Bài tập hệ thống truyền thông
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (217.67 KB, 16 trang )
Chương 1
Khái niệm về hệ thống truyền thông
1
Chương 2
Xác suất và quá trình ngẫu nhiên
Bài tập 1. Trong một lớp học có 87 sinh viên, 43 người đi xe ô tô con, 29 người đi xe máy,
10 người đi xe buýt và 5 người đi bộ. Giảng viên chỉ định ngẫu nhiên một sinh viên. Thực
nghiệm: Phương tiện di chuyển của sinh viên là gì?
1. Xác định kết quả, tập kết quả có thể (tập mẫu)
2. Xác suất để sinh viên được chỉ định đi xe đạp
3. Xác suất để sinh viên được chỉ định đi xe buýt? xe máy? đi ô tô con? đi bộ?
Lời giải
• Tập mẫu: {xe buýt, xe máy, ô tô, đi bộ}
• Xác suất để SV đi xe đạp: 0
• 10/87;29/87;43/87;5/87;
Bài tập 1
Bài tập 2. Tung hai xúc xắc và quan sát tổng số điểm thu được.
1. Xác định tập mẫu các giá trị có thể
2. Xác định các xác suất của các phần tử thuộc tập mẫu
Lời giải
1. Mỗi con xúc xắc có thể cho giá trị từ 1 đến 6, vậy tổng hai con xúc xắc có thể có giá
trị từ 2 đến 12;
2. Chỉ có 1 tổ hợp kết quả (1,1) có thể cho kết quả là 2. Có k-1 tổ hợp cho kết quả là k-1
nếu k ≤ 7. Xác suất để phép gieo con xúc xắc có giá trị k là (k-1)/36. Nếu k ≥ 7, số
tổ hợp sẽ là 12-k-1, xác suất khi đó sẽ là (12-k-1)/36
2
3
Bài tập 2
Bài tập 3. Một nhà máy thuốc súng có hai mạch điện A, B kiểm soát. Nếu cả hai mạch
này hỏng, nhà máy sẽ nổ. Xác suất hỏng của từng mạch là 0.001 và 0.004. Đồng thời
P(B|A)=0.006.
1. P(A|B)=?
2. Xác suất nổ của nhà máy
3. 2 sự kiện có độc lập thống kê hay không?
Lời giải
1. P (A|B) = P (A, B)/P (B) = P (B|A).P (A)/P (B) = 0.006 × 0.001/0.004 = 0.0015
2. Xác suất nổ của nhà máy: P(A, B) = P (B|A)P (A) = 0.000006
3. 2 sự kiện không độc lập thống kê vì P (B|A) = P (B)
Bài tập 3
Bài tập 4. Cho 2 thực nghiệm A, B. A có 4 kết quả có thể, B có 3 kết quả có thể, Xác suất
đồng thời của các sự kiện được cho trong bảng dưới đây
A
1
A
2
A
3
A
4
B
1
0.10 0.05 0.05 0.11
B
2
0.08 0.03 0.12 0.04
B
3
0.13 0.09 0.14 0.06
Xác định xác suất của các sự kiện A
i
, B
j
, i = 1 − 4, j = 1− 3, các xác suất có điều kiện.
Lời giải
• Kẻ bảng 4x5, thêm hai cột cuối cùng là các xác suất riêng của A
i
, B
j
.
• Các xác suất riêng được tính theo công thức: P (A
i
) =
3
j=1
P (A
i
, B
j
), P (B
j
) =
4
i=1
P (A
i
, B
j
).
Xác suất có điều kiện được tính theo định nghĩa P (A
i
|B
j
) = P (A
i
, B
j
)/P (B
j
), P (B
j
|A
i
) =
P (A
i
, B
j
)/P (A
i
)
• Kết quả:
A
1
A
2
A
3
A
4
P (B
i
)
B
1
0.10 0.05 0.05 0.11 0.31
B
2
0.08 0.03 0.12 0.04 0.27
B
3
0.13 0.09 0.14 0.06 0.42
P (A
j
) 0.31 0.17 0.31 0.21
Xác suất có điều kiện
4
P (A
i
|B
j
) A
1
A
2
A
3
A
4
B
1
0.322580645 0.161290323 0.161290323 0.35483871
B
2
0.296296296 0.111111111 0.444444444 0.148148148
B
3
0.30952381 0.214285714 0.333333333 0.142857143
P (B
j
|A
i
) A
1
A
2
A
3
A
4
B
1
0.322580645 0.294117647 0.161290323 0.523809524
B
2
0.258064516 0.176470588 0.387096774 0.19047619
B
3
0.419354839 0.529411765 0.451612903 0.285714286
Bài tập 4
Bài tập 5. Chứng minh
p(x
1
, x
2
. . . x
n
) =
p(x
n
|x
n−1
, x
n−2
. . . x
1
)p(x
n−1
|x
n−2
, x
n−3
. . . x
1
) . . . p(x
2
|x
1
)p(x
1
)
Lời giải
• Có
p(x
2
, x
1
) = p(x
2
|x
1
)p(x
1
)
p(x
3
, x
2
, x
1
)p(x
3
|x
2
, x
1
)p(x
2
, x
1
)
p(x
4
, x
3
, x
2
, x
1
)p(x
4
|x
3
, x
2
, x
1
)p(x
3
, x
2
, x
1
)
. . .
p(x
1
, x
2
. . . x
n
) = p(x
n
|x
n−1
, x
n−2
. . . x
1
)p(x
n−1
, x
n−2
. . . x
1
)
• Nhân tất cả các đẳng thức trên với nhau, được kết quả cần chứng minh
Bài tập 5
Bài tập 6. Điều kiện cần và đủ để 3 sự kiện A
1
, A
2
, A
3
độc lập thống kê?
Lời giải P(A
1
)P (A
2
)P (A
3
) = P (A
1
, A
2
, A
3
) Bài tập 6
Bài tập 7. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có các giá trị có thể là {1, 3, 5, 9, 13}, với các xác
suất tương ứng là {0.05, 0.15, 0.25, 0.40, 0.15}
1. Xác định hàm mật độ xác suất của X
2. Xác định xác suất P (X ≤ 7.0)
Lời giải Hàm mật độ xác suất của X
p(x) =
n
i=1
p(x
i
)δ(x − x
i
)
p(x) = 0.05δ(x − 1) + 0.15δ(x − 3) + 0.25δ(x − 5) + 0.40δ(x − 9) + 0.15δ(x − 13)
P (X ≤ 7.0) = 0.45 Bài tập 7
Bài tập 8. Biến ngẫu nhiên Y là hàm của biến ngẫu nhiên X; Y = 2X − 6.
5
1. Xác định hàm mật độ xác suất của Y
Lời giải Y là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị rời rạc y
i
= 2x
i
− 6, với p(y
i
) = p(x
i
=
(y
i
+ 6)/2). Hàm mật độ xác suất của Y là
p(y) = 0.05δ((y + 6)/2 − 1) + 0.15δ((y + 6)/2 − 3) + 0.25δ((y + 6)/2 − 5)+
+0.40δ((y + 6)/2 − 9) + 0.15δ((y + 6)/2 − 13)
p(y) = 0.05δ(y + 4) + 0.15δ(y) + 0.25δ(y − 4) + 0.40δ(y − 12) + 0.15δ(y − 20)
Bài tập 8
Bài tập 9. Cho một phép thử với tập hợp mẫu {1, 2, 3, 4, 5, 6} đẳng xác suất. Xác định
hàm mật độ phân bố xác suất của các biến ngẫu nhiên X sau (s là giá trị của phép thử)
a. X = 6s d. 3 exp(−
s
2
)
b. X = 12s
2
− 2s e. X = cos(
πs
2
)
c. X =
s
3
+3
5
f. X =
1 + (
s
2
6
)
−1
Lời giải
a. X là biến ngẫu nhiên rời rạc có các giá trị {6, 12, 18, 24, 30, 36} với các xác suất lần lượt
là {1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6, 6/6} Vậy hàm mật độ phân bố xác suất của X là
p(x) =
6
i=1
i
6
δ(x − 6i)
a. X là biến ngẫu nhiên rời rạc có các giá trị {10, 44, 90, 160, 250, 840} với các xác suất lần
lượt là {1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6, 6/6} Vậy hàm mật độ phân bố xác suất của X là
p(x) =
6
i=1
i
6
δ(x − 12i
2
+ 2i)
Tổng quát, nếu
X = F (s)
thì
p(x) =
6
i=1
i
6
δ(x − F (i))
Bài tập 9
Bài tập 10. Yêu cầu giống bài tập trên, với tập hợp mẫu là các số thực phân bố đều trong
khoảng 2 ≤ s ≤ 5
Lời giải Điểm khác biệt so với bài tập trước là biến ngẫu nhiên X có tính chất liên tục, do
đó cần áp dụng công thức tổng quát Y = G(X) thì p
Y
(y) =
k
1
p
X
(x
i
)
|g
(x
i
)|
, trong đó s
1
, s
2
, . . . s
k
là nghiệm của phương trình G(s) = x và là hàm số của y. Trong bài này, biến ngẫu nhiên
6
S với hàm mật độ phân bố xác suất đều p(s) = 1/3 với 2 ≤ s ≤ 5 đóng vai trò biến ngẫu
nhiên gốc, còn X = G(S) đóng vai trò biến ngẫu nhiên hàm. Vậy có các kết quả
a. X = 2S − 6; S = (X + 6)/2.
p
X
(x) =
p
S
((x + 6)/2)
2
=
0, nếux < −2 hoặc x > 4
−1/6, nếu − 2 ≤ x ≤ 6;
b. X = 12S
2
− 2S; s
1
=
1+
√
1+12x
12
, s
2
=
1−
√
1+12x
12
p
X
(x) =
p
S
(
1+
√
1+12x
12
)
2
√
1 + 12x
−
p
S
(
1−
√
1+12x
12
)
2
√
1 + 12x
p
X
(x) =
1
6
√
1+12x
, nếu 52 ≤ x ≤ 310
0, nếu không.
nếu
c. Phương trình có một nghiệm duy nhất s =
3
√
5x − 3. Vậy
p
X
(x) =
5p
S
(
3
√
5x − 3)
(3
3
√
5x − 3)
2
=
5
9
3
√
5x − 3)
2
nếu 11/5 ≤ x ≤ 128/5 Bài tập 10
Bài tập 11. Biến ngẫu nhiên Y là hàm của biến ngẫu nhiên X;Y = T (X) trong đó T là
hàm đơn điệu tăng hoặc giảm, T
−1
là hàm ngược của T. Chứng tỏ rằng
p
Y
(y) = p
X
(x)
dx
dy
trong đó x = T
−1
(y)
Lời giải
F
Y
()y = P (Y ≤ y) = P (T (X) ≤ y) = P (X ≤ T
−1
(y)) = F
X
(T
−1
(y))
Vậy
p
Y
(y) =
dF
Y
(y)
dy
= p
X
(T
−1
(y))
dT
−1
(y)
dy
= p
X
(x)
dx
dy
Bài tập 11
Bài tập 12. Cho hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập thống kê với 2 hàm mật độ xác suất
p
X
(x) và p
Y
(y). Biến ngẫu nhiên W = X + Y . Xác định hàm mật độ phân bố xác suất của
W.
Lời giải
Theo định nghĩa
F
W
(w) = P (W ≤ w) = P (X + Y ≤ w) = P (X ≤ w − Y ) = F
X
(w − y)F
Y
(y)
