Nhưng nếu cả 2 phương trình mà biệt thức ∆ x , ∆ y không
có dạng chính phương thì ta phải làm thế nào ? Lúc này ta phải tìm số k sao cho
phương trình pt(1)+k.pt(2)=0 có ∆ x , ∆ y dạng chính phương.
Đặt a = a1 + ka 2 ,b = b1 + kb 2 ,c = c1 + kc 2 ,d = d1 + kd 2 ,e = e1 + ke 2 ,f = f1 + kf 2

12


Số k là nghiệm của phương trình : cde + 4abf = ae2 + bd 2 + fc 2 (*)
Kết hợp với sử dụng máy tính ta dễ dàng tìm được số k. Ta thấy rằng phương pháp
này rất mạnh giải quyết được một lớp các hệ hai phương trình bậc hai hai ẩn.
Bài 11 Giải hệ phương trình:
2

 y − xy + 1 = 0
 2
2

 x + y + 2x + 2y + 1 = 0

( 1)
( 2)

Giải
Áp dụng (*) ta tìm được k=-1

Nhân phương trình (2) với -1 rồi cộng với phương trình (1) ta được :
x 2 + xy + 2x + 2y = 0
⇔ x 2 + ( 2 + y ) x + 2y = 0
Ta có ∆ x = ( 2 + y ) − 4.2y = ( y − 2 )
2

( 3)

2

Phương trình có nghiệm x=-2 hoặc x=-y
Lúc này ta dễ dàng giải được hệ phương trình đã cho
Bài 12: Giải hệ phương trình (Vnmath- Đặng Thành Nam)
3
3

 x − y = 35
 2
2

2x + 3y = 4x − 9y

( 1)
( 2)

Phân tích
Lấy ( 1) + k.( 2 ) ta được

x 3 − y3 − 35 + k ( 2x 2 + 3y 2 − 4x + 9y ) = 0
⇔ x 3 + 2kx 2 − 4kx − y3 + 3ky 2 + 9y − 35 = 0

Ta sẽ chọn các số a,b,k bằng việc đồng nhất hệ số
13


x 3 + 2kx 2 − 4kx − y3 + 3ky 2 + 9y − 35 = ( x + a ) − ( y + b )
3

3

a 3 − b3 = −35
 k = −3

3a = 2k

⇔ 2
⇔ b = 3
3a
=
−
4k

a = −2

b = −k

Vậy ta đi đến lời giải bài toán
Lấy phương trình (1) trừ đi 3 lần phương trình (2) ta được

( x − 2)


3

= ( 3 + y ) ⇔ x = y + 5 ( 3)
3

Thế (3) vào phương trình(2) của hệ ta được
y 2 + 5y + 6 = 0 ⇔ y = −2 V y = −3
Với y = −2 ⇒ x = 3
Với y = −3 ⇒ x = 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (3;-2), (2;-3)
Lời bình: Bài này bậc của các biến x, y là như nhau; các biến x, y độc lập với
nhau; bậc của pt(1) lớn hơn bậc của pt(2). Vậy ta sẽ tìm số k sao cho phương trình
Pt(1)+k.Pt(2) có dạng A3 = B3 . Cách tìm hệ số k được trình bày như ở trên. Bài 13 sau
đây cũng được giải theo cách này.
3
3

( 1)
 x + y = 91
 2
2

4x + 3y = 16x + 9y ( 2 )

Bài 13: Giải hệ phương trình

Giải
Lấy phương trình (1) trừ 3 lần phương trình (2) ta được

( x − 4)


3

= ( 3 − y) ⇔ x = 7 − y
3

( 3)

Thay (3) vào phương trình (2) của hệ ta được
y = 4 ⇒ x = 3
y 2 − 7y + 12 = 0 ⇔ 
y = 3 ⇒ x = 4

Vậy nghiệm của hệ là (3;4) ; (4;3)
14


Bài 14 Giải hệ phương trình
3
2

 x + 3xy = −49
 2
2

 x − 8xy + y = 8y − 17x

( 1)
( 2)


Giải
Lời bình: Bài này ta không thể giải theo phương pháp trên được vì bậc cao nhât của x
và y khác nhau, phương trình (2) có ∆ x , ∆ y không chính phương nên không phân tích
được thành nhân tử. Vậy ta sẽ đi tìm x để hai phương trình tương đương
3
2

 x + 3xy = −49
 2
2

 x − 8xy + y = 8y − 17x

2
3
3xy + x + 49 = 0
⇔ 2
2

 y − ( 8x + 8 ) y + x + 17x = 0

Nếu x = -1 thì
3x x 3 + 49
=
= −3
1 x 2 + 17x
Từ đó ta có cách giải hệ phương trình
Cộng vế với vế của pt(1) với 3 lần pt(2) ta được
x 3 + 3xy 2 + 3x 2 − 24xy + 3y 2 = 24y − 51x
2

2
⇔ ( x + 1) ( x + 1) + 3 ( y − 4 )  = 0


 x = −1

⇔   x = −1
  y = 4

Với x = −1 ⇒ y = −4
 x = −1
Với 
thỏa mãn hệ phương trình
y = 4

Vậy nghiệm hệ là (-1;-4); (-1;4)
Bài 15 Giải hệ phương trình (Đề thi HSG Thanh Hóa 2012-2013)

15


8

2
+
3
x
=

y3



 x3 − 2 = 6 .

y
Giải
Điều kiện y ≠ 0
2
Đặt z = y ta được hệ :

2 + 3 x = z 3

3
2 + 3 z = x

Trừ vế với vế của hai phương trình trên ta đươc ( x − z )( x 2 + xz + z 2 + 3) = 0
2

⇔ x−z=0

z  3z 2

(vì x + xz + z + 3 =  x + ÷ +
+ 3 > 0 với mọi x, z)
2
4

2

2


⇔ x = z Thay vào phương trình (1) của hệ ta được : x3 – 3x – 2 = 0
⇔ (x+1)2(x - 2) = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 2

Với x = z = −1 ⇒ y = −2 ⇒ nghiệm (x ; y ) của hệ là (−1; −2)
Với x = z = 2 ⇒ y = 1 ⇒ nghiệm (x ; y ) của hệ là (2;1)
Vậy nghiệm (x ; y ) của hệ là (−1; −2) và ( 2;1)
Lời bình :Sau khi đổi biến thì hệ phương trình đã cho trở thành hệ đối xứng loại 2
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân,
đồng nghiệp và nhà trường
Sau khi học sinh được học về phần này tôi đã tiến hành cho học sinh làm bài kiểm
tra 45 phút
Đề bài : Giải các hệ phương trình sau

16


 x 3 + y3 = 9
a/  2
2
 x + 2y = x + 4y
 x 3 + 2xy 2 = 5
c/  2
2
2x + xy + y = 4x + y

b/

 x 2 + xy + y2 = 3
 2

 x + 2xy − 7x − 5y + 9 = 0

d/

13y3 − 3x 2 = 1
 2
 y + 4y + 1 = 5x + 4xy

Kết quả đạt được :
Điểm dưới 5

Điểm 5 – 7,5

Điểm 7,75 – 8,75

Điểm 9 – 10

SL

%

SL

SL

%

%

SL


%

3

8,57

15

42,86

12

34,29

5

14,28

Đề bài này khó hơn đề bài khảo sát trước khi các em được học « một số kĩ
thuật giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số » nhưng
kết qủa khảo sát cho thấy số lượng học sinh được điểm từ 7,75 đến 10 là cao hơn hẳn,
đặc biệt có 5 học sinh đạt từ điểm 9 đến 10. Điều này cho thấy các em học sinh đã
nắm bắt được tri thức phương pháp của sáng kiến và biết vận dụng sáng tạo trong việc
giải hệ phương trình.
Trong năm học 2016-2017 tôi được phân công phụ trách bồi dưỡng đội tuyển
học sinh giỏi đi thi tỉnh môn Toán khối lớp 9,tôi đã mạnh dạn áp dụng đề tài này trong
công tác dạy đội tuyển và đã giúp các em có nhiều chuyển biến tích cực trong tư duy
,trong cách học, cách tiếp cận kiến thức,tạo được hứng thú trong học tập và các em có
thể sáng tạo các bài toán mới.


17


3 – KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận :
Trong quá trình dạy học của bản thân, tôi đã rút ra được một vài kĩ thuật khi
dạy phần hệ phương trình. Điều này giúp cho học sinh khá giỏi thấy được vai trò quan
trọng của các quy tắc thế và quy tắc cộng đại số trong việc không chỉ giải các hệ hai
phương trình bậc nhất hai ẩn mà còn giải được hệ hai phương trình bậc hai tổng quát
và một số hệ bậc ba khác. Và tôi nhận thấy rằng khi các em được tiếp xúc với các
chuyên đề, các kĩ thuật làm toán thì tạo được cho học sinh sự hứng thú trong học
tập,và sự đam mê môn toán. Tôi nghĩ rằng để ươm mầm và phát triển các tài năng thì
rất cần những chuyên đề chuyên sâu về toán (phù hợp với đối tượng) để cho học sinh
được mở mang kiến thức và phát triển tư duy toán.
Là một giáo viên công tác chưa lâu năm nên kinh nghiệm tôi viết ra trên đây
chắc cũng còn nhiều thiếu sót hoặc có những phần tôi đề cập chưa được sâu và đầy
đủ, tôi mong được sự đóng góp ý kiến và bổ sung của các bạn đồng nghiệp.
3.2 Kiến nghị
Đề nghị Phòng Giáo Dục huyện Yên Định và Sở Giáo Dục tỉnh Thanh Hóa phát
hành tập san lưu hành nội bộ những sáng kiến kinh nghiệm hay, bổ ích để giáo viên
chúng tôi có nguồn tài liệu học hỏi, tham khảo và áp dụng vào việc dạy học cho học
sinh .
XÁC NHẬN CỦA HĐKH NGÀNH Yên Định, ngày 14 tháng 04 năm 2017
18


GD&ĐT YÊN ĐỊNH

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,

không sao chép nội dung của người khác.
Người viết sáng kiến

Nguyễn Đức Hữu

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Sách Giáo Khoa toán 9 tập 2 - Nhà xuất bản Giáo Dục
2.Toán nâng cao và phát triển toán 9 tập 2 – Vũ Hữu Bình
3. Đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 tỉnh Thanh hóa
4.Trang mạng Vnmath Luyện thi đại học – Đặng Thành Nam

19


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH
GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO
HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Tên đề tài SKKN

TT
1.

2.

Kết quả
Cấp đánh
đánh giá
giá xếp loại

xếp loại
(Phòng, Sở,
(A, B,
Tỉnh...)
hoặc C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

Sử dụng phương pháp chặn trong việc

Phòng

A

2010-2011

giải các bài toán số học lớp 6

Sở

B

2010-2011

Phòng

A


2013-2014

Giúp học sinh lớp 8 tiếp xúc với các bài
toán hay và khó thông qua các bài tập
đơn giản

3.

Hướng dẫn học sinh giỏi lớp 9 một số kĩ
thuật giải hệ phương trình bằng phương
20


pháp thế và phương pháp cộng đại số

Phòng

A

2016-2017

21